2024年高考数学一模试题分类汇编：立体几何（原卷版）

专题09立体几何

题型01几何体表面积和体积

1.（2024下•广东湛江•高三一模）中国是瓷器的故乡，中国瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟

大贡献.下图是明清时期的一件圆台形青花缠枝纹大花盆，其上口直径为20cm,下底直径为18cm,

高为24cm,则其容积约为（）

A.14487rcm3B.166871cm34C.2168?rcm3D.32527rcm3

2.（2024下•广东大湾区•校联考模拟预测）在各棱长都为2的正四棱锥中，侧棱以

在平面EBC上的射影长度为（）

3.（2024下•广东•省一模）分别以锐角三角形45C的边N3,BC,/C为旋转轴旋转一周后得到

的几何体体积之比为C：指：2,贝ijcos8=（）

5A/3D5V2

A.b.----c3V1V6

IT12'丁~12

4.（2024下•广东广州市一模）已知正四棱台4BCQ-48CQ1的上、下底面边长分别为1和2,且

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BBXLDDX,则该棱台的体积为（）

A哼B咚"

5.（2024下•广东•梅州市一模）已知圆锥的顶点为S,。为底面圆心，母线眼与SB互相垂直,

△S45的面积为8,皮与圆锥底面所成的角为30°，则（）

A.圆锥的高为1B.圆锥的体积为24兀

C.圆锥侧面展开图的圆心角为迪E

3

D.二面角S—48-。的大小为45°

6.（2024下•广东•珠海模拟）（多选）对于棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略

不计），下列说法正确的是（）

A.底面半径为1m,高为2m的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方体

B.以该正方体的三条棱作为圆锥的母线，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为注

2

C.该正方体内能同时整体放入两个底面半径为0.5m,高为0.7m的圆锥

D.该正方体内能整体放入一个体积为典n?的圆锥

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7.（2024下•广东大湾区•校联考模拟预测）如图是一个正四棱台48CD-44G〃，已知正四棱台

的上、下底面的边长分别为2和6,体积为竺生旦，则侧面积为

3

8.（2024下•广东•江门一模）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相

同的四面体得到的（如图），则该几何体共有个面；若被截正方体的棱长是60cm,那

么该几何体的表面积是cm2.

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题型02球外接球和内切球

1.（2024下•广东•深圳市一模）己知某圆台的上、下底面半径分别为大々，且弓=2。，若半径为

2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）

287r40兀56兀112兀

A------B.------C.——D.--------

,3333

2.（2024下•广东湛江•高三一模）（多选）在直三棱柱48C-44cl中，ABIBC,AB=2BBX=4,

BC=3,分别为Bq和CG的中点，尸为棱用C上的一点，且则下列选项中正

确的有（）

A,三棱柱45C-存在内切球

B.直线跖V被三棱柱48C-4月G的外接球截得的线段长为加

C.点尸在棱片G上的位置唯一确定

D.四面体ZCW的外接球的表面积为26兀

3.（2024下•广东珠海•模拟）（多选）如图，已知正三棱台ABC-4/1的的上、下底面边长分别为2

和6,侧棱长为4,点P在侧面BCCiBi内运动（包含边界），且AP与平面BCCiBi所成角的正切值为

2近，点Q为CCi上一点，且&=3朝，则下列结论中正确的有（）

A.正三棱台/BC—4i/Ci的高为芋

B.点P的轨迹长度为旧兀

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C.高为包，底面圆的半径为它的圆柱可以放在棱台内

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D.过点4B,Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为多

4.（2024下•广东•深圳市一模）（多选）如图，八面体。的每一个面都是边长为4的正三角形，

且顶点5,C,D,E在同一个平面内.若点〃在四边形BCDE内（包含边界）运动，N为NE的中

F

A.当M为DE的中点时，异面直线上W与C9所成角为§

B.当上W〃平面/CD时，点M的轨迹长度为2J5

C.当时，点〃■到5C的距离可能为百

D.存在一个体积为竺的圆柱体可整体放入。内

3

5.（2024下・广东・番禺）三棱锥A-BCD中，ZABC=ZCBD=ZDBA=60°»BC=BD=2,点、E

为CA中点，AZBE的面积为2&，则与平面〃所成角的正弦值为，此三棱锥外接

球的体积为.

6.（2024下•广东•茂名市一模）如图，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人为了实现四个现代化

而努力奋斗的真实写照.被托举的四个球堆砌两层放在平台上，下层3个，上层1个，两两相切.若球

的半径都为。，则上层的最高点离平台的距离为.

题型03点、线、面位置关系

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1.（2024下・广东・番禺）已知直线///平面a,平面夕，平面a,则以下关于直线/与平面6的位

置关系的表述（）

A./与月不平行B./与月不相交

C./不在平面4上D./在月上，与月平行，与尸相交都有可能

2.（2024下•广东深圳•联考）设“力为两条不同的直线，d"为两个不同的平面，下列说法正确的是

（）

A.若a//a,6//a,贝！|。//6B.若与々所成的角相等，则。//6

C.若a_L/7,a//〃用，则2_1_否D.若a_L_L_1_6，则々,石

3.（2024下广东广州•模拟）设私〃，/是三条不同的直线，名?是两个不同的平面，则下列说法中正

确的是（）

A.若ILm,l1n,mu0,nu。,贝|/_L£B.若机〃/%〃〃，贝

C,若m〃n,n1（3,mucc,则《;_1_尸D.若机〃〃民机ua,"ua,则a〃£

4.（2024下•广东惠州•模拟）已知/,根是两条不同的直线，a为平面，机ua,下列说法中正确的

是（）

A.若/与a不平行，贝心与根一定是异面直线

B.若/〃a,贝！1/与"z可能垂直

C.若/rie=/,且/危加，贝U/与加可能平行

D.若/r）a=N,且/与1不垂直，则/与加一定不垂直

5.（2024下•广东・广州天河区一模）（多选）已知加，〃是不同的直线，生尸是不重合的平面，则下

列命题为真命题的是（）

A,若加//«,«<=«,则加//n

B.若加民加//〃，则a//6

C.若a//夕,加ua,则加//6

D.若a11/3,mua,nu/3,则加//〃

6.（2024下•广东•梅州市一模）（多选）已知直线加，〃和平面a,（3,且〃ua,则下列条件

中，。是的充分不必要条件的是（）

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Ap\m//a,q\m//nB.p:mLa,q:mLn

C.p,.a//（3,q\n//（3D.p:n,L/3,q\aL/3

题型04空间直线、平面的平行

1.（2024下•广东•百校联考）（多选）如图，在长方体488—4B1GA中，45=80=2,"4=4,

E是棱上的一点，点/在棱°乌上，则下列结论正确的是（）

A.若4，C,E,E四点共面，则8E=£>E

B.存在点E,使得//平面&CE

C.若4，C,E,厂四点共面，则四棱锥G-&ECR的体积为定值

D.若E为8耳的中点，则三棱锥£-4。。的外接球的表面积是32兀

2.（2024下•广东•省一模）（多选）己知正方体48CD-44GR的各个顶点都在表面积为3兀的

球面上，点尸为该球面上的任意一点，则下列结论正确的是（）

A.有无数个点尸，使得4P//平面AD。

B.有无数个点P,使得4Pl平面AD。

C.若点Pe平面BCG四，则四棱锥P-45CD的体积的最大值为立卫

6

D.若点尸e平面BCC.B,,则AP+尸。的最大值为76

3.（2024下•广东・百校联考）如图，在四棱锥P一/BCD中，底面ABCD为矩形，4,平面ABCD,

E,尸分别为棱Z。，的中点，PA=AD=2AB.

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p

(1)证明：EF//平面PAB.

（2）求平面BEE与平面CE户所成角的余弦值.

3.（2024下•广东•江门一模）如图，四边形45CD是圆柱底面的内接矩形,尸/是圆柱的母线.

（1）证明：在侧棱尸。上存在点E,使必〃平面NEC；

（2）在（1）的条件下，设二面角。—ZE—C为60°,AP=1,AD=43,求三棱锥的

体积.

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题型05空间直线、平面的垂直

1.（2024下•广东•广州天河区一模）如图，在三棱柱48C-44G中，侧面ZCG4是菱形，且与

平面Z/C垂直，BC1AC,AAX=AtC=4,BC=2.

（1）证明：工平面ZCC/1；

（2）棱CG上是否存在一点。，使得直线4。与平面4s44所成角为30。？若存在，请确定点。

的位置；若不存在，请说明理由.

2.（2024下•广东•省一模）如图，已知圆柱的轴截面/BCD是边长为2的正方形，点尸是

圆0上异于点C,。的任意一点.

（1）若点。到平面/CP的距离为证明：0^1CD.

3

（2）求0c与平面ZCT所成角的正弦值的取值范围.

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3.（2024下•广东•深圳市一模）如图，在四棱锥P-/BCD中，四边形/BCD是菱形，平面

48C。1平面P/。，点M在。尸上，且。M=2〃P,/r>=4P,NR4r>=120。.

MP

（1）求证：平面/CM；

（2）若N4DC=60°,求平面/CM与平面45P夹角的余弦值.

4.（2024下•广东•梅州市一模）已知三棱柱48。-44G中，AB=AC=2,ABAC=120°,

且BC=2B3],ZCBB{=60°,侧面BCC内，底面NBC,。是5C的中点.

B

（1）求证：平面C/。，平面B/D；

（2）在棱Z4上是否存在点。，使得8。与平面ZCC/1的所成角为60°.如果存在，请求出费;

如果不存在，请说明理由.

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5.(2024下,广东•广州市二中模拟)已知在多面体PQ48CD中，平面PADQ1平面ABCD,四边形A8CD

为梯形，且2D〃BC,四边形P4DQ为矩形，其中M和N分别为力。和4P的中点，AB=6BC=

5,4D=DC=2.

(1)证明：平面BMN1平面QDC；

⑵若二面角N—BM—C的余弦值为—个，求直线BQ与平面BMN所成角的正弦值.

6.(2024下•广东•广州市一模)如图，在四棱锥P-/BCD中，底面Z5CO是边长为2的菱形，ADCP

jr

是等边三角形，/£>C8=/PC8=—，点分别为。尸和N8的中点

4

(1)求证：上W〃平面必C；

(2)求证：平面PBC_L平面45c。；

(3)求CW与平面尸/。所成角的正弦值.

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题型06空间角、空间距离

1.（2024下•广东•广州市二中模拟）如图，在四棱柱4BCD-&81的。1中，底面ABCD为正方形,

48=4,AiB=BJ,BB-BDi，且二面角当一-的的正切值为鱼.若点P在底面ABCD上

运动，点Q在四棱柱力BCD—4/1的。1内运动，DiQ=f,则P/+PQ的最小值为

2.（2024下•广东•梅州市一模）如图，在正方体488—44。〃中，E是棱CG的中点，记

平面与平面/BCD的交线为平面NQE与平面48及4的交线为心若直线48分别与

4、12所成的角为a、尸，则tana=,tan（tz+0）=.

3.（2024下•广东•广州天河区一模）如图，一块面积为定值的正方形铁片上有四块阴影部分，将这

些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，当容器的容

积最大时，其侧面与底面所成的二面角的余弦值为.

4.（2024下•广东•茂名市一模）（多选）在棱长为2的正方体4BCD—44G。中，E,E分

别为棱,5C的中点，则（）

A.直线E尸与3G所成的角为60。

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B.过空间中一点有且仅有两条直线与4名,42所成的角都是60。

C.过4，E,尸三点的平面截该正方体，所得截面图形的周长为3亚+2途

D.过直线£尸的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形

5.（2024下•广东湛江•高三一模）如图，在四棱锥尸-48CD中，底面/BCD为菱形，APAD是

边长为2的等边三角形，PC=PB=2y[2-

（1）证明：平面尸4D_L平面48cD；

（2）若点£为棱PC的中点，求平面ZE5与平面CE8夹角的余弦值.

6.（2024下•广东大湾区•校联考模拟预测）如图，在圆锥S0中，若轴截面”8是正三角形，c为

底面圆周上一点，下为线段04上一点，。（不与S重合）为母线上一点，过。作DE垂直底面于E,

连接OE,EF,DF,CF,CD且ZCOF=NEFO.

（1）求证：平面SC。//平面QEE；

（2）若△£/%）为正三角形，且尸为4。的中点，求平面CD歹与平面。所夹角的余弦值.

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7.(2024下•广东■番禺)在三棱锥S-NBC中，是边长为4的正三角形，平面S/C，平面

ABC,SA=SC=273，分别为48,S3的中点.

(1)证明：AC1SB；

(2)求二面角N-CM-8的正