2024年江苏南通苏北七市高三三模高考数学试卷试题（含答案详解）

2024届苏北七市高三第三次调研测试数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答

案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.

3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一

并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合=卜z[,N=[xF=z],则（）

A.MNNB.N三MC.M=ND.McN=0

2.已知三个单位向量23,2满足2=5+3则向量瓦展的夹角为（）

,71—71—2万C5乃

A.-B.—C.~~D.——

6336

3.某同学测得连续7天的最低气温分别为1,2,2,叫6,2,8（单位：。C）,若这组数据的平均数

是中位数的2倍，则加=（）

A.2B.3C.6D.7

4.已知z为复数，则＞是的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件

则sin26=(

3

C.

5

6.设数列｛4｝的前〃项和为S"，若S"+〃=2%,则%=（）

A.65B.127C.129D.255

7.已知函数/（%）的定义域为R,且/（x+1）为偶函数，/（x+2）-1为奇函数.若/⑴=0,

26

则»（左）=（）

k=\

试卷第1页，共4页

A.23B.24C.25D.26

8.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2,8,侧棱长为3石，则该正四棱台内半径

最大的球的表面积为（）

r八-64K64兀

A.12JIB.27TiC.-D.-----

93

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知/a)=V^sin[2x+：J,则(

A./(TI+X)=/(X)

C.xe[o,"j(x)>l

10.在正方体/BCD-45GA中，尸为。2的中点，M是底面/BCD上一点，则（）

A.〃■为ZC中点时，PM±ACt

B.M为/。中点时，尸M//平面48G

C.满足2尸M=。的点M在圆上

D.满足直线尸M与直线AD成30。角的点”在双曲线上

11.已知2"=logja,log26=，则（）

A.a+2a=b+rbB.a+b=2b+2-a

C-2fc+1>e"D-20>e1*

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设。为实数，若函数/（x）=；xL"2+l在x=-4处取得极大值，则。的值为.

13.已知随机变量X~N（4,42）.若尸（X<3）=0.3,则P（3<X<5）=,若

Y=2X+1,则y的方差为.

14.已知耳与是椭圆C:=+V=l的左、右焦点，尸是。上一点.过点耳作直线尸片的垂

a

线4,过点耳作直线尸鸟的垂线4.若4,的交点。在c上（尸,。均在x轴上方），且

\PQ\=?,则C的离心率为.

试卷第2页，共4页

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.在AA8C中，角45,(7的对边分别为。,反。,(26-(?)38/1=敬05<?.

⑴求A；

(2)若的面积为6,8。边上的高为1,求的周长.

16.如图，在直三棱柱/3C-48cl中，AB=BC=2,AB工BC,CC\=2退,

砺=4函（0<彳<1）.

A

(1)当几=；时，求证：CEJ_平面48G；

(2)设二面角8-4E-C的大小为。，求sin。的取值范围.

17.已知函数/'（xHa+xy-Ax-l（左>1）.

⑴若x>-l,求〃x)的最小值;

(2)设数列｛与｝前力项和S.，若0'=0+')",求证：S„-n>2-^.

18.已知抛物线C:/=2⑷(p>0)的焦点为尸，直线/过点尸交C于48两点，C在48两

点的切线相交于点P,48的中点为0,且P。交C于点£.当/的斜率为1时，卜同=8.

(1)求C的方程；

(2)若点尸的横坐标为2,求|。目；

(3)设C在点E处的切线与尸4尸8分别交于点M,N,求四边形面积的最小值.

19.“燧”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大

小，一般燧越大表示随机变量的不确定性越明显.定义：随机变量X对应取值外的概率为

Pi=P(X=x),其单位为她的嫡为H(X)=-tp/og2P,，且t2=l.(当2=0,规定

i=lz=l

试卷第3页，共4页

R°g2月=0•)

⑴若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为刃(0<"?<1),正面向上的次数为X,分别比较

机=；与”=:时对应”(X)的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义；

(2)若抛郑一枚厦战萃।匀的硬币"次，设x表示正面向上的总次数，y表示第"次反面向上的

次数(0或1).。(占,必)表示正面向上为次且第"次反面向上必次的概率，如〃=3时，

p(o,i)=j.对于两个离散的随机变量X,y,其单位为6"的联合崎记为

O

〃(、,丫)=一仕0(A，°)1。刍从4q+£o1唯心，),且以(匕,0)+力(匕,1)=1.

\z=li=lyz=lz=l

⑴当”=3时，求〃(x,y)的值；

(ii)求证：击

试卷第4页，共4页

1.A

【分析】通分，根据数字特征即可判断两集合之间关系.

【详解】M=\xx=k+^,keA=\xx=Z,

k

N=卜=g+1,左ez1=1尤r=^,k&Z

2

因为24+1,左eZ表示所有的奇数，而4+2,左eZ表示所有的整数，则MqN,

故选：A.

2.C

rr1

【分析】对等式两边同平方即可得6・c=-：,再利用向量数量积定义和向量夹角范围即可

2

得到答案.

【详解】a2=b2+c2+?b-c，即1=1+1+2限1，

:.b-c=即lxlcos(B,c)=­；，则cos卡,寸=一；，

因为伍小［0,兀］,「.B忑夹角|K,

故选：C.

3.D

〃

【分析】根据题意分析可知：平均数为21上+黄2，中位数为2,列式求解即可.

・AR■r口工》―rL,、、/r、t〃上口-tJ、t〃、r1+2+2+机+6+2+821+加

【详解】由题意可知：这组数据的平均数为-------------------=——)

77

除加外，将数据按升序排列可得1,2,2,2,6,8,

21+

结合”2的任意性可知中位数为2,则一^=2x2,解得机=7.

故选：D.

4.A

【分析】正向可得zeR,则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得a=0或6=0,则

必要性不成立.

【详解】若z=l则zeR,则z?=夕，故充分性成立；

若Z2=£,设z=a+6i,a,6eR,贝ljz?=/+2abi-〃，F2=a2-2abi-b2,

则2a6=0,a=0或6=0,.1z与7不一定相等，则必要性不成立，

答案第1页，共15页

则“Z=7'是。2=广的充分非必要条件，

故选：A

5.B

【分析】展开同平方并结合二倍角的正弦公式即可得到关于sin26的方程，解出即可.

【详解】展开得^^(cos8+sin。)=3-f^(cos6-sin。),

两边同平方有:(cosO+sin。)？=:(cosO-sinO)，,

194

即5(1+sin2。)=5(1-sin20),解得sin261=1，

故选：B.

6.B

【分析】降次作差得。“+l=2(ai+l),再利用等比数列通项公式即可得到答案.

【详解】"=1时，q+l=2%,则为=1.

〃22时，an=S“-Si=2a„-»-[2a„-1-(«-1)]=2an-2%_1-1,

•"a“—2a+1,；.a“+1=2(a,-+l),a]+l=2w0,

是2为首项，2为公比的等比数列，+1=2x2$=2?=128".%=127,

故选：B.

7.C

【分析】根据函数奇偶性推出函数关于直线尤=1对称和关于点(2,1)对称，则得到其周期,

再计算其一个周期内的和，最后代入计算即可.

【详解】/(x+1)为偶函数，则/(》+1)=/(-工+1)贝!|〃口关于％=1对称，

〃x+2)-1为奇函数，则/(_》+2)-1=一/(》+2)+1,

即y(-x+2)+“X+2)=2,则关于点(2,1)对称,

则由其关于x=1对称有/(%)=/(-%+2),贝！]/(x)+“X+2)=2,

则f(x+2)++4)=2,作差有/(x)=f(x+4),

・•・/(x)为周期函数，且周期为4,因为;■(1)+/(3)=2,/(1)=0,则/(3)=2,

因为/(0)=〃2),/(0)+/(2)=2,则〃0)=〃2)=1,

答案第2页，共15页

/(4)=/(0)=1,则/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=4,

2426

24,⑹=24+0+1=25,

k=lk=\

故选：C.

8.D

【分析】先求出正四棱台的高，再分析出最大内切球与四侧面及下底面相切，再根据三角函

数得到其半径大小，最后利用球的表面积公式即可.

【详解】作出如图所示正四棱台，其中。Q为正四棱台的高，E&为其斜高，

因为正四棱台的上、下底面边长分别为2,8,侧棱长为36,

则80=40，OOj=^(3A/5)2-(472-72)2=373,

因为。。1=36>学=5,故半径最大的球不与上下底面同时相切，

E4=J(3石『=6,则sinZOEEt=与,则ZOEE}=三,

过a作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则

71

ZOEO=-

?6

则。Li考丹考,则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切,

即该正四棱台内半径最大的球半径r=生8,球的表面积为

33

答案第3页，共15页

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到正四棱台内半径的最大的球是与侧面和底面同时相

切的，再求出其高，得到侧棱与底面夹角，作出轴截面图形，再求出最大球半径.

9.AC

【分析】根据正弦型函数的周期即可判断A；根据其对称性即可判断B,利用整体法求出函

数值域即可判断C；求导并举出反例即可判断D.

2兀

【详解】对A,/(x)周期为万=兀,，/(兀+x)=/(x),故A对；

对B,令2丁+王=巴+左兀，左eZ,贝=«+蛆，4eZ,

4282

若4学一成立，则/'(x)关于》=兽对称，

令g+”=普，解得左=:，因为左eZ,则B错误；

82168

.71

对C,vxe2x+—eK■^,1,.-.f(x)e(l,2],故c正确;

44,4

对D,/'(x)=2&cos(2x+；J,当x=1时，贝lJ/(x)=O,则D错误，

故选：AC.

10.BCD

【分析】建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量，对A计算西•布即可判断；对B

利用线面平行的判定定理即可判断；对C,计算得DM=应，则得到其轨迹；对D,根据

线线夹角公式得到关于xj的方程，化简即可.

【详解】不失一般性，设正方体棱长为2,如图建系，因为尸为。，的中点，

则尸(0,0,1,4(2,0,0)，a(0,2,2),

对A,M为/C中点，贝1J"(1,1,0)两=(1,1,-1),宿=(-2,2,2),

国•莺=-2+2-2=-2/0,尸河与"G不垂直，故A错误.

对B,M为AD中点时，PM//ADt,因为AB"DJAB=DG，

则四边形/8C.为平行四边形，则AD/BG，.'.PM/ZBC,,

因为BQu平面4BG，所以尸M〃平面&BG，故B正确；

答案第4页，共15页

对C,令M(x,y,O\PM=^DD[='x2=0.DM=6，

.〔Af在以。为圆心，血为半径的圆上，故C正确；

对D,PM=(x,y,-1),AD=(2,0,0),

x

=cos30=IcosPM,AE>\=,^-^=----

211J/+/+1X2

化简得上一r=1,其为双曲线方程，故D正确，

3

故选：BCD.

11.AD

【分析】结合图象和指、对函数之间的关系即可判断AB；利用切线不等式e、2x+l即可判

断C；利用不等式InxVxT即可判断D.

【详解】对A,由图可知：k2,与PT°g;交点/(生2"),(0<«<1)

y=log?x与kQJ的交点89,2-"),(b>1),

根据指数函数与对数函数为一对反函数知：A,B关于V=x对称，

(a=2~b

故,a+2a=b+2-b,故A正确；

[b=2a

对B,由A知°+6=2-〃+2",故B错误；

对C,由0=知外=1,则2'+1」+1,设/(x)=e-xeR,

aa

贝ir(x)=e，-l,则当xe(-8,0)时，r(x)<0,此时/(x)单调递减；

当xe(O,+e)时,,(尤)>0,此时/(x)单调递增;

则/卜”/(0)=0,则eJx-120恒成立，即x+lVel当x=0时取等;

答案第5页，共15页

4x=-,则有因为LRO,则工+1</，即故c错误;

aaaaz十，<c

1_y

对D,设〃(x)=lnx+l-无，xe(O,+<x>),则〃(x)=------,

则当xe(O,l)时，r(x)>0,此时/(尤)单调递增；

当xe(l,+e)时，r(x)<0,此时/'(x)单调递减；

则“(X)"(1)=0,即lnx+1-尤V0在(0,+8)上恒成立,

即Inx4x-1在(0,+8)上恒成立,当x=1时取等,

令》=,，则-1,BP\nb>\--,因为b>l,则lnb>l-」，则

b\b)bbb

故2"=6>e4，故D正确.

故选：AD.

【点睛】关键点点睛：本题AB选项的关键是充分利用图象并结合指、函数的关系，而CD

选项的关键在于两个不等式/2x+1和InxVx-1的运用.

12.-2

【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出。的值即可.

【详解】解：=x2-2ax=x(x-2a),

令/'0)=0,解得；%=0或％=2”，

若函数/(X)=$32+1在尤=_4处取得极大值，

则2a=-4,解得a=-2,

当a=-2时，f'(x)=x(x+4),/'(x)>0nx>^£r<-4,/f(x)<0=>-4<x<0

所以函数次x)在(-4,0)上单调递减，在(-%-4),(0,+⑹上单调递增.满足题意.

故答案为：-2.

答案第6页，共15页

2

13.0.4##—64

5

【分析】由题意可知：〃=4,。=4,根据方差的性质可得。（丫）；根据正态分布的对称性可

得尸（3<X<5）.

【详解】由题意可知：〃=4,。=4,即D（X）=16,所以D（y）=4D（X）=64；

因为3+5=2〃，且P（X<3）=0.3,

所以P（3<X<5）=l—2P（X<3）=0.4.

故答案为：0.4；64.

14.立#/百

22

【分析】设尸（乙〃），可得4,4的方程，联立方程求得。，见'丁］，结合对称性可知

m2=y,进而列式求/,02,即可得离心率.

【详解】设尸（九〃）,耳（一C,0），B（C,0）,由题意可知:m^+c,n>09

(x+c),

同理可得：4的方程为>=-%三（x-c）,

n

y=---------(x+c)x=-m

(m2—c2

2

联立方程“，解得m-c即。一m,---------

y=—n

n

因为。在。上，可知尸，。关于x轴对称，

且|尸。卜竽，则2同=?,可得/=£,

又因为直二C=〃，即与一°2=〃2,

n5

答案第7页，共15页

1622

---c=n

5

16

由题意可得：V乌+〃2=1,整理得5/_16/_16=0,

a

c2=a2—1

4

解得/=4或(舍去)，贝1°2=/—1=3,

所以。的离心率为

故答案为：f

【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a,b,c

的等量关系或不等关系，然后把6用a,c代换，求e的值.

71

15.(1)-

(2)276+273

【分析】利用正弦定理和三角恒等变换得cos/=1,则得到A的大小；

(2)利用三角形面积公式得庆=4,再结合余弦定理得6+。的值，则得到其周长.

【详解】(1)因为(2b-c)cos/=acosC,

由正弦定理，得(2sinB—sinC)cos/=sinAcosC,

即2sinBcos4=sinAcosC+sinCcosA,即2sin5cos^4=sinB.

因为在。中，sinBwO,

所以cos/=L

2

又因为0</<兀，所以4=

(2)因为的面积为百，

所以QQX1=V5,得Q=2A/J.

由工6csin/=豆，即工6cx@=百，

222

所以6c=4.由余弦定理，得a?=〃+/一»°cos/,BP12=b2+c2-bey

答案第8页，共15页

化简得S+c)2=3儿+12,所以S+c>=24,即6+C=2C，

所以AABC的周长为a+6+c=2&+2Vl

16.(1)证明见解析

(2)停履)

【分析】(1)建立合适的空间直角坐标系，得出相关向量，求出石•屋=0,苑•赤=0,

再结合线面垂直的判定即可；

(2)求出相关法向量，得到sin°=司Jr旬，再结合函数单调性即可得到其范围.

【详解】(1)以工，瓦I函为基底建立如图所示空间直角坐标系，

则5(0,0,0),C(2,0,0),^(0,2,0),G(2,0,273),£(0,0,2732).

当时，£[0,0,晋)，

所以羽=(0,-2,0),苑=(2,0,2百)，CE=一2,0,qj

所以方=0,%.屈=0,所以CE_L/3,CE_L8C].

又Cl8G=9u平面ABC,,BC、u平面ABC,,

所以CE，平面/BQ.

(2)AC=(2,-2,0),AE=(0,-2,2^2),

设平面AEC的一个法向量为1=(x,y,z),

答案第9页，共15页

4c吗=02%-2>=0

即不妨取点=(百

-2y+2也九z=0

AE-nx-

因为5C」平面ABE,所以平面ABE的一个法向量为％=(2,0,0).

所以|cos6|=

U1

[22（622+1）-

又因为0</<1,易知/♦)=/；+2]：+i)在(0」)上单调递减,

所以sinOe(ga,lJ.

17.(1)0

(2)证明见详解

【分析】(1)求导，利用导数判断了(x)的单调性，进而可得/(x)的最小值；

(2)当〃=1时显然成立，当〃22,结合(1)可得(l+x)*N丘+1,进而可得

。">£+1=畀一变+1，利用裂项相消法分析证明•

【详解】(1)因为/(x)=(l+x)Jb-l依>1),贝IJ/，(x)=a[(l+x广-1],

因为左>1,则左一1〉0,且工〉一1,

当_]<x<0时，则0<X+]<1,可得/'(力=介[(1+到1_1k6]_1)=0；

当x>0时，贝!Jx+l>l,可得/'(x)="(l+x)i-=0；

可知"X)在(-1,0)上单调递减，在(0,+为上单调递增，

所以〃x)的最小值为"0)=0.

(2)因为%,

若〃=1,则S1=%=1+；=|,满足S,-w22-祟；

若几22,由(1)可知：y(x)=(1+x)^—Ax—1>0,

答案第10页，共15页

即(1+x)丘2丘+1,当且仅当x=0时，等号成立，

Ar1Y,,市殂八1yn,n+\n+2,

令x=W>On,k=〃>l，可得%=l+9>—+1=—r'

且a=巳3=2_3±+1,

22

r,日Cc33445«+1n+2_n+2

可得S”>2--+-------+———+•••+------------\-n=2-----------\-n,

n2222222r32n5A2n2n

所以S,「〃>2-〃券+2；

综上所述：S「〃22一号.

18.(l)x2=4y

(2)2

(3)3

【分析】⑴设直线/的方程为"质+号/（国,必）,5（%,为），再联立得到韦达定理式，最

后根据焦点弦公式得到P=2,则得到抛物线方程；

（2）首先得到。（2左,2r+1）,再根据导数得到两条切线方程，再计算出产的坐标，求出发值

则得到相关点坐标，即可求出\QE\；

3

（3）首先证明出SWABNM=^SAABP,再计算出SAABP的表达式,从而得到其最小值.

【详解】（1）由题意，直线/的斜率必存在.

设直线/的方程为V=区+?/（%,/）,2卜2，%），

A

=kx*

联立+2^x2-Ipkx-p1=0,（*）,所以，1%+9=20左

12

X=2pyX1x2=~p.

当左=1时，x1+x2=2p,

此时以同=%+%+0=口+孑］+1+"+P=+x2卜力=8,

所以4P=8,即p=2.

所以C的方程为尤2=4%

答案第11页，共15页

（2）由（1）知，%+X2=2pk=4k,

则电=2左，代入直线＞=履+1得为=2抬+1,则N3中点。（2左,2公+1）.

因为无2=外，所以yg,

y11

则直线尸4方程为夕-必=y（x-Xj）,y=-xlx--x^,

同理，直线方程为y=gx2X-；考，

1212

—X]X?

所以4_生二=土产=及，

如-Z）2

虫3*所以尸（2左，一1）.

P444

因为马=2,2左=2,即4=1,此时0（2,3）,尸（2,-1）,

所以直线尸。的方程为x=2,代入x2=4y,得y=l,

所以E（2,l）,所以|0E|=2.

（3）由（2）知。（24,2/+1）,尸（2左,一1）,

所以直线尸。方程为x=2M

代入x2=4y,得y=2左2,所以£（2左,2尸），所以£为P。的中点.

因为C在E处的切线斜率==,

所以C在E处的切线平行于,

3

又因为E为尸。的中点，所以s四边形/BN”=as„.

由（1）中（*）式得--4丘-4=0,所以占+%=4左，

因为直线N8方程为夕=日+1,

所以=必+%+p=（Ax1+l）+（foc2+1）+2=左（X]+X2）+4=4k2+4.

12左2+21

又PQk,-l）到直线AB的距离h=上=2炉]，

vF+i

11।-------2

所以切府=-|^|-/Z=--（＜2+4）-242+1=4（C2+1）2＞4,

（当且仅当斤=0时取"=”）

答案第12页，共15页

、3

所以$四边形S.ABP-3，

所以四