2024届上海市浦东新区2024届高三二模数学试卷含答案

浦东新区2023学年度第二学期期中教学质量检测

高三数学试卷

考生注意：1.本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟;

2.请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分.

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个

空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.

1.已知集合=={0,1,2},集合八卜忖＞3卜则403=.

2.若复数z=l+2i（i是虚数单位），则z•亍一z=.

3已知等差数列{〃〃}满足％+牝=12,&=7,则。3=-

义卜一+工）的二项展开式中一项的系数为.（用数值回答）

5已知随机变量X服从正态分布N（95,4）,若尸（75VI15）=0.4,则尸（X＞115）=.

6已知y=是奇函数，当X20时，/（x）=£,则/，展］的值是.

7.某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类选修课的选修人数之比为

6：3：1,考核优秀率分别为20%、16%和12%,现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是

优秀的概率为.

8.已知圆G:/+夕2一2"+/一1=0（。〉0）,圆。2：/+/一4y—5=0,若两圆相交，则实数。的取值范

围为.

9已知/（x）=2I+x,则不等式/（|2x-3|）＜3的解集为.

10.如图，有一底面半径为1,高为3的圆柱.光源点/沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截

面的中心.当光源点/沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过珀勺面积为.

11.已知双曲线捺-r=1（。＞0,6＞0）的焦点分别为片、F2,“为双曲线上一点，若/月可工=，，OM=号人

则双曲线的离心率为.

12.正三棱锥S-48c中，底面边长48=2,侧棱/S=3,向量房族满足"•仅+就）="・方，V0+就）=

则.-q的最大值为.

二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上,

将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.

13."0=1''是"直线姓一2/一2=0与直线%—(a+1)〉+1=0平行”的().

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件

14.已知aeR,则下列结论不恒成立的是().

A.o(l-o)<-B.a+->2(1卜-1|+|。+2|23D.sina+--—>0

4a2+sin。

15.通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格(单位：百元)与该商品消费者年需求量(单位：千

克)的散点图.若去掉图中右下方的点N后，下列说法正确的是().

A.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关

B.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变

C.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大

D.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小消费者年需求量与商品每千克价格的散点图

mn

16.^/o(x)=amx+am_xx'^+---+aAx+a0(am0,m>1ftmeZ),记，(x)=«(x)(〃=1,2,…，加一1),令

有穷数列bn为工(x)零点的个数(〃=1,2,…，加-1),则有以下两个结论：

①存在7o(x)，使得“为常数列；

②存在人卜)，使得〃为公差不为零的等差数列•

那么().

A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①②都正确D.①②都错误

三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的

步骤.

17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知函数y=〃x),其中/(x)=sinx.

(1)求/，一；]=等在xe[0,可上的解；

(2)已知g(x)=6/(x)/1x+51/(x)/(x+7r),若关于x的方程g(x)—加=(在xe0,|时有解，

求实数机的取值范围.

18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

在四棱锥P—48co中，底面48CD为等腰梯形，平面尸7。，底面48CD,其中/Z>〃8C,

AD=2BC=4,AB=3、PA=PD=26点E为尸。中点.

(1)证明：EC〃平面尸4B；

(2)求二面角P—N8—。的大小.

(第18题图)

19.(本题满分14分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.

某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下：[0,200),[200,400),[400,600),

[1000,1200](单位：元)，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800元；

(2)若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一

步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少；

(3)为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案.

方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；

方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为L且每次抽奖互不影响.中奖1次当天

3

消费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3折.

若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并说

明理由.

20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

己知椭圆点£、用分别为椭圆的左、右焦点.

(1)若椭圆上点尸满足根，片与，求|「片|的值；

(2)点/为椭圆的右顶点，定点T&0)在x轴上，若点S为椭圆上一动点，当|ST|取得最小值时点S恰与点/

重合，求实数f的取值范围；

(3)已知加为常数，过点鸟且法向量为(1,-加)的直线/交椭圆于M、N两点,若椭圆C上存在点A满足

OR=AOM+juON(%〃eR),求〃/的最大值.

21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

己知函数y=/(x)及其导函数y=/'(x)的定义域均为D设曲线丁=/(%)在点(x°J(x。))处的

切线交X轴于点(七,0).当〃21时，设曲线y=/(x)在点(X",/(%))处的切线交X轴于点(％+1，0).依此类推,

称得到的数列｛怎｝为函数y=/(x)关于/的“N数列”.

(1)若/(x)=lnx,｛%｝是函数y=/(x)关于的“N数列”，求玉的值；

e

x+2

(2)若/(x)=/—4,｛%｝是函数y=/(x)关于/=3的“N数列”，记%=唾3」—，证明：｛%｝是等

x“一2

比数列，并求出其公比；

(3)若/(x)=」z，则对任意给定的非零实数。，是否存在与00,使得函数y=/(x)关于飞的“N数

I

列”｛%｝为周期数列？若存在，求出所有满足条件的后；若不存在，请说明理由.

浦东新区2023学年度第二学期期中教学质量检测

高三数学试卷

考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；

2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分.

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个

空格填对得4分，772题每个空格填对得5分，否则一律得零分.

1.已知集合/=｛0,1,2｝,集合5=｛同2£〉3卜则2口5=.

【答案】：⑶

2.若复数2=l+2i（i是虚数单位），则z・亍—z=.

【答案】：4-2i

3.已知等差数列｛a“｝满足%+4=12,%=7，则的=-

【答案】：5

4.[3X2+：J的二项展开式中/项的系数为.（用数值回答）

【答案】：270

5.已知随机变量X服从正态分布N（95,b2）,若尸（75<X<115）=0.4,则P（X〉115）=

【答案】：0.3

6.已知y=/（x）是奇函数，当x20时，/（x）=X：,则/（一卷]的值是---------

【答案】：4

-25

7.某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课,每人限选一门.已知这三门体育类选修课的选修人数之比为

6:3:1,考核优秀率分别为20%、16%和12%,现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩

是优秀的概率为.

【答案】:0.18

8.已知圆q:+y~—2ax+a~—1=0（a〉0）,

数。的取值范围为.

【答案】：（0,26）

（第10题图）

9.已知/（x）=2V+x，则不等式/（|2x-3|）＜3的解集为

【答案】：（1,2）

10.如图，有一底面半径为1，高为3的圆柱.光源点Z沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截

面的中心.当光源点Z沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为.

【答案】：叵兀

2

220

11.已知双曲线0—2=1伍〉08〉0）的焦点分别为片、F],M为双曲线上一点，若N片儿利=-：，

OM=9b，则双曲线的离心率为.

3

【答案】：旦

2

12.正三棱锥S—45C中，底面边长48=2,侧棱ZS=3,向量Z，B满足Z•（2+%）=Z.花，

b-（b+AC）=b-AS,贝！I«一囚的最大值为.

【答案】：4

二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上,

将代表答案的小方格涂黑，1374题每题选对得4分，1576题每题选对得5分，否则一律得零分.

13.“。=1”是“直线ax—2y—2=0与直线x—(a+l)y+l=0平行”的().

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件。既非充分又非必要条件

【答案】：C

14.已知aeR,则下列结论不恒成立的是（）.

A.a(l-«)<—B.a+—>2C.|«-1|+|«+2|>3D.sina+------->0

4a2+sina

【答案】：B

15.通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位:百元）与该商品消费者年需求量（单位:

千克）的散点图.若去掉图中右下方的点幺后，下列说法正确的是（）.

4"每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关

A“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变

C“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大

D.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小

15RS)

【答案】：D

16.设/0(%)=%,廿+%TX'"T+---+«1x+«0(<7„i^0,m>10,meZ),记<(x)=f(x)(〃=1,2,…,%-1),

令有穷数列bn为fn(x)零点的个数(〃=1,2,…吁1),则有以下两个结论：

①存在7o(x)，使得4为常数列；

②存在_/o(x),使得〃为公差不为零的等差数列.

那么().

4①正确，②错误A①错误，②正确C.①②都正确。①②都错误

【答案】：C

三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的

步骤.

17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知函数了=/(x),其中/(x)=sinx.

(2)已知g(x)=G/(x)(x+?-〃x)〃x+7i),若关于x的方程g(x)—掰=(在xe0,^时有解,

求实数7〃的取值范围.

【答案】：(1)至、—;(2)M,1

1212L2

【详解】：(1)由题，原式等价于求sin,:-?]=告在xe[0,句上的解.

从而有717或71/In，解得77或UTT

x...-2kjcH—x----2k兀H———R£x-ikn+——x=+---EZ

43431212

又所以》=卷或x=

所以/口―：]=等在xe[0,可上的解为77rUTT

II、~12,

(2)由题，g(x)=V3sinxsinx+--sinxsin(x+兀)

si•nxcosx+si•n2x

=^sin2x+l-cos2x

22

1

=sin〔2x_《+—

2

1兀

故g(x)-机=5在xe0,—时有解

71

等价于加=sin12x-）在x£0,-时有解.

2

一,八兀兀5兀1

可知21一€-,,因而sin|2x——/J

6662

所以，实数机的取值范围是-!」

2

18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

在四棱锥P-4BCD中，底面48CD为等腰梯形，平面尸4D，底面48CD,其中AD!IBC，

AD=2BC=4,AB=3,PA=PD=26,点E为PD中点.

(1)证明：EC//平面P4B；

(2)求二面角尸一的大小.

【答案】：⑴证明见详解；⑵arccos卷而./

【详解】：解法1：(1)证明：取P4中点尸，连接\

在△上4。中，点£为尸。的中点、点厂为尸”的中点，

(第18题图)

所以EE〃4D，EF^-AD.

2

又BC〃AD,BC='AD.

2

因此斯〃8C,EF=BC.

所以，四边形8c即为平行四边形.F

得EC〃必，又必u平面P48,而EC在平面尸4B外，//

所以，EC〃平面X48.

取/。中点〃，过作尸垂足为连接〃电

(2)PGL/8,G,GC

由题，PA=PD=26,〃为40的中点，所以尸

又平面PAD±底面ABCD,

平面PADA平面ABCD=AD,且PHu平面PAD,

因而PH，平面Z8CD,故PH1GH.

又PG：LAB,故48J_平面PG/f.

得ASLG/Z.又PG，A8,

所ZPGH就是二面角P-AB-D的平面角.

经计算，在^PAD中，PH=2A/2；

在中,BH=AB=3,AH=2,=-x2x272=2A/2

114/~

又心期=5x/5xG〃=5x3xGH,得GH=：2.

PH3

因而，在△PGH中,tanZPGH=——二一

GH2

八3

所以二面角P-AB-D的大小arctan—.

2

解法2：（1）取40中点O,

因为PA=PD=2后,。为40中点，所以尸。，40.

又平面PAD1底面ABCD,

平面尸40口平面48cz>=4D,POu平面P40,

所以「。，平面48c‘D.

取3c中点显然，OM1OD.

如图，以点。为坐标原点，分别以射线OM、OD、。尸为x轴、V轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.

由题意得，E（O,1,旬、C（2A/2,1,0）,故沅=（2板,0,—亚）.

又尸（0,0,2&）、/（0,-2,0）、5（2V2,-l,0）,

故方=（0,2,2虎），割=（2亚,1,0）.

2v+2A/2W=0

设平面尸48的法向量〃=（比,”"），则有<

2A/2U+v=0

不妨取"=1,贝丹=-2后，s=2,即）=（1,一2c,2卜

经计算得/沅=0，故1_L反，

又EC在平面P4B外，所以EC〃平面以8.

（2）由题（1）知，平面尸48的法向量*=（1,一2e,2）,平面48CD的法向量胃=（0,0,1）,

•%—22V13

从而cosg,%

丽二小13

2_

因此，二面角P-/8—。的大小为arccos二；而'.

19.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.

某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下：［0,200）,［200,400）,［400,600）,…,

［1000,1200］（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.

（1）若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800元；

（2）若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一

步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少；

（3）为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案.

方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；

方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为,，且每次抽奖互不影响.中奖1次当天消

3

费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3折.

若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并说

明理由.

【答案】：（1）405人；（2）3；（3）选择第二种促销方，理由见详解.

5

【详解】：（1）我们利用通过抽样获得的100名客户的样本信息来估计总体的分布情况可得：3人-

1350x—=405

10

（2）当日消费金额在［800,1000）和［1000,1200］（单位：元）的人数所占比例为0.00100：0.00050=2:1,

所以抽取的6人中有2人消费金额在［1000,1200］（单位：元），有4人消费金额在［800,1000）（单位：元）.

3

记“抽到的2人中至少1人消费额不少于1000元”为事件A，则尸（/）=

5

3

所以抽到的2人中至少1人消费金额不少于1000元的概率为:

（3）若选方案一，只需付款1000-50x3=850元；

若选方案二，设付款金额为X元，则X可分别取300、600、900、1000元，其中

0

P（X=300）=C：］「；1I=27

P（X=600）q「；I",

2

P(X=900)=C；［TI

3

P(X=1000)=C“_；।=27

i24Q

所以£(X)=300x27+600x§+900x9+1000x2840.7元,

因为850>840.7，

所以应选择第二种促销方案.

20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

2,

已知椭圆C:x^+/=1,点片、耳分别为椭圆的左、右焦点.

（1）若椭圆上点尸满足因，大鸟，求|尸片|的值;

⑵点/为椭圆的右顶点，定点T&0）在x轴上，若点S为椭圆上一动点，当|ST|取得最小值时点S恰与点A

重合，求实数f的取值范围;

（3）已知加为常数，过点8且法向量为（1,-加）的直线/交椭圆于M、N两点，若椭圆。上存在点H满足

OR=WM+/dON,求的最大值.

【答案】：（1）巫;（2）6)

亏,+℃;

2

/

16

【详解】：（1）由题得，6（1,0），设点P（l/p）,代入椭圆方程，得城=5,因而「£|二学•

由卢耳|+卢鸟|=2后，得归周=孚.

?，21

(2)设动点S(xj),则|ST|=(x-Z)2+y2=x2-2tx+t2+1--=---2tx+Z2+1=—(x-2z)2+1-Z2

由题，|ST|取得最小值时点S恰与点/重合，即函数y=g（x-2t）2+1-/在x=0处取得最小值,

又xe［—0,、历］,因而得壮三.

因此，实数/的取值范围为—,+oo.

[2J

（3）设N（X2，%）,R（x,y）

—>---.——.fx=Ax,+

由OR=2QW+〃ON#12,

J=为i+〃了2

又点尺在椭圆上，代入得（2%1+）2+2（%为+）2=2,

2

化简得％2（x：+2y：）+/j（%2+2y2）+2A/j（x1x2+2yty2）=2,

又点,M、N在椭圆上，得+2/?+2%〃（再了2+2%%）=2（*）.

由题，可设直线/:（x—1）—7町=0.

x=my+i/=/,、o

联列直线与椭圆方程，得V+2y=2'得（加+2）了+2冲-1=0.

-2m1

故%+为=

加2+2，%•%一加22

-2m1-2m2

因而xx+2yM=（加必+1）（叼2+1）+2yly2=（加之+2）—；+m-4-l=-5~-

x2m2+2m2+2m2+2

加2

代入(*)式，得2万+2〃2_4；加「一=2,

m+2

加2

因而分+〃2—一>22//,(等号当且仅当2=〃时成立)

m+2

加2+2

即”产(等号当且仅当4="时成立).

冽2+2

所以‘办的最大值为二

21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知函数V=/(x)及其导函数了=/'(x)的定义域均为D.设/e。，曲线丁=/(x)在点(%,/(%))处的

切线交x轴于点(占,0).当时，设曲线y=/(x)在点(%,/(%))处的切线交x轴于点(马+1,0).依此类推,

称得到的数列｛%｝为函数y=/(x)关于/的“N数列”.

⑴若/(x)=lnx,｛%｝是函数y=/(x)关于％=1的“N数列”，求国的值；

e

x+2

⑵若/(x)=/—4,｛%｝是函数y=/(x)关于%=3的“N数列”，记%=log3」^7,证明：｛与｝是

Xn~1

等比数列，并求出其公比；

(3)若/(x)=一3，则对任意给定的非零实数。，是否存在覆片0,使得函数y=/(x)关于％的“N数

a+x

列”｛%｝为周期数列？若存在，求出所有满足条件的X。；若不存在，请说明理由.

【答案】：(1)—；(2)证明见详解，公比为2;(3)当。<0时，不存在x。