2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）（解析版）

2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.设集合M={x|-2WxW2},N={y|y=2，+1},则（）

A.[一2,小）B.（1,2]C.[1,2]D.（l,+8）

【答案】A

【解析】由题设N={y|y>l},故MuN={x|-24尤42}“y|y〉l}={x|x12},故选：A

2.“x<l”是“_?_4x+3>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】解不等式Y-4x+3>0得x>3或x<l,记4=(-8,1)U(3,+8),8=(—e,l),

因为A]8,所以“x<l”是“/一4》+3>0”的充分不必要条件.故选：A

22

3.已知椭圆E：a+1=1（。>6>0）的长轴长是短轴长的3倍，则E的离心率为（）

AV2口2&「有n273

3333

【答案】B

【解析】由题意，2a=6b,所以：=g，则离心率e=（=「J=Jl-gj=孚.

故选：B.

4.已知向量A5=（g,l）,AC=（2后-2）,则AB在衣上的投影向量是（）

【答案】A

（后）

ABACAC42-2

ABcos人民40网=AC冈一（2/『+（_2）

【解析】AB在AC上的投影向量为||2

,故选A

5.已知等差数列｛4｝的前几项和为S“，S4=1,跖=4,则17+/+《9+%0=（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】在等差数列｛4｝中，'=1,既=4,所以S4=1,S8-S,=3,

故邑⑷-US]z-S8，S16-SQ,%）-S16构成公差为2的等差数列,

所以S20-S[6=1+(5-1)X2=9,即0(7+。18+419+a20=9,故选C

6.在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政

部门积极响应党中央号召，近期将安排甲、乙、丙、丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教

育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（）

A.1B,1C.1D.A

99327

【答案】B

【解析】甲、乙、丙、丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：3"=81种；每个地区至

少安排1名专家的安排方法有：C：A；=36种；

由古典概型的计算公式，每个地区至少安排1名专家的概率为：三36=，4

o19

故选：B.

7.我圆古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一

个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为a,大正方形的面积为跖，小正方形的

•,.、r.।.S].3sin6ZCOSCC,,,

面积为邑'右125,则2$出…，的值为()

【答案】C

【解析】设大正方形的边长为。，则直角三角形的直角边分别为asinc,acosa,

因为a是直角三角形较小的锐角，所以0<c<£,

4

可得H=S]-4x一片sinccosa=a1-la1sincrcos<7,

22

S2a一2asinacosa1一2sinacosa

即sin2a+cos2a=25,所以ta'g+l=25,解得tana=g或tana=g(舍去),

l-2sincrcoscr1-2tancr43

3x—+1

3sin(7+cos6r_Stance+1_4_13

故选C.

2sina-cos。2tancr-l2x--l?

4~

22

8.已知双曲线C：=-2=1（。>0力>0）的左焦点为耳，离心率为e,直线y=公纸/0）分别与C的左、右两支

ab

交于点M,N.若“々N的面积为ZMFtN=60°,则d+3"的最小值为（）

A.2B.3C.6D.7

【答案】D

【解析】连接”有对称性可知：四边形峥叫为平行四边形，故|寒|=|闻埒,|N耳月吟

ZFlNF1=120°,SRm=SMF、N=6,

由面积公式得：；加片卜|蟆卜山120。=6,解得：|峭卜加周=4,

由双曲线定义可知：|EN|—旧N|=2a,

RN2+FN-4cl_(F\NBN》+2F、N.F?N4$

在三角形耳”中，由余弦定理得：cos120°=

2F、N•F?N2F、N•&N

22

2F.N-F2N-4b15,日,,,,4b

2F"NF解侍：怩N|,EN|=F-，

4b2

所以丝=4,解得：廿=3,

3

故e?+3〃=1+2+3a2>l+2^-3a2=7,

故选：D

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.设z为复数，则下列命题中正确的是()

A.|z|-=zz

B.若z=(l-2iy,则复平面内』对应的点位于第二象限

C.z2=|z|2

D.若目=1,则|z+i|的最大值为2

【答案】ABD

【解析】对于A,T^z-a+bi,故N=a-历，贝！J=a2+6。，zz=(a+b\)(a-bi)=a2+b2,故|z『=zN成立,

故A正确，

对于B,z=(l-2i)2=-4i-3,z=4i-3,显然复平面内三对应的点位于第二象限，故B正确，

对于C,易知|z「=4+方2,z2=a2+b2+2abi»当于#0时,z'，，故C错误，

对于D,若|z|=1,则/+〃=],而|z+i|=击2+(:+])2=J26+2,易得当6=1时，|z+i|最大,此时|z+i|=2,

故D正确.

故选：ABD

冗

10.将函数y=sin2ox(o>0)向左平移7个单位，得到函数/⑴，下列关于/(%)的说法正确的是()

6

A.Ax)关于卜寸称

Sir

B.当0=1时，/(%)关于尤=对称

C.当0</Vl时，"X)在［咤)上单调递增

D.若人尤)在-上有三个零点，则。的取值范围为

66J［_2_

【答案】ABC

【解析】/W=sin2++£|(®>0),当尤=-《时，得20卜+£|=0,/W=0,故选项A正确;

当°=1时,-1是函数的最小值，所以/(尤)关于x=-7T对称，故选项B

正确；

当0<oVl时，0<x<j得0<?<2所以/(x)在(0,与上单调递增，故选项C正确;

123voy22II"

由」WxW型，得042。［尤兀，由于/(%)在14,上有三个零点，所以27r<2师<3兀，所以

66<6JL66_

3

14。<三,故选项D错误.

2

故选：ABC.

11.已知函数/'(x)满足：①对任意x,yeR,/(x+y)+/(x)+/(y)=/(x)./(y)+2；②若"y,则

/(x)w/(y).则()

A.”0)的值为2B./(%)+/(-%)>4

C.若〃1)=3,贝ij/⑶=9D.若"4)=10,则〃-2)=4

【答案】ABC

【解析】对于A,令无=y=0,得3〃0)=[〃0)了+2,解得“0)=1或"0)=2,

若"0)=1,令y=0,得2〃x)+l=〃x)+2,即〃x)=1,

但这与②若x*y,则矛盾，

所以只能〃0)=2,故A正确；

对于B,令旷=一%结合八0)=2得，/⑴+x)=,小x)“(x)+〃r)

解得F(x)+〃—x"4或/(x)+〃-x)W0,

又/(0)=2,所以2〃0)=4>0,

所以只能f(x)+/(—x)N4,故B正确；

对于C,若"1)=3,令y=l得，/(x+l)+/(^)+3=3/(x)+2,

所以〃x+l)=2〃x)-l,所以〃2)=2/(1)—1=6—1=5,

所以〃3)=2〃2)-1=10—1=9,故C正确；

对于D,取〃x)=(6)'+l,

则•〃y)+2=+[(百)'+1]+2=(百丁'+(班)*+(省『+3

满足"4）=10,但〃-2）=:故D错误.

故选：ABC.

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.12X+/J的展开式中的常数项为.

【答案】40

5

C_2A（_2Y5_5

【解析】依题意，2彳+一的展开式的通项为却|=C＞（2x）*.”=C^25-r-x^,

\7\7

令5-$=0可得厂=3.故常数项为C＞22=40.

13.已知正四棱台ABC。-4月£2的上、下底面边长分别为4、6,高为也,则正四棱台ABC。-4月£。

的体积为,外接球的半径为.

［答案］丕与V26

3

【解析】根据题意易知该棱台的上、下底面积分别为：1=42=16,邑=6=36,

所以正四棱台A8CD-ABGR的体积为丫=；（＜+/啊+52卜后=受；

连接AC,3。交于点。厂连接AG，8四交于点a，如图所示:

当外接球的球心。在线段延长线上,

设。。=〃，外接球半径为R,则。2。2=("0『，

因为002=3，上、下底面边长分别为4、6,

则〃0]=:用2=20,DO2=~BD=3y/2,

所以4=2。；+/=oo；+(/7-厨=>“=367?=后

当外接球的球心。在线段。2a延长线上，显然不合题意;

当球心。在线段。。2之间时，则。2。2=(3-〃『，同上可得，力=3及，不符舍去.

14.定义：max{x,y}为实数x,y中较大的数.若°,dc>0,则max1(+6,：+bc,£+c1的最小值为

【答案】2

[解析]=max\—+b,-+bc,^-+c\,

[acabj

贝lj由题意可得“上工+人>0,”>‘+bc>0,"N0+c>0,

acab

因为(-l-+6]c='+bc,所以

\ac)a

①当cZl时，-+bc>—+b>0,

aac

只需考虑M>—卜bc,M>—+c,

ab

所以++,M>-+C>-+1>2J-,

aaVabbVb

所以M222Ax24=4,可得M22,当且仅当〃=〃=c=l时取等号；

②当0<c<l时，0<—\-bc<--\-b,只需考虑A/N\-b,M>—+c,

aacacb

可得〃之2,当且仅当。=1,秘=1时取等号.

综上所述，〃的最小值为2.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明'证明过程及验算步骤。

15.(本小题满分13分)已知函数〃x)=alnx-x.

⑴当4=1时，求函数/(X)的单调区间；

⑵当。>0时，求函数“X)的最大值.

【解】⑴/⑺的定义域为(0,—),

当4=1时，f(x)=inx-x,==

当:(x)=F>。，解得：0<%<1，

当广(x)=7<0,解得：x>l.

，(x)在(0,1)上为增函数；/(%)在(1,+co)上为减函数;

(2)/(X)的定义域为(0,+8),

当a>0时，令/'(x)>0,得0<x<a,令尸(x)<o时，得尤>4,

”尤)的递增区间为(0,。)，递减区间为(。,内).

/(X)max=-a=a()na-1).

16.(本小题满分15分)如图，在五面体ABCDEF中，底面A3CD为平行四边形，族〃平面AB-CD,.E4B

为等边三角形，BC=CE=2AB=2EF,ZABC=60°.

(1)求证：平面以8_L平面ABC。；

(2)求平面ECD与平面FCD夹角的余弦值.

【解】(1)不妨设AS=1,则3C=CE=2,

在平行四边形ABCD中，BC=2,AB=1,ZABC=60°,连接AC,

由余弦定理得AC2=12+22—2xlxlxcos60°=3,即AC=VL

AC1+AB2=BC2,:.AC±AB.

又［AC2+AE2=CE2,:.AC±AE,ABAE=A,

AC_L平面£AB,又；ACu平面ABCD.

平面EABJ_平面ABCD.

取AB中点G,连接EG,EA=EB,:.EGLAB,

由（1）易知EG_L平面ABCD,且EG=也.

2

如图，以A为原点，分别以射线AB,AC所在直线为轴，竖直向上为z轴，建立空间直角坐标系4-型,

则刍，F0,与日，C（O,HO）,D（-1,A/3,0）,4卜2,2石,0）,C卜1,26网,

［。,且，-3、

CD=(-1,0,0)FC=

22

7

n-CD=0

设平面尸CO的法向量为力=（x,y,z）,贝卜

n•FC-0

-x=0

得＜673，令y=i，得"=(0,1,1),

——y------z=0

12'2

m-CD=0

设平面ECD的法向量为机=（占,％,zj,则＜

m-EC=0

—Xj=0

得1厂也，令必=1，得根=(O,L2),

---zx=0

m-n33^10

cosm,n=।-j-pf=~i=—1==-------，

|m|-|n|V2xv510

所以平面ECD与平面FCD夹角的余弦值之叵.

10

17.（本小题满分15分）已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴，从收获的果实中随机抽取了50个软籽

石榴，按质量(单位：g)将它们分成5组：[360,380),[380,400),[400,420),[420,440),[440,460]得

到如下频率分布直方图.

O360380400420440460痂股收

(1)用样本估计总体，求该品种石榴的平均质量；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

(2)按分层随机抽样，在样本中，从质量在区间[380,400),[400,420),[420,440)内的石榴中抽取7个石榴

进行检测，再从中抽取3个石榴作进一步检测.

(i)已知抽取的3个石榴不完全来自同一区间，求这3个石榴恰好来自不同区间的概率；

(ii)记这3个石榴中质量在区间[420,440)内的个数为X,求X的分布列与数学期望.

【解】(1)该品种石榴的平均质量为嚏=20X[370X0.005+(390+410+450)X0.010+430X0.015]=416,

所以该品种石榴的平均质量为416g.

(2)由题可知，这7个石榴中，质量在[380,400),[400,420),[420,440)上的频率比为

0.010:0.010:0.015=2:2:3,

所以抽取质量在[380,400),[400,420),[420,440)上的石榴个数分别为2,2,3.

(i)记4="抽取的3个石榴不完全来自同一区间”，3=“这3个石榴恰好来自不同区间”，

则尸网=铲=二P(A3)=蟀丝12

35

12

所以「(叫力=缁

35=_6

34-17

35

即这3个石榴恰好来自不同区间的概率为，.

(ii)由题意X的所有可能取值为0,1,2,3,

贝”(x=o)=5=[,尸(X=1)=等=1|，

尸(X=2)=晋

所以X的分布列为

X0123

418121

p

35353535

A1Q1919

所以E(X)=Ox—+lx—+2x—+3x—=

')353535357

18.(本小题满分17分)已知抛物线：；/=2x,直线/：＞=尤-4,且点氏D在抛物线上.

⑴若点AC在直线/上，且A8,C,。四点构成菱形ABCD,求直线3D的方程；

(2)若点A为抛物线和直线/的交点(位于x轴下方)，点C在直线/上，且AB,C,。四点构成矩形ABCD,

求直线的斜率.

【解】(1)由题意知AC43D,设直线BO:x=-y+机.

\x=—y+m,c

联乂｛2c得y+2y-2m=0,

[y=2x

+2m

贝！1yByD=-2,yByD=-，xB+xD=-(yB+yD)+2m=2m+2,

则比)的中点(m+l,T)在直线V=x-4上，

代入可解得〃?=2,/+2y-4=0,A=20＞0,满足直线与抛物线有两个交点,

所以直线应＞的方程为x=7+2,即x+y-2=0.

(2)当直线的斜率为0或不存在时，均不满足题意.

由Iy=x得-4[x或=2f[x尸=84(舍去)，故3/-功、

方法一：当直线筋,AD的斜率存在且不为0时，设直线2=《y+2).

联立V2c',得y2—2Zy—4f—4=°，所以%+为=2"

[y=2尤

所以B（2t2+4r+2,2/'+2）.同理得£）13—7+2,—[+2）.

由8。的中点在直线>=》-4上，

得口…+2+>；+2）-4?+2一1

[ip?2+—+^?—1—4=0.

令/_：=,，则p?+p_2=0,解得P=-2或p=l.

当P=1时，直线8。的斜率kBD=---------------，-；J=—4

2』+4f+2-（"-；+2）t--+2

当p=-2时，直线的斜率不存在.

所以直线3。的斜率为;.

方法二:设3（看,加,£＞（々,%）,线段的中点

则%+%2=2a,%+%=2（。一4）.

2

y,+2乃+2,A±1.A±__I

由A3_LAD,得二一=即才c抬.=

x,-2-2^--2--2

22

所以—2（乂+%）+8=0.

又X%+%）2-（才+创=Q"4）2-2（司+9）]

=；[4（。一4『-甸=2/_184+32,

故X%-2（%+%）+8=。可转化为2〃2—18〃+32-4（〃-4）+8=0,

即〃2一11〃+28=0.解得〃=7或a=4.

k=%-X==2=1

所以直线的斜率如一々—王一义—近一%+%一4一4.

万一万

当a=4时，斜率不存在；当a=7时，斜率的0=:.

所以直线3。的斜率为;.

19.（本小题满分17分）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用.设A