山东省济宁市2021届高三年级下册5月第二次模拟考试数学试题

山东省济宁市2021届高三下学期5月第二次模拟考试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知全集UeR,集合4{x|x22},5={x|log2（x-l）<l},贝!!（品/）八5=（）

A.（-oo,2）B.（-oo,2]C.（1,2）D.（1,3）

2.已知（2—i）-z=i,i为虚数单位，则目=（）

A.—B.1C.2D.V5

5

3.“直线加垂直平面。内的无数条直线”是“掰_1_&”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必安条件

4.已知随机变量X服从正态分布N（1Q2）,若P（X<0）=0.2,则P（X<2）=（）

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

5.已知椭圆C:工+^=1,过点P的直线交椭圆C于/、5两点，若P为45的

432J

中点，则直线48的方程为（）

A.3x—2y—2=0B.3x+2y—4=0

C.3x+4y-5=0D.3x-4j-l=0

6.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知点M（省1）和点N（0,l）.若点？在

NMON的角平分线上，且网=4,则亦加=（）

A.—2B.-6C.2D.6

/、-l+21nx,x>1"、”、

7.已知函数/（"=：]21nx0<x<l，若/（。）=/0）'则力的最小值是（）

A.2y[eB.eC.1+eD.2e

8,“曼哈顿距离”是由赫尔曼・闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学

用语.例如在平面直角坐标系中，点,0(%,歹2)的曼哈顿距离为：

42Txi一%|+|%一/卜若点尸(1,2),点。为圆。：/+了2=4上一动点,则4。的最

大值为()

A.1+V2B.1+2&C.3+V2D.3+2正

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.已知a〉b〉0,ceR,下列不等式恒成立的有()

10.函数/(x)=2cos2x—1+l(xeR),则下列说法正确的是()

A.若/(再)=/(%2)=3,则再一々=析(左eZ)

B.函数/(x)在-工，工上为增函数

63_

C.函数/(x)的图象关于点［三,1］对称

D.函数/(x)的图象可以由g(x)=2sin12x—g1+l(xeR)的图象向左平移方个单位

长度得到

11.已知/(x)是定义在R上的偶函数，/(I—x)=—/(1+x),且当xe［0,l］时，

/(力=/+%—2,则下列说法正确的是()

A./(x)是以4为周期的周期函数

B./(2018)+/(2021)=-2

C.函数歹=log2(x+1)的图象与函数/(x)的图象有且仅有3个交点

D.当xe［3,4］时，/(%)=x2-9x+18

12.如图，直四棱柱ABCD-AXBXCXDX中，底面ABCD为平行四边形，

1一/--,一

AB=AAX=—AD=1,NB4D=60°,点P是半圆弧4A上的动点(不包括端点)，点

。是半圆弧前上的动点(不包括端点)，则下列说法止确的是()

A.四面体必C。的体积是定值

B.N万的取值范围是(0,4)

C.若G。与平面4BCD所成的角为氏则tan，〉g

D.若三棱锥P-BCQ的外接球表面积为S,则Se［4兀,13兀)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知［x-2］的展开式中各项的二项式系数的和为128,则这个展开式中项的系数

是.

14.已知tan(巴一a］二一，则cos2a=.

14J2

22

15.设双曲线。:二一==1(。>0,6>0)的左、右焦点分别为用、片，过点片的直线/分

ab

别与双曲线的左、右支交于点/、B,若以48为直径的圆过点耳，且|/周=|即则

该双曲线的离心率为.

16.设函数/(x)=e*—cosx_2a,g(x)=x,若存在再,%e［0,兀］使得/(xj=g(x2)

成立，则迎，占的最小值为1时，实数a=.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

在①（sin8-sin=sin2/-sinBsinC；②2asinC=ctanZ；③

cB+Cc，,

2cos2-----=cos2A+1；

2

三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.

问题：已知△48C的内角4,B,C所对应的边分别为a,b,c,若b=C,

（1）求/的值；

（2）若sinB=J^sinC,求△/8C的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（12分）

已知数列｛4｝是正项等比数列，满足%是2%，3a2的等差中项，为=16.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）若4=（—l）%g2%+i，求数列也｝的前〃项和

19.（12分）

甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛，比赛采取五局三胜制，约定先胜三局者获胜，比

21

赛结束.假设在每局比赛中，甲获胜的概率为一，乙获胜的概率为一，各局比赛相互独立.

33

(1)求甲获胜的概率；

(2)设比赛结束时甲和乙共进行了X局比赛，求随机变景X的分布列及数学期望.

20.(12分)

如图，四边形48£尸是矩形，平面45CL平面/，。为中点，ZG45=120°,

AB=AC=4,AF=娓.

(1)证明：平面40尸J_平面BCE；

(2)求二面角E一40-£的余弦值.

21.（12分）

己知抛物线C：彳2=2处(夕>0),过点7(0,0)作两条互相垂直的直线/］和小/］交抛物线

C于4,5两点，6交抛物线。于£、厂两点，当点/的横坐标为1时，抛物线C在点/

处的切线斜率为工.

2

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)已知。为坐标原点，线段48的中点为线段斯的中点为N,求△(WN面积

的最小值.

22.(12分)

已知函数/(x)=xlnx-6zx2+x,g(x)=(l-(7)xlnx-ex-1,a>0.

(1)当。=1时，判断函数/(X)在定义域内的单调性；

(2)若/(x"g(x)+x恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1-8：CABDBACD

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.AD10.ACII.ACD12.BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

4r~1

13.8414.-15.V316.——

52

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解：（1）若选①：因为（sin8-sinOp=sin?/-sin5sinC,

所以由正弦定理得3-c）2=/—bc,整理得〃+。2—/="

所以cos

2bc2

jr

因为0<Z（兀，所以Z=

3

sin

若选②：因为2asinC=ctan/,所以2sin/sinC=sin。------，

cos4

即cosA——f

2

jr

因为0<4<兀，所以4=

3

若选③：因为2cos之=cos2/+l,所以cos（8+C）+l=2cos24-1+1,

即2cos2A+cosA-l=0,

解得cos4=—或cos4=-l,

2

jr

因为0<4<兀，所以2

3

（2）因为sing-J5sinC,由正弦定理得b=J5c,

因为。=、/5,所以C=1,

JcsinZ

所以

2224

18.解：(1)设数列｛%｝的公比为q,

因为由是2a1，3出的等差中项，

所以2%=2q+3a2,即2%/=2%+3a⑼,

,1

因为所以2/—3q—2=0,解得q=2或q=—2，

因为数列｛%｝是正项等比数列，所以q=2.

因为%=16,即%-4/-8%=16,解得q=2,

所以%=2X2"T=2".

(2)解法一：(分奇偶、并项求和)

2n+l

由⑴可知,a2n+1=2,

所以，”=(-!)”•暇%+1=(一1)"•1呜22用=(一1)"Q+1),

①若，为偶数，

7；=-3+5-7+9-L-(2〃-1)+(2〃+1)

=(-3+5)+(-7+9)+L+[-(2〃-1)+(2〃+1)]

=2。x—n=M

2

②若〃为奇数，

当〃23时，Tn=Tn_Y+bn=〃+1-(2〃+1)=-〃一2,

当〃=1时，7；=—3适合上式，

综上得北=『一2,为鬻数(或小("+1)(—1)"—1,〃eN*).

解法二：(错位相减法)

2n+1

由(1)可知，a2n+l=2,

所以，"=(T)"•四2*=(T)"-log222/=(7)".(2〃+1),

3

Tn=(-1)x3+(-IpX5+(-1)X7+L+(-l)"(2n+1)

所以=(_1)2x3+(-1)3x5+(—1)4x7+L+(-l)n+1(2/7+1)

所以27；=-3+2[(—I)?+(-1)3+L+(-1)"]-(-1)"+1(2«+1)

=-3+2义1-(；)

=—3+1—(―1广+(—1)"(2〃+1)

=-2+(2«+2)(-1)"

所以7；=(〃+l)(—1)"—1,〃eN*.

19.解：（1）由已知得，比赛三局且甲获胜的概率月=

比赛四局且甲获胜的概率为已x-x--—,

2\3J3327

比赛五局且甲获胜的概率为鸟x-=—,

\3J）381

所以甲获胜的概率为P=4+E+《

327278181

（2）随机变量X的取值为3,4,5,

则尸（一）=。+（小；

…)Ww

所以随机变量X的分布列为

X345

]_108

P

32727

所以E（X）f*x导5*=等

20.（1）证明：因为48=ZC,。为BC中点，所以4DL8C,

因为尸是矩形，所以E4_L45,

因为平面48C，平面平面48Cc平面48£9=48,

4Fu平面/庞广，所以4F_L平面48C,

因为BCu平面4BC,所以4FL8C,

又/尸，4Du平面40尸，AFr>AD=A,

所以8C，平面40尸，

又BCu平面BCE,所以平面40厂，平面8CE.

（2）解：由（1）知，4FL平面48C,

故以点/为坐标原点，分别以方，牙的方向为》轴、z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系/-孙z,

则/（0,0,0）,F（0,0,V6）,5（0,4,0）,C（2A/3,-2,0）,£（0,4,76）,

所以£（（君』,0）,

所以而=（道/,0）,AF=（0,0,V6）,AE=（0,4,76）,前=（2百6,0）,

由（1）知，就为平面4D厂的一个法向量，

设平面ADE的法向量为n=（x,y,z）,

则《ii-一AD=0，即《v3x+y:=0

h-AE=04y+V6z=0

令x=1,则y=一百，z=2V2，

所以拓=（1,—G,2血卜

n-BC2V3+6V3_73

所以cos（元8C）

同园2百X4G3

因为二面角厂—40—£为锐角，则二面角F-AD-E的余弦值为—.

3

丫2Y

21.解：（1）因为炉=2处（0>0）可化为y所以y'=—.

-2Pp

因为当/点的横坐标为1时，抛物线。在/点处的切线斜率为工，

2

所以工=工，所以0=2,

P2

所以，抛物线C的标准方程为V—4y.

（2）解法一：由（1）知点T坐标为（0,2）,

由题意可知，直线4和右斜率都存在且均不为0，

设直线4方程为y=fcc+2,

y=kx+2、

由联立消去》并整理得，――4日—8=0,

=4y

A=(-4k)2+32=16k2+32>0,

设B(x2,y2),则王+工2-4Xj-x2=-8,

所以，为+>2=%（再+/）+4=4H+4,

因为M为45中点，所以M（2匕2公+2）,

因为42,N为斯中点，所以N

所以，直线"N恒过定点（0,4）.

所以△OMV面积S=！x4x2A:-f--U4^+->8,

2k）k

当且仅当左=工即左=±1时，AOMN面积取得最小值为8.

k

（2）解法二：由（1）知点T坐标为（0,2）,

由题意可知，直线4和右斜率都存在且均不为0，

设直线4方程为y=fcc+2,

y=kx-\-2、

由1,联立消去》并整理得，――4日—8=0,

x-=4v

A=(-4A;)2+32=16A;2+32>0,

设/(%],%),5(x2,y2),则西+》2=4左，xl-x2=-S,

所以，必+>2=左（再+xJ+4=4%~+4,

因为M为45中点，所以M（2匕2公+2）,

因为42,N为斯中点，所以N

242+2-+2

•(x-2k)=[左一,

所以,直线九W的方程为y-（212+2）=--------•(x-2k

2k+l

整理得尸［后_：

x+4.

4

所以，点。到直线九W的距离为d=,

=2卜+L

2k2+2---2

k

所以△(WN面积S=gxpW|xd=gx2

=4A；+->8.

k

当且仅当左=工，即左=±1时，△OMV面积取得最小值为8.

k

22.解：(1)当。=：时，/(x)=xlnx-1-x2+x,

所以/'(X)=lnx-ex+2,

令夕(％)=lnx_ex+2,贝ij=，一e二^——,

xx

若//(x)>0,则0<x<』；若//(x)<0,则X〉工，

ee

所以函数0(x)在10,口上为增函数，在上为减函数，

则)(X)<夕［：］=0,即/'(x)<0,仅在x=!时，/'(x)=0,

所以，函数/(x)在(0,+8)内为减函数.

⑵方法一：因为/(%)=xlnx—Qx2+x,g(x)=(l—Q)xlnx—e"T,a>0,

若/(x)2g(x)+x恒成立，即对任意的x〉0,e~-Qx(x-lnx)20恒成立，

e

即对任意的x>0,----a(x—Inx)N0恒成立,

,T

令h(x)=----a(x-Inx),

x

Ax-1\

x-1c