江苏省泰兴市实验达标名校2023-2024学年中考联考数学试题含解析

江苏省泰兴市实验达标名校2023-2024学年中考联考数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．已知二次函数(为常数)，当时，函数的最小值为5，则的值为()A．－1或5 B．－1或3 C．1或5 D．1或32．如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为（）A．2π B．π C． D．3．估计的值在（）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间4．关于二次函数，下列说法正确的是（）A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-35．如图，在边长为3的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（）A．33 B．32 C．6．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）A． B． C． D．7．如图，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝125°，则∠DBC的度数为（）A．125° B．75° C．65° D．55°8．若0＜m＜2，则关于x的一元二次方程﹣（x+m）（x+3m）＝3mx+37根的情况是（）A．无实数根B．有两个正根C．有两个根，且都大于﹣3mD．有两个根，其中一根大于﹣m9．对于一组统计数据1，1，6，5，1．下列说法错误的是（）A．众数是1 B．平均数是4 C．方差是1.6 D．中位数是610．将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣2）2+3B．y=（x﹣2）2﹣3C．y=（x+2）2+3D．y=（x+2）2﹣3二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为____________海里/时．12．如图，数轴上不同三点对应的数分别为，其中，则点表示的数是__________．13．如图AB是直径，C、D、E为圆周上的点，则______．14．△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝_▲．15．下列图形是用火柴棒摆成的“金鱼”，如果第1个图形需要8根火柴，则第2个图形需要14根火柴，第根图形需要____________根火柴.16．已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圆．作法：如图，（1）分别连接AC，BD，交于点O；（2）以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O即为所求作的圆．请回答：该作图的依据是__________________________________．17．如图，正方形ABCD的边长为，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长是__________．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图,已知□ABCD的面积为S，点P、Q时是▱ABCD对角线BD的三等分点，延长AQ、AP，分别交BC，CD于点E，F，连结EF。甲，乙两位同学对条件进行分析后，甲得到结论①：“E是BC中点”.乙得到结论②：“四边形QEFP的面积为S”。请判断甲乙两位同学的结论是否正确，并说明理由.19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，点A（2,1）.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.20．（8分）化简求值：，其中x是不等式组的整数解．21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，以BD为直径的⊙O和AB相切于点P．（1）求证：BP平分∠ABC；（2）若PC=1，AP=3，求BC的长．22．（10分）如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F．求证：BF＝BC；若AB＝4cm，AD＝3cm，求CF的长．23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象交x轴于点P，二次函数y＝﹣x2+x+m的图象与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），且+＝17（1）求二次函数的解析式和该二次函数图象的顶点的坐标．（2）若二次函数y＝﹣x2+x+m的图象与一次函数y＝﹣x+2的图象交于A、B两点（点A在点B的左侧），在x轴上是否存在点M，使得△MAB是以∠ABM为直角的直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．（14分）在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，P为AC延长线上一点，且∠PBC＝∠BAC，连接DE，BE．（1）求证：BP是⊙O的切线；（2）若sin∠PBC＝，AB＝10，求BP的长．

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、A【解析】

由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1，x>h时，y随x的增大而增大；当x<h时，y随x的增大而减小；根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h<1，可得x=1时，y取得最小值5；②若h>3，可得当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．【详解】解：∵x>h时，y随x的增大而增大，当x<h时，y随x的增大而减小，∴①若h<1，当时，y随x的增大而增大，∴当x=1时，y取得最小值5，可得：，解得：h=−1或h=3（舍），∴h=−1；②若h>3，当时，y随x的增大而减小，当x=3时，y取得最小值5，可得：，解得：h=5或h=1（舍），∴h=5，③若1≤h≤3时，当x=h时，y取得最小值为1，不是5，∴此种情况不符合题意，舍去．综上所述，h的值为−1或5，故选：A．【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值进行分类讨论是解题的关键．2、D【解析】分析：连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．详解：连接OD,∵CD⊥AB，∴(垂径定理)，故即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，又∵∴(圆周角定理)，∴OC=2，故S扇形OBD=即阴影部分的面积为.故选D.点睛：考查圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键.3、D【解析】

寻找小于26的最大平方数和大于26的最小平方数即可.【详解】解：小于26的最大平方数为25，大于26的最小平方数为36，故，即：，故选择D.【点睛】本题考查了二次根式的相关定义.4、D【解析】分析：根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．详解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，故选D．点睛：本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5、D【解析】试题分析：∵△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，∴∠PBC=12∠ABC=30°，∵PC⊥BC，∴∠PCB=90°，在Rt△PCB中，PC=BC•tan∠PBC=3考点：1．角平分线的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形；4．勾股定理．6、A【解析】

设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．【详解】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据题意得：．故选A．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．7、D【解析】

延长CB，根据平行线的性质求得∠1的度数，则∠DBC即可求得．【详解】延长CB，延长CB，∵AD∥CB,∴∠1=∠ADE=145°，∴∠DBC=180°−∠1=180°−125°=55°.故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.8、A【解析】

先整理为一般形式，用含m的式子表示出根的判别式△，再结合已知条件判断△的取值范围即可.【详解】方程整理为，△，∵，∴，∴△，∴方程没有实数根，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9、D【解析】

根据中位数、众数、方差等的概念计算即可得解.【详解】A、这组数据中1都出现了1次，出现的次数最多，所以这组数据的众数为1，此选项正确；B、由平均数公式求得这组数据的平均数为4，故此选项正确；C、S2=[（1﹣4）2+（1﹣4）2+（6﹣4）2+（5﹣4）2+（1﹣4）2]=1.6，故此选项正确；D、将这组数据按从大到校的顺序排列，第1个数是1，故中位数为1，故此选项错误；故选D．考点：1.众数；2.平均数；1.方差；4.中位数.10、D【解析】

先得到抛物线y=x2的顶点坐标（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（-2，-1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【详解】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到对应点的坐标为（-2，-1），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-1．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、【解析】

设该船行驶的速度为x海里/时，由已知可得BC＝3x，AQ⊥BC，∠BAQ＝60°，∠CAQ＝45°，AB＝80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出BC＝40＋40＝3x，解方程即可．【详解】如图所示：该船行驶的速度为x海里/时，3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，由题意得：AB＝80海里，BC＝3x海里，在直角三角形ABQ中,∠BAQ＝60°，∴∠B＝90°−60°＝30°，∴AQ＝AB＝40,BQ＝AQ＝40，在直角三角形AQC中,∠CAQ＝45°，∴CQ＝AQ＝40，∴BC＝40＋40＝3x，解得：x＝.即该船行驶的速度为海里/时；故答案为：.【点睛】本题考查的是解直角三角形，熟练掌握方向角是解题的关键.12、1【解析】

根据两点间的距离公式可求B点坐标，再根据绝对值的性质即可求解．【详解】∵数轴上不同三点A、B、C对应的数分别为a、b、c，a=-4，AB=3，∴b=3+（-4）=-1，∵|b|=|c|，∴c=1．故答案为1．【点睛】考查了实数与数轴，绝对值，关键是根据两点间的距离公式求得B点坐标．13、90°【解析】

连接OE，根据圆周角定理即可求出答案．【详解】解：连接OE，

根据圆周角定理可知：

∠C=∠AOE，∠D=∠BOE，

则∠C+∠D=（∠AOE+∠BOE）=90°，

故答案为：90°．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题要掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14、【解析】

在直角△ABD中利用勾股定理求得AD的长，然后利用正弦的定义求解．【详解】在直角△ABD中，BD=1，AB=2，则AD===，则sinA===.故答案是：.15、【解析】

根据图形可得每增加一个金鱼就增加6根火柴棒即可解答.【详解】第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8+6个火柴棒组成，第三个图中有8+2×6个火柴组成，……∴组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n-1）=6n+2.故答案为6n+2【点睛】本题考查数字规律问题，通过归纳与总结，得到其中的规律是解题关键.16、正方形的对角线相等且互相垂直平分；点到圆心的距离等于圆的半径的点在这个圆上；四边形的四个顶点在同一个圆上，这个圆叫四边形的外接圆．【解析】

利用正方形的性质得到OA=OB=OC=OD，则以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，点B、C、D都在⊙O上，从而得到⊙O为正方形的外接圆．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴OA=OB=OC=OD，∴⊙O为正方形的外接圆．故答案为正方形的对角线相等且互相垂直平分；点到圆心的距离等于圆的半径的点在这个圆上；四边形的四个顶点在同一个圆上，这个圆叫四边形的外接圆．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．17、2【解析】

设EF=x，先由勾股定理求出BD，再求出AE=ED，得出方程，解方程即可．【详解】设EF=x，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，

∴BD=AB=4+4，EF=BF=x，

∴BE=x，

∵∠BAE=22.5°，

∴∠DAE=90°-22.5°=67.5°，

∴∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°，

∴∠AED=∠DAE，

∴AD=ED，

∴BD=BE+ED=x+4+2=4+4，

解得：x=2，

即EF=2.三、解答题（共7小题，满分69分）18、①结论一正确，理由见解析；②结论二正确，S四QEFP=S【解析】试题分析：（1）由已知条件易得△BEQ∽△DAQ，结合点Q是BD的三等分点可得BE：AD=BQ：DQ=1：2，再结合AD=BC即可得到BE：BC=1：2，从而可得点E是BC的中点，由此即可说明甲同学的结论①成立；（2）同（1）易证点F是CD的中点，由此可得EF∥BD，EF=BD，从而可得△CEF∽△CBD，则可得得到S△CEF=S△CBD=S平行四边形ABCD=S，结合S四边形AECF=S可得S△AEF=S，由QP=BD，EF=BD可得QP：EF=2：3，结合△AQP∽△AEF可得S△AQP=S△AEF=，由此可得S四边形QEFP=S△AEF-S△AQP=S，从而说明乙的结论②正确；试题解析：甲和乙的结论都成立，理由如下：（1）∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴△BEQ∽△DAQ，又∵点P、Q是线段BD的三等分点，∴BE：AD=BQ：DQ=1：2，∵AD=BC，∴BE：BC=1：2，∴点E是BC的中点，即结论①正确；（2）和（1）同理可得点F是CD的中点，∴EF∥BD，EF=BD，∴△CEF∽△CBD，∴S△CEF=S△CBD=S平行四边形ABCD=S，∵S四边形AECF=S△ACE+S△ACF=S平行四边形ABCD=S，∴S△AEF=S四边形AECF-S△CEF=S，∵EF∥BD，∴△AQP∽△AEF，又∵EF=BD，PQ=BD，∴QP：EF=2：3，∴S△AQP=S△AEF=，∴S四边形QEFP=S△AEF-S△AQP=S-=S，即结论②正确.综上所述，甲、乙两位同学的结论都正确.19、(1)B（-1.2）;(2)y=;(3)见解析.【解析】

（1）过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，则可证明△ACO≌△ODB，则可求得OD和BD的长，可求得B点坐标；（2）根据A、B、O三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由四边形ABOP可知点P在线段AO的下方，过P作PE∥y轴交线段OA于点E，可求得直线OA解析式，设出P点坐标，则可表示出E点坐标，可表示出PE的长，进一步表示出△POA的面积，则可得到四边形ABOP的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时P点的坐标．【详解】（1）如图1，过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，∵△AOB为等腰三角形，∴AO=BO，∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠DOB=∠DOB+∠OBD=90°，∴∠AOC=∠OBD，在△ACO和△ODB中∴△ACO≌△ODB（AAS），∵A（2，1），∴OD=AC=1，BD=OC=2，∴B（-1，2）；（2）∵抛物线过O点，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，把A、B两点坐标代入可得，解得，∴经过A、B、O原点的抛物线解析式为y=x2-x；（3）∵四边形ABOP，∴可知点P在线段OA的下方，过P作PE∥y轴交AO于点E，如图2，设直线AO解析式为y=kx，∵A（2，1），∴k=，∴直线AO解析式为y=x，设P点坐标为（t，t2-t），则E（t，t），∴PE=t-（t2-t）=-t2+t=-（t-1）2+，∴S△AOP=PE×2=PE═-（t-1）2+，由A（2，1）可求得OA=OB=，∴S△AOB=AO•BO=，∴S四边形ABOP=S△AOB+S△AOP=-（t-1）2++=，∵-＜0，∴当t=1时，四边形ABOP的面积最大，此时P点坐标为（1，-），综上可知存在使四边形ABOP的面积最大的点P，其坐标为（1，-）．【点睛】本题为二次函数的综合应用，主要涉及待定系数法、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积以及方程思想等知识．在（1）中构造三角形全等是解题的关键，在（2）中注意待定系数法的应用，在（3）中用t表示出四边形ABOP的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．20、当x=﹣3时，原式=﹣，当x=﹣2时，原式=﹣1．【解析】

先化简分式，再解不等式组求得x的取值范围，在此范围内找到符合分式有意义的x的整数值，代入计算可得．【详解】原式=÷=•=，解不等式组，解不等式①，得：x＞﹣4，解不等式②，得：x≤﹣1，∴不等式组的解集为﹣4＜x≤﹣1，∴不等式的整数解是﹣3，﹣2，﹣1．又∵x+1≠0，x﹣1≠0∴x≠±1，∴x=﹣3或x=﹣2，当x=﹣3时，原式=﹣，当x=﹣2时，原式=﹣1．【点睛】本题考查了分式的化简求值及一元一次不等式组的整数解，求分式的值时，一定要选择使每个分式都有意义的未知数的值.21、（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）连接OP，首先证明OP∥BC，推出∠OPB=∠PBC，由OP=OB，推出∠OPB=∠OBP，由此推出∠PBC=∠OBP；

（2）作PH⊥AB于H．首先证明PC=PH=1，在Rt△APH中，求出AH，由△APH∽△ABC，求出AB、BH，由Rt△PBC≌Rt△PBH，推出BC=BH即可解决问题.试题解析：（1）连接OP，∵AC是⊙O的切线，∴OP⊥AC，∴∠APO=∠ACB=90°，∴OP∥BC，∴∠OPB=∠PBC，∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∴∠PBC=∠OBP，∴BP平分∠ABC；（2）作PH⊥AB于H．则∠AHP=∠BHP=∠ACB=90°，又∵∠PBC=∠OBP，PB=PB，∴△PBC≌△PBH，∴PC=PH=1，BC=BH，在Rt△APH中，AH=，在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2∴(AP+PC)2+BC2=(AH+HB)2，即42+BC2=(+BC)2，解得．22、（1）见解析，（2）CF＝cm.【解析】

（1）要求证：BF=BC只要证明∠CFB=∠FCB就可以，从而转化为证明∠BCE=∠BDC就可以；（2）已知AB=4cm，AD=3cm，就是已知BC=BF=3cm，CD=4cm，在直角△BCD中，根据三角形的面积等于BD•CE=BC•DC，就可以求出CE的长．要求CF的长，可以在直角△CEF中用勾股定理求得．其中EF=BF-BE，BE在直角△BCE中根据勾股定理就可以求出，由此解决问题．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠CDB+∠DBC＝90°．∵CE⊥BD，∴∠DBC+∠ECB＝90°．∴∠ECB＝∠CDB．∵∠CFB＝∠CDB+∠DCF，∠BCF＝∠ECB+∠ECF，∠DCF＝∠ECF，∴∠CFB＝∠BCF∴BF＝BC（2）∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝4（cm），BC＝AD＝3（cm）．在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝．又∵BD•CE＝BC•DC，∴CE＝．∴BE＝．∴EF＝BF﹣BE＝3﹣．∴CF＝cm．【点睛】本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的判定定理，等角对等边，以及勾股定理，三角形面积计算公式的运用，灵活运用已知，理清思路，解决问题．23、（1）y＝﹣x2+x+2＝（x﹣）2+，顶点坐标为（，）；（2）存在，点M（，0）．理由见解析．【解析】

（1）由根与系数的关系，结合已知条件可得9+4m＝17，解方程求得m的值，即可得求得二次函数的解析式，再求得该二次函数图象的顶点的坐标即可；（2）存在，将抛物线表达式和一次函数y＝﹣x+2联立并解得x＝0或，即可得点A、B的坐标为（0，2）、（，），由此求得PB=，AP=2，过点B作BM⊥AB交x轴于点M，证得△APO∽△MPB，根据相似三角形