物理选修31人教全程导学笔记第一章静电场6电势差与电场强度的关系

6电势差与电场强度的关系知识内容电势差与电场强度的关系考试要求必考加试c课时要求1.知道在匀强电场中电势差与电场强度的关系：U＝Ed，并了解其适用条件.2.知道电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势.3.会用U＝Ed或E＝eq\f(U,d)解决有关问题.一、匀强电场中电势差与电场强度的关系1．在匀强电场中，两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积．2．公式：UAB＝Ed.3．适用条件(1)匀强电场．(2)d为两点沿电场方向的距离．二、公式E＝eq\f(UAB,d)的意义1．意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与这两点沿电场强度方向距离的比值．2．电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势．3．电场强度的另一个单位：由E＝eq\f(UAB,d)可导出电场强度的另一个单位，即伏[特]每米，符号为V/m.1V/m＝1N/C.[即学即用]1．判断下列说法的正误．(1)公式U＝Ed适用于所有电场．(×)(2)由U＝Ed可知，匀强电场中两点间的电势差与这两点的距离成正比．(×)(3)匀强电场的场强值等于沿电场线方向每单位长度上的电势差值．(√)(4)在匀强电场中，任意两点间的电势差等于场强与这两点间距离的乘积．(×)

2.如图1所示，场强为E＝1.0×102V/m的匀强电场中，有相距d＝2.0×10－2m的A、B两点，A、B连线与电场方向的夹角为60°，则A、B两点间的电势差为________V.图1答案1.0解析U＝Edcos60°＝1.0×102×2.0×10－2×eq\f(1,2)V＝1.0V.一、匀强电场中电势差与电场强度的关系[导学探究]如图2所示的一个匀强电场，场强大小为E，A、B是沿电场方向上的两点，其电势差为UAB，A、B之间相距为d.现将一个电荷量为q的电荷由A移到B.图2(1)从力和位移的角度计算静电力所做的功；通过A、B间的电势差计算静电力做的功．(2)比较两次计算的功的大小，说明电势差与电场强度有何关系．(3)B、C在同一等势面上，UAC与电场强度有何关系？答案(1)WAB＝Fd＝qEdWAB＝qUAB(2)UAB＝Ed(3)UAC＝Ed[知识深化]1．关系式E＝eq\f(U,d)表明了电场强度与电势差的关系由E＝eq\f(U,d)可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，电场强度是电势差对空间位置的变化率，电势随空间变化的快慢反映了电场强度的大小．2．U＝Ed的两个推论(1)在匀强电场中，沿任意一个方向，电势变化都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差大小相等．(2)在匀强电场中，相互平行且长度相等的线段两端点间的电势差大小相等．

例1如图3所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100V/m，则O、P两点间的电势差可表示为()图3A．UOP＝－10sinθ(V)B．UOP＝10sinθ(V)C．UOP＝－10cosθ(V)D．UOP＝10cosθ(V)答案A解析由题图可知匀强电场的方向是沿y轴负方向的，沿着电场线的方向电势是降低的，所以P点的电势高于O点的电势，O、P两点间的电势差UOP为负值．根据电势差与场强的关系可得UOP＝－Ed＝－E·Rsinθ＝－10sinθ(V)，所以A正确．例2如图4所示，Q、P两金属板间的电势差为50V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4cm.求：图4(1)P板及A点的电势．(2)保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5cm，则A点的电势将变为多少？答案(1)－50V－30V(2)－10V解析板间场强方向水平向左，可见Q板电势最高．Q板接地，则电势φQ＝0，板间各点电势均为负值．利用公式E＝eq\f(U,d)可求出板间匀强电场的场强，再由U＝Ed可求出各点与Q板间的电势差，即各点的电势．(1)场强E＝eq\f(U,d)＝eq\f(50,10×10－2)V·m－1＝5×102V·m－1Q、A间电势差UQA＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2V＝30V所以A点电势φA＝－30V，同理可求得P板电势φP＝UPQ＝－50V(2)当Q板向左平移5cm时，两板间距离d″＝(10－5)cm＝5cmQ板与A点间距离变为d＝(10－4)cm－5cm＝1cm电场强度E′＝eq\f(U,d″)＝eq\f(50,5×10－2)V·m－1＝1.0×103V·m－1Q、A间电势差UQA′＝E′d＝1.0×103×1.0×10－2V＝10V所以A点电势φA＝－10V.在应用公式UAB＝Ed时可简化为U＝Ed，即只把电势差大小、场强大小通过公式联系起来，至于电势差的正负、电场强度的方向我们可根据题意另作判断.二、非匀强电场中电势差与电场强度关系的定性分析1．UAB＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题．由E＝eq\f(U,d)可以得出结论：在等差等势面中等势面越密的地方场强就越大．2．如图5所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于不知电场的性质，所以电势差Uab与Ubc的大小不能确定．图5例3如图6所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa＝50V，φc＝20V，则a、c连线中点b的电势φb为()图6A．等于35V B．大于35VC．小于35V D．等于15V答案C解析从电场线疏密可以看出ab段场强大于bc段场强，由U＝Ed可以判断Uab＞Ubc，所以φb＜eq\f(φa＋φc,2)＝35V.

三、关于场强的三个表达式的比较区别公式物理含义引入过程适用范围说明E＝eq\f(F,q)电场强度大小的定义式E与F、q无关，是反映某点电场的性质一切电场q为试探电荷的电荷量E＝keq\f(Q,r2)真空中点电荷场强的决定式由E＝eq\f(F,q)和库仑定律导出在真空中，场源电荷Q是点电荷Q为场源电荷的电荷量E＝eq\f(UAB,d)匀强电场中电场强度与电势差的关系由F＝qE和W＝qUAB导出匀强电场d为沿电场方向的距离例4如图7所示为一个水平的匀强电场，在电场内某水平面上作一个半径为10cm的圆，在圆周上取如图所示的A、B、C三点，已知A、B两点间电势差为1350V，图7(1)求匀强电场的场强大小．(2)若在圆心O处放置电荷量为10－8C的正点电荷，求C点电场强度的大小和方向．(结果保留三位有效数字)答案(1)9000V/m(2)1.27×104N/C，方向与水平方向成45°角斜向右上解析(1)由题图知A、B两点在匀强电场方向上的距离d＝r＋eq\f(r,2)＝0.15m，所以匀强电场场强E＝eq\f(U,d)＝9000V/m.(2)设正点电荷在C处产生的电场强度为E1，则E1＝eq\f(kQ,r2)＝9×103N/C，方向由O指向C.C处另有匀强电场，场强E＝9×103N/C，方向水平向右，与E1垂直，根据平行四边形定则，C处合电场的场强为E′＝eq\r(E\o\al(12)＋E2)≈1.27×104N/C，方向与水平方向成45°角斜向右上．

针对训练如图8所示，有竖直向下的匀强电场，A、B两等势面间距离为5cm，电势差为25V，在电场中P点(未标出)固定放置电荷量为5×10－9C的负点电荷，此时电场中有一点场强为零，此点在P点的()图8A．上方30cm处 B．下方30cm处C．上方25cm处 D．下方25cm处答案B解析匀强电场的场强E＝eq\f(U,d)＝eq\f(25,0.05)V/m＝500V/m，设距P点L处的合场强为零，则keq\f(Q,L2)＝9×109×eq\f(5×10－9,L2)V/m＝500V/m，故L＝0.3m，负点电荷在该点的电场竖直向上，故该点在电场中P点的下方，B正确．1．(公式E＝eq\f(UAB,d)的理解)对公式E＝eq\f(UAB,d)的理解，下列说法正确的是()A．此公式适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差B．A点和B点间距离越大，则这两点的电势差越大C．匀强电场中A、B两点沿电场线的距离越大，则电场强度越小D．公式中的d是匀强电场中A、B所在的两等势面之间的距离答案D2．(公式UAB＝Ed的应用)如图9所示，沿x轴正向的匀强电场E中，有一动点A以O为圆心，r＝OA为半径逆时针转动一周，O与圆周上的A点的连线OA与x轴正向(E方向)成θ(θ<eq\f(π,2))角，则此圆周上各点与A点间最大的电势差为()图9A．U＝Er B．U＝Er(sinθ＋1)C．U＝Er(cosθ＋1) D．U＝2Er答案C解析由U＝Ed知，与A点间电势差最大的点应是沿场强方向与A点相距最远的点，dmax＝r＋rcosθ，所以Umax＝Er(cosθ＋1)，C项正确．3．(公式UAB＝Ed的应用)平行的带电金属板A、B间是匀强电场，如图10所示，两板间距离是5cm，两板间的电压是60V.图10(1)两板间的场强大小是________；(2)电场中有P1和P2两点，P1点离A板0.5cm，P2点离B板也是0.5cm，P1和P2两点间的电势差U12＝________.答案(1)1.2×103V/m(2)48V解析(1)两板间是匀强电场，由UAB＝Ed可得两板间的场强E＝eq\f(UAB,d)＝eq\f(60V,5×10－2m)＝1.2×103V/m.(2)P1、P2两点间沿场强方向的距离：d′＝4cm.所以U12＝Ed′＝1.2×103×4×10－2V＝48V.一、选择题考点一公式UAB＝Ed的理解1．关于匀强电场中的场强和电势差的关系，下列说法正确的是()A．任意两点间的电势差，等于场强和这两点间距离的乘积B．沿电场线方向，相同距离上电势降落必相等C．在相同距离的两点间，场强大的，电势差也大D．在相同距离的两点间，电势差大的，其场强也大答案B解析UAB＝Ed中的d为A、B两点沿电场方向的距离，选项A、C、D错误；由UAB＝Ed可知沿电场线方向，相同距离上电势降落必相等，选项B正确．2．下列说法正确的是()A．由公式E＝eq\f(U,d)得，电场强度E与电势差U成正比，与两点间距离d成反比B．由公式E＝eq\f(U,d)得，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强度就越小C．在匀强电场中，任意两点间电势差等于场强和这两点间距离的乘积D．公式E＝eq\f(U,d)只适用匀强电场答案D考点二公式UAB＝Ed和E＝eq\f(UAB,d)的简单应用3．如图1所示是匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面间的距离都是25cm，由此可确定此电场的电场强度的方向及大小为()图1A．竖直向下，E＝0.4V/mB．水平向右，E＝0.4V/mC．水平向左，E＝40V/mD．水平向右，E＝40V/m答案D解析电场线与等势面垂直且沿电场线方向电势降低，故场强方向水平向右，场强大小E＝eq\f(U,d)＝eq\f(10,0.25)V/m＝40V/m，故D项正确．4.如图2所示，A、B两点相距10cm，E＝100V/m，AB与电场线方向的夹角θ＝120°，则A、B两点间的电势差为()图2A．5V B．－5VC．10V D．－10V答案B解析A、B两点在场强方向上的距离d＝eq\x\to(AB)·cos(180°－120°)＝10×eq\f(1,2)cm＝5cm.由于φA<φB，则UAB＝－Ed＝－100×5×10－2V＝－5V，故选B.

5.空气中的负离子对人的健康极为有益，人工产生负离子的最常见方法是电晕放电法．如图3所示，在一排针状负极和环形正极之间加上直流高压电，电压达5000V左右，使空气发生电离，从而产生负氧离子(负氧离子为－1价离子)，使空气清新化．针状负极与环形正极间距为5mm，且视为匀强电场，电场强度为E，电场对负氧离子的作用力为F，则()图3A．E＝103N/C，F＝1.6×10－16NB．E＝106N/C，F＝1.6×10－16NC．E＝103N/C，F＝1.6×10－13ND．E＝106N/C，F＝1.6×10－13N答案D解析针状负极与环形正极间的电场为匀强电场，所以E＝eq\f(U,d)＝eq\f(5000,5×10－3)V/m＝106V/m负氧离子受力F＝qE＝1.6×10－19×106N＝1.6×10－13N.6．(多选)如图4所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN.P点在y轴右侧，MP⊥ON.则下列说法正确的是()图4A．M点的电势比P点的电势高B．将负点电荷由O点移动到P点，电场力做正功C．M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差D．M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差答案AD解析根据电场线和等势面的关系，可以判断出M点的电势比P点的电势高，A正确．将负点电荷由O点移到P点，电场力做负功，B错误．根据U＝Ed进行定性分析可知UMN＜UOM，C错误，D正确．

7.如图5所示，A、B两板间电压为600V，A板带正电并接地，A、B两板间距离为12cm，C点离A板4cm，下列说法正确的是()图5A．E＝2000V/m，φC＝200VB．E＝5000V/m，φC＝200VC．电子在C点具有的电势能为－200eVD．电子在C点具有的电势能为200eV答案D解析A板接地，则其电势为零，因为A板带正电且A、B两板间的电压为600V，则B板电势为－600V，由此知C点电势为负值，则A、B两板间场强E＝eq\f(U,d)＝eq\f(600V,12cm)＝50V/cm＝5000V/m，φC＝－EdAC＝－50V/cm×4cm＝－200V，A、B错误；电子在C点具有的电势能为200eV，C错误，D正确．考点三匀强电场中的电场力做功与场强、电势差的关系8.如图6所示的匀强电场场强为103N/C，ab、cd平行于电场线，ac、bd垂直于电场线，ab＝cd＝4cm，ac＝bd＝3cm.则下述计算结果正确的是()图6A．a、b之间的电势差为40VB．a、c之间的电势差为50VC．将q＝－5×10－3C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，电场力做的功是－0.25JD．将q＝－5×10－3C的点电荷沿abd从a移到d，电场力做的功是0.25J答案A解析由U＝Ed得Uab＝103×0.04V＝40V，A正确；a、c在同一等势面上，所以Uac＝0，B错误；将电荷沿abdca移动一周，位移为0，故电场力做功为0，C错误；Wad＝Wab＝qUab＝－5×10－3×40J＝－0.2J，D错误．

9.如图7所示，在电场强度E＝2×103V/m的匀强电场中有三点A、M和B，AM＝4cm，MB＝3cm，AB＝5cm，且AM边平行于电场线，把一电荷量q＝2×10－9C的正电荷从B点移动到M点，再从M点移动到A点，电场力做功为()图7A．1.6×10－7J B．1.2×10－7JC．－1.6×10－7J D．－1.2×10－7J答案C解析B、M在同一等势面上，正电荷由B到M电场力不做功．由M到A电场力做负功，W＝qU＝q·Ed＝2×10－9×2×103×4×10－2J＝1.6×10－7J．即电场力做功为－1.6×10－7J.10．(多选)细胞膜的厚度等于700nm(1nm＝10－9m)，当膜的内外层之间的电压达0.4V时，即可让一价钠离子渗透．设细胞膜内的电场为匀强电场，则当一价钠离子恰好渗透时()A．膜内电场强度为5.71×105V/mB．膜内电场强度为1.04×106V/mC．每个钠离子沿电场方向透过膜时电场力做的功等于6.4×10－20JD．每个钠离子沿电场方向透过膜时电场力做的功等于1.28×10－19J答案AC解析E＝eq\f(U,d)＝eq\f(0.4,7×10－7)V/m≈5.71×105V/m，A正确，B错误；W＝qU＝1.6×10－19×0.4J＝6.4×10－20J，C正确，D错误．二、非选择题11．(匀强电场电场强度的计算)如图8所示，在水平放置的两个平行金属板之间的匀强电场沿竖直方向，电场中A、B两点之间的连线与竖直方向的夹角为60°.把带电荷量为q＝－1.5×10－8C的点电荷由A点移到B点，克服电场力做了4.2×10－5J的功．若已知A点电势φA＝800V，eq\x\to(AB)＝1cm，求：图8(1)B点的电势．(2)电场强度的大小和方向．答案(1)－2000V(2)5.6×105V/m方向竖直向下解析(1)A、B两点的电势差为UAB＝eq\f(WAB,q)＝eq\f(－4.2×10－5,－1.5×10－8)V＝2800V，设B点的电势为φB，根据UAB＝φA－φB得φB＝φA－UAB＝800V－2800V＝－2000V.(2)电场强度为E＝eq\f(UAB,d)＝eq\f(UAB,\x\to(AB)cos60°)＝eq\f(2800,1×10－2×0.5)V/m＝5.6×105V/m，方向为竖直向下．12．(匀强电场电势差的计算)如图9所示，平行金属带电极板A、B间可看成匀强电场，场强E＝1.2×102V/m，极板间距离d＝5cm，电场中C点和D点分别到A、B两板的距离均为0.5cm，B板接地，求：图9(1)C、D两点的电势和两点间的电势差；(2)将点电荷q＝＋2×10－2C从C点匀速移到D点时除电场力外的其他力做的功．答案(1)－5.4V－0.6V－4.8V(2)9.6×10－2