天津2023-2024学年高考临考冲刺数学试卷含解析

天津实验中学2023-2024学年高考临考冲刺数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量：=(0,2),人=(24,x),且。与人的夹角为则x=()

A.-2B.2C.1D.-1

2.已知a=(cosa,sine),Z?=(cos(-a),sin(—a)),那么是a=左"+彳(keZ)的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.一个四棱锥的三视图如图所示(其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图)，则这个四棱锥中最最长棱的长度是

().

(俯视图)

A.2瓜B.4C.2A/3D.272

4.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形

ABC的斜边8C,直角边已知以直角边为直径的半圆的面积之比为上，记=则sin2cr=

4

()

BC

3兀Fl

5.已知单位向量Q,b的夹角为工，若向量冽=2〃，〃=4。—&?，且根JL〃，则，|二（）

A.2B.2C.4D.6

6.等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若％=3,$5=35,则数列｛q｝的公差为（）

A.-2B.2C.4D.7

7.把函数y=sin（x+J）图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移g个单位，那么所

63

得图象的一个对称中心为（）

A.（1,0）B.（^,0）C.（^,0）D.（0,0）

8.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单

位去年的水费开支占总开支的百分比为（）

9.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1,则该几何体的体积是（）

A.16H----71B.16H---71C.-----1---71D・-----1----71

333333

22

10.已知双曲线C:与-土=l（a>0）的一个焦点与抛物线必=8y的焦点重合，则双曲线c的离心率为（）

a3

A.2B.73C.3D.4

11.执行如下的程序框图，则输出的S是（）

/修出s/

I

I结束I

A.36B.45

C.-36D.-45

12.波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥

曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k>

0,且kWD的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆三+工=1(a>b>0),A,B为椭圆的长

IMAI

轴端点，c,D为椭圆的短轴端点，动点M满足匕哥=2,△MAB面积的最大值为8,△MCD面积的最小值为1,

|MB|

则椭圆的离心率为（）

AV2R6c叵D

3322

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.平行四边形ABC。中，ZBAD=60°,AB=A,AD=2,£为边CD上一点（不C、。与重合），将平行四边形

ABCD沿延折起，使五点AB,。,。,E均在一个球面上，当四棱锥C-ABED体积最大时，球的表面积为.

14.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A4GA中，点E、尸分别是棱AA，AM的中点，尸是侧面正方形5CCA

内一点（含边界），若EP//平面近，则线段AP长度的取值范围是.

D,£

r2y2

15.已知双曲线f=l(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,则该双曲线的离心率为

a'b2

16.已知函数y=/(可为R上的奇函数，满足/'(x)>—2.则不等式“X—1)<£(3—21n£)+3(l—2”的解集为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，三棱台ABC—£FG的底面是正三角形，平面ABC,平面BCGb,CB=2GF,BF=CF.

(1)求证：AB±CG；

(2)若BC=CF,求直线AE与平面BEG所成角的正弦值.

18.(12分)已知函数g(x)=lnx-/nr-l.

(1)讨论g(x)的单调性;

(2)若函数/(x)=xg(x)在(0,+oo)上存在两个极值点看，x2,且王<%,证明In%+111尤2>2.

“2+立

2

19.(12分)在直角坐标系“Oy中，直线/的参数方程为厂(，为参数).以原点。为极点，X轴正半轴为极

与

2

轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为夕2=6夕(cos。+sin，)-14.

(1)写出圆C的直角坐标方程；

(2)设直线/与圆C交于A,5两点，P(2,0),求|/四|2+|产例2的值.

20.(12分)如图，四棱锥尸-ABCD中，底面A3CD是菱形，对角线AC,交于点为棱。。的中点,

MA=MC.求证:

(1)P5//平面AMC；

(2)平面。5£>_L平面AMC.

21.(12分)改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断

加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取

男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示在80分以上为交通安全意识强.

(1)求。的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率;

(2)已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1,完成下列2x2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性

别有关;

安全意识强安全意识不强合计

男性

女性

合计

(3)用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人，再从6人中随机选取2人对未来一年内的交通违章情况

进行跟踪调查，求至少有1人得分低于40分的概率.

n(ad-be)"

附：K2=其中〃=a+〃+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0100.0050.001

k6.6357.87910.828

22.(10分)设椭圆。:上+9=1的右焦点为尸，过产的直线/与C交于A,3两点，点"的坐标为(2,0).

(1)当直线/的倾斜角为45。时，求线段的中点的横坐标；

(2)设点A关于x轴的对称点为C,求证：M,B,C三点共线；

(3)设过点M的直线交椭圆于G,"两点，若椭圆上存在点P,使得OG+OH=/IO尸(其中。为坐标原点)，求实数

力的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

7ia-b

由题意COS、=E，代入解方程即可得解.

3\a\\b\

【详解】

7ia-b2x1

由题意8丁明=RT5，

所以尤＞0,且2x=+12，解得x=2.

故选：B.

【点睛】

本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.

2、B

【解析】

由4.6=0,可得cos2a=0,解出即可判断出结论.

【详解】

1

解:因为a=(cosa,sina),/?=(cos(-a),sin(一。))且〃•》=()

cosa・cos(—a)+sina・sin(—a)=cos2a-sin2a=cos2cr=0.

:.2a=2kjt土一,解得cr=(左eZ).

24

rr

a.6=0是々=左〃+—(左eZ)的必要不充分条件.

4

故选：B.

【点睛】

本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

3、A

【解析】

作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.

【详解】

根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且AO=A3=2,BC=4,

上4,平面ABC。，且PA=2,

•*-PB=A/22+22=272>PD=V22+22=272»CD=20，PC=y/p^+AC2=74+20=276»

.•.这个四棱锥中最长棱的长度是2布.

故选A.

【点睛】

本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题.

4、D

【解析】

i

由半圆面积之比，可求出两个直角边AB,AC的长度之比，从而可知tana=——=-,结合同角三角函数的基本关

AB2

系，即可求出sin。,cos。，由二倍角公式即可求出sin2a.

【详解】

解：由题意知,以AB为直径的半圆面积Sj,

以AC为直径的半圆面积］，则*=需=；，刖AC1

即tana-----

AB2

,V5

sin2a+cos2a=1sina=——厂厂

5,所以sin2。=2sinacosa=2x—x=—

由，sine1，得<

tana=------=—2V5555

、cosa2cosa=-----

故选:D.

【点睛】

本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.

5、C

【解析】

r

根据加，〃列方程，由此求得力的值，进而求得〃

【详解】

由于加_L〃，所以加•〃=()，即

2a（4a一4b）=.人=8一24•cos予=8+^22=0,

o

解得彳=_&=_40.

所以〃=4a+4y/2b

所以

W=44a+4再『="16/+320,a-b+32b'=.8+320cos?=J48—32=4.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题.

6、B

【解析】

在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得。3，再由等差数列通项公式求得公差.

【详解】

在等差数列｛«„｝的前n项和为Sn,贝!]S5==5/=35n%=7

贝!|%=q+2d=3+2d=7=>d=2

故选：B

【点睛】

本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题.

7、D

【解析】

试题分析：把函数y=Sin(x+-)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得y=sin(4x+£)的图象;

626

TT\7L7L1

再将图象向右平移£个单位，可得y=sin[—(x-—)+—]=sin—x的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0),

32362

故选D.

考点：三角函数的图象与性质.

8、A

【解析】

由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费

开支占总开支的百分比.

【详解】

250

水费开支占总开支的百分比为--------------x20%=6.25%.

250+450+100

故选：A

【点睛】

本题考查折线图与柱形图，属于基础题.

9、B

【解析】

该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为2,底面是高和底边均为4的等腰三角形，圆锥的高为4,

底面半径为2,则其体积为V=Lx4x4x2+L><L><7rx4><4,

223

8

=16+—7T.

3

故选B

点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正

视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.

10、A

【解析】

根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，由此可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得4+3=4,解

可得4=1,由离心率公式计算可得答案.

【详解】

根据题意，抛物线好=8〉的焦点为(0,2),

22

则双曲线与—土=1的焦点也为(0,2),即c=2,

〃3

则有储+3=4,解可得。=1,

双曲线的离心率0=工=2.

a

故选：A.

【点睛】

本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程，关键是求出抛物线焦点的坐标，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

11、A

【解析】

列出每一步算法循环，可得出输出结果S的值.

【详解】

i=lW8满足，执行第一次循环，S=0+(—l)，F=—1,,=1+1=2；

，=2W8成立，执行第二次循环，S=-1+(-1)2X22=3,Z=2+1=3；

i=3W8成立，执行第三次循环，S=3+(-1)3X32=-6,Z=3+1=4；

i=4W8成立，执行第四次循环，S=—6+(—if义42=10,z=4+l=5；

i=5W8成立，执行第五次循环，S=10+(-1)5X52=-15,Z=5+1=6；

i=6W8成立，执行第六次循环，S=-15+(-l)6x62=21,,=6+1=7；

i=7W8成立，执行第七次循环，S=21+(-1)7X72=-28,,=7+1=8；

i=8W8成立，执行第八次循环，S=-28+(-1)8X82=36,Z=8+1=9；

i=9W8不成立，跳出循环体，输出S的值为36,故选：A.

【点睛】

本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等

题.

12、D

【解析】

求得定点M的轨迹方程［%—阴］+/=l^^-x2ax-a=8,-x2bx-a=l,解得a,b即可.

3J92323

【详解】

\MA\

设A(-a,0),B(a,0),M(x,y).,动点M满足=3=2,

\MB\

则+=24…Ry=2,化简得(x_,)2+y2=等.

AMAB面积的最大值为8,△MCD面积的最小值为1,

「401〜1,解得a=#,b等

—x2ax—a=o,—x.2bx—a=l

2323

故选D.

【点睛】

本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

52Tl

13、——

3

【解析】

依题意可得A、B、E、。四点共圆，即可得到/3互＞=120°,从而得到三角形BCE为正三角形，利用余弦定理

可得AE,且AEJ_跖，要使四棱锥C-ABE。体积最大，当且仅当面面ABED时体积取得最大值，利用

正弦定理求出ABCE的外接圆的半径，再又可证面BCE,则外接球的半径R=+|与］，即可求出球的

表面积；

【详解】

解：依题意可得A、B、E、。四点共圆，

所以NBED+ZBAD=180°

因为440=60。，

所以N3ED=120°,ZBEC=60°»

所以三角形BCE为正三角形，则3E=5C=2,ZCBE=60°，ZABE=60°

利用余弦定理得AE=AB2+BE-2AB-BEcosZABE

即AB?=42+22—2X4X2COS60°，解得AE=2A/J,贝!lAEZ+BE?=AB2

所以A石，砥，

当面5CE上面ABE。时，L-ABEO取得最大，

22

所以她"的外接圆的半径r=2sin60°=G'

又面BCE上面ABED,AELBE，且面BCE面ABED=BE,AEu面ABEO

所以面BCE,

所以外接球的半径R=『+［竿］==后

1352

所以S=4万A?=4%又一=一"

33

52

故答案为：丁

C七八

【点睛】

本题考查多面体的外接球的相关计算，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.

14、浮^,20

【解析】

取4cl中点G,连结尸G,BG,推导出平面尸G3//平面AEC,从而点P在线段BG上运动，作于H,

由轰％尸A.B,能求出线段AJ长度的取值范围.

【详解】

取用G中点G,连结/G,BG,

在棱长为2的正方体ABCD—44GA中，点E、尸分别是棱4D、4用的中点，

:.AEHBG,AC//FG,

AE0AC=A,BG「FG=G,

二平面R3B//平面AEC,

P是侧面正方形BCCdi内一点（含边界），EP//平面AEC,

二点P在线段BG上运动，

在等腰AA%中，AG=BG=&+俨=退,48=四+22=2叵,

作A"，3G于“，由等面积法解得：

4所加2一曾220XG2屈,

"-----而-----=加==

.•.AH釉1P\B,

二线段AP长度的取值范围是［等，2近］.

故答案为：,2A/2］.

【点睛】

本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是

中档题.

15、好

2

【解析】

根据题意，由双曲线的渐近线方程可得,=],即。=2儿进而由双曲线的几何性质可得。=后两=6方，由双

曲线的离心率公式计算可得答案.

【详解】

根据题意，双曲线0—2=1(。＞0,6＞0)的渐近线方程为y=±/x,

又由该双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0,即y=

b1

则有———，BPa=2b

a2f

则c=yja2+b2=A/5b,

则该双曲线的离心率e=£=叵=@；

a2b2

故答案为：好.

2

【点睛】

本题考查双曲线的几何性质，关键是分析“、》之间的关系，属于基础题.

16、(0,1)

【解析】

构造函数g(x)=/(x-l)-x2(3-21nx)-3(l-2x),利用导数判断出函数y=g(x)的单调性，再将所求不等式变

形为g(力＜g⑴，利用函数y=g(尤)的单调性即可得解.

【详解】

■^g(x)=/(x-l)-x2(3-21nx)-3(l-2x),贝!|gr(x)=/r(x-l)+4xlnx-4x+6,

设/z(x)=4xlnx-4x+6,贝!!"(x)=41nx.

当Ovxvl时，此时函数丁=%(力单调递减；当x＞l时，〃(力＞0,此时函数丁="(同单调递增.

所以,函数y=/i(x)在1=1处取得极小值，也是最小值，即/z(x)1rli^^1)=2,

>-2,/z(x)>2,/.+>0,即，(x)>0,

所以，函数y=g(H在(0,+。)上为增函数，

函数y=/(x)为R上的奇函数，则/(0)=0，

g(l)=/(O)-3+3=O,则不等式1)<*(3—21nx)+3(l—21等价于g(x)<g(l),

又「光〉0,解得Ovxvl.

因此，不等式/(x-l)<x2(3-21nx)+3(l-2x)的解集为(0,1).

故答案为：(0,1).

【点睛】

本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键.综合

性较强.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)见证明；(II)也

4

【解析】

(I)取8C的中点为。，连结。歹，易证四边形甲G为平行四边形，即CG//D产，由于砥=b,。为的

中点，可得到从而得到CGL3C,即可证明CGL平面ABC,从而得到CG,AB；(II)易证。8,DF,

DA两两垂直，以DB,DF,ZM分别为x,V,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,求出平面BEG的

I——r—7,即可得到答案.

ki-H

【详解】

解：(I)取8C的中点为。，连结。咒.

由ABC—£FG是三棱台得，平面ABC//平面EFG,从而BC//FG.

'：CB=2GF,：.CD/jpF,

二四边形CD厂G为平行四边形，CG//DF.

'：BF=CF,。为的中点，

ADFVBC,/.CGLBC.

•.•平面ABC,平面BCGb,且交线为BC,CGu平面BCGF,

CGL平面ABC,而ABi平面ABC,

.'.CG±AB.

（II）连结AD.

由AABC是正三角形，且。为中点，则ADL5C.

由（I）知，CG，平面ABC,CG//DF,

:•DFLAD，DFLBC,

:.DB,DF,ZM两两垂直.

以DB,DF,94分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z.

设BC=2,则A（O,O,e）,E一；‘疯刍’网1,0,0）,G（-l,A0）,

设平面BEG的一个法向量为〃=（羽％z）.

-lx+#>y=0

令x=W>,则y=2,z=-1,•••〃=(6,2,-1).

AEn_巫

设AE与平面BEG所成角为。，则sin。=|cos(AE,n)\=

\AE\-\n\~4

本题考查了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考查了学生的逻辑推理能力与计算求

解能力，属于中档题.

工,+8上单调递减（2）

18、（1）若mK0,则g（x）在定义域内递增；若加＞0,则g（x）在上单调递增，在

m/

证明见解析

【解析】

1—rrix

(1)g'(x)=-----，分根KO,切>0讨论即可；

x

小InxInxInx+InxInx-InxInx,-Inx2/、

(2)由题可得到2〃z=—L=-9-=—!-----9-=—!-----9%故只需证一!-----9->------，(不<x,),即

玉x2玉+x2%一x2xr-X2xi+x2\/

五一1

ln%<2•三一,采用换元法，转化为函数的最值问题来处理.

々工+1

%

【详解】

」「八,/、1-rwc

由已知，g(x)=-----,

X

若根V0,则g(%)在定义域内递增；

若机>0,则g(x)在]。,工]上单调递增，在上单调递减.

mJ\m)

(2)由题意/(%)=犬In九一小犬2—%，%>0

对f(%)求导可得f(x)=In%-2mx,x>0

从而X],%2是/‘(X)的两个变号零点，因此

In%1_Inx_Inx+lnx_In玉一Inx

乙YYl——2—x2—2

xix2%]+x2Xj-x2

Inx-Inx2/、

下证：一!------9>-------,(玉</)

X1-X2%+%2

工-1

即证In2<2•土一

总工+1

x2

令,=--9即证：h(j)=(Z+1)InZ—2z+2,tG(0,1)

x2

i/_i

对力(。求导可得"Q)=ln%+——1,re(0,1),=因为0<£<l

tt

故/z'«)<0,所以/z⑺在OU)上单调递减，而"(1)=0,从而/z«)>0

所以〃(。在(0,1)单调递增，所以加力v/z(l)=O,即g)<0

于是InXj+Inx2>2

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式，考查学生逻辑推理能力、转化与化归能力，是一道有一定难度

的压轴题.

19、(1)(x-3)2+0-3)2=4；(2)20

【解析】

(1)利用x=/7cose,y=0sine即可得到答案;

(2)利用直线参数方程的几何意义，|/训2+|尸砰=片+片=(。+02—2串2.

【详解】

解：(1)由夕2=6夕(cos6+sin。)-14,得圆C的直角坐标方程为

x2+y2=6x+6y-14,即(x-3)2+(y-3)2=4.

(2)将直线I的参数方程代入圆C的直角坐标方程，

得小—1)2+(争—3)2=4,

即产-4亚+6=0,设两交点A，5所对应的参数分别为小t2,

从而tY+t2=4JI,邛2=6

贝！I+归同2=£；+[=&+，2『一2柱=32-12=20.

【点睛】

本题考查了极坐标方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义等知识，考查学生的计算能力，是一道容易题.

20、(1)详见解析；(2)详见解析.

【解析】

⑴连结OM、根据中位线的性质证明PB//OM即可.

(2)证明4。，3£),4。，尸。再证明4。，平面尸瓦)即可.

【详解】

解：(1)证明：连结OM,

p

。是菱形ABC。对角线AC、BD的交点,

二。为瓦）的中点，

加是棱PD的中点，

OMu平面AMC,PB（X平面AMC,

.•.尸3//平面人”。，

（2）解：在菱形ABC。中,AC,加,且。为AC的中点，

MA^MC,

:.AC±OM,

OMcBD^O,

.•.4。，平面必。，

ACu平面AMC,

平面PBD_L平面AMC.

【点睛】

本题主要考查了线面平行与垂直的判定,属于基础题.

3

21、（1）a=0.016,概率为0.2；（2）列联表详见解析，有99.5%的把握认为交通安全意识与性别有关；（3）丁

【解析】

（1）根据频率和为1列方程求得。的值，计算得分在80分以上的频率即可；

（2）根据题意填写列联表，计算K?的值，对照临界值得出结论；

（3）用分层抽样法求得抽取各分数段人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值.

【详解】

解：（1）10（0.004x2+0.008+a+0.02x2+0.028）=1

解得a—0.016.

所以，该城市驾驶员交通安全意识强的概率P=0.16+0.04=0.2

（2）根据题意可知，安全意识强的人数有100x0.2=20,

4

其中男性为20x——=16人，女性为4人，

4+1

填写列联表如下：

安全意

安全意识不强合计

识强

男性163450

女性44650

合计2080100

(16x46-4x34)xlOO

K1=-----------------1--------=9>7,879

20x80x50x50

所以有99.5%的把握认为交通安全意识与性别有关.

（3）由题意可知分数在（30,40］,（40,50］的分别为4名和8名，

所以分层抽取的人数分别为2名和4名，

设（30,40］的为A，4,（40,50］的为用，B2,B3,4,则基本事件空间为（&4）,（4,耳），（&与），（&四）,

（再）,（，与），（，），（）（耳四），（，骂），（为氏），（现居）,

（A,BJ,4444A,B4,4（B2,B4）,（B3,B4）

共15种，

设至少有1人得分低于40分的事件为A,则事件A包含的基本事件有

（A，4），（A，瓦）,（4闻，（AW），（4，四），（4,4），（4,男），（4，区）,（&,凡）共9种

93

所以于（力=话=亍

【点睛】

本题考查独立性检验应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，属于中档题.

2

22、（1）48的中点的横坐标为§；（2）证明见解析；（3）（-2,2）

【解析】

设4%,%）,3（尤2，为）・