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文档简介

第六节曲线的凹凸性与拐点内容提要

1.函数的凹凸性及其判别方法;2.拐点及其求法.教学要求掌握函数的凹凸性及其判别方法,拐点及其求法.

一、曲线凹向的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?曲线弧位于任一切线下方曲线弧位于任一切线上方曲线的凹凸,可以用函数的二阶导数的符号来判定.定理定义1

设函数f(x)在[a，b]上连续,在可导，在曲线上任取一点做切线，曲线弧位于任一切线上方,则称曲线在[a，b]上是凹的；如果曲线弧位于任一切线下方,则称曲线在[a，b]上是凸的.说明：（1）曲线凹凸的判定图形解释（2）为熟练掌握凹凸性的判定，介绍淋雨法则：+>例1利用二阶导数验证二次函数曲线的凹凸性.解：函数的定义域为当a>0时,,抛物线开口向上,曲线是凹的.当a<0时,,抛物线开口向下,曲线是凸的.,且xyoa>0xyoa<0例2讨论三次函数在定义域内的凹凸性.当a>0时,如下表解：函数的定义域为令，得－0＋xyoa>0当a＜0时,如下表a<0xyo＋0－二、曲线的拐点及其求法定义2连续曲线的凹段与凸段的分界点叫做曲线的拐点.拐点的求法:注意:例3求曲线的凹、凸区间及拐点若令解：函数的定义域为,列表所以,y在区间(－∞,0)及(2,＋∞)上是凹的,在(0,2)上是凸的,拐点有(0,1)和(2,－15).(－∞,0)0(0，2)2(2,＋∞)+0－0+拐点拐点xy解例4所以,y在区间(－∞,0)是凹的,在

(0,＋∞)上是凸的,(0,0)是拐点.0不存在+－说明2:说明1:函数有二阶导数说明3:注:求凹凸区间及拐点的步骤：小结

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