2023-2024学年高二数学期末模拟卷1（全解全析）（新高考地区专用）

2023-2024学年上学期期末模拟考试01

高二数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、

准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程、圆锥曲线、数列。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.直线x+与一1=0的倾斜角是（）

7T兀2兀5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解.

【详解】设直线的倾斜角为04。＜无，

直线x+_1=0可化为y=-gx+g，

所以直线的斜率后=tan9=_。，

:.8=史,

6

故选：D.

2.己知）=（G,X,2）,第=卜3,百2g）分别是平面tz,尸的法向量，若a〃尸，贝!]x=（）

A.-7B.-1C.1D.7

【答案】B

【解析】

【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解

【详解】因为成=（百,x,2）,%=2君）分别是平面a1的法向量，且a〃尸，

所以成〃后，即5=定=/9,解得x=T

故选：B

3.设等比数列｛与｝的前“项和为S"，若的=2,且出，%，%-2成等差数列，则$4=（）

A.7B.12C.15D.31

【答案】C

【分析】设出公比，根据%,%，%-2成等差数列列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式

得到答案.

【详解】设公比为4（4N0）,因为。2，的，Q-2成等差数列，所以2%=%+%-2,

则2x2q=2+2q2-2,解得：q=2或0（舍去）.

1_?4

因为4=2,所以4=1,故S4=-------=15.

1-2

故选：C

4.设aeR,则“a=1”是"直线（a+l）x+ay+3=0与直线2ax+y—5=0平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也

不必要条件

【答案】A

【分析】根据直线平行的条件和充分必要条件的概念可判断结果.

【详解】因为直线（。+1）*+即+3=0与直线2办+了-5=0平行的充要条件是a+i=2〃旦

-5（a+l）6a,解得4=1或0=」.

2

所以由充分必要条件的概念判断可知：“。=1”是“直线（。+1）x+砂+3=0与直线2ax+y-5=0平行”

的充分不必要条件，

故选：A

5.如图，在四面体CM3C中，E=或方=氏灰=1.点M在0/上，且OM=2MA,N为BC

中点，则砺等于（）

2-11一

B.——a+—br+—c

322

2-1_

D.—a+—b——c

332

【答案】B

【解析】

【分析】连接ON,利用空间向量基本定理可得答案.

【详解】连接ON,丽=而一而=|■（赤+4）一=++

6.已知圆G：/+卜2=1与圆。2：+/—8X+6.V+加=0相内切，则G与G的公切线方程

为（）

A.3%-4j-5=0B.3x-4v+5=0

C.4x-3j-5=0D.4x-3y+5=0

【答案】D

【解析】

【分析】由两圆的位置关系得出加，进而联立两圆方程得出公切线方程.

【详解】圆G：/+「=i的圆心。］（（）,0）月=1,圆。2：8x+6y+m=0可化为

（x-4）2+{y+3）2=25-m,（加<25）,则其圆心为。2（4,-3）,半径为.=J25-加，

因为圆a与圆G相内切，所以马―i=|aa|,即々=542+32+1=6,故加=—11.

x2+y2=1

由<,,，可得4x-3y+5=0,

x~+y~—8x+6y—11=0

即G与C2的公切线方程为4x-3v+5=0.

故选：D

7.已知数列｛与｝满足%-。用=竽F，且。2=-1，若怎=166,则正整数上为（）

A.13B.12C.11D.10

【答案】B

【分析】确定工=。7，利用累加法确定%=-2"-2,代入计算得到答案.

a

n+\anz2

【详解】4,一%+1=等平，故一一一；=与，a2=-l,故％

/%+1%NZ

11.1

■^7+,"422“-2

ak=16a8,即-2"z=-16x26=-2i°,故无-2=10,解得左=12.

故选：B

22

8.已知E为椭圆C：三+二=1（。〉6〉0）的右焦点，P为C上的动点，过尸且垂直于x轴的直

a2b2

线与C交于M,N两点，若等于|尸目的最小值的3倍，则C的离心率为（）

BDW

-I32

【答案】B

【解析】

?人2

【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得。，|"N|="，再根据已知列式，结合椭

圆a、b、c的关系，求出离心率即可.

l（a〉b〉O）的右焦点，尸为C上的动点,

由椭圆的性质，可得=4—C.

,••过尸且垂直于X轴的直线与C交于M,N两点,

：.\MN\=—.

a

V\MN\等于|尸尸|的最小值的3倍,

••・椭圆中〃=。2,

2--°?）=3a~—3ac,即2c2—3ac+a2=0>

2e2-3e+l=0，解得e=—或e=l（舍）.

2

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

22V—匕=1,则

9.已知曲线G：4x+3y=48,C2

3

A.G的长轴长为4

B.C2的渐近线方程为y=±瓜

c.£与G的焦点坐标相同

D.G与c2的离心率互为倒数

【答案】BD

【解析】

【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可.

22

【详解】曲线Cj4/+33?=48整理得上+匕=1,则曲线G是焦点在夕轴上的椭圆，其中

1216

C21

d=16&=12,所以4二〃—,离心率为；

%42

故曲线G的长轴长2q=8,故A不正确；

曲线。2：――。=1是焦点在x轴上的双曲线，其中宕=16=3,所以c；=a；+公=4,离心

。22

率为6=二=；=2,故与曲线G的焦点位置不同，故C不正确；

。21

C2：V—：=1的渐近线方程为了=±氐，故B正确；

又弓忍2=gx2=l,所以G与02的离心率互为倒数，故D正确.

故选：BD.

10.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S.，若邑3>。，邑4<。，则下列结论错误的是（）

A.数列｛%｝是递增数列B.%>。

C.当s“取得最大值时，”=13D.|a13|>|a12|

【答案】ABC

【分析】由已知邑3>0,邑4<。，利用等差数列求和公式与等差数列的性质可得：«12>0,«12+0,3<0,

进而判断选项即可.

【详解】因为｛%｝是等差数列，且邑3>0,邑4<0,

所以23（力+4）=23%2〉0,24（°；%）=241[%）=.（牝+阳）〈0,

即牝aL3父。，所以％2>0,«13<0>且|/3|>|%2|,所以B错误，D正确;

因为4=小-出〈0,所以等差数列｛%｝是递减数列，所以A错误；

所以当”=12时，5“取得最大值，所以C错误.

故选：ABC

11.如图，在棱长为2的正方体48CD—中，E,尸分别为4片，N5的中点，则下列结论

直线CF到平面ZE。的距离为逅

B.

3

直线4G与平面而1所成角的余弦值为U

6

D.直线4G与直线用尸所成角的余弦值为典

10

【答案】ABD

【解析】

【分析】以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可结合选项逐一求解.

【详解】在棱长为2的正方体/BCD—44cA中，E,尸分别为4鸟，N3的中点,

以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图,

8(2,2,0),4(2,0,2),G(0,2,2),48=(0,2,-2),羽=(-2,2,0),

则点B到直线4G的距离为:

"福』_()2=26Jl一(丁匕〒f,故A正确;

V148H4GlV2V2-2V2

2(2,0,0),F(2,l,0),£(2,1,2),C(0,2,0),

酝=(2,-1,0),下=(0,1,2),AQ=(-2,2,2),方=(01,0),

设平面AEC1的法向量为=(xJ,z),

n-AE=y+2z=0

则《_.■,取x=l,得力=(1,2,—1),

n-ACX=-2x+2y+2z=0

由于及尸分别为4片，as的中点，所以M//CG且£E=cq,

因此四边形厂CCS为平行四边形，故£C"/EC,

又/C.平面AEC,,EC】u平面AEC,，所以C尸〃平面AEQ,

•••直线CF到平面AEQ的距离为d=窄”=京=g，故B正确;

设直线4G与平面NEG所成角为，，则sin6=匕,〃，=，=g,故C错误;

|AXCX\-\n\272766

瓦(2,2,2),^F=(0,-1,-2),

设直线4G与直线ByF所成角为，，则cos0=上：:厂=黑，故D正确.

|4G|•|I2V2-V510

故选：ABD.

12.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角

垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…设第〃层有4个球，从上往下〃层球的

总数为S“，则下列结论正确的是()

A.凡=20B.a“+「a”=n

n(n+\\11112023

C.S-S.=—^-----L,n>2D.—+一+—+-•-+----=-r—

nn~l2a\a2a3〃20231012

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据每层球数变化规律可直接求解得到AB正误；利用累加法可求得C正确；采用裂项相

消法可求得D正确.

【详解】对于A,邑=%+。2+%+%=1+3+6+10=20,A正确；

对于B,由每层球数变化规律可知：%=〃+l(〃eN*),B错误；

对于C,当时，

/\/\\72(72+1)

a

n=(4__a『2)+…+_%)+%=〃+_1)+…+2+1=----------；

当〃=1时，％=1满足~~)；

n(n+\\,、

・••S"—S"T=4=-^(〃22),C正确;

1^=21-J-

对于D,—

a„+〃+1

1111,<111112023

/.—।-----1------1-----1-------二2x1-----1---------1-----F

(=2*

%。2。2023223202320241012

正确.

故选：ACD.

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知四棱锥P—/BCD的底面Z5CD是平行四边形，若丽=*苏+>诟+2定，则

型=.

【答案】-1

【解析】

【分析】根据空间向量的运算及空间向量基本定理得答案.

【详解】因为四棱锥P-45CD的底面/BCD是平行四边形，所以

PD^PA+AD=PA+BC=PA+PC-PB'

又丽=+y方+z无，由空间向量基本定理可得，x=l,y=-l,z=l,故xyz=-1.

故答案为：-L

14.已知数列｛%｝的前"项和为S,,,若8“=2%+1,则an=.

【答案】—2'1

【解析】

【分析】先令〃=1得至U%=-1,再令〃上2得至IS,T=2aLi+1，从而得到—=2(〃22)为常

an-\

数，得到数列｛%｝是首项为-1，公比为2的等比数列，从而直接求得通项公式.

【详解】令〃=1,得％=百=2q+1,所以q=-1；

令〃22,则=2%T+1,

两式相减得,Sn—Sn_1=2%-2%_],BPan=2an—2an_i,

所以%=2%_i(〃22),

因为q=-1。0,所以%wO,

所以反=2(〃22)为常数，

an-X

所以数列｛%｝是首项为-1,公比为2的等比数列，

所以%=—1X2"T=_2"T.

故答案为：-2'1

15.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在/时，

拱顶离水面2米，水面宽4米.当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为米.

9

【答案】4.5##-

2

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为V=加了，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得

解.

【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为/=冲，

将/（2,—2）代入/=加了，得m=-2,所以》2=—2y.

设8（3,%）,代入9=—2%，得为=—4.5.

所以拱桥到水面的距离为4.5m.

故答案为：4.5.

16.如图，我们把由半椭圆片+二=1鼠<0）和半椭圆工+或=

二l（x〉O）合成的曲线称作“果

169V'2516

圆”.大，鸟，心是相应半椭圆的焦点，则AGga的周长为一直线了=，与“果圆”交于A,

3两点，且48中点为W,点M的轨迹方程为______.

【答案】①.8+277②.x2+^-=l（x>0）

【解析】

【分析】根据各半椭圆方程可得片，F2,鸟的坐标，再根据两点间距离公式求得距离及周长；分

别表示点A,B的坐标，利用中点公式表示“，消参即可得到点“，得轨迹方程.

【详解】由片，巴，片是相应半椭圆的焦点，

可得月(0,⑺，8(0,-⑺,骂(3,0),

22

所以闺闻=2g,闺闾=J(3_0y+(0_近『=4，\F2F31=^(3-0)+(0+V7)=4.

故所求周长为4+4+26=8+2近；

设M(x,y),

联立直线少=/与《+三=l(x<0),得x=-6T2,

169v74

即点A^——yJ16—t2,

联立直线>=/与工+二=l(x〉0),得X=」J16-72,

2516V74

即点8；J16—,且48不重合，即/彳4,

又M为AB中点,

X-..!------------........------

所以<24

即x=J16y2,X>0,整理可得/+二=1,

x>0,

416

故答案为：8+2J7，x2+^-=l(x>0).

四、解答题：本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤.

17.(10分)已知D/3C的顶点坐标为4一1,1),5(2,0),C(3,4).

(1)求48边上的高C。的长.

(2)求DABC的面积.

【答案】^

10

【分析】(1)求出直线NB的方程，利用点到直线的距离即可求解;

(2)求出的长，用面积公式即可求解.

【详解】(1)由题意，直线43的方程为：者=三二，即尤+3y-2=0.

1—0-1—2

故点C到直线的距离即为N8边上的高CD的长，

|3+3x4-2|13而

所以|CD|=

Vl+910

(2)因为|48|=历1=而，

所以D/8C的面积为：S“BC="圻卬F|■创而’

18.(12分)已知数列｛%｝是等差数列，也｝是各项均为正数的等比数列，数列也｝的前〃项和

为Sn,且7=b]—1f%="2+1，"4二邑.

(1)求数列｛%｝,抄"｝的通项公式；

(2)令a""(keN),求数列｛5｝的前12项和％•

【答案】(1)an=2n-l,b„=2"T

(2)2796

【解析】

【分析】(1)由数列｛%｝是等差数列，也“｝是各项均为正数的等比数列，设出公差和公比，根据题

意列出方程组求解即可；

(2)根据题意写出数列｛%｝通项公式，用分组求和法，结合等差等比求和公式求解即可.

【小问1详解】

设数列｛an｝的公差为d,数列也,｝的公比为q(q>0),

%+d=如+1d-q

由题意可得,即《2

q+3d=4(l+q+q2)q+q=3d

所以q2_2q=0,

因为q>0,所以d=q=2,

所以a,=1+2(〃—1)=2〃—1,bn=1X2"T=2"T.

【小问2详解】

2n一1,几=2k-l*

由⑴可得c"评…心，

所以｛4｝的所有奇数项组成以1为首项，4为公差的等差数列；

所有偶数项组成以2为首项，4为公比的等比数列.

所以，Tn=[cx+C3H--FC]J+(C2+04"I---

=(4]++…+%])+(4+"I-.+‘12)

6x(6-l)2X(1-46)

=6x1+———Lx4+—----=66+2730=2796-

21-4

19.(12分)已知直线x-y-2=0经过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点尸，且与。交于/,B

两点.

(1)求C的方程；

(2)求圆心在x轴上，且过/,3两点的圆的方程.

【答案】(1)/="；

(2)(x-10)2+r=96.

【解析】

【分析】(1)求出抛物线的焦点坐标，代入直线方程即可求解作答.

(2)根据给定条件，求出线段的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径作答.

【小问1详解】

依题意，抛物线C的焦点Rg,o）在直线X-V-2=0上，则々一2=0,解得P=4,

所以C的方程为/

【小问2详解】

由（1）知，抛物线C的准线方程为x=—2,设/（X1,%）,B（x2,y2）,的中点为M（x（）/o）,

—V—20x।x

由＜2'。消去y得/—12X+4=0,则须+々=12，有/7rA=6，%=/一2=4,

y2

即M（6,4）,

因此线段AB的中垂线方程为歹—4=—（x—6）,即y=—x+10,

令＞=0,得x=10,设所求圆的圆心为E,则£（10,0）,

又4s过C的焦点F,则有|/邳=|/佳|+|BF|=X1+2+X2+2=16,

设所求圆的半径为小则尸2=［四］+|Affi|2=82+42+42=96，

、2J

故所求圆的方程为（X—10）2+/=96.

20.（12分）已知数列｛%｝的前n项和S,,=2an-2.

（1）证明｛?｝是等比数列，并求｛2｝的通项公式；

（2）在g和a”.之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为的等差数列，求数列的

前n项和Tn.

【答案】（1）证明见解析，。，=2"

,n+3

（2）3--------

2"

【解析】

【分析】（1）利用%=S“-S“T（〃N2）及已知即可得到证明，从而求得通项公式；

1n+1

（2）先求出通项7=方］，再利用错位相减法求和即可.

【小问1详解】

因为S,=2%-2,

当〃22时，S"T=2q,T—2,

所以，当〃之2时，an=2%_],又为=2%-2,解得q=2,

所以｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

故%=2"

【小问2详解】

a-a2n1〃+1

因为%=2"所以4=。用册=上一,7

72+172+1an2

.111c1。1/八1

T=1------1-----1=2x—+3x--H----b(〃+l)x——，

“44dn2222rtJ

T八

升1=2cx»1+3rx>1+...+(/〃+l)x产1，

2

3n+3

21.(12分)如图，在四棱锥P—/BCD中，PCJ_底面48CD,四边形/BCD是直角梯形,

ADVDC,ABIIDC,PC=AB=2AD=2CD=2,点、E在棱PBk.

P

（1）证明：平面E/CJ_平面P2C；

（2）当砺=2而时，求二面角「一ZC—E的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵迪

3

【解析】

【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由勾股定理逆定理得到ZCIBC,从而证

明出线面垂直，面面垂直；

（2）解法一:以C为原点，CB,CA,CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建系，写出点的坐标

及平面的法向量，求出二面角的余弦值；

解法二：取的中点G,连接CG,以点C为原点，CG,CD,CP所在直线分别为x轴，y轴，z

轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；

【小问1详解】

因为PCJ_底面48CD,4Cu平面48c7）,

所以

因为28=2,AD=CD=1,所以ZC=8C=行.

所以4。2+3。2=282,所以

又因为PCcBC=C,PCu平面P2C,BCu平面尸3C,

所以平面P8C.

又/Cu平面E/C,

所以平面EZC_L平面P5C.

【小问2详解】

解法一：

以点。为原点，CB,CA,C尸所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C（0,0,0）,5（V2,0,0）,^（0,V2,0）,P（0,0,2）.

设点£的坐标为(x,y,z),因为屉=2而，所以1―J5,y,z)=2(—x,-y,2—z),

4「在n4)

即x=\£,>=o,z=—,所以£,u,.

333

37

31M

所以0=(0,正,0),CE=ju,.

33

\7

_,、n-CA=0

设平面NCE的一^M去向量为〃=(x,y,z),则<_.

n-CE=0

yfly=0

所以,收4八取x=2&，则F=°，z=-i.

---x+—z=0

所以平面/CE的一个法向量为】=(2拒,0,-1，

又因为平面为C,所以平面为C的一个法向量为而=(a,0,0).

设平面PAC与平面ACE的夹角为。,

所以，平面HC与平面/CE夹角的余弦值为宜2

3

解法二：

取的中点G,连接CG,以点C为原点，CG,CD,C尸所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立

如图所示

的空间直角坐标系，则C(0直,0),5(10),40,1,0),尸(0,0,2).

设点E的坐标为因为屉=2而，所以—+1,z)=2(—x,—y,2—z),

114(114

即x=一,y=—z=—,所以E；

3.33(333

所以而=(l/,0),CE=Q,-|,|j.

_,、n-CA=O

设平面NCE的一个法向量为"=(x,y,z),贝卜_.

"n-CE=O

x+j=0

3

所以《，取x=3,则y=-3,z=---.

"+造=。2

[33-3

所以，平面NCE的一个法向量为3=(3,—3,—

又因为1平面PAC,所以平面PAC的一个法向量为CB=(1,-1,0).

设平面PAC与平面ACE的夹角为。，

5=卜伍西/I辰1+(—3)x(—1)|_________=2V2

则