贵州省2023-2024学年高二年级上册期中联考数学试卷(含答案)

贵州省2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一'选择题

1.已知集合4=卜上<10},3=卜卜+3）@—12）<0},则A8=（）

A.{X|X<-3}B.1%|-12<x<10}C.12jD.1%|-3<x<10}

2.复数z=（7+i）（5—i）的实部为（）

A._2B.2C.34D.36

3.圆f+J+6》+8,=0不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.已知点P为△ABC所在平面内一点，。为平面ABC外一点，若

0「=相。4+〃。8+20。，则根+”的值为（）

A，iB.-iC.2D.-2

5.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件人="两枚骰子的点数之和为偶数”，事件3="恰有

一枚骰子的点数为偶数”，则（）

C.A与B互为对立事件D.A与B互为互斥但不对立事件

6.已知空间三点4（0,1,1）,6（-2,1,0）,C（l,2,l）,则以A5,AC为邻边的平行四边形的面积

为（）

A-3B巫C.6D.a

2

7.埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它形状可视为一个正四棱锥，若金字塔

P-ABCD的高为3，AB=36■，点E满足PE=2E3,则点。到平面AEC的距离为（）

D型

2

8.定义在R上的奇函数/(x)在区间(0,+8)上单调递减，且"6)=0,则不等式

力"(％-4)<0的解集为()

A.(^O,-2)(0,4)B.(-2,0)(0,4)I(10,+oo)

C(YO,—2)D.(-2,0)(4,10)

二、多项选择题

9.甘肃省2017到2022年常住人口变化图如图所示：

则()

A.甘肃省2017到2020年这4年的常住人口呈递增趋势

B.甘肃省2017到2022年这6年的常住人口的第40百分位数为2501.98万

C.甘肃省2017到2022年这6年的常住人口的极差为156.41万

D.从2017到2022年这6年中任选1年，则该年的甘肃省常住人口大于2500万的概率为

2

3

10.已知点A(l,4),B(3,2),C(2,-0,若直线/经过点C,且A,5到/的距离相等，则/的方

程可能是()

A.x+y-l=0B.x-y-3=0C.^-2=0D.y+1=0

11.已知曲线c：y=J-Y+2%+3，直线/:y=k(％+3)，则下列说法正确的是()

A.曲线。关于直线y=x-1对称

B.直线/恒过点(—3,0)

C.若/与曲线。有两个交点，则左的取值范围是卜,日j

D.若/与曲线C有两个交点，则上的取值范围是，无

337

12.如图,正方体ABCD-4gG2的棱长为2，"是Bq的中点，点尸满足

DP=2DC+〃DD]淇中2e[0,1],4e[0,1上则下列结论正确的有（）

A.当/=,时,MP_LAC

2

B.当〃=工时,〃平面ABCD

2

C.当2=〃=2时，异面直线与AC所成角的余弦值为正

37

D.若丸=g,二面角尸—BD—C的平面角为:，则△PB£）的面积为企

三、填空题

13.若lgx=Z,则lg±=.

310

14.已知两条平行直线乙：2x+y+1=0,4：依+2y+c=0间的距离为石，则

a+c—•

15.已知函数y（x）=^sin（s：+q）+sin（0x-q（0>O）,若函数g（x）=〃x）-l在

（0,兀）上恰有两个零点，则。的取值范围为_________..

16.已知A（-1⑼，点P在圆C:（x-好+：/=1上，且|%=2,则a的取值范围为.

四、解答题

17.如图，在三棱柱ABC-4用£中,D,E分别为与G和A3的中点，设

AB—a5AC=b，=c-

（1）用a,4c表不向量£）E；

（2）若|四|=|4。|=|用|=1,/4钻=/540=60°,/440=90。,求£＞£.3。.

18.已知直线/经过点（-1,-1）.

（1）若/在两坐标轴上的截距相等,求/的斜截式方程；

（2）若/与圆“：（x+3）2+（y+4）2=4相切,求/的一般式方程.

19.已知直线/经过点4（2,-。，且与直线2x+2y-1=0平行.

（1）求直线/的方程；

（2）已知圆C与y轴相切，直线/被圆C截得的弦长为20,圆心在直线y=x-1上，求

圆C的方程.

20.如图1,在菱形ABCD中,ZABC=60。，将△ABC沿着AC翻折至如图2所示的

△A4c的位置，构成三棱锥B.-ACD.

（1）证明:AC，耳£）；

（2）若平面AC3］，平面ACD,求8c与平面4用。所成角的正弦值.

21.在△ABC中,。为边AC上一点，8。=百，NA=45°.

（1）若AD=&，求△A8D的面积；

2、

（2）若4£＞。＜4公4,30=2指与11。=1,求4。长.

22.已知圆。:丸犬―2x+Xy2—4y+6-54=0(；1>0)

(1)证明:圆C恒过两个点.

(2)当;I=1时,若过点A(-l,0)的直线/与圆C交于M,N两点，且AM=；MN,求直线/

的斜率.

参考答案

1.答案：D

解析：集合3={x[(x+3)(x-12)<0}={x|-3<x<12},

又因为A={X|尤<10},

所以AB={x|-3<x<10}.

故选:D.

2.答案：D

解析：因为z=(7+i)(5—i)=35—7i+5i—I?=36—2i,

所以z的实部为36.

故选:D.

3.答案：A

解析：/+/+6,+8y=0可化为(X+3)2+(y+解=25,即圆心为(—3,—4)泮径为5,

故选A.

4.答案：B

解析：

5.答案：C

解析：

6.答案：D

解析：

7.答案：A

解析：如图，连接3D,设AC与5。相交于点。，连接P0,

以点。为坐标原点,。4,。氏。尸所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则0(0,0,0),A(3,0,0),P(0,0,3),B(0,3,0),C(-3,0,0),Z>(0,-3,0),E(0,2,1),

所以AD=(-3,-3,0)。=(6,0,0),AE=(-3,2,1),

1一上一曰、rem-AE=-3x+2y+z=0

设平面AEC的法向量为m=(x,y,z),则｛),

取y=l,得根=(0』,-2),

所以点。到平面AEC的距离d=

\m\V55

故选:A.

8.答案：A

解析：

9.答案：BD

解析：根据题意，依次分析选项：

对于A,由图可知，从2019年到2020年，常住人口下降了，则A错误；

对于B,甘肃省2017到2022年这6年的常住人口(单位:万)按照从小到大的顺序排列

为:2490.02,2492.42,2501.98,2625.71,2637.26,2647.43,

因为6x40%=2.4,所以这6年的常住人口的第40百分位数为2501.98万,B正确；

对于C,甘肃省2017到2022年这6年的常住人口的极差为2647.43-2490.02=157.41

万,C

错误；

对于D,从2017到2022年这6年中任选1年，则该年的甘肃省常住人口大于2500万的

42

概率为？=±,D正确.

63

故选:BD.

10.答案：AC

解析：若A乃在/的同侧，则〃/AB,41,4),3(3,2),

贝U&w=4_^=_1，

J—L

所以/的方程为x+y-1=0,

若A乃在/的两侧，则I经过线段AB的中点M(2,3),此时I的方程为1-2=0,综上所述」

的方程可能是x+y-l=0或％-2=0.

故选:AC.

11.答案：BC

解析：曲线。:y=/一。+2光+3可化为:/=—(》—1)2+4,丁20,即

(x-l)2+y2=4,y>0,

曲线C表示以点(1,0)为圆心,2为半径，且位于x轴上方的半圆,(包括点(-1,0),(3,0)).

对A选项，显然曲线C不关于直线y=%-1对称,A选项错误；

对B选项，显然直线/:y=左(x+3)恒过点(-3,0),/.B选项正确；

对C,D选项，当/与曲线C相切时,上=2,解得左=且或左=-且(舍去)，

717F33

故/与曲线C有两个交点时，上的取值范围是C选项正确,D选项错误.

故选:BC.

12.答案：ABD

解析：

13.答案：士或J

33

7

解析：lgx=-,

3

X74

则lg—=lg^-lglO=lgx-l=--l=-,

故答案为:土

3

14.答案：T或16

解析：因为〃〃2,所以2x2-lxa=0,解得a=4,

贝U6：4x+2y+c=0，可化直线4为4x+2y+2=0,

所以4与4的距离为卜―NJ42+22=«，解得c=—8

或c=12,则〃+c=-4或a+c=16.

15.答案：",|

解析：

16.答案：[-4,—2]I[0,2]

解析：由|刚=2,可知点尸在圆(》+1)2+/=4上，

所以问题等价于(x+l)2+V=4与圆C有交点，

所以2—1WJ(a+l)2+0W2+1,所以1W1+1|W3,解得0WaW2或—4WaW—2,

故。的取值范围为[0,2][-4,-2].

故答案为:〔°，2][-4,-2].

17.答案：(1)一,匕一。

2

⑵-

4

解析：(1)

DE=DBi+BiB+BE=-CB+AA+-BA=-^AC-AB^=-^AB-AC)+AlB+-BA

(2)略

18.答案：(1)丁=%或y=—x—2

(2)x+l=0或512y-7=0

解析：(1)已知直线/经过点(-1,-1),

若/在两坐标轴上的截距相等，

当I经过原点时，/的斜率为"=1,则/的斜截式方程为y=x,

0+1

当/不经过原点时，设/的截距式方程为二+2=1,代入点(T-l),匚+匚=1得a=-2,则

aaaa

己+2=1,即/的斜截式方程为y=_-2,

综上，/的斜截式方程为y=x或y=_x_2;

(2)由题意圆M:(x+3)2+(y+4)2=4,

得M(-3,-4),圆M的半径为2,

当/的斜率不存在时,/：%=—1与圆M相切，

当/的斜率存在时，设/:丁+1=左(1+1),即/:辰一,+左一1=0,

由卜3左：4+左一1|=2,得左=»,则/：5x—12y—7=0,

12

综上，/的一般式方程为x+l=0或512y-7=0.

19.答案：(1)x+y-l=。

⑵(%-2)2+(y-l)2=4.

解析：(1)直线/与直线2x+2y-l=0平行,

；.%=—1,

设直线/方程：y=—九+b

直线/过点A(2,-1)

-1=-2+Z?解得Z?=1

.,•直线/的方程为:y=—x+1

(2)圆心C在直线y=x-1上,设圆心C坐标(a,a-1)

圆C与轴相切,

.•・半径为圆心到y轴的距离.即尺=同

|<7+(7—1—1||2<7—2|

圆心到直线/:x+y-1=0的距离d

V2V2

截得弦长为26即25尺2—/=2叵

即20—1)2=2

.•.圆心坐标(2,1)经火=2

化简有("2)2=0

解得a=2

.•.圆。方程(％-2)2+(丁一1)2=4

20.答案：(1)证明见解析

(2)姮

5

7T

解析：(1)证明:取AC的中点连接。耳,0。,因为A3CD是菱形,NA4c=§,

所以△ACBj,△ACD为等边三角形，

所以，AC,OD_LAC,

又因为。片,ODu平面

0B1OD=O,

所以AC，平面O3Q,

因为5Qu平面OBQ,所以AC,男。；

(2)因为平面AC4,平面ACD,且平面ACg平面ACD=AC,

80_LAC,所以耳O，平面ACD,

以0为坐标原点，分别以。用所在直线为x,y,z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

设AC=2,则

A(O,1,O),C(O,-1,O),0,0),4(o,o,6),gC=(0,—1,-6)，4A=(0,1,—6),

AD=(A-1,0),

设平面ABXD的法向量为〃=(%,%,zj,

则°，取Z]=1,则另=技否=1,所以〃=(1,0,1),

n-AD-0石-y=0、

grpiIur\_-

JTT以cos\B、C,TI)——_—j==,

所以B{C与平面AB,D所成角的正弦值为姮.

5

2

21.答案：(1)2

(2)或

5

解析：(1)在△AB。中,由余弦定理得BO?=AB2+AQ2—2AB-ADCOSA,

即5=AB?+2-2AB,

解得AB=3;

V|_3

所以S4.o=--AB-ADsinA=-x3xV2x

22"T-2

BCBD即2.

（2）在△BCD中,由正弦定理得

sinZBDCsinC5sinNBDC2

5

,4

可得sinZBDC=—,

因为ZBDC<ZBDA，所以为锐角,

3

即cosNBr)C=w，

6(43)_6.

所以sinZABD=sin(ZBDC-45°)=耳［歹而,

在△加中，由正弦定理得意犷饴,即詈等

102

解得人£＞=毡.

5

22.答案：（1）证明见解析

£

(2)5或2

解析：（1