新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题03等式与不等式的性质(原卷版+解析)

专题03等式与不等式的性质【考点预测】1.比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较或或2.不等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性传递性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性【方法技巧与总结】1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.【题型归纳目录】题型一：不等式性质的应用题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围题型四：不等式的综合问题【典例例题】题型一：不等式性质的应用例1．（2023·北京海淀·二模）已知，且，则（

）A． B．C． D．例2．（2023·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（

）A． B． C． D．例3．（2023·山西·模拟预测（文））若，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．（多选题）例4．（2023·辽宁·二模）己知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（

）A． B．C． D．（多选题）例5．（2023·重庆八中模拟预测）已知，，且，则下列不等关系成立的是（

）A． B． C． D．（多选题）例6．（2023·广东汕头·二模）已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是（

）A．ac（a-c）>0 B．c（b-a）<0 C． D．（多选题）例7．（2023·福建三明·模拟预测）设，且，则（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．2．充分利用基本初等函数性质进行判断．3．小题可以用特殊值法做快速判断．题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式例8．（2023·全国·高三专题练习（文））设，，，则（

）A． B． C． D．例9．（2023·全国·高三专题练习）若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．例10．（2023·全国·高一）（1）试比较与的大小；（2）已知，，求证：．例11．（2023·湖南·高一课时练习）比较与的大小．例12．（2023·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：(1)与；(2)与．【方法技巧与总结】比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：若，则；；； 若，则；；.题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围例13．（2023·浙江·模拟预测）若实数x，y满足，则的取值范围（

）A． B． C． D．例14．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．例15．（2023·全国·高三专题练习）若满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例16．（2023·全国·高三专题练习（文））已知－3<a<－2，3<b<4，则的取值范围为（

）A．(1，3)B．C．D．例17．（2023·江西·二模（文））已知，，则6x＋5y的取值范围为______．例18．（2023·全国·高三专题练习）设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为___________.例19．（2023·全国·高三专题练习）已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________．例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，恒成立，则____________．例21．（2023·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a，则的取值范围是___.例22．（2023·全国·高三专题练习）已知均为正实数，且，那么的大值为__________．【方法技巧与总结】在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.题型四：不等式的综合问题例23．（2023·江西鹰潭·二模（理））已知，且则下列不等式中恒成立的个数是（

）①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．4例24．（2023·江西·临川一中高三期中（文））若实数a，b满足，则下列选项中一定成立的有（

）A． B． C． D．例25．（2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）若，，则下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．（多选题）例26．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．（多选题）例27．（2023·辽宁辽阳·二模）已知，，且，则（

）A． B．C． D．（多选题）例28．（2023·重庆八中模拟预测）已知，，且，则下列不等关系成立的是（

）A． B． C． D．例29．（2023·全国·高三专题练习）若，，设，则的最小值为__．例30.（2023·四川泸州·三模（理））已知x、，且，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．【过关测试】一、单选题1．（2023·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（

）A． B．C． D．2．（2023·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知，则（

）A． B．C． D．3．（2023·陕西宝鸡·三模（理））若，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．4．（2023·重庆·二模）若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．5．（2023·安徽黄山·二模（文））设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．6．（2023·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知，，，则以下正确的是(

)A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则7．（2023·全国·高三专题练习（理））已知，，则下列结论正确的有（

）①

②

③

④A．个 B．个 C．个 D．个8．（2023·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2023·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a和b，满足，下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．10．（2023·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）已知，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．11．（2023·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定成立的有（

）A． B．C． D．12．（2023·河北保定·一模）已知、分别是方程，的两个实数根，则下列选项中正确的是（

）.A． B．C． D．三、填空题13．（2023·四川泸州·三模（文））已知x，，满足，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论是______（写出所有成立结论的编号）．14．（2023·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知实数、满足，，则的取值范围为______．15．（2023·全国·高三专题练习）如果a>b，给出下列不等式：①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.其中一定成立的不等式的序号是________．16．（2023·全国·高三专题练习）设x，y为实数，满足，，则的最小值是______.四、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）已知，，．（1）试比较与的大小，并证明；（2）分别求，的最小值．18．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知a，b均为正实数.试比较与的大小；（2）已知a≠1且a∈R，试比较与的大小.19．（2023·全国·高三专题练习）已知下列三个不等式：①；②；③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？并选取一个结论证明.20．（2023·全国·高三专题练习）已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求a－b与的取值范围.21．（2023·贵州贵阳·二模（理））已知(1)证明：；(2)已知，，求的最小值，以及取得最小值时的，的值．22．（2023·全国·高三专题练习）设二次函数，其图像过点，且与直线有交点.（1）求证：；（2）若直线与函数的图像从左到右依次交于A，B，C，D四点，若线段能构成钝角三角形，求的取值范围.专题03等式与不等式的性质【考点预测】1.比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较或或2.不等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性传递性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性【方法技巧与总结】1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.【题型归纳目录】题型一：不等式性质的应用题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围题型四：不等式的综合问题【典例例题】题型一：不等式性质的应用例1．（2023·北京海淀·二模）已知，且，则（

）A． B．C． D．答案：B【解析】分析：取特殊值即可判断A、C、D选项，因式分解即可判断B选项.【详解】对于A，令，显然，错误；对于B，，又不能同时成立，故，正确；对于C，取，则，错误；对于D，取，则，错误.故选：B.例2．（2023·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：由不等式的基本性质和特值法即可求解.【详解】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确；对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则，B选项错误；对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误；对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误.例3．（2023·山西·模拟预测（文））若，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：对于A，利用不等式的性质判断，对于B，利用基本不等式判断，对于C，利用指数函数的性质判断，对于D，举例判断【详解】∵，∴，∴，故A错误；∵，∴，∴．∵，∴，故B正确；∵，∴．故C错误；令，此时．故D错误．故选：B．（多选题）例4．（2023·辽宁·二模）己知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（

）A． B．C． D．答案：ABC【解析】分析：利用不等式的性质及特殊值法判断即可．【详解】解：对于非零实数，满足，则，即，故A一定成立；因为，故B一定成立；又，即，所以，故C一定成立；对于D：令，，满足，此时，故D不一定成立．故选：ABC（多选题）例5．（2023·重庆八中模拟预测）已知，，且，则下列不等关系成立的是（

）A． B． C． D．答案：ABD【解析】分析：利用基本不等式以及适当的代数式变形即可判断.【详解】对于A，由，

，当且仅当时等号成立，，

，，当且仅当时等号成立，故A正确；对于B，由，得，由基本不等式得，当且仅当a=b=1时成立；故B正确；对于C，若满足，，故C错误；对于D，∵，∴，由B的结论得

，，，故D正确；故选：ABD.（多选题）例6．（2023·广东汕头·二模）已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是（

）A．ac（a-c）>0 B．c（b-a）<0 C． D．答案：BCD【解析】分析：利用不等式的基本性质求解.【详解】解：因为a，b，c满足c<a<b，且ac<0，所以，所以ac（a-c）<0，c（b-a）<0，，，故选：BCD（多选题）例7．（2023·福建三明·模拟预测）设，且，则（

）A． B． C． D．答案：BC【解析】分析：根据条件可得，的符号不能确定，然后依次判断即可.【详解】因为，，所以，的符号不能确定，当时，，故A错误，因为，，所以，故B正确，因为，所以，故C正确，因为，所以，所以，所以，故D错误，故选：BC【方法技巧与总结】1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．2．充分利用基本初等函数性质进行判断．3．小题可以用特殊值法做快速判断．题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式例8．（2023·全国·高三专题练习（文））设，，，则（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：根据指数函数的单调性判断，再由作商法判断.【详解】因为函数是减函数，所以，所以，所以，所以故选：B【点睛】本题主要考查了利用指数函数的单调性比较大小，属于中档题.例9．（2023·全国·高三专题练习）若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．答案：＜【解析】分析：作商法比较大小，结合对数的运算律和性质，即得解【详解】易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.故答案为：＜例10．（2023·全国·高一）（1）试比较与的大小；（2）已知，，求证：．答案：（1）；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）与作差，判断差的正负即可得出结论；（2）结合不等式的性质分析即可证出结论.【详解】（1）由题意，，所以．（2）证明：因为，所以，即，而，所以，则．得证．例11．（2023·湖南·高一课时练习）比较与的大小．答案：<【解析】分析：做差比较大小即可.【详解】,<.例12．（2023·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：(1)与；(2)与．答案：(1)(2)【解析】分析：利用作差法得出大小关系.(1)因为，所以，当且仅当时，取等号.即(2)因为，所以，当且仅当时，取等号.故.【方法技巧与总结】比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：若，则；；； 若，则；；.题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围例13．（2023·浙江·模拟预测）若实数x，y满足，则的取值范围（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：设，求出，再根据不等式的性质即可得出答案.【详解】解：设，则，解得，故，又因，所以，所以.故选：A.例14．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】分析：先求的范围，再根据不等式的性质，求的范围.【详解】因为，所以，由，得.故选：A.例15．（2023·全国·高三专题练习）若满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：根据不等式的性质，求得，且，即可求解.【详解】由，可得，又由，可得，因为，可得，所以，即的取值范围是.故选：A.例16．（2023·全国·高三专题练习（文））已知－3<a<－2，3<b<4，则的取值范围为（

）A．(1，3)B．C．D．答案：A【解析】分析：先求出a2的范围，利用不等式的性质即可求出的范围.【详解】因为－3<a<－2，所以a2∈(4，9)，而3<b<4，故的取值范围为(1，3)，故选：A．例17．（2023·江西·二模（文））已知，，则6x＋5y的取值范围为______．答案：【解析】分析：由结合不等式的性质得出答案.【详解】解：，即故6x＋5y的取值范围为．故答案为：例18．（2023·全国·高三专题练习）设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为___________.答案：[1,13]【解析】分析：根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简后利用不等式即可求出其范围.【详解】二次函数f(x)对称轴为，∵f(x)值域为，∴且，n＞0.，∵====∴，，∴∈[1,13].故答案为：[1,13].例19．（2023·全国·高三专题练习）已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________．答案：【解析】分析：根据不等式的性质求得的取值范围.【详解】由于，且，所以，，，所以.故答案为：例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，恒成立，则____________．答案：-3【解析】分析：可以取特殊值时，恒成立，从而求出a和b﹒【详解】当时，恒成立，则对任意恒成立，则时，恒成立①②③④①+②③+④，代入①代入③，，﹒证明满足题意：，则，1↗极大值：1↘极小值：↗1由表可知，|f(x)|≤1在[-1，1]上恒成立满足题意﹒故答案为：-3.【点睛】本题考察恒成立问题，根据函数和区间的特殊性，可取特殊值得到关于a和b的不等式组，求出a和b的范围，从而确定a和b的取值﹒例21．（2023·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a，则的取值范围是___.答案：[e，7]【解析】分析：由题意可求得7；由lnb≥a可得（b），设函数f（x）（x），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是的最小值.【详解】∵正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，∴5﹣3a≤4﹣a，∴a.∵5﹣3a≤b≤4﹣a，∴31.从而7，∵lnb≥a，∴（b），设f（x）（x），则f′（x），当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x＝e时，f′（x）＝0，∴当x＝e时，f（x）取到极小值，也是最小值.∴f（x）min＝f（e）＝e.∴e，∴的取值范围是[e，7].故答案为：[e，7].例22．（2023·全国·高三专题练习）已知均为正实数，且，那么的大值为__________．答案：【解析】分析：本题目主要考察不等式的简单性质，将已知条件进行简单变形即可【详解】因为均为正实数，所以由题可得：，即，，，三式相加得：，所以所以的最大值为4故答案为：4【方法技巧与总结】在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.题型四：不等式的综合问题例23．（2023·江西鹰潭·二模（理））已知，且则下列不等式中恒成立的个数是（

）①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．4答案：B【解析】分析：①，分析得到所以正确；②，构造函数举反例判断得解；③，构造函数利用函数单调性判断得解；④，转化为判断，再构造函数利用导数判断函数的单调性即得解.【详解】解：①，若，所以矛盾，所以所以正确；②，，设，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，因为，所以不恒成立，如，所以该命题错误；③，，设在单调递增，因为，所以恒成立，所以该命题正确；④，，设，所以，所以函数在单调递增，在单调递减.取设，所以在单调递增，，，所以存在，此时，所以该命题错误.故选：B例24．（2023·江西·临川一中高三期中（文））若实数a，b满足，则下列选项中一定成立的有（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：先由得到或，再利用不等式的性质、函数的单调性进行判定.【详解】因为，所以，显然，所以，所以或，即或；若，则，，，；若，则，，，；即一定成立的是选项D.故选：D.例25．（2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）若，，则下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】分析：对于A，作商比较，对于B，令判断，对于C，利用在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积判断，对于D，利用放缩法判断【详解】解：对于A选项，由于，，故由对数的定义得，，所以，所以，故错误；对于B选项，令，则，此时，故错误；对于C选项，因为，在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积，所以，故正确；对于D选项，由于，故错误．故选：C（多选题）例26．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．答案：BCD【解析】分析：根据导数的几何意义得，再根据基本不等式与柯西不等式可判断出答案.【详解】设切点为，因为，所以，得，所以，所以，对于A，，所以，当且仅当时，等号成立，故A不正确；对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C，，当且仅当，时，等号成立，故C正确；对于D，，所以，当且仅当，又，即时，等号成立.故选：BCD（多选题）例27．（2023·辽宁辽阳·二模）已知，，且，则（

）A． B．C． D．答案：BD【解析】分析：由不等式的性质与基本不等式对选项逐一判断【详解】对于A，，，所以，故A错误，对于B，，即，，，故B正确，对于C，，，故C错误，对于D，，当且仅当时，等号成立，故D正确．故选：BD（多选题）例28．（2023·重庆八中模拟预测）已知，，且，则下列不等关系成立的是（

）A． B． C． D．答案：ABD【解析】分析：利用基本不等式以及适当的代数式变形即可判断.【详解】对于A，由，

，当且仅当时等号成立，，

，，当且仅当时等号成立，故A正确；对于B，由，得，由基本不等式得，当且仅当a=b=1时成立；故B正确；对于C，若满足，，故C错误；对于D，∵，∴，由B的结论得

，，，故D正确；故选：ABD.例29．（2023·全国·高三专题练习）若，，设，则的最小值为__．答案：##【解析】分析：将化简可得，由此即可求出结果.【详解】因为．当且仅当，时取等号．所以的最小值为．故答案为：．例30.（2023·四川泸州·三模（理））已知x、，且，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．答案：①④【解析】分析：利用基本不等式可判断①和④，取特殊值x＝0、y＝3可判断②，取特殊值y＝可判断③．【详解】对于①，∵，∴由得，，即，解得(当且仅当时取等号)，故①一定成立；对于②，当3时，成立，但不成立，故②不一定成立；对于③，当时，由得，则，即，故③不一定成立；④将两边平方得，∴，由①可知：，∴，当且仅当时取等号，因此④一定成立﹒故答案为：①④﹒【点睛】本题①和④利用基本不等式即可求解，需要熟练运用基本不等式求范围.对于②和③，取特殊值验算即可快速求解﹒【过关测试】一、单选题1．（2023·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：平均速度等于总路程除以总时间【详解】设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则，，，∴，，故选:D.2．（2023·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知，则（

）A． B．C． D．答案：A【解析】分析：利用特殊值法，结合已知逐一判断即可.【详解】因为，所以，选项A正确；当时，显然满足，但，选项B不正确；当时，显然满足，但，选项C不正确；当时，显然满足，但是，选项D不正确，故选：A3．（2023·陕西宝鸡·三模（理））若，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】分析：对于A、B，构造函数，借助函数单调性比大小；对于C，没有意义；对于D，取特值判断.【详解】对于A，构造函数，因为单调递增，又，所以，，，故A答案不对；对于B，构造函数，因为单调递增，又，所以，，故B答案正确；对于C，，没有意义，故C答案不对；对于D，取时，，故D答案不对；故选：B.4．（2023·重庆·二模）若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，因为，可得，当不确定，所以A错误；对于B中，只有当不相等时，才有成立，所以B错误；对于C中，例如，此时满足，但，所以C错误；对于D中，由不等式的基本性质，当时，可得成立，所以D正确.故选：D.5．（2023·安徽黄山·二模（文））设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：对于A，B，C可以取特殊值验证，对于D，根据题意得，，利用基本不等式求解即可.【详解】对于A：当，时不成立，故A错误；对于B：当，，所以，，即，故C错误；对于C：当时不成立，故C错误；对于D：因为，所以，又，所以（等号成立的条件是），故D正确.故选：D.6．（2023·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知，，，则以下正确的是(

)A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则答案：D【解析】分析：A：取特例即可判断；B：求出，，根据幂函数在(0，1)之间的性质即可判断；C：根据不等关系即可求解判断；D：构造并判断其范围，表示出，结合C项范围即可判断.【详解】A：若，取，则，故A错误；B：若，则，，∴，故B错误；C：当时，∵，∴，∴，∴，故C错误；D：当时，，，由C知，，，，故D正确.故选：D.7．（2023·全国·高三专题练习（理））已知，，则下列结论正确的有（

）①

②

③

④A．个 B．个 C．个 D．个答案：B【解析】分析：求出、的值，比较、的大小，利用指数函数的单调性、导数法、不等式的基本性质以及基本不等式逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为，，则，.对于①，，则，从而，，则，则，即，①对；对于②，，因为，则，，所以，，②错；对于③，，所以，，所以，，③错；对于④，构造函数，其中，则.当时，，则函数在上单调递增，因为，则，即，可得，所以，，④对.故选：B.8．（2023·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：对选项A，令即可检验；对选项B，令即可检验；对选项C，令即可检验；对选项D，设出等差数列的首项和公比，然后作差即可.【详解】若，则可得：，故选项A错误；若，则可得：，故选项B错误；若，则可得：，故选项C错误；不妨设的首项为，公差为，则有：则有：，故选项D正确故选：D二、多选题9．（2023·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a和b，满足，下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．答案：BD【解析】分析：A选项，利用作出判断；B选项，利用基本不等式即函数单调性求解；CD选项，用作差法求解.【详解】由于两个不相等的正实数a和b，满足，所以a和b可取一个比1大，一个比1小，即，故，A错误；由题意得：，所以，B正确；，其中，但不知道a和b的大小关系，故当时，，当时，，C错误；，其中，，所以，即，D正确.故选：BD10．（2023·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）已知，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．答案：BCD【解析】分析：根据不等式的基本性质依次判断选项即可.【详解】A：由且，可知a>0，c<0，b的值不确定，故由，不能推出，故A错误；B：由，得，故B正确；C：由于，，得，故C正确；D：由得.所以，故D正确，故选：BCD.11．（2023·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定成立的有（

）A． B．C． D．答案：BD【解析】分析：对于A，利用幂函数的性质判断，对于BC，利用对数函数的性质判断，对于D，利用不等式的性质分析判断【详解】对于A，因为，所以在上单调递增，因为，所以，所以，所以A错误，对于B，因为，所以当时，，因为，所以，所以，所以B正确，对于C，因为，所以，所以，所以C错误，对于D，因为，所以，所以，所以D正确，故选：BD12．（2023·河北保定·一模）已知、分别是方程，的两个实数根，则下列选项中正确的是（

）.A． B．C． D．答案：BD【解析】分析：在同一直角坐标系中画出的图象，可判断AB，然后结合不等式的性质可判断CD.【详解】函数在同一坐标系中的图象如下：所以，所以所以所以，故选：BD三、填空题13．（2023·四川泸州·三模（文））已知x，，满足，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论是______（写出所有成立结论的编号）．答案：①④【解析】分析：根据基本不等式，结合特殊值法逐一判断即可.【详解】①：因为，所以有，故本结论一定成立；②：当时，显然成立，但是不成立，故本结论不一定成立；③：当时，显然成立，但是不成立，故本结论不一定成立；④：因为，所以，由①可知：，所以，因此本结论一定成立，故答案为：①④14．（2023·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知实数、满足，，则的取值范围为______．答案：【解析】分析：设，利用待定系数法求出的值，然后根据不等式的性质即可求解.【详解】解：设，则，解得，所以，因为，，所以，，所以，故答案为：.15．（2023·全国·高三专题练习）如果a>b，给出下列不等式：①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.其中一定成立的不等式的序号是________．答案：②⑥【解析】分析：对分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立.【详解】令，，排除①，，排除③选项，，排除⑤.当时，排除④.由于幂函数为上的递增函数，故，②是一定成立的.由于，故.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.【点睛】本小题主要考查实数比较大小，使用的方法较多，一个是特殊值比较法，也就是对问题中的举出一些具体的数值，然后对不等式的正确与否进行判断.第二个是用函数的单调性的方法来比较，即是如果要比较的两个数和某个函数有点接近，如本题中②，用幂函数的单调性来判断.第三个是用差比较法来判断，如本题中的⑥.16．（2023·全国·高三专题练习）设x，y为实数，满足，，则的最小值是______.答案：【解析】利用方程组形式，可得，求得后结合不等式性质即