山东省菏泽、单县2024届高考仿真模拟数学试卷含解析

山东省荷泽一中、单县一中2024届高考仿真模拟数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

—%3+%2,X<1

1.已知函数/(x)=〈，若曲线y=/(x)上始终存在两点A,B,使得。4,05,且A5的中点在y

-----------,x>l

x(x+l)

轴上，则正实数〃的取值范围为()

I

A.(0,+co)B.C.-,+ooD.[e,+co)

e

2.已知抛物线C:/=4x和点。(2,0),直线尤=9-2与抛物线。交于不同两点A,B,直线与抛物线。交于

另一点E.给出以下判断：

①以助为直径的圆与抛物线准线相离；

②直线OB与直线OE的斜率乘积为-2；

③设过点A,B,E的圆的圆心坐标为S,切，半径为厂，则Y—r=4.

其中，所有正确判断的序号是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

3.设机，〃均为非零的平面向量，贝！1“存在负数2,使得加=力?”是“相•〃<()”的

A.充要条件B,充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

2

4.在AABC中，C=30°,cosA=--,=—2,则AC边上的高为()

正D.叵

A.B.2C.75

22

x+y<2

5.若变量满足，2x-3y<9,则f+y2的最大值为()

x>Q

81

A.3D•乙L•un.1Un

13

6.点。为棱长是2的正方体ABC。-ABIG，的内切球。球面上的动点，点M为四G的中点，若满足

则动点P的轨迹的长度为()

2亚兀4后8号

A.

~5~555

22

7.椭圆事+'=1的焦点为耳,鸟，点P在椭圆上，若IP耳|=2,则/耳「耳的大小为()

A.150°B.135°C.120°D.90°

22

8.已知椭圆「:=+与=1(°>6>0)的左、右焦点分别为耳，工，上顶点为点A，延长AG交椭圆广于点3,若ABF1

ab

为等腰三角形，则椭圆厂的离心率e=

1R百

A.-B.------

33

C.

22

9.中国古典乐器一般按“八音”分类.这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼•春

官•大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏(pao),竹”八音,其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”

为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为()

31112

A.—B.—C.—D.一

1414147

10.下列命题为真命题的个数是()(其中万，e为无理数)

©Ve>—；®Inyr<—；(3)In3<-.

23e

A.0B.1C.2D.3

11.设递增的等比数列｛q｝的前"项和为s“，已知04=三，3«4-10«3+3a2=0,则%=()

Q

A.9B.27C.81D.-

3

12.已知函数"x)=2sin3x+0)—1(啰>0,。<。<不)的一个零点是函数y=/(X)图象的一条对称轴是

直线x=-g,则当。取得最小值时，函数/(%)的单调递增区间是()

女》号,3小；

A.3k兀——,3k兀——(左wZ)B.(ZreZ)

_36」

…2〃八,71

C.2k兀------,2k兀——(ZreZ)D.2k7l--,2k7l--(左eZ)

3636

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/（%）=（"一口乂靖—111%）,若在定义域内恒有，（乃＜0,则实数。的取值范围是.

\nx-ax

14.在平面直角坐标系中，已知工匚），二；J.,|，若圆」-上有且仅有四个不同的点C,使得△ABC

的面积为5,则实数a的取值范围是—.

15.设复数z满足（l+i）z=4-2i,其中i是虚数单位，若三是z的共轨复数，则三=.

16.已知数列｛4｝满足％=L对任意心2,〃eN*,--一——=2n-\则数列｛4｝的通项公式a〃=.

anan-\

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城

镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.

（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？

城镇居民农村居民合计

经常阅读10030

不经常阅读

合计200

（2）从该地区城镇居民中，随机抽取5位居民参加一次阅读交流活动，记这5位居民中经常阅读的人数为X,若用

样本的频率作为概率，求履机变量X的期望.

„„叱2n(ad-bc)~“一,,

附：K=----------------------------------，其中〃=a+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

设淮）0.100.050.0250.0100.0050.001

k02.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.（12分）已知抛物线G：y2^2px（。＞0）上横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4.

(1)求P的值；

(2)设(0</<2)为抛物线G上的动点，过尸作圆(龙+1)2+/=1的两条切线分别与y轴交于A、B

两点.求IA却的取值范围.

19.(12分)已知函数/(x)=lnx—以+g(a,beR),且对任意x>0,都有/(x)+/[j=O.

(I)用含。的表达式表示b；

,2、

(II)若/(九)存在两个极值点x2,且不<々，求出。的取值范围，并证明了.>0；

I27

cm)在(II)的条件下，判断y=/(x)零点的个数，并说明理由.

20.(12分)已知函数/(%)="一(a+l)lnx-，+2(i£R).

(1)讨论函数/(九)单调性；

(2)当a=—2时，求证：f[x)<ex-2x--.

21.(12分)已知动圆。经过定点尸(0,。)，且与定直线/：y=-。相切(其中a为常数，且。>0).记动圆圆心。的

轨迹为曲线C.

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线？

(2)设点尸的坐标为(0,-。)，过点尸作曲线C的切线，切点为A,若过点尸的直线机与曲线C交于M,N两点，

则是否存在直线机，使得NA2%/=NA2W?若存在，求出直线机斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.

22.(10分)已知变换T将平面上的点”,g],(0,1)分别变换为点R-2,U1,41设变换T对应的矩阵为

(1)求矩阵M；

(2)求矩阵M的特征值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

根据A3中点在y轴上，设出A,B两点的坐标a>o).对f分成三类，利用

则04.03=0,列方程，化简后求得。=/二，利用导数求得二的值域，由此求得。的取值范围.

In?Int

【详解】

根据条件可知A,3两点的横坐标互为相反数,不妨设A(-t,t3+t2),即,/⑺)，C>0),若f<1,则/⑺=+/,

由。4,05,所以。4.03=0，即一/+,3+/)(—/3+/)=0,方程无解；若/=],显然不满足01_103；若/〉1,

则/«)=丁不，由03=0,即-+卜+/)丁==0,即。=「，因为—=一,~",所以函数「

在(O,e)上递减，在(e,上递增，故在/=e处取得极小值也即是最小值自=6,所以函数y=.在(1+8)上的

值域为[e,+8),故ae[e,+8).故选D.

【点睛】

本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最

小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目.

2、D

【解析】

对于①，利用抛物线的定义，利用4=叫住=型上」也>学=氏可判断；

222

对于②，设直线。石的方程为工=阳+2,与抛物线联立，用坐标表示直线08与直线0E的斜率乘积，即可判断；

对于③，将％=3-2代入抛物线。的方程可得，以为=8,从而，力=-%，利用韦达定理可得

|BE|2=16m4+48m2+32,再由「=|MN『+(与1),可用m表示严，线段助的中垂线与x轴的交点(即圆心

N)横坐标为2〃/+4,可得a,即可判断.

【详解】

如图，设口为抛物线C的焦点，以线段破为直径的圆为〃，则圆心〃为线段班的中点.

设3,E到准线的距离分别为4，d2,M的半径为R,点M到准线的距离为d,

显然3,E,产三点不共线，

则4=或±口1=变1旦也＞型1=氏.所以①正确.

222

由题意可设直线DE的方程为x^my+2,

代入抛物线。的方程，有丁―4切-8=0.

设点3,E的坐标分别为（王,%），（42，%），

则%+%=4根，乂%=-8.

所以王/=。孙+2）。佻+2）=疗％为+2帆（％+%）+4=4.

则直线06与直线OE的斜率乘积为"=-2.所以②正确.

xxx2

将》=2代入抛物线c的方程可得，力为=8,从而，%=-%•根据抛物线的对称性可知,

A，E两点关于x轴对称，所以过点A,B,£的圆的圆心N在x轴上.

由上，有%+%=4加,%+/=4〃/+4,

22

则|BE|=（%1+/）--4XJ%2+（必+y2y-4%%=+48m+32.

所以，线段BE的中垂线与％轴的交点（即圆心N）横坐标为2m2+4,所以a=2m2+4.

于是，/=1^2V|2=12m2+4—+4m4+12m2+8,

代入%+%2=4"厂+4,%+%=4根，得户=4m4+167*2+12,

22222

所以a-r=(2m+4)—(4/+16/n+12)=4.

所以③正确.

故选：D

【点睛】

本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.

3,B

【解析】

根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论.

【详解】

因为加，〃均为非零的平面向量，存在负数X,使得机=4〃，

所以向量机，〃共线且方向相反，

所以加•〃<(),即充分性成立；

反之，当向量加，”的夹角为钝角时，满足〃2力<0,但此时冽，“不共线且反向，所以必要性不成立.

所以“存在负数2,使得机=X"”是“m-n<Q”的充分不必要条件.

故选B.

【点睛】

判断P是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件P能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件P，定义法

是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确.

4、C

【解析】

结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得边长，由此求得AC边上的高.

【详解】

过3作5DLC4,交。1的延长线于。.由于cosA=—2,所以A为钝角，且sinF=Jl—府4=好,所以

33

sinZCBA=sin(^-ZCBA)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=—x—=~-.在三角形

''32326

BC_^5-2

ABC中，由正弦定理得一二=^—,即石一庄-2,所以BC=26.在RfABCD中有

sinAsmB--------

36

BD=BCsinC=2#x；=下,即AC边上的高为君.

故选:C

B

【点睛】

本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题.

5、D

【解析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可.

【详解】

\+y<2

解：画出满足条件2x-3yW9的平面区域，如图示：

x>Q

如图点坐标分别为A（0,-3）,B（3,-1）,C（O,2）,

目标函数x2+y?的几何意义为，可行域内点（乂y）与坐标原点（0,0）的距离的平方，由图可知B（3,-l）到原点的距离

最大，故（上+力=32+（-1）2=10.

故选：D

【点睛】

本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题.

6、C

【解析】

设片8的中点为〃，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出氏平面。这样可以

确定动点P的轨迹，最后求出动点P的轨迹的长度.

【详解】

设与6的中点为"，连接因此有而而DC,CHu平面CDH,DCCH=C,

因此有平面。CH,所以动点P的轨迹平面。CH与正方体AB。-A4G，的内切球。的交线.正方体

ABCD-^B^D,的棱长为2,所以内切球。的半径为R=l,建立如下图所示的以。为坐标原点的空间直角坐标系:

因此有0(1』」),C(0,2,0),H(2,2,1),设平面DCH的法向量为加=(x,y,z),所以有

m±DCm-DC=Q2y=0

/c八=加=(1,0,-2),因此。到平面OCH的距离为:

m1DHm-DH=Q2x+2y+z=0

\mOD\______o反A仁

d==所以截面圆的半径为：r=痛彳=处，因此动点P的轨迹的长度为2万厂=生

网555

故选:C

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和

数学运算能力.

7、C

【解析】

根据椭圆的定义可得忸司=4,闺=2近，再利用余弦定理即可得到结论.

【详解】

由题意，寓匐=24,|尸司+|尸耳|=6,又归闾=2,则归耳|=4,

附「+怛月2—闺用216+4—281

由余弦定理可得cosN片「乙=

2|叫•明2x2x42

故/耳空=120°.

故选：C.

【点睛】

本题考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查运算能力，属于基础题.

8、B

【解析】

设|%|=f,则|B4|=2a-f,\AB\=a+t,

因为|明|=*所以若|44|=|8月|,则0=21,所以"乙

所以IMI+I即"=|AB|=2a,不符合题意，所以|5E|=|A3|,贝！）2。—=。+/,

所以a=2f,所以|即"=|A3|=3r,|AF}\=2t,设贝！|e=sin。，

在A3片中，易得cos2d=；,所以1—2sin26=；,解得$也。=当（负值舍去），

所以椭圆厂的离心率e=中.故选B.

3

9、B

【解析】

分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.

【详解】

从“八音”中任取不同的“两音”共有或=28种取法；

“两音”中含有打击乐器的取法共有C；-C：=22种取法；

—2211

所求概率P=—=--

2814

故选：B.

【点睛】

本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.

10、C

【解析】

2

对于①中，根据指数塞的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数〃x)=lnx-§,x〉0,

利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到/(»)>/,),即可判定是错误的；对于③中，构造新函数

f(x)=e\nx-x,x>0,利用导数求得函数的最大值为/(e)=0,进而得到/(3)<0,即可判定是正确的.

【详解】

由题意，对于①中，由(及了=6(当=2=2.25,可得e>2.25,根据不等式的性质，可得G〉』成立，所以是正

242

确的；

21

对于②中，设函数/(%)=lnx—鼻/〉。，则/(%)=—>0,所以函数为单调递增函数，

因为"〉e,则/■(句>/(e)

2?12

又由/(e)=lne—§=1—§=§>0,所以/(乃)>0,即山乃>§,所以②不正确；

对于③中，设函数/(x)=elnx—x,x>0,则/(力=工一1=,

X

当xe(0,e)时，/'(x)>0,函数/(x)单调递增，

当xe(e,+s)时，/(%)<0,函数/(九)单调递减，

所以当x=e时，函数取得最大值，最大值为/(e)=elne-e=0,

3

所以/(3)=eln3—3<0,即eln3<3,即ln3<^,所以是正确的.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求

得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

11,A

【解析】

根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得知的值.

【详解】

设等比数列｛4｝的公比为q.

由3%+3出=0，得3q2-10q+3=0,解得4=3或q=

因为邑>0.且数列｛4｝递增，所以q=3.

又业巧=竺，解得%=:，

41-333

1,

故"4=§义33=9.

故选：A

【点睛】

本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

12、B

【解析】

根据函数/（%）的一个零点是x=f,得出=再根据x=—£是对称轴，得出—fo—°=kez,

313J662

求出W的最小值与对应的9,写出/（龙）即可求出其单调增区间.

【详解】

\

717TC0£

依题意得，f—|=2sin—^―+夕卜1=0,即sin—^-+

3372

左力/口7CCD77C7CCD57r.z、z-x

解得----(p=2k[7i—或-----(p=2k?7兀4-----(其中％1,&7£Z).①

3636

.(7TCD

又SH1------+0±1,

I6

即—等+0=《%+1（其中左3CZ）.②

由①—②得曹=（2%一%3）万一（或曹=（2左2+y»

2?2

即G=2（2左］—左3）—飞或@=2（2左2—左3）+3（其中左1，女2，左3WZ）,因此0的最小值为

E，.n3冗|jr71JT71

因为sin-------F(p-sin---+(p=±1,所以——*(p=—*k兀(^eZ).

\69J9922

/

27171271

又Tf。C＜0〈%，所»以xt0=3冗+不冗,所以/(x)=2sin—x+—+—|-l=2cos—x+—|-1,

32939

27T57c7T

令2左万一刀■〈一——<2k?i(A:GZ),则3左1------<x<3k/c-----(kEZ).

3936

54JI

因此，当。取得最小值时，/（九）的单调递增区间是3^--,3^--（丘Z）.

36

故选：B

【点睛】

此题考查三角函数的对称轴和对称点，在对称轴处取得最值，对称点处函数值为零，属于较易题目.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-

【解析】

根据指数函数y=/与对数函数y=lnx图象可将原题转化为（/-ax）（lnx-以）＜0恒成立问题，凑而可知V=改

的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间；利用过一点的曲线切线的求法可求得两切线斜率，结合分母不为零

的条件可最终确定。的取值范围.

【详解】

由指数函数y=炉与对数函数y=Inx图象可知：/＞Inx，

.../（龙）＜0恒成立可转化为，'一°”＜0恒成立,即ox）（lnx—。%）＜0恒成立，.•.ejQOlnx，即,=⑪是

Inx-ax

夹在函数丁=e*与y=lnx的图象之间，

--y=ax的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间.

设过原点且与y=Inx相切的直线与函数相切于点（m,In加），

[m=e

|Inm

则切线斜率尤=—=——,解得：1;

mmk[=一

、e

设过原点且与y二产相切的直线与函数相切于点（凡e〃）,

则切线斜率左=e〃=—,解得：＜7；

n[k2=e

当〃二,时，In%—工；rVO,又Inx—依w0,.•.〃=,满足题意；

eee

综上所述：实数。的取值范围为

【点睛】

本题考查恒成立问题的求解，重点考查了导数几何意义应用中的过一点的曲线切线的求解方法；关键是能够结合指数

函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题；易错点是忽略分母不为零的限制，忽略对于临界值能否取得

的讨论.

14、()

【解析】

求出45的长度，直线方程，结合△ABC的面积为5,转化为圆心到直线的距离进行求解即可.

【详解】

解：AB的斜率ks°/|ABJG-Q+U+D：

=—―="L

九41

______5,

==

设^ABC的高为h,

则,•,△AbC的面积为5,

：.S\AB\hh=5,

=L=£x5

即h=2,

直线AB的方程为y-ax9即4x-3y+3o=0

若圆X2+J2=9上有且仅有四个不同的点C,

则圆心。到直线4x-3y+3a=0的距离d一一，

则应该满足d<R-ft=3-2=1,

得|30V5

得a,

一：vB

故答案为：（

【点睛】

本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，求出直线方程和A3的长度，转化为圆心到直线的距离是解决本题的关键.

15、l+3i

【解析】

口十4-2i(4-2i)(l-i),,

由于z==F=-2—=1-31,则z=l+3i.

【解析】

利用累加法求得数列—的通项公式，由此求得｛4｝的通项公式.

【详解】

1f11)(11)(11)1

由题，——=---------+-------------H------------1---------------H----------

an\册an-l7\an-\27I“2%J%

=1+2+2?+…+2"T=2"-1

所以q=不二

Z—1

1

故答案为:

2,!-1

【点睛】

本小题主要考查累加法求数列的通项公式，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.(2)E(X)=—

【解析】

(1)根据题意填写列联表，利用公式求出长2,比较K?与6635的大小得结论;

(2)由样本数据可得经常阅读的人的概率是g,则乂~66]]根据二项分布的期望公式计算可得;

【详解】

解：(1)由题意可得:

城镇居民农村居民合计

经常阅读10030130

不经常阅读403070

合计14060200

则k2_200x(100x30-40x30)2

'-140x60x130x70»8.477>6.635,

所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.

(2)根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取1人，抽到经常阅读的人的概率是：，且所以随

525

机变量X的期望为E(X)=5x-=—.

77

【点睛】

本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的数学期望的计算，考查运算求解能力，属于基础题.

18、(1)°=2；⑵0<|AB|<2

【解析】

(1)根据横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4,由抛物线的定义得到3+2=4求解.

2

|y0-^(x0+l)|

(2)设过点P(%,%)的直线方程为y-%=左(X-%),根据直线与圆(x+l)2+y2=1相切，则有=1,

jE+1

整理得：(/2+2x°)左2_2%(%+1)左+(%2_1)=0,根据题意A(0,为_//)，5(0,%_&%)，建立

|A.=%-&|%=/J(占+&1一4左的，将韦达定理代入求解.

【详解】

(1)因为横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4,

由抛物线的定义得：3+"=4,

2

解得:P=2.

(2)设过点%)的直线方程为y-%=以X—X。),

因为直线与圆(*+1)2+丁=1相切，

所以跖4%,

整理得：(玉2+2%)42—2%(%+1)左+(为2T)=0，

匕+&=23(：；+晨为=4^-，

%0+2%0%+2%0

由题意得：A(0,y0-Zqx0),B(0,y0-^2x0)

所以|A可二|左i一4/=/4柩2，=2『。(xW=(二a)?+(%+2)+1，

因为0<毛W2,

111

所以-------<—

x0+22

所以0<|AB|W2.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义及点与抛物线，直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

19、(1)b=a(2)见解析(3)见解析

【解析】

试题分析：利用赋值法求出。力关系，求函数导数，要求函数有两个极值点，只需/(%)=。在(0,+s)内

有两个实根，利用一元二次方程的根的分布求出。的取值范围，再根据函数图象和极值的大小判断零点的个数.

试题解析：(I)根据题意：令％=1,可得/(1)+/0,

所以/(1)=—a+b=O,

经验证，可得当a=b时，对任意x>0,都有"x)+/[[=0,

所以/?=〃.

(II)由(I)可知/(x)=hu—ta+W,且x>0,

JC

2

—QX+%—a

所以''(九)----a---2

2

XXX

^g(x)=-cuc+x-a,要使/(力存在两个极值点花,%，则须有y=g(x)有两个不相等的正数根，所以

a>0,a<0,

—>0,—>0,

{2a或{2〃

人=1—4/>0,4,=1—4/>0,

g(0)=-a<0g(0)=-a>Q

解得0<a<工或无解，所以。的取值范围0<。<,，可得0<土<!，

2228

，2、22G2

由题意知f=In—-----H—=21n(2+————ln2,

[2)22aa2

令3日…1（2则%

而当时，-3X4+4X-4=-3X4-4(1-X)<0,即〃(X)<0,

所以力⑺在卜，上单调递减，

所以

A(x)>/?-U-21n2+4---ln2>--31ne>0

。1615

即0<a<—时，f—>0.

2I2J

2

—CIX~\rX—Cl

(in)因为,g(x)=-ar2+x-a.

XX

令……乜4

由（II）知0<a<g时，丁=8（%）的对称轴工=：6。,+00）,A=1-4«2>0»g（。）=一。<0,所以%>1.

又再泡=1，可得芭<1，此时，/（%）在（°，石）上单调递减，（石,々）上单调递增，（乙，”）上单调递减，所以V=/（x）

最多只有三个不同的零点.

又因为“1)=0,所以(％,1)在“X)上递增,即行［知1)时,“同<0恒成立.

根据⑵可知，餐〉0且0<£<L所以三武和1),即三«0,石)，所以现e+，再，使得/(%)=0.

I272822I2

1(1A、

由得一〉1,又/—=-/(%0)=0,/(1)=0,

X。

/、1

所以/(%)恰有三个不同的零点：/，1,—,

工0

综上所述，y=/(x)恰有三个不同的零点.

【点睛】利用赋值法求出关系，利用函数导数，研究函数的单调性，要求函数有两个极值点，只需/'("=0在

(0,转)内有两个实根，利用一元二次方程的根的分布求出。的取值范围，利用函数的导数研究函数的单调性、极值,

再根据函数图象和极值的大小判断零点的个数是近年高考压轴题的热点.

20、(1)见解析(2)见解析

【解析】

(1)根据/(九)的导函数进行分类讨论/(x)单调性

(2)欲证/(x)</—2x—L只需证lnx+2<e',构造函数g(x)=lnx—/+2,证明且⑺晔④，这时需研究

g(x)的单调性，求其最大值即可

【详解】

解：(1)/(%)=以一(“+1)111兀一工+2的定义域为(0,+00),

2

XXXX

①当々<0时，由广(x)vo得X>1,由广(x)>0,得xvl,

所以〃力在(0,1)上单调递增，在(1,+8)单调递减;

②当0<〃<1时，由/(x)<0得1<%<L由r(x)>o,得xvl,或x>—,

所以“X)在(0,1)上单调递增，在［1,£|单调递减，在单调递增；

③当a=1时，/，(％)=所以/(%)在(o,+“)上单调递增；

X

④当a>l时，由/'(x)<0,得:<x<l,由/''(x)>。，得x<:，或无>1，

所以/(%)在10,£|上单调递增，在，单调递减，在°,+8)单调递增.

(2)当a=—2时，欲证/(x)<e“—2x—工，只需证lnx+2</,

X

令g(x)=lnx—e*+2,XW(0,~H»),则g，(x)=L—e*,

因存在％e(0」)，使得工=/°成立，即有%=一111%，使得g'(%)=0成立.

当X变化时，g'(x),g(x)的变化如下：

X