2024年新高考九省联考新题型-综合能力题（学生版）

2024年新高考九省联考新题型--综合能力题

题目工（2024.全国•校联考模拟预测）若项数为k（kEN*,k>3）的有穷数列｛册｝满足：0WO1<a2Va3<-

<@,且对任意的1,41414，&“），•或%—鱼是数列｛an｝中的项，则称数列｛@｝具有性质P

（1）判断数列0,1,2是否具有性质P并说明理由；

（2）设数列｛an｝具有性质P,Q4i=l,2,•••,■）是｛%｝中的任意一项，证明：应一定是｛a/中的项；

（3）若数列｛aj具有性质P,证明：当k>5时，数列｛斯｝是等差数列.

（2024・全国•校联考一模）关于工的函数/（C）=Inc+2c—b（b>2）,我们曾在必修一中学习过“二分

法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法--“牛顿切线法”.

（1）证明：/（，）有唯一零点a,且aC（l,b）；

（2）现在,我们任取工V（l,a）开始,实施如下步骤：

在（力1JQ1））处作曲线/（力）的切线，交力轴于点（力2,0）；

在（力2，/（劣2））处作曲线/（力）的切线，交力轴于点（/3,0）；

在（吃,/（4））处作曲线/（劣）的切线，交力轴于点（力九+1,0）；

可以得到一个数列｛为｝，它的各项都是/（力）不同程度的零点近似值.

⑴设xn+1—g（为）,求gQJ的解析式（用力九表示xn+1）；

⑻证明：当为V（1,Q）,总有xn<xn+1<a.

题目回（2024・全国•校联考模拟预测）“让式子丢掉次数”:伯努利不等式

伯努利不等式（Bem。加加sTnequa及如），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不

等式，由瑞士数学家雅各布・伯努利提出:对实数xC（―1,+8）,在九C[1,+8）时，有不等式（1+<>

l+rzc成立；在ne（0,1）时，有不等式（1+,）”<1+n2成立.

（1）猜想伯努利不等式等号成立的条件；

（2）当九>1时,对伯努利不等式进行证明；

（3）考虑对多个变量的不等式问题.已知5,a?,…,MSCN*）是大于一1的实数（全部同号），证明

（1+di）（1+a，2）…（1+a„）>1+ai+ci2+—\-an

/01,101,2…Ql,m、

题目a（2024・江苏南通•模拟预测）已知A„=电/电'27电（”>2）是巾2个正整数组成的小行

I12,,,0771,771)

m列的数表，当l&iVs<?n,l&/V力时3Bd(ai>jfaSyt)=\aiy—aSt-\+\aSjj—aSyt\.设?iGN*,若4n满

足如下两个性质:

①陶户{1,2,3丁・,,?1}(1=1,2,3,山；4=1,2「・,山)；

②对任意kG{1,2,3,…,?i},存在iE{1,2,…,m},/E{1,2,…,?n},使得Q*尸k,则称4n为葭数表.

023]

⑴判断4=231是否为「3数表，并求d（Qij,Q2,2）+4（。2,2，。3,3）的值;

、312,

⑵若「2数表4满足&（火力氏+1,,+1）=l（i=1,2,3;/=1,2,3）,求力4中各数之和的最小值;

（3）证明：对任意「4数表Ao,存在1&1<$《10,1W/<力410,使得火火力泡工）=0.

题目回（2024・全国•校联考模拟预测）设正整数数列Aa0a2,…，恤（">3）满足氏V%,其中14iV/&N.

如果存在ke{2,3,…，N},使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称A为”阶平衡数列”

⑴判断数列2,4,6,8,10和数列1,5,9,13,17是否为“4阶平衡数列”？

（2）若N为偶数，证明:数列A1,2,3,…，N不是"k阶平衡数列”，其中A€{2,3,…,N}

（3）如果aN<2019,且对于任意k€{2,3,…,N},数列A均为”阶平衡数列”,求数列A中所有元素之和的

最大值.

题目回（2024.江苏彳余州市第一中学校联考模拟预测）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦

有应用.设A,B,。是直线I上互异且非无穷远的四点,则称若­笔（分式中各项均为有向线段长

上（A.U

度，例如4B=—BA）为四点的交比，记为（AB；。,。）.

（1）证明：1—（D,B;C,A）=（BA；。,。）；

（2）若打人〃为平面上过定点P且互异的四条直线，〃，"为不过点P且互异的两条直线，，与A，4，

13,〃的交点分别为4,Bi，G，Di，L?与6,Z2,13,。的交点分别为4,B2,G，。2,证明：（4B;G,2）=

（4,3；。2,。2）；

（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明:若与△E'F'G'的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点,

则△EFG与△E'F'G'对应边的交点在一条直线上.

〔题目〔7〕（2024・河北・校联考一模）已知定义域为R的函数以0满足:对于任意的cCR,都有h（x+2兀）=

h（x）+旗2兀），则称函数伙/）具有性质P.

（1）判断函数/（力）=2力,gQ）=cos/是否具有性质P；（直接写出结论）

（2）已知函数/㈤=sin（s+以-V。〈年，取V等）,判断是否存在使函数具有性质P?若存

在，求出的值;若不存在，说明理由；

（3）设函数/（2）具有性质P,且在区间［0,2汨上的值域为［/（O）J（27t）］.函数g（c）=sin（/（,））,满足

g（2+2兀）=g（力），且在区间（。,2兀）上有且只有一个零点.求证：/（2兀）=2兀.

题目回（2024.江西吉安・吉安一中校考一模）对于无穷数列｛册｝,“若存在am-ak=t（m,kEN*,m>k）,必有

aa+i—@+i=t”,则称数列｛册｝具有P⑴性质.

（1）若数列｛aj满足册仁“*、，判断数列｛册｝是否具有P（l）性质？是否具有P⑷性

IZ7Z—0（TIo,TltIV）

质？

（2）对于无穷数列｛册｝,设T=｛x\x=a厂的iV外,求证:若数列｛厮｝具有P（O）性质，则T必为有限集；

（3）已知｛%｝是各项均为正整数的数列，且｛&｝既具有P（2）性质,又具有P（3）性质，是否存在正整数N,

k，使得aN，aN+i，aN+2,…，az…成等差数列.若存在,请加以证明；若不存在，说明理由.

「题目回（2024・全国•校联考模拟预测）已知有穷数列4如电，…，。揄>3）中的每一项都是不大于"的正整

数.对于满足1的整数nz,令集合4nz）=｛%限=馆，k=1,2,…，n|.记集合4馆）中元素的个

数为s（zn）（约定空集的元素个数为0）.

⑴若A6,3,2,5,3,7,5,5,求45）及s⑸;

（2）若JH—十…H—J、=n，求证：…,每互不相同；

S（Q1）s（02）S（Q/

（3）已知Q产QQ=仇若对任意的正整数i，/（iW/，i+，<九）都有i+，64。）或i+，EA。），求的+。2

+--\-CLn的值.

颔目①（2024.河南郑州.郑州外国语学校校考模拟预测）记。=｛1,2,…,100｝.对数列｛O„｝（neN*）和U的

子集T,若T=0,定义5产0；若T=怙也,…，4｝，定义S产以+a办+…+a扪例如：T=｛1,3,66｝时，ST=

ai+a3+a66.现设｛aj（neN*）是公比为3的等比数列，且当T=｛2,4｝时，ST=30.

（1）求数列｛a„｝的通项公式；

（2）对任意正整数k（lWk<100）,若TQ｛1,2,…,胡,求证：STVa5；

（3）设ClGU,Sc>S0,求证：SC+SSD>2so.

题目£(2024•江西南昌・南昌二中校联考模拟预测)若存在gC。使得/(乃<f(x0)对任意/C。恒成立，

则称3为函数八2)在。上的最大值点,记函数/(①)在。上的所有最大值点所构成的集合为河

(1)若/(力)=—/+2/+1,。=/?,求集合同；

(2)若/(力)=—―2^,_D=R,求集合M；

4

(3)设a为大于1的常数，若/(乃=c+asinc,。=[0,6],证明，若集合”中有且仅有两个元素,则所有满足

条件的b从小到大排列构成一个等差数列.

题目但(2024•江西抚州•临川一中校考一模)若各项为正的无穷数列｛为｝满足:对于VnCN*,送+「鼠=

d,其中d为非零常数,则称数列｛&｝为D数列.记b=an+1-an.

(1)判断无穷数列册和册=2"是否是。数列，并说明理由；

(2)若｛册｝是。数列，证明：数列仍”｝中存在小于1的项；

n1

(3)若｛册｝是。数列，证明：存在正整数打，使得£—>2024.

i=lai

题目包（2024•江西南昌・南昌二中校考一模）若一个两位正整数馆的个位数为4,则称小为“好数”.

（1）求证:对任意“好数”m,m2-16一定为20的倍数；

⑵若小=p2—q2，且p,q为正整数,则称数对（p,q）为“友好数对”，规定：,例如24=52-12,称数

P

对（5,1）为“友好数对”，则H（24）=；,求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值.

3

［题目14］（2024•全国•校联考模拟预测）已知无穷数列｛Q/满足an—max｛an+i,an+2｝一min｛an+i,an+2｝（n=1,

2,3,…），其中max｛力,g｝表示为，y中最大的数，min｛劣,g｝表示劣，y中最小的数.

（1）当Qi=1,。2=2时，写出禽的所有可能值；

（2）若数列｛QJ中的项存在最大值，证明：0为数列缶/中的项；

（3）若@>0（n=1,2,3,…），是否存在正实数使得对任意的正整数期都有册《河？如果存在，写出一个

满足条件的如果不存在，说明理由.

7

题目叵(2024.河南.统考模拟预测)离散对数在密码学中有重要的应用.设p是素数，集合X=

—1},若EXfmGN,记为ao除以p的余数，Y年为”小除以p的余数；设QGX,l,a,

…,QP-2,®两两不同，若d，®=bS£{0,1,…邛一2}),则称也是以。为底b的离散对数，记为九二匕8^).

b.

(1)若p=11,Q=2,求QP—I?

⑵对mi,m2E{0,1,…,p—2},记ma㊉s为他+馆2除以0—1的余数(当他+如能被0—1整除时，m^®

rri2=0).证明：log(p)a(b®c)=log(p)a6㊉log(p)ac，其中b,cGX；

(3)已知九=log(p)ab.对力ex,ke{1,2,…,p—2},令%=6?伪,改=力③b"伪.证明：/=纺(殉；6"念.

题目叵）（2024上•浙江宁波•高三镇海中学校考期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需

要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线。：沙=/（0上的曲线段卷，其弧长为As,当动点从

A沿曲线段卷运动到B点时，人点的切线U也随着转动到8点的切线加记这两条切线之间的夹角为

（它等于岳的倾斜角与〃的倾斜角之差）.显然,当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大;当夹角

固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段旗的平均曲率;显然当B越接近

即As越小，K就越能精确刻画曲线。在点A处的弯曲程度，因此定义K=lim|野|=一回二（若极限存

在）为曲线。在点人处的曲率.（其中“，“'分别表