浅谈全国大学生数学建模竞赛

2024/6/41

2013年数学建模暑假培训讲座2024/6/42浅谈数学建模PartA对数学建模竞赛的认识PartB数学建模实践活动PartC数学建模全国大赛历年题目分析

PartD数据处理与数据建模方法2024/6/43PartA对数学建模竞赛的认识1、作题与一般的培训

作题利用已有知识可以解决，与知识及知识量有关，其过程有利于掌握知识。作题有一个可以作的潜在假设。

培训增加知识，以知识为基础解题，基本是老师主导。2、作事与实践

作事对象是问题，以自身知识和能力为基础，其过程是锻炼和发挥综合素质。

实践作事的过程可称为实践。对问题，只能说依其能力和知识可以给予一定程度的解决，不保证已有知识够用。3、数模竞赛与实践数模竞赛是一个实践过程，不是解题过程。2024/6/44PartB数学建模实践活动1、投入与效益

投入以老师和同学都要投入大量的时间和精力为前提。

效益投入的效益不单纯体现在知识的程度上，主要体现在使学生有作科研的经历，使教师有机会提高学术水平，真正做到教学相长。2、选择实践活动内容的原则

学术的先进性文献要新

大学生的可接受性思想性强，所用研究技术相对初等

有较大的提问题空间开放性选题，不是小品类选题

2024/6/45运用学过的数学知识和计算机（包括选择合适的数学软件）分析和解决实际问题的能力面对复杂事物的想象力、洞察力、创造力和独立进行研究的能力关心、投身国家经济建设的意识和理论联系实际的学风团结合作精神和进行协调的组织能力勇于参与的竞争意识和不怕困难、奋力攻关的顽强意志查阅文献、收集资料及撰写科技论文的文字表达能力数学建模竞赛培养学生创新精神，提高学生综合素质2024/6/46PartB数学建模实践活动3、选题过程中常遇到的困境和解决思路

学术先进性与学生的知识及技术水平的可承受性.以学生的已有知识和应具有的能力为基础。

教师所从事专业与所选课题内容的一致性,若一致更好，若不一致，以学生的可接受性为基础，把相应研究首先看成教学成果其次为科研成果，接受成果所属分类分散的事实。

学生所学专业与所选内容的一致性不以专业知识作为选题依据，不引导其作专业研究，而是提供一个作科学研究的机会。

教师的知识面宽度与选题内容的丰富度的关系显然，知识面宽时丰富度就宽，这是以教师掌握为前提的，其次，很多时候教师要以阅历为前提判断一个选题的水平及可接受性，然后和同学一起学习课题内容，做到教学相长。2024/6/47PartB数学建模实践活动目标：1、数学建模培养的是意识与理念；2、数学建模活动不仅仅是一个简单的培训、竞赛活动。----可以看做是知识积累的过程。（1）大学生创新计划、暑期班；（2）发表学术论文；（3）参加其他的竞赛活动；（4）敢想敢做的态度。2024/6/48

PartC：数学建模全国大赛历年题目分析

赛题建模方法93A非线性交调的频率设计

拟合、规划

93B足球队排名

图论、层次分析、整数规划

94A逢山开路

图论、插值、动态规划

94B锁具装箱问题

图论、组合数学

95A飞行管理问题

非线性规划、线性规划

95B天车与冶炼炉的作业调度

动态规划、排队论、图论

96A最优捕鱼策略

微分方程、优化

96B节水洗衣机

非线性规划

97A零件的参数设计

非线性规划

97B截断切割的最优排列

随机模拟、图论98A一类投资组合问题

多目标优化、非线性规划

98B灾情巡视的最佳路线

图论、组合优化

99A自动化车床管理

随机优化、计算机模拟

99B钻井布局

0-1规划、图论

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00A

DNA序列分类

模式识别、Fisher判别、人工神经网络

00B钢管订购和运输

组合优化、运输问题

01A血管三维重建

曲线拟合、曲面重建

01B

公交车调度问题

多目标规划

02A车灯线光源的优化

非线性规划

02B彩票问题

单目标决策

03A

SARS的传播

微分方程、差分方程

03B

露天矿生产的车辆安排

整数规划、运输问题04A奥运会临时超市网点设计

统计分析、数据处理、优化

04B电力市场的输电阻塞管理

数据拟合、优化

05A长江水质的评价和预测

预测评价、数据处理

05B

DVD在线租赁

随机规划、整数规划

06A出版社书号问题整数规划、数据处理、优化

06BHiv病毒问题线性规划、回归分析07A中国人口增长预测微分方程、数据处理、优化07B乘公交，看奥运多目标规划、动态规划、图论、0-1规划2024/6/410

08A数码相机定位非线性方程组、优化08B高等教育学费标准探讨数据收集和处理、统计分析、回归分析09A制动器试验台的控制方法分析物理模拟问题09B眼科病床的合理安排排队论优化、统计预测、分布拟合检验10A储油罐的变位识别与罐容表标定拟合、非线性方程、优化10B2010年上海世博会影响力的定量评估数据收集和处理、统计分析11A城市表层土壤重金属污染分析插值拟合、统计分析、偏微分方程11B交巡警服务平台的设置与调度优化、算法12A葡萄酒的评价统计分析12B太阳能小屋的设计优化、数据处理

2024/6/411

赛题发展的特点：

1.对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，如03B;某些问题需要使用计算机软件，如01A;问题的数据读取需要计算机技术，如00A（大数据），01A（图象数据，图象处理的方法获得），04A（数据库数据，数据库方法，统计软件包）。计算机模拟和以算法形式给出最终结果,如09B，11B。

2.赛题的开放性增大

:题意的开放性，思路的开放性，方法的开放性，结果的开放性。开放性还表现在对模型假设和对数据处理上。如10B2024/6/412

3.试题向大规模数据处理方向发展:从05年开始，基本上每年都有一大数据量的赛题；数据结构的复杂性：数据的真实性，数据的海量性，数据的不完备性，数据的冗余性4.求解算法和各类现代算法的融合；如：11B

5.实用性：问题和数据来自于实际，解决方法切合于实际，模型和结果可以应用于实际。6.即时性：国内外的大事，社会的热点，生活的焦点，近期发生和即将发生被关注的问题。2024/6/413

从问题的实际意义分析

42个问题从实际意义分析大体上可分为：

工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等七个大类。工业类：电子通信、机械加工与制造、机械设计与

控制等行业,共有11个题，占27.5%。农业环境类：2个题，占5%。工程设计类:4个题，占7.5%。交通运输类：5个题，占12.5%经济管理类：7个题，占15%生物医学类：6个题，占15%社会事业类:

7个题，占17.5%有的问题属于交叉的，或者是边缘的。

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从问题的解决方法上分析

涉及到的数学建模方法：

几何理论、组合概率、统计(回归)分析;

优化方法（规划）、图论与网络优化、层次分析;

差分方法、微分方程、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策;

随机模拟、插值与拟合、灰色系统理论、神经网络、时间序列;

综合评价、机理分析等方法;2024/6/415

用的最多的方法是优化方法和概率统计的方法用到优化方法的共有26个题，占总数的75%，其中整数规划4个，线性规划7个，非线性规划14个,多目标规划6个。

用到概率统计方法的有21个题，占50%，平均每年至少有一个题目用到概率统计的方法。

用到图论与网络优化方法的问题有6个；用到层次分析方法的问题有３个；2024/6/416

用到插值拟合的问题有6个；

用到神经网络的4个；

用灰色系统理论的4个;

用到时间序列分析的至少2个;

用到综合评价方法的至少3个；

机理分析方法和随机模拟都多次用到;

其他的方法都至少用到一次。

大部分题目都可以用两种以上的方法来解决,即综合性较强的题目有26个，占81.3%。2024/6/417

PartD

数据处理与数据建模方法2024/6/41821世纪的社会是信息社会，其影响最终将要比十九世纪由农业社会转向工业社会更加深刻。“一个国家总的信息流的平均增长与工业潜力的平方成正比”。信息资源与自然资源和物质资源被称为人类生存与发展的三大资源。

数据处理与数据建模方法2024/6/419实际中大量信息或海量信息对应着大量的数据或海量数据，从这些数据中寻求所需要的问题答案--数据建模问题。通过实际对象过去或当前的相关信息，研究两个方面问题：（1）分析研究实际对象所处的状态和特征，依此做出评价和决策；（2）分析预测实际对象未来的变化状况和趋势，为科学决策提供依据。

数据处理与数据建模方法2024/6/420

数据处理与数据建模方法1.数据建模的一般问题

2.数据处理的一般方法

3.数据建模的综合评价方法4.数据建模的动态加权方法

５.数据建模的综合排序方法

６.数据建模的预测方法2024/6/421实际对象都客观存在着一些反映其特征的相关数据信息；如何综合利用这些数据信息对实际对象的现状做出综合评价，或预测未来的发展趋势，制定科学的决策方案？--数据建模的综合评价、综合排序、预测与决策等问题。

数据建模一般问题的提出：

一、数据建模的一般问题一般2024/6/422综合评价是科学、合理决策的前提。综合评价的基础是信息的综合利用。综合评价的过程是数据建模的过程。数据建模的基础是数据的标准化处理。

一、数据建模的一般问题如何构成一个综合评价问题呢？2024/6/423依据相关信息对实际对象所进行的客观、公正、合理的全面评价。如果把被评价对象视为系统，则问题：在若干个(同类)系统中，如何确定哪个系统的运行(或发展)状况好，哪个状况差？即哪个优，哪个劣？一类多属性(指标)的综合评价问题。综合评价：

一、数据建模的一般问题2024/6/424综合评价问题的五个要素

（1）被评价对象:被评价者，统称为评价系统。（2）评价指标：反映被评价对象的基本要素，一起构成评价指标体系。原则:系统性、科学性、可比性、可测性和独立性。

（3）权重系数：反映各指标之间影响程度大小的度量。

（4）综合评价模型：将评价指标与权重系数综合成一个整体指标的模型。（5）评价者：直接参与评价的人。2024/6/425综合评价过程的流程2024/6/426

二、数据处理的一般方法

1.数据类型的一致化处理方法

极大型:期望取值越大越好；

极小型:期望取值越小越好；

中间型:期望取值为适当的中间值最好;

区间型:期望取值落在某一个确定的区间内为最好。

什么是一致化处理?为什么要一致化?2024/6/427

二、数据处理的一般方法

1.数据类型的一致化处理方法

2024/6/428

二、数据处理的一般方法

1.数据类型的一致化处理方法

2024/6/429

2.数据指标的无量纲化处理方法

(3)功效系数法：

二、数据处理的一般方法(1)标准差法：(2)极值差法：2024/6/430

二、数据处理的一般方法

3.模糊指标的量化处理方法

在实际中，很多问题都涉及到定性，或模糊指标的定量处理问题。诸如:教学质量、科研水平、工作政绩、人员素质、各种满意度、信誉、态度、意识、观念、能力等因素有关的政治、社会、人文等领域的问题。

如何对有关问题给出定量分析呢？2024/6/431

按国家的评价标准,评价因素一般分为五个等级，如A，B，C，D，E。如何将其量化？若A-，B+，C-，D+等又如何合理量化？根据实际问题，构造模糊隶属函数的量化方法是一种可行有效的方法。

二、数据处理的一般方法

3.定性指标的量化处理方法

2024/6/432

假设有多个评价人对某项因素评价为A，B，C，D,E共5个等级:{v1

,v2

,v3

,v4,v5}。譬如：评价人对某事件“满意度”的评价可分为{很满意，满意，较满意，不太满意，很不满意}将其5个等级依次对应为5，4，3，2，1。这里为连续量化，取偏大型柯西分布和对数函数作为隶属函数：

二、数据处理的一般方法2024/6/433

二、数据处理的一般方法

3.定性指标的量化处理方法

2024/6/434

二、数据处理的一般方法

3.定性指标的量化处理方法

根据这个规律，对于任何一个评价值，都可给出一个合适的量化值。据实际情况可构造其他的隶属函数。如取偏大型正态分布。2024/6/435

模糊定性指标量化的应用案例（1）CUMCM2003-A,C:SARS的传播问题（2）CUMCM2004-D:公务员招聘问题；（3）CUMCM2005-B:DVD租赁问题；（4）CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题；（5）CUMCM2008-D:NBA赛程的分析与评价问题；（6）CUMCM2009-D:会议筹备问题。2024/6/436

三、数据建模的综合评价方法

适用条件:各评价指标之间相互独立。对不完全独立的情况，其结果将导致各指标间信息的重复，使评价结果不能客观地反映实际。

1.线性加权综合法主要特点：（1）各评价指标间作用得到线性补偿；（2）权重系数的对评价结果的影响明显。2024/6/437

2.非线性加权综合法

三、数据建模的综合评价方法主要特点：（1）突出了各指标值的一致性，即平衡评价指标值较小的指标影响的作用；（2）权重系数大小的影响不是特别明显，而对指标值的大小差异相对较敏感。2024/6/438

三、数据建模的综合评价方法

3.逼近理想点（TOPSIS）方法2024/6/439

三、数据建模的综合评价方法

3.逼近理想点（TOPSIS）方法2024/6/440返回

三、数据建模的综合评价方法

3.逼近理想点（TOPSIS）方法2024/6/441

综合评价方法的应用案例（1）CUMCM1993-B:足球队排名问题；（2）CUMCM2001-B:公交车调度问题；（3）CUMCM2002-B:彩票中的数学问题；（4）CUMCM2004-D:公务员招聘问题；（5）CUMCM2005-A:长江水质的评价和预测问题；（6）CUMCM2005-C:雨量预报方法评价问题；（7）CUMCM2006-B:艾滋病疗法评价与预测问题；（8）CUMCM2007-C:手机“套餐”优惠几何问题；（9）CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题；（10）CUMCM2008-D:NBA赛程的分析与评价问题；（11）CUMCM2009-D:会议筹备问题。2024/6/442

四、数据建模的动态加权综合方法

1.动态加权问题的一般提法

问题:如何对n个系统做出综合评价呢?2024/6/443

四、数据建模的动态加权方法

注意:

问题对于每一个属性而言，既有不同类别的差异，同类别的又有不同量值的差异。对于既有“质差”，又有“量差”的问题，合理有效的方法是动态加权综合评价方法。

1.动态加权问题的一般提法

2024/6/444

四、数据建模的动态加权方法2.动态加权函数的设定

2024/6/445

四、数据建模的动态加权方法2.动态加权函数的设定

2024/6/446返回

四、数据建模的动态加权方法2.动态加权函数的设定

2024/6/447

四、数据建模的动态加权方法3.动态加权的综合评价模型

2024/6/448

五、数据建模的综合排序方法

1.综合排序问题的一般提法

问题:如何给出n个系统的最终排序结果呢?2024/6/449

五、数据建模的综合排序方法

2.综合排序问题的方法

2024/6/450

动态加权与综合排序的应用案例动态加权的综合排序案例：（1）CUMCM2002-B:彩票中的数学问题；（2）CUMCM2005-A:长江水质的评价和预测问题；综合评价的排序案例：（1）CUMCM1993-B:足球队排名问题；（2）CUMCM2008-D:NBA赛程的分析与评价问题；（3）CUMCM2009-D:会议筹备问题。2024/6/451

六、数据建模的常用预测方法1.插值与拟合方法：小样本内部预测；应用案例：（1）CUMCM2001-A:血管的三维重建问题；（2）CUMCM2003-A,C:SARS的传播问题；（3）CUMCM2004-C:饮酒驾车问题；（4）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；（5）CUMCM2005-D:雨量预报方法的评价；（6）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测。2024/6/452

六、数据建模的常用预测方法2.回归模型方法：大样本的内部预测；应用案例：（1）CUMCM2004-A:奥运临时超市网点设计；（2）CUMCM2004-B:电力市场的输电阻塞管理；（3）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；（4）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测；（5）CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题。2024/6/453

六、数据建模的常用预测方法3.灰预测GM(1,1)：小样本的未来预测；（1）CUMCM2003-A:SARS的传播问题；（2）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；（3）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测；（4）CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题。4.时间序列方法：大样本的随机因素或周期特征的未来预测；（1）CUMCM2003-A:SARS的传播问题；（2）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；（3）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测。5.神经网络方法：大样的未来预测．2024/6/454

PartE怎样选题与写数学模型论文

数学模型不同于其他学科，建立数学模型没有固定的模式，通常它与实际问题的性质、建模的目的等有关。数学建模的过程是一种创造性思维的过程，对于实际工作者来说，除了需要具有想象力、洞察力、判断力这些属于形象思维、逻辑思维范畴的能力外，直觉和灵感往往不可忽视，这就是人们对新事物的敏锐的领悟、理解、推理和判断。它要求人们具有丰富的知识，实惯用不同的思维方式对问题进行艰苦探索和反复思考。这种能力的培养要依靠长期的积累。2024/6/455

1.选题：赛题一般有两道，我们可以从中任选一道，这就面临选哪道题合适的问题。因此，首先必要弄清题目的意义。数学建模的题目有时很长，有时很复杂。不易弄懂它的意义，一般要用几个钟头的时间才能弄清楚它的含义。因此我们要求：(1).深刻理解题意(2).弄清题目的实际背景(3).尽可能多的查找相关材料(知网与百度)(4).正确选择题目，根据自身的特长和优势作出决定。要注意不要被题目的繁长的叙述吓住。

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2.问题的分析：当选定题目后，接下来就应该是对题目进行进一步的分析。下面的几项工作是必需要做的：(1).在弄清问题的背景下，说清事情的来龙去脉。(2).列出必要的数据，题目所给的数据往往是不够的，还要寻找题目以外的数据。(3).列出和题目相关的各种条件和变量，分清各变量之间的主从关系。(4).给出研究对象的关键信息内容。2024/6/457

3.问题的假设：在分析问题的基础上，提出合理的假设模型是在假设的前提下建立起来的。对情景的说明不可能也不必要提供问题的每一个细节。由题目所提供的假设来建立数学模型还是不够的，还要补充一些假设。假设是建立数学模型很关键的一步，关系到模型的成败和优劣。所以应该仔细地分析实际问题，从大量的变量中筛选出最能表现问题本质的变量，并简化它们的关系。这部分内容就应该在论文的问题的假设部分中体现。由于假设不是实际问题直接提供的，它因人而异，所以，在撰写这部分内容时要注意以下几个方面：

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(1).论文中的假设要以严格、确切的数学语言来表达，使读者不致产生任何曲解。(2).所提出的假设确实是建立数学模型所必需的，与建立数学模型无关的假设只会扰乱读者的思考(3)假设应该是合理的；怎样的假设才是合理的呢？A、假设应合乎生活常识。B、假设不能与已知的科学定律相悖。C、假设必需是对建模有用的。D、尽量使用数学的语言。E、假设不要超出题目要求的范围。2024/6/459

4.模型的建立

在假设的基础上下一步当然就是模型的建立。在建立模型之前要引变量及其记号。每个字母所表达的确切含义。经过抽象，确切表达各变量之间的关系，用一定的数学方法，建立起方程式或归纳为其它形式的数学关系式，如图形、表格等。在建模过程中要注意以下几个问题：(1).要用分析和论证的方法，让读者清楚地了解到建模的过程。(2).上下文之间切忌逻辑推理过程中跃度过大，影响论文的说服力。2024/6/460

(3).需要推理和论证的地方，应该有推导过程且应该力求严谨。引用现成定理时，要先验证满足定理的条件。论文中用到的各种数学符号，必须在第一次出现时加以说明。用数学模型解决现实问题，还应当注意两方面的情况一方面，对于不同的实际问题，通常会使用不同的数学模型。但是，有的时候，同一数学模型，往往可以用来解释表面上看来毫不相关的实际问题。另一方面，对于同一实际问题要求不同，则构建的数学模型可能完全不同。2024/6/461

5.模型的求解

把实际问题归结为一定的数学问题后，就要求解或进行分析，数学模型的求解多数是数值求解。在求解时应对计算方法有所说明。