2.5.1一元二次方程根与系数的关系

第1页（共26页）一元二次方程根与系数的关系1．（2016•曲靖一模）已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】先根据根与系数的关系得到α+β=3，αβ=﹣3，再通分得到=，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣3，所以===﹣1．故选A．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．2．（2015•衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3【考点】根与系数的关系．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．【解答】解：设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得﹣1+x1=﹣3，解得：x1=﹣2．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．3．（2015•金华）一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据根与系数的关系求解．【解答】解：x1•x2=﹣3．故选D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．4．（2015•广西）已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0【考点】根与系数的关系．【分析】根据以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2=0，列出方程进行判断即可．【解答】解：以x1，x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12=0，故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2=0是具体点关键．5．（2015•怀化）设x1，x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根，则x12+x22的值是（）A．19 B．25 C．31 D．30【考点】根与系数的关系．【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求得x1与x2的和与积，所求的代数式可以用两根的和与积表示出来，即可求解．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根，∴x1+x2=﹣5，x1x2=﹣3，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=25+6=31．故选：C．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．6．（2015•黔东南州）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22=（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=﹣3，再变形x12+x22得到（x1+x2）2﹣2x1•x2，然后利用代入计算即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根是x1、x2，∴x1+x2=2，x1•x2=﹣3，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=22﹣2×（﹣3）=10．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．7．（2015•枣庄）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，解得：m=﹣2，n=﹣8，∴m+n=﹣10，故选A．【点评】本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n是解此题的关键．8．（2015•南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】压轴题．【分析】①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出m2﹣2n≥0以及n2﹣2m≥0，进而得解；③可以采用根与系数关系进行解答，据此即可得解．【解答】解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0，y1+y2=﹣2n＜0，x1+x2=﹣2m＜0，这两个方程的根都为负根，①正确；②由根判别式有：△=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0，△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0，∵4m2﹣8n≥0，4n2﹣8m≥0，∴m2﹣2n≥0，n2﹣2m≥0，m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=m2﹣2n+n2﹣2m+2≥2，（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2，②正确；③由根与系数关系可得2m﹣2n=y1y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）﹣1，由y1、y2均为负整数，故（y1+1）•（y2+1）≥0，故2m﹣2n≥﹣1，同理可得：2n﹣2m=x1x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）﹣1，得2n﹣2m≥﹣1，即2m﹣2n≤1，故③正确．故选：D．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式，有一定的难度，注意总结．9．（2015•黄冈中学自主招生）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，则x1•x2=（）A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】利用根与系数的关系求出x1•x2=的值即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，∴x1x2==3，故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数的关系是解决问题的关键．10．（2015•黄冈中学自主招生）如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜2 B． C． D．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】根据方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则方程一定有两个实数根，即△≥0，关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根⇔（1）当方程有两个相等的正根，（2）当方程有两个不相等的根，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，②若方程有两个正根，结合二次方程的根的情况可求．【解答】解：∵△=a2﹣4（a2﹣3）=12﹣3a2（1）当方程有两个相等的正根时，△=0，此时a=±2，若a=2，此时方程x2﹣2x+1=0的根x=1符合条件，若a=﹣2，此时方程x2+2x+1=0的根x=﹣1不符舍去，（2）当方程有两个根时，△＞0可得﹣2＜a＜2，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a2﹣3≤0，解可得﹣≤a≤，而a=﹣时不合题意，舍去．所以﹣＜a≤符合条件，②若方程有两个正根，则，解可得a＞，综上可得，﹣＜a≤2．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用以及一元二次方程根的应用，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．11．（2015•永春县自主招生）已知3m2﹣2m﹣5=0，5n2+2n﹣3=0，其中m，n为实数，则|m﹣|=（）A．0 B． C． D．0或【考点】根与系数的关系．【分析】先分别解方程求m，n的值，再把m，n的值分别组合出不同的情形计算求解．【解答】解：由3m2﹣2m﹣5=0得m1=﹣1，m2=；由5n2+2n﹣3=0得n1=，n2=﹣1．=，①当m=﹣1，n=时，原式=；②当m=﹣1，n=﹣1时，原式=0；③当m=，n=时，原式=0；④当m=，n=﹣1时，原式=．综上所述，=0或．故答案为0或．【点评】此题因两个字母都取两个值，需讨论不同的取值组合情况，考查学生严谨的思维能力，难度中等．12．（2015•怀化校级自主招生）方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是（）A．﹣2012 B．0 C．2012 D．2013【考点】根与系数的关系．【专题】分类讨论．【分析】先根据绝对值的意义分类讨论：当x＞0时，原方程化为x2﹣2012x+2013=0；当x＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，然后根据根与系数的关系分别得到两个方程的两根之和，再求所有根之和．【解答】解：当x＞0时，原方程化为x2﹣2012x+2013=0，方程的两根之和为2012；当x＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，方程的两根之和为﹣2012，所以方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是0．故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．13．（2015•湖北校级自主招生）14．（2015•武汉模拟）已知x1，x2是方程的两根，则的值为（）A．3 B．5 C．7 D．【考点】根与系数的关系．【分析】首先，根据根与系数的关系求得x1+x2=，x1•x2=1；其次，对所求的代数式进行变形，变为含有两根之和、两根之积的形式的代数式；最后，代入求值即可．【解答】解：∵x1，x2是方程的两根，∴x1+x2=，x1•x2=1，∴=（x1+x2）2﹣2x1•x2=5﹣2=3．故选A．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．15．（2015•宝鸡校级模拟）若k＞1，关于x的方程2x2﹣（4k+1）x+2k2﹣1=0的根的情况是（）A．有一正根和一负根 B．有两个正根C．有两个负根 D．没有实数根【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】根据根的判别式与0的关系判断出根的情况，再根据根与系数的关系判断根的正负．【解答】解：方程的△=（4k+1）2﹣4×2（2k2﹣1）=8k+9，∵k＞1，∴△＞17，故方程有两不相等的实数根．∴x1+x2=＞2，x1x2=＞，所以两根为正根．故选B．【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、根与系数的关系为：x1+x2=，x1x2=．16．（2015•潍坊校级一模）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．0【考点】根与系数的关系．【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．【解答】解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．故选C．【点评】此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．17．（2015•芦溪县模拟）18．（2015•红河州一模）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1+x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考点】根与系数的关系．【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．【解答】解：∵方程x2﹣4x+1=0的两个根是x1，x2，∴x1+x2=﹣（﹣4）=4．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是﹣，两根之积是．19．（2015•西湖区一模）△ABC的一边长为5，另两边分别是方程x2﹣6x+m=0的两根，则m的取值范围是（）A．m＞ B．＜m≤9 C．≤m≤9 D．m≤【考点】根与系数的关系；三角形三边关系．【专题】计算题．【分析】设三角形另两边分别为a、b（a≥b），先利用判别式的意义得到m≤9，根据根与系数的关系得到a+b=6，ab=m，由于a＜b+5，则利用完全平方公式变形得到（a﹣b）2＜25，所以（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，解得m＞，于是可得到m的取值范围是＜m≤9．【解答】解：设三角形另两边分别为a、b（a≥b），根据题意得△=（﹣6）2﹣4m≥0，解得m≤9，a+b=6，ab=m，∵a＜b+5，即a﹣b＜5，∴（a﹣b）2＜25，∴（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，∴m＞，∴m的取值范围是＜m≤9．故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了三角形三边的关系．20．（2015•峨边县模拟）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则x12+x22的最大值是（）A．19 B．18 C．15 D．13【考点】根与系数的关系；二次函数的最值．【分析】根据x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+（k2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．【解答】解：由方程有实根，得△≥0，即（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0所以3k2+16k+16≤0，所以（3k+4）（k+4）≤0解得﹣4≤k≤﹣．又由x1+x2=k﹣2，x1•x2=k2+3k+5，得x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣（k+5）2，当k=﹣4时，x12+x22取最大值18．故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△≥0先求出k的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．21．（2015•遵义模拟）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=﹣1，那么p，q的值分别是（）A．1，﹣2 B．﹣1，﹣2 C．﹣1.2 D．1，2【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据根与系数的关系得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，然后解方程即可．【解答】解：根据题意得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，所以p=﹣1，q=﹣2．故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．22．（2015•宜昌模拟）设方程x2﹣5x﹣1=0的两个根是x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣4 D．4【考点】根与系数的关系．【分析】先利用根与系数的关系式求得x1+x2=5，x1x2=﹣1，再整体代入即可求解．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣5x﹣1=0的两个根∴x1+x2=5，x1x2=﹣1∴x1+x2﹣x1x2=5+1=6．故选B．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式是解题的关键．23．（2015•泗洪县校级模拟）设a，b是方程x2﹣x﹣2013=0的两个实数根，则a2+2a+3b﹣2的值为（）A．2011 B．2012 C．2013 D．2014【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【分析】先根据根与系数的关系可求a+b的值，再把a的值代入原方程可求a2=a+2010，然后把a2的值整体代入所求代数式，再提取公因数3，最后把a+b的值代入计算即可．【解答】解：根据题意得：a+b=﹣=1，把a的值代入方程可得a2﹣a﹣2013=0，∴a2=a+2013，∴a2+2a+3b﹣2=3a+2013+3b﹣2=2013+3（a+b）﹣2=2013+3×1﹣2=2016﹣2=2014．故选D．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是把a的值代入原方程，求出a2，注意对所求式子化简24．（2015•虎林市校级二模）已知a、b是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根，那么+的值为（）A． B． C．﹣ D．﹣【考点】根与系数的关系．【分析】根据，由一元二次方程的根与系数之间的关系求得两根之积与两根之和，代入数值计算即可【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣2=0的两根为a，b，∴a+b=3，ab=﹣2，∴=．故选：D．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系的知识，注意若二次项系数不为1，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=，掌握根与系数的关系是解此题的关键．25．（2015•彭州市校级模拟）已知x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，且+﹣2的值为整数，则整数k的最大值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3【考点】根与系数的关系．【分析】由x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，利用根与系数的关系表示出x1+x2与x1x2，将+﹣2通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用完全平方公式变形后，把表示出x1+x2与x1x2代入，整理后根据此式子的值为整数，即可求出实数k的整数值．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，∴x1+x2=1，x1x2=，且16k2﹣16k（k+1）≥0，即k＜0∴+﹣2=﹣2=﹣2=，由此式子的值为整数，得到k=﹣5，﹣3，﹣2，0，1，3．则整数k的最大值为﹣2．故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．26．（2015•拱墅区一模）下列各项结论中错误的是（）A．二元一次方程x+2y=2的解可以表示为（m是实数）B．若是二元一次方程组的解，则m+n的值为0C．设一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根分别为m、n，则m+n的值为﹣3D．若﹣5x2ym与xny是同类项，则m+n的值为3【考点】根与系数的关系；同类项；二元一次方程的解；二元一次方程组的解．【分析】根据二元一次方程的解的定义判断A；先根据二元一次方程组的解的定义，把代入，求出m、n的值，再代入m+n，计算即可判断B；由根与系数的关系即可判断C；先根据同类项的定义求出m、n的值，再代入m+n，计算即可判断D．【解答】解：A、把x=m代入x+2y=2，得y=1﹣，所以二元一次方程x+2y=2的解可以表示为（m是实数），故本选项正确，不符合题意；B、把代入，得，解得，则m+n=﹣1﹣1=﹣2≠0，故本选项错误，符合题意；C、设一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根分别为m、n，则m+n=﹣3，故本选项正确，不符合题意；D、若﹣5x2ym与xny是同类项，则m=1，n=2，所以m+n=3，故本选项正确，不符合题意；故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解以及同类项的定义．27．（2015•港南区一模）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义得出m+n=﹣2，m•n=﹣5，m2=5﹣2m，再将m2﹣mn+3m+n变形为两根之积或两根之和的形式，然后代入数值计算即可．【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，m2+2m﹣5=0，∴m2=5﹣2m，∴m2﹣mn+3m+n=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n=10+m+n=10﹣2=8．故选C．【点评】此题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解的定义，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．28．（2015•徐州模拟）已知x1、x2是方程x2﹣5x﹣6=0的两个根，则代数式x1•x2﹣x1﹣x2的值是（）A．11 B．﹣1 C．﹣11 D．1【考点】根与系数的关系．【分析】首先根据根与系数的关系得到x1+x2=5，x1•x2=﹣6，然后整体代值计算即可．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣5x﹣6=0的两个根，∴x1+x2=5，x1•x2=﹣6，∴x1•x2﹣x1﹣x2=﹣6﹣5=﹣11，故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，此题使用整体代值计算，难度不大．29．（2015•南宁校级一模）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α，β满足+=1，则m的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．2【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】根据根与系数关系得出：α+β=3﹣2m，αβ=m2，代入+=1求出m=﹣3，m=1，再进行检验即可．【解答】解：根据根与系数关系得出：α+β=3﹣2m，αβ=m2，∵+=1，∴=1，∴=1，m=﹣3，m=1，把m=﹣3代入方程得：x2﹣9x+9=0，△=（﹣9）2﹣4×1×9＞0，此时方程有解；把m=1代入方程得：x2﹣x+1=0，△=（﹣1）2﹣4×1×1＜0，此时方程无解，即m=1舍去；故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．30．（2015•孝南区三模）若一个关于x的一元二次方程的两个根分别是数据2，4，5，4，3，5，5的众数和中位数，则这个方程是（）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2﹣9x+20=0 D．x2+9x+20=0【考点】根与系数的关系；中位数；众数．【分析】将已知数据从小到大顺序排列：2，3，4，4，5，5，5；根据众数和中位数的定义求出众数和中位数，再根据根与系数的关系造出方程即可．共7【解答】解：将已知数据从小到大顺序排列，得：2，3，4，4，5，5，5；共7个数据，处于中间的数据是第4个数据4，出现最多的数据是5，因此，这组数据的中位数是4，众数是5，以4，5为根的一元二次方程是x2﹣9x+20=0，故选C．【点评】本题主要考查了众数，中位数的概念，根与系数的关系，掌握众数和中位数的求法是解题的关键．1．（2015•温州模拟）已知p、q为方程的两根，则代数式的值为（）A．16 B．±4 C．4 D．5【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】先根据根与系数的关系得到p+q=2，pq=﹣2，再利用完全平方根是变形得到=，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：根据题意得p+q=2，pq=﹣2，所以===4．故选C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．2．（2015•高密市校级模拟）设a、b是方程x2﹣12x+9=0的两个根，则等于（）A．18 B． C． D．±【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】先根据根与系数的关系得到a+b=12，ab=9，再计算（+）2的值，然后利用算术平方公式的定义求解．【解答】解：根据题意得a+b=12，ab=9，所以（+）2=a+b+2=12+2×=18，而+＞0，所以+==3．故选C．【点评】本题考查了根与系数的关系：二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．3．（2015•武进区一模）已知一元二次方程x2﹣6x﹣c=0有一个根为2，则另一个根为（）A．2 B．3 C．4 D．﹣8【考点】根与系数的关系．【分析】设另一个根为s，根据两根系数关系可知s+2=6，求出s的值即可求出．【解答】解：∵方程x2﹣6x﹣c=0有一个根为2，∴设另一个根为s，则有s+2=6，∴s=4，故选：C．【点评】本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．4．（2015•安岳县一模）若α、β是方程x2﹣4x﹣5=0的两个实数根，则α2+β2的值为（）A．30 B．26 C．10 D．6【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】先根据根与系数的关系得到α+β=4，αβ=﹣5，再利用完全平方公式变形得到α2+β2=（α+β）2﹣2αβ，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得α+β=4，αβ=﹣5，所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=42﹣2×（﹣5）=26．故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．5．（2015•赣州模拟）已知a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则a2b+ab2的值是（）A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．6【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系，可得出ab和a+b的值，再代入即可．【解答】解：∵a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，∴ab=﹣3，a+b=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=﹣3×2=﹣6，故选C．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．6．（2015•丹阳市一模）已知方程x2+mx+n=0的两根为x1、x2（x1＜x2），方程x2+mx+n﹣1=0的两根为x3、x4（x3＜x4），则下列关系一定成立的是（）A．x1＜x2＜x3＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x3＜x4＜x1＜x2 D．x3＜x1＜x2＜x4【考点】根与系数的关系．【分析】先利用根与系数的关系得出x1+x2=x3+x4=﹣m，x1x2=n＞x3x4=n﹣1，再根据如果两个数的和一定，那么它们的差越大积越小即可得到x3＜x1＜x2＜x4．【解答】解：∵方程x2+mx+n=0的两根为x1、x2（x1＜x2），∴x1+x2=﹣m，x1x2=n，∵方程x2+mx+n﹣1=0的两根为x3、x4（x3＜x4），∴x3+x4=﹣m，x3x4=n﹣1，∴x1+x2=x3+x4=﹣m，x1x2=n＞x3x4=n﹣1，∴x3＜x1＜x2＜x4．故选D．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．本题还可以利用求根公式分别求出x1、x2、x3、x4的值，再比较大小．7．（2015•云南模拟）已知方程x2+x﹣3=0，则下列说法中，正确的是（）A．方程两根之和是1 B．方程两根之积是3C．方程两根之平方和是7 D．方程两根倒数之和是3【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】由已知方程，根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，即可做出判断．【解答】解：∵方程x2+x﹣3=0，∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3，则x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=1+6=7，+==，故选C【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．8．（2015•平南县一模）一元二次方程x2+px=2的两根为x1，x2，且x1=﹣2x2，则p的值为（）A．2 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1【考点】根与系数的关系．【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=﹣p，x1x2=﹣2，将x1=﹣2x2代入，即可求出p的值．【解答】解：∵一元二次方程x2+px=2，即x2+px﹣2=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=﹣p，x1x2=﹣2，又x1=﹣2x2，∴x2=±1，当x2=1时，x1=﹣2，p=1；当x2=﹣1时，x1=2，p=﹣1．故选C．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．9．（2015•乳山市一模）如果a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两个根，那么a3b﹣2a2b的值为（）A．﹣8 B．8 C．﹣16 D．16【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】先根据根与系数的关系得到ab=﹣4，再把原式表示得到原式=a2•ab﹣2a•ab，利用整体代入的方法可化简得到原式=﹣4a2+8a，接着根据一元二次方程解的定义得到a2=2a+4，然后再次利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：根据题意，ab=﹣4，所以原式=a2•ab﹣2a•ab=﹣4a2﹣2a•（﹣4）=﹣4a2+8a，∵a是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的根，∴a2﹣2a﹣4=0，即a2=2a+4，∴原式=﹣4（2a+4）+8a=﹣8a﹣16+8a=﹣16．故选C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程的定义．10．（2015•潍坊二模）若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则这个方程的另一个根是（）A． B． C．1 D．﹣1【考点】根与系数的关系；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入原方程求得a的值，然后通过根与系数的关系x1•x2=求得方程的另一个根．【解答】解：根据题意，得a2﹣1=0，且a+1≠0解得a=1；设关于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0的另一个根为x2，则0+x2=﹣，解得x2=﹣．故选B．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．解答关于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0的另一个根时，也可以直接利用根与系数的关系x1+x2=﹣解答．11．（2015•江阳区二模）12．（2015秋•济宁校级期末）一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（）A．有两个正根B．有两个负根C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】根据根的判别式△=b2﹣4ac的符号，就可判断出一元二次方程的根的情况；由根与系数的关系可以判定两根的正负情况．【解答】解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴△=b2﹣4ac＞0，＜0，﹣＞0，∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，且两根异号，正根的绝对值较大．故选：C．【点评】此题考查了根的判别式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．13．设方程x+=2005的两根为a、b，则代数式a（）的值是（）A．2004 B．2005 C．2006 D．2007【考点】根与系数的关系；分式方程的解．【分析】先把给出的方程进行变形，根据a、b是方程x+=2005的两个根，得出b2=2005b﹣1和ab=1，再把要求的式子a（）变形为a•，然后代值计算即可．【解答】解：∵x+=2005，∴x2﹣2005x+1=0，∵b方程x+=2005的一个根，∴b2﹣2005b+1=0，∴b2=2005b﹣1，∵ab=1，∴a（）=a•=a（1+b+2005b﹣1）=2006ab=2006；故选C．【点评】此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．14．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，c=5，两直角边a，b关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2=0的两个根，则Rt△ABC中较小的锐角的正弦值为（）A． B． C． D．【考点】根与系数的关系；勾股定理；锐角三角函数的定义．【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求得m的值后，再求得方程的解，求出较小锐角的正弦值．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣mx+2m﹣2=0的解，∴a+b=m，ab=2m﹣2，在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2+b2=c2，而a2+b2=（a+b）2﹣2ab，c=5，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=25，即：m2﹣2（2m﹣2）=25解得，m1=7，m2=﹣3，∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长．∴a+b=m＞0，m=﹣3不合题意，舍去．∴m=7，当m=7时，原方程为x2﹣7x+12=0，解得，x1=3，x2=4，不妨设a=3，则sinA==，∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为．故选C．【点评】本题考查了根与系数的关系及锐角三角函数的定义，难度较大，主要掌握利用一元二次方程的根与系数的关系，勾股定理，正弦的概念求解．15．已知方程x2+nx﹣1=0的两实数根分别为α、β，则+的值为（）A．n2+2 B．﹣n2+2 C．n2﹣2 D．﹣n2﹣2【考点】根与系数的关系．【分析】把+化为求解即可．【解答】解：∵方程x2+nx﹣1=0的两实数根分别为α、β，∴α+β=﹣n，αβ=﹣1∴+====﹣n2﹣2，故选：D．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是+化为．16．方程x2+（m﹣3）x+m+4=0两实数根的平方和为10，以两根为邻边的平行四边形的周长是（）A．8 B．10 C．12 D．14【考点】根与系数的关系；平行四边形的性质．【分析】利用方程两个实数根的平方和为10，得出等式，再根据根与系数的关系得出关于m的等式方程，进而求出即可．【解答】解：∵关于x的方程x2+（m﹣3）x+m+4=0的两个实数根平方和为10，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（m﹣3）2﹣2×（m+4）=10，解得：m1=﹣1，m2=9．当m=﹣1时，△＞0，原方程无解；当m=9时，△＜0，原方程无解；∴x1+x2=4，则以两根为邻边的平行四边形的周长是2×4=8．故选：A．【点评】此题主要考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解法，得出关于m的等式是解题关键．17．若关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+4m﹣1的两根互为相反数，则m的取值范围是（）A．m= B．m＞﹣且m≠0C．m＞ D．这样的m不存在【考点】根与系数的关系；一元二次方程的定义．【分析】根据根与系数的关系和已知条件得出=0且m≠0，4m+1=0，再求解即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+4m﹣1的两根互为相反数，∴=0且m≠0，解得：m=﹣．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=．也考查了本题考查了一元二次方程的意义．18．若方程x2+3x+1=0的两个根分别是x1，x2，则x12x2+x1x22为（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据方程，利用根与系数的关系求出x1+x2=﹣3，x1x2=1，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵方程x2+3x+1=0的两个根分别是x1，x2，∴x1+x2=﹣3，x1x2=1，则原式=x1x2（x1+x2）=﹣3，故选B【点评】此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．19．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两根，则α2+β2的值等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】根与系数的关系．【分析】利用根与系数的关系求解即要可．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两根，∴α+β=﹣2，α•β=﹣1，∴α2+β2=（α+β）2﹣2α•β=4+2=6．故选：C．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是熟记根与系数的关系式．20．已知m，n是方程ax2+bx+c=0的两个实数根，设s1=m+n，s2=m2+n2，s3=m3+n3，…，s100=m100+n100，…，则as2011+bs2010+cs2009的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2011【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据题意得s2011=m2011+n2011，s2010=m2010+n2010，s2009=m2009+n2009，根据幂的运算得到as2011+bs2010+cs2009=m2009（am2+bm+c）+n2009（an2+bn+c），再根据方程解得定义得到am2+bm+c=0，an2+bn+c=0，所以as2011+bs2010+cs2009=0．【解答】解：∵s2011=m2011+n2011，s2010=m2010+n2010，s2009=m2009+n2009，∴as2011+bs2010+cs2009=a（m2011+n2011）+b（m2010+n2010）+c（m2009+n2009）=m2009（am2+bm+c）+n2009（an2+bn+c），∵m，n是方程ax2+bx+c=0的两个实数根，∴am2+bm+c=0，an2+bn+c=0，∴as2011+bs2010+cs2009=m2009×0+n2009×0=0．故选A．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了幂的运算和一元二次方程的解的定义．21．已知p是实数，若a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2x+p﹣1=0的两个非负实根，则（a﹣1）（b﹣1）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣3 C．0 D．﹣1【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】根据方程根的判别式，可得p的取值范围，根据根与系数的关系，可得ab，（a+b）的值，根据p的取值范围，可得答案．【解答】解：由x的一元二次方程x2﹣2x+p﹣1=0的两个非负实根，得，解得1≤p≤2，a+b=2，ab=p﹣1．（a﹣1）（b﹣1）=﹣（a+b）+ab+1=﹣2+p﹣1+1当p=1时，a﹣1）（b﹣1）=﹣2+1﹣1+1=﹣1，故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系，利用根的判别式、根是非负数得出不等式组是解题关键，又利用了根与系数的关系．22．已知x12+ax1+b=0，x22+ax2+b=0，则（x1+x2）（x12﹣x1x2+x22）=（）A．a3+ab B．﹣a3+3ab C．a3﹣3ab D．﹣a3﹣ab【考点】根与系数的关系．【分析】根据完全平方公式，可转化成两根之和、两根之积的关系，再根据根与系数的关系，可得答案．【解答】解：由题意，得x1，x2是关于x得一元二次方程x2+ax+b=0的两个根，由根与系数的关系，得x1+x2=﹣a，x1•x2=b．则（x1+x2）（x12﹣x1x2+x22）=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]=﹣a[（﹣a）2﹣3b]=﹣a3+3ab．故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系，利用了根与系数的关系．23．下列四个说法：①方程x2+2x﹣7=0的两根之和为﹣2，两根之积为﹣7；②方程x2﹣2x+7=0的两根之和为﹣2，两根之积为7；③方程3x2﹣7=0的两根之和为0，两根之积为﹣；④方程3x2+2x=0的两根之和为﹣2，两根之积为0；其中正确说法的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据判别式的意义和根与系数的关系分别进行判断．【解答】解：方程x2+2x﹣7=0的两根之和为﹣2，两根之积为﹣7，所以（1）正确；方程x2﹣2x+7=0没有实数根，所以（2）错误；方程3x2﹣7=0的两根之和为0，两根之积为﹣，所以（3）正确；方程3x2+2x=0的两根之和为﹣，两根之积为0，所以（4）错误．故选B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了判别式的意义．24．已知ab≠0，方程ax2+bx+c=0的系数满足（）2=ac，则方程的两根之比为（）A．0：1 B．1：1 C．1：2 D．2：3【考点】根与系数的关系．【分析】首先整理（）2=ac，得出b2﹣4ac=0，判断方程有两个相等的实数根，由此得出两个根的比即可．【解答】解：∵ab≠0，方程ax2+bx+c=0的系数满足（）2=ac，∴b2﹣4ac=0，∴方程有两个相等的实数根，则方程的两根之比为1：1．故选：B．【点评】此题考查了根的判别式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．25．下列命题：①若b=2a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为﹣2；②若ac＜0，则方程cx2+bx+a=0有两个不等实数根；③若x1，x2是方程x2﹣x+1=0的两根，则x1+x2=1，x1•x2=1．其中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；根的判别式．【分析】根据一元二次方程的解的定义对①进行判断；根据根的判别式对②③进行判断．【解答】解：当x=﹣2时，4a﹣2b+c=0，则b=2a+c，所以①正确；，由于ac＜0，则△=b2﹣4ac＞0，所以方程cx2+bx+a=0有两个不等实数根，所以②正确；方程x2﹣x+1=0的判别式△=1﹣4=﹣3＜0，方程没有实数解，所以③错误．故选C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．