2024届辽宁省部分学校高三第二次联考（二模）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3辽宁省部分学校2024届高三第二次联考（二模）数学试题一、选择题1.已知一组数据为50，40，39，45，32，34，42，37，则这组数据第40百分位数为（）A.39 B.40 C.45 D.32〖答案〗A〖解析〗将这组数据从小到大排列为：32，34，37，39，40，42，45，50，共8个，因为，所以这组数据第40百分位数为第4个数据，即为39，故选：A.2.已知方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为方程表示的曲线是椭圆，所以，解得且，所以实数k的取值范围是.故选：D.3.记等差数列的前n项和为，，则（）．A.13 B.26 C.39 D.78〖答案〗D〖解析〗因为为等差数列，所以.故选：D.4.设是两个平面，是三条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，则〖答案〗B〖解析〗对于A，若，，，则相交或平行，故A错误；对于B，若，，，由线面平行的性质可得，故B正确；对于C，若，，，当两两相交时，两两相交，故C错误；对于D，若，，则或，故D错误.故选：B.5.甲、乙、丙、丁4人参加活动，4人坐在一排有12个空位的座位上，根据要求，任意两人之间需间隔至少两个空位，则不同的就座方法共有（）A.120种 B.240种 C.360种 D.480种〖答案〗C〖解析〗先假设每个人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4个人中间任意两个人之间放入2个空位，此时空位一共还剩2个，若将这两个空位连在一起插入4人之间和两侧空位，有5种放法；若将这两个空位分开插入4人之间和两侧空位，有种放法，故不同的就座方法共有种.故选：C.6.设直线被圆所截弦的中点为M，点，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗直线过定点设为，圆心，半径，设，则，即，即，整理可得，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，除去原点，（因为直线不能表示轴）所以结合圆上的点到点的距离，轨迹上点与点距离范围即为所求，所以，故选：C.7.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以，所以，所以，因，所以，所以，所以，所以.故选：B.8.已知椭圆与抛物线在第一象限的公共点为A，椭圆的左、右焦点分别为,其中右焦点与抛物线的焦点重合,已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，依题可知，抛物线的准线方程为，过点作垂直交于点，作轴，交于点,则，设，则，则，，，所以，故选：B.二、选择题9.设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（）A. B.C.与均为的最大值 D.满足的n的最小值为14〖答案〗BCD〖解析〗A：因为，所以，所以，故A错误；B：由A的〖解析〗可得B正确；C：因为，，所以与均为最大值，故C正确；D：因为，由，，故D正确；故选：BCD.10.已知复数均不为0，则（）A. B.C. D.若，则〖答案〗AD〖解析〗设，，其中，且复数均不为0，则选项A：由可得，所以，即，A说法正确；选项B：，所以，又因为，当，即时，可得，两边平方整理得，所以不一定成立，C说法错误；选项C：，所以，又，当时可得，所以不一定成立，C说法错误；选项D：若，则，所以，D说法正确；故选：AD.11.已知定义城为R的函数．满足，且，，则（）A. B.是偶函数C. D.〖答案〗ABC〖解析〗对于A项，由，令，则，故A项正确；对于B项，令，则，因，故，令，则①，所以函数关于点成中心对称，令，则，令，则②，由①可得：③，由②③可知：，且函数定义域为，则函数是偶函数，故B项正确；对于C项，令，则，因为，，，代入上式中得，故得：，故C项正确；对于D项，由上可知：，则，故函数的一个周期为4，故，令，则，所以，则，故D项错误．故选：ABC．三、填空题12.已知集合，，若．则m的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，故，所以且，所以，解得.故〖答案〗为：.13.已知在伯努利试验中，事件A发生的概率为，我们称将试验进行至事件A发生r次为止，试验进行的次数X服从负二项分布，记.若，则______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，由题意当时，所以.故〖答案〗为：.14.如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是______．〖答案〗〖解析〗如图，七面体为正方体截去三棱锥的图形，由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时，该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线上，如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，设球心，故，设平面的法向量为，则有，可取，则球心到平面的距离为，因为球与三个正方形面和等边三角形面相切，所以，解得，所以这个七面体内部能容纳的最大的球半径是.故〖答案〗为：.四、解答题15.已知函数．（1）求曲线的平行于x轴的切线的切点横坐标；（2）证明曲线与x轴恰有两个交点．（1）解：因为，所以，即，依题意若曲线的切线平行于x轴，则切线的斜率为，令，即，解得或，又，，即切点坐标为，.（2）证明：由（1）可知时或，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；又有，，而对于函数，当时，，且，所以当时，恒成立，且当时，，所以只存在，使得；存在，使得，即曲线与x轴恰有两个交点．16.小明从4双鞋中，随机一次取出2只，（1）求取出的2只鞋都不来自同一双的概率；（2）若这4双鞋中，恰有一双是小明的，记取出的2只鞋中含有小明的鞋的个数为X，求X的分布列及数学期望，解：（1）由题可得：取出2只都不来自同一双的概率为：.（2）由题可知X的取值为：0，1，2，，，，故X的分布列为：X012P，故.17.在中，为边上一点，，且面积是面积的2倍．（1）若，求的长；（2）求的取值范围．解：（1）设边上的高为，垂足为，因为面积是面积的2倍，所以有，设，由余弦定理可知：，解得或舍去，即；（2）由（1）可知，设，由且，由余弦定理可得：，，在中，因为，所以由正弦定理可知：，因为，所以，于是有，因此的取值范围为..18.如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形．（1）求证：；（2）在图中作出点到底面的距离，并说明理由；（3）在线段上是否存在一点，使与平面成角？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由．（1）证明：如图所示，取中点，连接，因为，所以，又因为，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以；（2）解：作于点，因为平面，平面，所以，因为，且平面，所以平面，在中，，，则，所以，故，因为，所以，故，在中，，所以为钝角，所以点在延长线上，在中，，故，所以，所以，所以垂足与构成一个正方形，故线段即为点到底面的距离；（3）解：结合（2）过作交于，连接，因此平面，所以，记，则，，所以，解得，即存在点，且点在的位置．19.已知点P为双曲线上任意一点，过点的切线交双曲线的渐近线于两点．（1）证明：恰为的中点；（2）过点分别作渐近线的平行线，与OA、OB分别交于M、N两点，判断PMON的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；（1）证明：由切线不可能平行于轴，即切线的斜率不可能为0，设切线方程为，联立方程组，整理得，所以，可得，即，所以，即，所以，则，所以点，又由双曲线的渐近线方程为，联立方程组，可得，即，联立方程组，可得，即，所以，所以的中点坐标为又因为，所以，所以点与的中点重合.（2）解：由，，可得，，所以，即，又由，可得，所以，所以，因为为的中点，所以，所以四边形的面积为定值.辽宁省部分学校2024届高三第二次联考（二模）数学试题一、选择题1.已知一组数据为50，40，39，45，32，34，42，37，则这组数据第40百分位数为（）A.39 B.40 C.45 D.32〖答案〗A〖解析〗将这组数据从小到大排列为：32，34，37，39，40，42，45，50，共8个，因为，所以这组数据第40百分位数为第4个数据，即为39，故选：A.2.已知方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为方程表示的曲线是椭圆，所以，解得且，所以实数k的取值范围是.故选：D.3.记等差数列的前n项和为，，则（）．A.13 B.26 C.39 D.78〖答案〗D〖解析〗因为为等差数列，所以.故选：D.4.设是两个平面，是三条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，则〖答案〗B〖解析〗对于A，若，，，则相交或平行，故A错误；对于B，若，，，由线面平行的性质可得，故B正确；对于C，若，，，当两两相交时，两两相交，故C错误；对于D，若，，则或，故D错误.故选：B.5.甲、乙、丙、丁4人参加活动，4人坐在一排有12个空位的座位上，根据要求，任意两人之间需间隔至少两个空位，则不同的就座方法共有（）A.120种 B.240种 C.360种 D.480种〖答案〗C〖解析〗先假设每个人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4个人中间任意两个人之间放入2个空位，此时空位一共还剩2个，若将这两个空位连在一起插入4人之间和两侧空位，有5种放法；若将这两个空位分开插入4人之间和两侧空位，有种放法，故不同的就座方法共有种.故选：C.6.设直线被圆所截弦的中点为M，点，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗直线过定点设为，圆心，半径，设，则，即，即，整理可得，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，除去原点，（因为直线不能表示轴）所以结合圆上的点到点的距离，轨迹上点与点距离范围即为所求，所以，故选：C.7.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以，所以，所以，因，所以，所以，所以，所以.故选：B.8.已知椭圆与抛物线在第一象限的公共点为A，椭圆的左、右焦点分别为,其中右焦点与抛物线的焦点重合,已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，依题可知，抛物线的准线方程为，过点作垂直交于点，作轴，交于点,则，设，则，则，，，所以，故选：B.二、选择题9.设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（）A. B.C.与均为的最大值 D.满足的n的最小值为14〖答案〗BCD〖解析〗A：因为，所以，所以，故A错误；B：由A的〖解析〗可得B正确；C：因为，，所以与均为最大值，故C正确；D：因为，由，，故D正确；故选：BCD.10.已知复数均不为0，则（）A. B.C. D.若，则〖答案〗AD〖解析〗设，，其中，且复数均不为0，则选项A：由可得，所以，即，A说法正确；选项B：，所以，又因为，当，即时，可得，两边平方整理得，所以不一定成立，C说法错误；选项C：，所以，又，当时可得，所以不一定成立，C说法错误；选项D：若，则，所以，D说法正确；故选：AD.11.已知定义城为R的函数．满足，且，，则（）A. B.是偶函数C. D.〖答案〗ABC〖解析〗对于A项，由，令，则，故A项正确；对于B项，令，则，因，故，令，则①，所以函数关于点成中心对称，令，则，令，则②，由①可得：③，由②③可知：，且函数定义域为，则函数是偶函数，故B项正确；对于C项，令，则，因为，，，代入上式中得，故得：，故C项正确；对于D项，由上可知：，则，故函数的一个周期为4，故，令，则，所以，则，故D项错误．故选：ABC．三、填空题12.已知集合，，若．则m的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，故，所以且，所以，解得.故〖答案〗为：.13.已知在伯努利试验中，事件A发生的概率为，我们称将试验进行至事件A发生r次为止，试验进行的次数X服从负二项分布，记.若，则______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，由题意当时，所以.故〖答案〗为：.14.如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是______．〖答案〗〖解析〗如图，七面体为正方体截去三棱锥的图形，由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时，该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线上，如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，设球心，故，设平面的法向量为，则有，可取，则球心到平面的距离为，因为球与三个正方形面和等边三角形面相切，所以，解得，所以这个七面体内部能容纳的最大的球半径是.故〖答案〗为：.四、解答题15.已知函数．（1）求曲线的平行于x轴的切线的切点横坐标；（2）证明曲线与x轴恰有两个交点．（1）解：因为，所以，即，依题意若曲线的切线平行于x轴，则切线的斜率为，令，即，解得或，又，，即切点坐标为，.（2）证明：由（1）可知时或，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；又有，，而对于函数，当时，，且，所以当时，恒成立，且当时，，所以只存在，使得；存在，使得，即曲线与x轴恰有两个交点．16.小明从4双鞋中，随机一次取出2只，（1）求取出的2只鞋都不来自同一双的概率；（2）若这4双鞋中，恰有一双是小明的，记取出的2只鞋中含有小明的鞋的个数为X，求X的分布列及数学期望，解：（1）由题可得：取出2只都不来自同一双的概率为：.（2）由题可知X的取值为：0，1，2，，，，故X的分布列为：X012P，故.17.在中，为边上一点，，且面积是面积的2倍．（1）若，求的长；（2）求的取值范围．解：（1）设边上的高为，垂足为，因为面积是面积的2倍，所以有，设，由余弦定理可知：，解得或舍去，即；（2）由（1）可知，设，由且，由余弦定理可得：，