2023-2024学年四川省成都市高三年级下册阶段性模拟考试理科数学试题（附答案）

o

2023_2024学年四川省成都市高三下册阶段性模拟考试理科数学试题

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）在每小题的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,若集合^{小一？〉。},八岗-1<》<4},则集合八人（）

O

市A.（T4）{x|x>2}

泗B

c.…}D.（T+8）

【正确答案】D

6

【分析】根据集合并集概念课直接得到.

o^={x|x-2>0}={x|x>2}

OA<JB=^c\x>2}u付-1<x<4}=卜,〉-1}

故选：D.

2i

z------

教2.已知复数l-i,则以下判断正确的是（）

A.复数z的模为1B.复数z的模为也

C.复数z的虚部为iD.复数z的虚部为-1

【正确答案】B

O

【分析】根据复数除法运算即可求得z=-l+i,根据复数模长公式和虚部定义即可判断结果.

_21“2i（l+i）_2i+2i2=］白

【详解】由zI可得（1T）0+I）1-12；

即复数z的虚部为1,所以CD错误；

则复数z的模为J（T）+1,即A错误，B正确；

故选：B

O

3.下列说法错误的是()

-<1

A.“。>1”是“a”的充分不必要条件

B,在回归直线―85中，变量x=200时，变量》的值一定是15

C.命题°：则既eR,x；+Xo+l<O,则「以：VxeR,x2+x+l>0

D,若an，=/,mua,nu(3,a工/3,mU,则

【正确答案】B

【分析】根据小范围能推出大范围，大范围推不出小范围判断选项A；根据回归方程的实际意

义判断选项B；根据特称命题的否定是全称命题判断选项C；根据面面垂直及线面垂直的性质

定理判断选项D.

1,1,

一<1—<1

【详解】若a>l,则a成立，反之，若。，则。>1或

-<1

所以>1”是”的充分不必要条件，故选项A正确；

在回归直线¥=0,5x—85中，变量》=200时，变量了的值估计为15,故选项B错误；

因为命题J则geR,片+%+1<0,

所以命题的否定力：VxeR,x2+x+l>0,故选项C正确；

因为ap|，=/,mua,al。，m1.1f

根据面面垂直的性质定理得到：m'B,又〃u〃，所以机工"，故选项D正确.

故选：B.

4.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是()

A./(尤)=-1B./(x)=5tanx

C/(x)=2/+3xD/(x)=x+Vx

【正确答案】C

【分析】利用基本初等函数的奇偶性与单调性逐项判断，可得出合适的选项.

/(x)=一

【详解】对于A选项，函数X为奇函数，但该函数在定义域内不单调，A选项不满足

条件；

对于B选项，函数/(x)=5tanx为奇函数，但该函数在定义域内不单调，B选项不满足条件；

对于C选项，函数"")=29+3》的定义域为R,

口f(-%)=2(-x)3-3x=-2x3-3x=-ffx)山2u./(%)=2x3+3x4一上下拈

且‘'J'J」'L所以，函数'')为奇函数，

因为函数＞=2/、y=3x均为R上的增函数，故函数/(x)=2x3+3x在R上为增函数，c

选项满足条件；

对于D选项，函数/(")="+"的定义域为［0'+“)，该函数为非奇非偶函数，D选项不满

足条件.

故选：C.

5(1+x)+(l+x)+---+(l+x)的展开式中/的系数是()

A.45B.84C.120D.210

【正确答案】C

【分析】利用二项展开式的通项公式，组合数的性质，求得含犬项的系数.

［详解］解：(1+X)2+(1+X)3+…+(1+对9的展开式中，

含炉项的系数为C+c+C；+...+C=C：o=120,

故选：C.

/(x)=x3--/,(l)x+/(2)

6.设点尸是函数2图象上的任意一点，点尸处切线的倾斜角为

则角0的取值范围是()

【正确答案】B

【分析】求出了‘(X),令x=l后可求/‘(X),再根据导数的取值范围可得tana的范围，从

而可得a的取值范围.

/(x)=X3-力(l)x+/'(2)r⑺=3/_；/，0)

【详解】/，二2

/0)=3-“(1),/⑴=2,J,(x)=3x2-1>-1

八，兀3兀/

0<a<——Ga<Ti

...taneN—1,...2或4

故选：B.

7.在等差数列｛""｝中，%=—9,，=-3.记］="2一,%(〃为正整数)，则数列忆｝(

)

A.有最大项，也有最小项B.最大项，但无最小项

C.无最大项，但有最小项D.无最大项，也无最小项

【正确答案】B

【分析】由己知求出等差数列的通项公式,分析可知数列｛""｝是单调递增数列，且前5项为负值,

自第6项开始为正值，进一步分析得答案.

【详解】设等差数列｛""｝的公差为d,由/、&=-3,得4="1+3"=—3,解得：d=2.

所以%=一9+2(〃-1)=2〃-11

n

令%=2"-11=°,得"2,而“cN*,可知数列,"｝是单调递增数列，且前5项为负值,自第6

项开始为正值.

可知方=-9。,7>63>0,73=-315<0,7>945>0为最大项，自外起均小于0,且逐渐减小

数列｛,｝有最大项，无最小项.

故选:B

8.志愿团安排去甲、乙、丙、丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，一位志愿者说：不能先去甲,

甲的困难户最多；另一位志愿者说：不能最后去丁，丁离得最远.他们共有多少种不同的安排

方法（）

A.14B.12C.24D.28

【正确答案】A

【分析】由去丁扶贫点的先后顺序入手利用加法原理求出结果.

【详解】解：根据题意丁扶贫点不能是最后一个去，有以下两类安排方法：

①丁扶贫点最先去，有.种安排方法；

②丁扶贫点安排在中间位置去，有种安排方法，

综合①②知共有H+C2C2^=14种安排方法.

故选：A.

9.已知函数f（x）=2V3sinxcosx+2sm2x-2以下说法中，正确的是（）

①函数关于点I?”〔对称；

兀兀

②函数/（X）在〔石'％」上单调递增；

③当〔％'3J时，"x）的取值范围为（-2,0）；

71

④将函数/（X）的图像向右平移12个单位长度，所得图像对应的解析式为g（X）=2sm2x—1

A.①②B.②③④C.①③D.②

【正确答案】D

f（x）=2sin（2x--）-1

【分析】先对/⑴化简变形，得至U3,再对①②③④逐一分析判断,

即可得出结果.

f(x)=2GsitLXCOSX+2sin2x-2=V3sin2x-cos2x-1=2sin(2x--)-1

【详解】因为6

2x-kit,左£Zx------1-----，左£Z

对于①，由6，即122,所以对称中心为

哈+Z)

(―-1)

令x=°,得到一个对称中心为12',所以①错误；

兀兀7171

XG——，一2》一台

对于②，当166256=sinx

7171

-6%」上单调递增，所以②正确；

对于③，当163J时，666,由〉=sinx的图像与性质知,

/(x)e(-2,l],所以③错误;

71

故选：D.

X2y2_Q也

10.已知右，鸟是双曲c线b2~la>Q'b>，的左，右焦点，过点片作斜率为2的直

线/与双曲线的左，右两支分别交于M,N两点,以巴为圆心的圆过N,则双曲线

C的离心率为()

A.拒B.#1C.2D.也

【正确答案】B

【分析】取九w中点/,连NB,令8r机，由双曲线定义及所给条件可得

______也

2222

|AF2|=V4c-m=Vm-4a；再借助直线斜率为2即可作答.

【详解】取中点/,连/尸2，由已知令则如图：

因点N为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得51—2"=机—2"

\NFx^NF2\+2a=m+2a

^\MN\=\NFX\-\MFX\=Aa,\MA\=2a令双曲线半焦距为0,

RtZXZgE,中|Z片|=m,|AF-,|=V4c2—m2Rt^AMF,中|Zg|=Vm2—4a2

222

贝°有J掰2_4/=J4c2一加2,gpm=2a+2c;

也tanZAg=正tanNAg=噜ILV2

即两

因直线/的斜率为2,即一2,而।

"『=j_2c2—2/_£

\AFiI23,于是有2c2+2、=5,

所以双曲线c的离心率为6.

故选：B

11.已知三棱锥尸一N8C的底面ANBC为等腰直角三角形，其顶点P到底面/BC的距离为

3,体积为24,若该三棱锥的外接球。的半径为5,则满足上述条件的顶点尸的轨迹长度为（

A.6%B.307r

C0+2亚卜口（6+2收）

【正确答案】D

【分析】利用三棱锥尸一/8C的体积，求解底边边长，求出ANBC的外接圆半径,

以及球心。到底面4BC的距离，判断顶点尸的轨迹是两个不同截面圆的圆周，

进而求解周长即可.

【详解】依题意得，设底面等腰直角三角形448c的边长为“（龙>°）,

J/=--i-x2-3=24

二三棱锥尸一NBC的体积32

解得：x=4百

「=—\p2-4A/3=2A/6

••"BC的外接圆半径为2

二球心°到底面ABC的距离为

4=西T；=V25-24=1

又；顶点P到底面ABC的距离为3,

顶点尸的轨迹是一个截面圆的圆周

当球心在底面N8C和截面圆之间时，

球心。到该截面圆的距离为4=3—1=2,

•••截面圆的半径为弓=&一；=^25^4=V21,

二顶点P的轨迹长度为2环=2而兀;

当球心在底面/8C和截面圆同一侧时，

球心°到该截面圆的距离为4=3+1=4,

•••截面圆的半径为%=次-=J25—16=3,

二顶点P的轨迹长度为2兀%=6万；

综上所述，顶点尸的轨迹的总长度为2匹'》

故选：D.

本题考查空间几何体外接球的问题以及轨迹周长的求法，考查

空间想象能力、转化思想以及计算能力，题目具有一定的难度.

/,\b—=In6+2In2

12.已知a,b,ceq,+叼，且a—lna=2,2,c-sinl=lnc+tanl,其

中e是自然对数的底数，则（）

\a<b<cBb<a<cQa<c<bDb<c<a

【正确答案】B

【分析】由题设，构造〃x)=xTnx且xe(l,+oo)研究单调性,判断了⑷J(6)J(c)的范围,

作差法比较/⑷J⑹J(°)大小，即可得答案.

1兀

,-6-ln6=—+21n2>lne=lc-Inc=sin1+tan1>tan—=1

【详解】由题设"lna=2>l,24,

x—1

ff(x)=--->0

令/(x)=x—lnx且xe(l,+oo),贝！।x,即人>)在xe(l，+°°)上递增，

-+21n2-2=ln4--=lnJ4<0

又22Ve3即/3)</仅),

XG(0兀)

由/(c)-〃a)sin1+tan1—2,令/z(x)=sinx+tanx—2x且’2

7“、1cos3x-2cos2x+1

•l(%)=cosXH~2—~/c1、

则COS2Xcos2X,又COS(0,1),

令g(x)=x、2x?+l且xe(o,l),贝|jg，(x)=x(3x-4)<°,即g(x)递减，所以

g(x)>g(l)-0,

(0—)

所以"(x)〉°,即％(x)在’2上递增，故人(x)〉/z(0)=0

即sinx+tanx>2x在’2上恒成立，故/(。)>/(。)，

综上，/S)</(a)</(c),结合/(x)单调性知,b<a<c

故选：B

关键点点睛：构造函数/(乃二》—'》且xe(l,+oo)研究单调性，再通过作差、构造函数判断

f(a),f(b)J©大小，进而判断凡1,大小.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.设等比数列｛%｝的前〃项和为J,写出一个满足下列条件的的公比"=.

①％>°,②也｝是递增数列,③§3<13%

【正确答案】2(答案不唯一)

【分析】根据等比数列的通项公式求解即可.

【详解】由等比数列的通项公式可得.”则1一（9—1）,

因为且｛%｝是递增数列，所以q>i,

因为S3<13%所以％+。2+。3<13%即。材2+。19-12%<0

因为%所以d+qT2<0,解得一4<”3,

综上l<q<3

故2（答案不唯一）

fT"=1"=2TTH->ff

14.已知向量a,6方满足II,门，且。与6的夹角为则向量与6的夹角

为.

【正确答案】不

【分析】先利用已知条件求得=1,接着求解向量6的模长,最后根据向量夹角公式

求解即可.

I详解】因为Nfc|=2--£

I,且。与6的夹角为3,

—>—>—>

a-b-axbxcos—=lx2x—=1

所以32

所以("b>b=b-b=1-4=-3

设向量与6的夹角为。,

(a-b)-b

cos®=

T->—

a-bxb

所以

又因为两向量所成夹角范围为［0"1

ZJ5万

-38二——

所以向量4—6与6的夹角为6,

5TT

故答案为.6

15.己知直线经过抛物线V=2PX（P>0）的焦点F并交抛物线于A,B两点，则1"仁4,且

在抛物线的准线上的一点0满足C8=28E,则°=

【正确答案】2

【分析】由所给向量关系可得点C在直线N3上，过点/,8分别作抛物线准线的垂线，结合

抛物线定义求出/ACN=30。即可作答.

2=—R

【详解】过点4,2作抛物线/=28（。>0）准线”一一5的垂线，垂足分别为N,M,令准线

交x轴于点K,如图：

则有L4N|=|4F|,18Ml=|86|,因点c在准线上且满足C8=28E,即点c是直线/台与

准线的交点,

于是有（切=218必，得NNCN=30。，从而有1/C1=21NN1=2"1,即点尸是线段

NC的中点,

…\FK\=}-\AN\=}-\AF\=2

而FK//AN,则有22，又7KI-P,

所以夕=2.

故2

16.如图，在棱长为2的正方体'88一44GA中，E,F,G,〃,尸均为所在棱的中点，则

下列结论正确的序号是

①棱N3上一定存在点。，使得。°"。；

②三棱锥尸一及巴的外接球的表面积为8%；

③过点E，RG作正方体的截面，则截面面积为3g；

④设点M在平面BB&C内，且4M〃平面AGH,则A.M与AB所成角的余弦值的最大

242

值为3.

【正确答案】②③④

【分析】①建立空间直角坐标系，设。坐标，通过空间向量垂直的坐标表示求点。进行判断;

②使用补形法，将三棱锥补形为长方体求解即可；

③画出正方体过点瓦的截面，为正六边形，求面积即可；

④设M坐标，用线面平行得出M坐标满足的条件，再由空间向量求线线角余弦值的最大值即

可.

对于①，以。为原点，DA,DC,QR所在直线分别为x轴，7轴，z轴建立如图所示空

间直角坐标系，则由已知，C（O,2,0）,2（0,0"）,

设棱”上一点。（2，％0）（0W"2）,则反=（-2,2-%,0）,丽=（2/。,-2）

若QC_LZ>1C,则。。。1。=-4+（2-为加=0,

整理得需一2%+4=0,即（%T）+3=°,为无实数解，

...棱45上不存在点°,使得0c10,故①错误;

对于②，如图，分别取棱48,B©,QG,42的中点N,"1,8，%,

由已知，EP=PH=HN=EN=4Z,易知棱柱£尸.一£用H尸为长方体，

2R=E[H=+2?=2V2

其外接球的直径为外接球表面积S=4成2=8%,

...三棱锥b一£尸〃的顶点均在长方体£尸"“—耳片"】77的外接球上，故该球也是三棱锥

F-EPH的外接球，

...三棱锥歹-EP8的外接球的表面积为8兀，故②正确；

对于③，如图所示，过点E，RG作正方体的截面是边长为0的正六边形，其可分成六个全

5=6x—xV2xV2xsin—=3^/3

等的，边长为12的等边三角形，面积23，故③正确；

z

对于④，由①中所建立空间直角坐标系，

2(2,0,0)G(0,2,1)H(1,2,0)4(2,0,2)5(2,2,0)

，，，，，

((,，),设平面的一个法向量为"=(苞/1*1),

n-AG=-2xl+2yl+z1=0

<

则〔心屈=f+2"=0,令为=2,则弘=1,马=2一..〃=(2,1,2),

设平面网G。内一点四62,z),则A,M=(x-2,2,2-2),

...4.〃平面ZG〃，二词G=2x(x-2)+lx2+2x(z-2)=0,即“3-x

又...益=(0,2,0),

AXM-AB__________4__________

J(x-2)+4+(z-2)2>2

4M与48所成角的余弦值为

(x-2)2+(z-2)2=(x-2)2+(3-x-2)2=2x2-6x+5=zfx--+—>—

其中，I2>22,

cos〈A[M,AB)<

32V2

即当且仅当2时，4M与48所成角的余弦值的最大值为3,故④正确.

故答案为：②③④.

解决立体几何中动点问题的有效方法之一，是建立空间直角坐标系，设动点坐标，借助空间向

量将几何关系转化为代数运算，通过运算进行求解.

三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

V3

.„,a-ccosBD=——osinC

17.在△48C中，内角46D,。所对的边分别为且3

（1）求角°的大小；

（2）若°=2百，且,求的周长.请在下列三个条件中，选择其中的一个条

siiL4siiiS=—-

件补充到上面的横线中，并完成作答.①12；②的面积为3.③

CA.BC=--

3.

注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分

C=-

【正确答案】（1）3

（2）4+2百

【分析】（1）根据条件，利用+和正弦的和角公式，化简即可得出结果；

,4

cib——

（2）选①，利用正弦定理和条件得出3,选②，利用条件和三角形面积公式得出

,4

ab——

3,选③，利用条件和数量积的定义得出

,4

ab~—

3,再利用余弦定即可得到结果.

【小问1详解】

G

siib4-sinCcos5=——siaSsinC

由正弦定理：3,

也

siib4=sinsin8cosc+cos'sinC-smCcosB=——siaSsinC

因为一IA所以3,

sinScosC=sin5sinCcosC=sinCr-

所以3,因为sm5wO,所以3,得到tanC=Y3,

「—巴

又Ce（。,兀）,所以J.

【小问2详解】

a_b_c_2A/3_4

sinAsinfisinCsin71

若选①，根据正弦定理和（1）可知，3

...ab174

•17A•sin/isinjD————ab——

所以a=4AsnU）=4smN5,所以1612,得到3,

—absinC=­abx-ab=­

若选②，由题知2223,得到3,

一一2/、124

CABC=——abcos（兀一。）=——ab=——ab=—

若选③，即3,由数量积定义得23,得到3,

74

cib——

故三个条件任选一个条件，都可以得到3,

c2-a2+b2-2abcos—（a+b~）~-lab-2abcos—=12

由余弦定理，得3,整理得3,

即（a+by=16,则a+b=4或a+6=-4（舍去），

所以"8C的周长为a+b+c=4+2后.

18.2021年3.15期间，某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元（含1万

元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状

与大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个

球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球则打

7折；若摸出1个白球2个黑球，则打9折：其余情况不打折.方案二：从装有10个形状与

大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3

次，每摸到1次红球，立减2000元.

（1）若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；

（2）若某顾客消费恰好满1万元，试从数册望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算?

7

【正确答案】⑴120；（2）该顾客选择第二种抽奖方案更合算.

【分析】（1）方案一若享受到7折，需要摸出2个红球和1个黑球，由此可计算出概率；

（2）选择方案一，付款金额X元可能的取值为5000、7000、9000>10000,分别计算出概率

的分布列，计算出期望.选择方案二，设摸到红球的个数为y,付款金额为Z,则得关系式

Z=10000-20007,由I5人可得颐丫），再计算出颐Z）,比较后可得.

【详解】（1）选择方案一若享受到7折，则需要摸出2个红球和1个黑球，设顾客享受到7折

尸.）=C»2cl=，7

为事件A,贝ijG。120.

（2）若选择方案一，

设付款金额为X元，则X可能的取值为5000、7000>9000>10000,

2l2

P(X=5000)=-c^cfL'=——1P(X=7000)=C-^2cfl^=—7P(X=9000)=CC=7—

3

q0120,Go120,Qo40

17791

P(X=10000)=1--------------------=—

,12012040120.

故X的分布列为，

X50007000900010000

17791

P

12012040120

[779]28825

E(X)=5000x——+7000x—+9000x—+10000x—=上巴工9608.3

所以')120120401203(元)

若选择方案二，设摸到红球的个数为V,付款金额为Z,则Z=10000-2000/,

y〜口£（y）=3x-=-

由己知可得I5九故55,

所以E（Z）=0000-20007）=10000-2000£（y）=8800（元）

因为E（X）>£（Z）,所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.

19.如图，已知矩形48co中，E、歹分别是45、8上的点,

BE=CF=1,BC=2,AB=CD=3,尸、。分别是。£、CE的中点，现沿着EF翻

2TT

折，使得二面角/一大小为

（I）求证：0°〃平面BCD；

（II）求二面角幺一08一E的余弦值.

4

【正确答案】（I）详见解析（II）7

【详解】（D取E8的中点M,连接PM,QM又尸为£>£的中点，

所以PM||AD,尸W平面88,8。u平面BCD,

所以「加||平面8C。，

同理可证〃。||平面88,

又因为尸=

所以平面平面8C。，PQu平面尸QM,

所以尸2II平面BCD.

（ID在平面内，过点口作尸。的垂线，易证明这条垂线垂直平面£BCE,因为二面角

27r27r

—ZDFC=—

A—EF-B大小为3,所以3,

建立空间直角坐标系八中X如图所示，则£（20°）,CR,l,O）,3（2,1,0）,

£）@,-1,灼1,6）

则丽=《2,—2,百）AB=（0,2,-43）£5=（0,1,0）

m-BD=0-2x-2y+V3z=0

设平面ZX45的一个法向量冽=（“"）,根据m-AB=O2j-V3z=0

令2=6,则x=0,y~2,所以机

｛力.竺=0=产—2%+后=0

设平面D8E的一个法向量”=6，凹/1）,根据n-EB=0%=°

J__4

n=7

4

4

所以二面角A-DB-E的余弦值为7.

证明线面平行有两种方法，法一是利用判定定理，寻求线线平行；法二是寻求面面平行，本题

是通过面面平行去证明线面平行.求二面角常用空间向量去求，先建立空间直角坐标系，写出

相关点的坐标，求出两个半平面的法向量，再利用公式求出二面角的余弦值.

22

二+与=1伍〉6〉0）

20.已知椭圆a~匕离心率为2,点I2J在椭圆"上.

（1）求椭圆"的方程;

（2）设°为坐标原点，A,B,0是椭圆“上不同的三点，且。为A4BC的重心，探究

△48C面积是否为定值，若是求出这个定值；若不是，说明理由

2

x2,373

—y~1---

【正确答案】（1）4'；（2）是定值，2.

【分析】（1）由题意列出关于凡“°的方程组，求出名6,即可得出椭圆方程；

（2）先讨论直线48的斜率不存在时，根据题中条件，求出此时的A48C面积；再讨论直线

48的斜率存在时，设直线/反了=依+",联立直线与椭圆方程，设"（石，％）,

8（%，%）,由韦达定理，得出石+%,由弦长公式，得出座|；根据。为

△N8C的重心，求出点。为C坐标，代入椭圆方程，得到左，”之间关系；再由点到直线的距

离公式，得出点°到直线N8的距离，由S"BC=3S“B。即可得出结果.

【详解】(1)由题知:,解得a=2,6=1,

—+y2=l

所以椭圆河的方程为4

轴，点C在x轴上，1"同=百.点0到4g的距

(2)当直线的斜率不存在时,

离为八3,贝""八

当直线48的斜率存在时，设直线月8：»=去+加

X221

—+V=1

-4

由［好b+加消去x,整理（4公+1”+8左叩+4"-1）=0

/r八8km

设4国M),8(%,必)，则有△=16(4H+1-")〉0,%+%=一记石

4m—4

%+>2=左（再+x2）+2m=

所以

\AB\=717F|xt-x2|=V17F当；］：疗

uun8km2m

OC=-

因为。为ANBC的重心，则由4左2+1'-4左2+1

(8kmY

C(8km______2m)［叱+1J+(2mV_〔

点14-+1'4/+J在椭圆上，则414/+J得4/=叱+1,

点°到直线4B的距离为

3II,6\m||yl^k2+l-m26|m|V3m23百

所以加BC=35V,BO=-\AB\d=川一

4m之2

s_述

综上：…2为定值.

思路点睛:

求解椭圆中三角形面积相关问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式,

以及点到直线距离公式，表示出三角形的面积，再结合题中条件，即可求解.

21.已知函数f（）,（）

（1）讨论函数/（“）的单调性；

⑵令g（x）=/（x）—sinx,若存在石，、2£（°，+°°）,且％产“2时，g（xi）=g（%2）,证明

2

<a

【正确答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）求函数的定义域和导数，分和。>°两种情况，结合导数可求出函数的单调

性.

（2）根据题意可得"（M玉Tn%）=2（斗-x2）-（sm/—sinx2）,通过构造函数

,zX.a>石一"2/=工（7〉1）

/7（x）=x-smx,求函数单调性及参变分离可得In%-In%,令x2，通过导

机（0=丁—ln4〉l）机〃）〉〃2m=0XX</

数得”的单调性，即可证明⑷⑴，从而可证明石马（".

wzy_，2a^2x-a

【详解】解：⑴/⑺的定义域为（°收），⑺XX,

当时，/中）＞0,当a＞0时，由4）＞0得"力由/'00＜°得°＜、＜3

...当aW0时,

—,+co

当。＞0时,在上单调递减，在2单调递增.

(2)g()g(l'g(z),由题意知,

2xl一。In再一sinxx=2x2-a]nx2-sinx2

a(inx-Inx)=2(x-x)-(sinx-sinx)

,,x2r212，

令〃(x)=x-sinx,则"(x)=l-cosx",7(x)在(0,+0上单调递增,

不妨设玉〉々〉0,..）（占）＞〃62）,...可―5由%＞》2_5由々，

-(sinx-sinx^>x-x

,•x22r，

.2a-x2)-(sinX]-sinx2)>2(占-x2y)+(x2-=xl-x2

再-x

2*只需证只需证

.a(lnX]—In/)〉》[一々.In^-lnx2令

>0m(t^=-In>1)机'(/)=

业，设&