甘肃省2024年高考仿真模拟数学试卷含解析

甘肃省静宁一中2024年高考仿真模拟数学试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知双曲线。：2r—2?=1（。〉0/>0）的实轴长为2,离心率为2,4、分别为双曲线C的左、右焦点，点P

在双曲线C上运动，若△F/F?为锐角三角形,则|尸制+归国的取值范围是（）

A.（277,8）B.（2A/5,7）C.（2后8）D.（277,7）

x,x<0

2.已知a,0eR,函数/（x）=，i1,若函数y=/（x）-④一。恰有三个零点，则（）

-x--（«+l）x+ar,x>0

A.a<—1,/?<0B.a<—1,/?>0

C.a>-l,b<0D.。>一1,。>0

3.已知复数二满足（l+2i）z=4+3i,则z的共甄复数是（）

A.2-iB.2+iC.l+2zD.1-2/

4.若函数/（幻恰有3个零点，则实数”的取值范围是（）

44

A.（-r-,+℃）B.（0,—）C.（0,4e~）D.（0,+oo）

ee

29

5.双曲线二=力>0）的右焦点为尸，过点尸且与x轴垂直的直线交两渐近线于两点，与双曲线的

cr力

其中一个交点为P,若OP=3OM+AON（儿〃eR）,且/1〃=卷，则该双曲线的离心率为（）

A372R5V2,573n5c

A.---B.---C.---D.---

4121212

一17•

6.如图，在AABC中，AN=-AC,p是BN上的一点，若=——A8,则实数，〃的值为（）

33

A

N

2]_

D.2

39

a（a<h）

7.定义运算。㊉8=，、，则函数/（x）=l㊉2*的图象是（）.

b（a>b）

8,阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数上（左>0/H1）的点的轨

迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A，3间的距离为2,动点P与A，B的距离之比为注，当P,A，

2

B不共线时，AE43的面积的最大值是（）

A.2A/2B.V2C.D.—

33

9.+的展开式中的常数项为（）

A.-60B.240C.-80D.180

x+y-l>0

10.已知实数x，y满足不等式组（2x—y+420,则|3x+4y|的最小值为（）

4x+y-4<0

A.2B.3C.4D.5

11.有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm,高度为100cm,现往里面装直径为10cm的球,

在能盖住盖子的情况下，最多能装（

(附：V2«1.414,73®1.732,^«2.236)

A.22个B.24个C.26个D.28个

12.命题“Vxe(O,l),eT>lnx"的否定是()

-VA<)

A.VXG(O,l),e<lnxB.3x0e(O,l),e->lnx0

C.3x0e<lnx0D.3x0e(0,1),<Inx0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(x)=e'(x+l)2,令/(x)=f'(x),力+|(x)=/：(x)(〃eN*),若力(%)=，(4)》2+。田+%),［加|

表示不超过实数m的最大整数，记数列-的前n项和为S„,则［3S2aM=_________

、2gJ

14.抛物线y=5x2的焦点坐标为.

15.在数列｛4｝中，a,=l,an+l=2n-a„,则数列｛%｝的通项公式a,=.

16.定义在R上的函数“X)满足：①对任意的x,"R,都有—y)=〃x)—〃y)；②当x<0时，/(x)>0,

则函数/(%)的解析式可以是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知等比数列｛为｝,其公比4>1,且满足4+%=12,%和%的等差中项是L

(1)求数列｛q｝的通项公式；

),+|

(n诺bn=na„,7；是数列｛bn｝的前〃项和，求使T,-n-2+14=0成立的正整数〃的值.

18.(12分)已知等差数列-二一,的前〃项和为二一，且二+二.="，二=、♦

求数列一】的通项公式；

求数列的前“项和--

⑺出如

19.(12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABC。是平行四边形，P£)_L平面ABC。，E是棱PC上的一点,

满足Q4//平面8DE.

(I)证明：PE=EC；

(ID设P£>=AT>=Br>=l,AB=®，若F为棱PB上一点,使得直线。咒与平面3DE所成角的大小为30。,

求尸尸：/归的值.

20.(12分)已知函数/'(%)="+2卜+1|-忖—3|的定义域为R.

(1)求实数/的取值范围；

(2)设实数R为7的最小值，若实数。，b,。满足/+层+,2=机2,求一一+?_+-_的最小值.

a2+lb-+2C2+3

21.(12分)已知函数f(x)=f-5x+21nx.

(1)求/(x)的极值；

(2)若/(司)=/(工2)=/(七)，且工[<々<X3，证明：

22.(10分)已知函数/(x)=e*-gx2有两个极值点为，%.

(1)求实数％的取值范围；

(2)证明：史〈人.

X

X]2

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

2

由已知先确定出双曲线方程为再分别找到为直角三角形的两种情况，最后再结合

|尸制一|尸闾=2即可解决.

【详解】

由已知可得2a=2,-=2,所以a=l,c、=2,8=J?C=J§，从而双曲线方程为

2

炉-5=1,不妨设点尸在双曲线C右支上运动,则|尸耳|_|尸闾=2,当|「耳|_L|P/时,

此时|电「+归用2=]6=(归耳卜归国)2+2归耳归闾，所以|尸耳归周=6,

(|尸用+1尸引)2=|p用2+b闾2+21尸耳||率|=28,所以归制+归国=2百；

当愿J_x轴时，附『=附「+]6,所以附|+归用号=8,又△耳桃为锐角三

角形,所以归耳|+|%42a8).

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到△KP鸟为锐角三角形的临界情况，即△耳尸鸟为直角三角形，

是一道中档题.

2、C

【解析】

当了<0时，y=/(x)-ax-匕=%一办一人=(1一4)%一匕最多一个零点；当x..O时，

y=f(x)-ax-b=-x3--(a+1)x2+ax-ax-b=-x3--(a+l)x2-b,利用导数研究函数的单调性，根据单调

性画函数草图，根据草图可得.

【详解】

b

当尤<()时，y^f(x)-ax-b=x-ax-h^(l-a)x-b=O,得％=----；y=/(为一以一万最多一个零点；

1-a

=

当x..0时，yf(x)—ox—b=4龙?——(々+1)/+—QX—/?=—1,——(6?4-1)厂一h9

y'-x2-(a+l)x,

当a+L,0,即④一1时，/..0,y=/(x)-办—b在[0,住)上递增，y=/(幻一办一人最多一个零点.不合题意;

当〃+1>0,即a>—1时，令V>0得xe[a+l,+8),函数递增，令y'vO得不以0,Q+1),函数递减；函数最

多有2个零点;

根据题意函数y=/(x)-办-沙恰有3个零点。函数y=/(x)-«v-h在(-8,0)上有一个零点，在［0,+00)上有2

个零点，

如图：

-h>0

£<°且，

11,

_（Q+1）3—上（Q+1）（67+1）2-/?<0

、32

1.

解得匕<0,1—4Z>0,0>h>-（6?+1）67>—1.

6

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及。力两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中

有可能分类不全面、不彻底.

3、B

【解析】

根据复数的除法运算法则和共扼复数的定义直接求解即可.

【详解】

由(l+2i)z=4+3i,得2云=2—i,所以1=2+i.

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共枕复数的定义，属于基础题.

4、B

【解析】

求导函数，求出函数的极值，利用函数/(幻=//-。恰有三个零点，即可求实数。的取值范围.

【详解】

函数y=x1ex的导数为y'=2xex+x2ex=xex(x+2),

令y'=0,贝!Jx=O或一2,

-2<x<0上单调递减，(YO,-2),(0,+OO)上单调递增,

所以0或-2是函数y的极值点，

,4

函数的极值为：/(0)=0,/(-2)=4e-2=—,

e-

4

函数/(元)=1/一。恰有三个零点，则实数的取值范围是：(0，r).

e

故选B.

【点睛】

该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象

的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.

5、D

【解析】

根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用OP=，OM+〃ON,求出点P((/l+〃)c,(几一〃)个［,

z»6

因为点P在双曲线上，及6=一，代入整理及得4«2切=1,又已知沏=一，即可求出离心率.

a25

【详解】

由题意可知--LN[C,------j,代入OP=AOM+〃0N得:(%+〃)c,(2-

代入双曲线方程卫一《=1整理得：4^2//=1,又因为即可得到《=上西，

a2b22512

故选：D.

【点睛】

本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于“，h,c的方程或不等式,

由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题.

6、B

【解析】

2____2.1

mAC=A尸—变形为=+由=得AC=3AN，转化在二A8N中，利用3、P、N三

点共线可得.

【详解】

22

解：依题：AP=mAC+-AB=3mAN+-AB,

33

又B,P,N三点共线，

21

3m+—=1,解得//=

故选：B.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数.思路是⑴先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成

向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.(2)直线的向量式参

数方程：A、P、B三点共线=0P=(1-f)04+『03(。为平面内任一点

7、A

【解析】

由已知新运算a@h的意义就是取得ci,b中的最小值，

/、vfl,x>0

因此函数〃x)=l㊉2，=,

乙，人二^u

只有选项A中的图象符合要求，故选A.

8、A

【解析】

根据平面内两定点A，8间的距离为2,动点P与A，8的距离之比为注，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结

2

合求解.

【详解】

如图所示：

、Z、/、/、J(x+])2+y272

设A(—1,0),^(1,0),P(x,y),则]----=,

—l)-+y22

化简得（x+3『+y2=8,

当点P到AB（x轴）距离最大时，AE48的面积最大，

:.AR4B面积的最大值是，x2x2立=2夜.

2

故选：A.

【点睛】

本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

9、D

6

2、展开式中的常数项和4项，再求和即可得出答案.

的展开式中的常数项，可转化为求4--

X7X

由题意，（«+：）中常数项为=60,

的展开式中的常数项为:

x3x240-^-1x60=180.

X'

故选：D

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.

10、B

【解析】

3

作出约束条件的可行域，在可行域内求z=3x+4)•的最小值即为|3x+4y|的最小值，作y=-1x,平移直线即可求解.

【详解】

x+y-l>0

作出实数x，)'满足不等式组2x-y+420的可行域，如图(阴影部分)

4x+y—4Ko

故Zmin=3X1+O=3,

即|3x+4y|的最小值为3.

故选：B

【点睛】

本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题.

11、C

【解析】

计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为5拒cm,得到最上层球面上的点距离桶底最远为(10+50(〃-1)卜m,

得到不等式10+50(〃-l)W100,计算得到答案.

【详解】

由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，

这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm的正面体，

易求正四面体相对棱的距离为58cm,每装两个球称为“一层”，这样装〃层球，

则最上层球面上的点距离桶底最远为(10+5后(〃-1)卜m,

若想要盖上盖子，则需要满足10+50(〃-1)4100,解得〃41+90213.726，

所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球.

故选：C

【点睛】

本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

12、D

【解析】

根据全称命题的否定是特称命题，对命题进行改写即可.

【详解】

全称命题的否定是特称命题，所以命题“心60，1),0-*>1111''的否定是：3xoe(O,l),e/Wlnx..

故选D.

【点睛】

本题考查全称命题的否定，难度容易.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4

【解析】

,2a1

根据导数的运算，结合数列的通项公式的求法，求得。“=1,2=2〃+1,c=n2+n+l,进而得到一l^l=~>

n2%也n

再利用放缩法和取整函数的定义，即可求解.

【详解】

由题意，函数/(x)=e%x+l)2,且/(x)=/'(x),九|(x)=/.'(x)

x2

可得/(x)=f'(x)=e%x2+4x+3),f2(x)=f\x)=e(x+6x+7)

力⑴=月(x)=e\x2+8x+13),以x)=f；(x)="(/+lOx+21),

又由<(x)=e*(a“x2+2x+q),可得｛4｝为常数列，且a,=1,

数列也J表示首项为4,公差为2的等差数列，所以2=2〃+2,

其中数列匕｝满足。2=4勺-。2=6,。4一。3=8,=2〃，

/xxzX("―1)(4+2/7)21

所以…+(—+(-4+---…〃+1,

2a2x11

所以---------=-------------------------=—

22

2cn-bn2(n+〃+1)-(2〃+2)n

11111111,i

又由—7>------=-------，F<-------=-------,(〃>2),

n~〃(〃+1)nH+1n"n(n-l)n-\n

11

可得数列｛;--｝的前"项和为1一+-=-1----------

〃(〃+1)223nn+ln+1

J_1_3_1

数列(7)的前“项和为l+不—大+7—二十

(1)•"2334n71+12〃+1

所以数列的前〃项和为S,,，满足1———<5„<--一L,

2cn-hn\n+12«+1

131393

所以3(1------)<35,(^<3(-------)，即3—--<3S,<---—,

20012000220012001一0G0o022001

又由上可表示不超过实数/〃的最大整数，所以[3S2Goo]=4.

故答案为：4.

【点睛】

本题主要考查了函数的导数的计算，以及等差数列的通项公式，累加法求解数列的通项公式，以及裂项法求数列的和

的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

14、(0,3)

【解析】

变换得到丁=12y,计算焦点得到答案.

【详解】

抛物线>=卷》2的标准方程为/=]2>，〃=6,所以焦点坐标为(0,3).

故答案为：(0,3)

【点睛】

本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题.

为奇数

15、〈

〃-1,〃为偶数

【解析】

由题意可得%+i-a,i=2(几.2),又q=l,数列的奇数项为首项为1,公差为2的等差数列，对〃分奇数和

n,〃为奇数

偶数两种情况，分别求出4,从而得到数列｛4｝的通项公式凡=<

〃-1,“为偶数.

【详解】

解：,••/+1=2〃一%

二a0+i+4=2〃①,怎+/_]=2(〃-1)(儿.2)②,

①-②得：%+「a“T=2(n..2),又

A数列｛4｝的奇数项为首项为1,公差为2的等差数列,

••・当〃为奇数时，%=〃，

当”为偶数时，则〃一1为奇数，.,.4=2(〃-1)一〃“_|=2(〃一1)一(“-1)=〃一1,

〃，〃为奇数

•••数列｛%｝的通项公式

1,〃为偶数

〃，〃为奇数

故答案为：

〃-1,〃为偶数

【点睛】

本题考查求数列的通项公式，解题关键是由已知递推关系得出《出-%T=2(〃一2),从而确定数列的奇数项成等差

数列，求出通项公式后再由已知求出偶数项，要注意结果是分段函数形式.

16、"x)=-x(或/(x)=-2x,答案不唯一)

【解析】

由“％-了)=〃力—〃①可得/(力是奇函数，再由x<0时，〃x)>0可得到满足条件的奇函数非常多，属于开

放性试题.

【详解】

在/(x—y)=/(x)—〃y)中，令x=y=o,得/(0)=0；令x=0,

则〃—y)=〃o)-/(y)=—/(y)，故/(力是奇函数，由x<o时，/(力>0,

知/(x)=-x或/(x)=-2x等，答案不唯一.

故答案为：/(x)=-x(或/(x)=-2x,答案不唯一).

【点睛】

本题考查抽象函数的性质，涉及到由表达式确定函数奇偶性，是一道开放性的题，难度不大.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)an=2".(II)n=3.

【解析】

(I)由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，可得所求通项公式；(口)2=〃勺=72",

由数列的错位相减法求和可得7“，解方程可得所求值.

【详解】

(I)等比数列{4},其公比q>1，且满足生+%=12,%和肉的等差中项是10

2

即有axq+ayq-12,20=4+4=qq+qq、'

解得：%=q=2an=2"

(II油(I)知：bn=nan=n-2"

则7；=l・2+2・22+3-23+—+〃.2"

27；,=l-22+2-23+3-24+•••+«-2n+,

23nn+l21_2),+1

相减可得：-T=2+2+2+---+2-n-2=()-n，2

"1-2

化简可得：<=2+(〃-1)2用

7],-n-2B+1+14=0,即为16—2田=0

解得：n=3

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及方程思想和运算能力，属于中档

题.

【解析】

先设出数列的公差为d,结合题中条件，求出首项和公差，即可得出结果.

;利用裂项相消法求出数列的和.

【详解】

解：设公差为d的等差数列的前n项和为

且町♦a；=;■?*

则有：，

色+a4-+=10

［也,+口=：4

解得：2=，d=7

所以：/=、+；

由于：&=

所以：S.=n：—：丁

【点睛】

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和

转化能力，属于基础题型.

19、（I）证明见解析（II）PF:FB=1:1

【解析】

（I）由抬〃平面BDE，可得PA//EM,又因为M是AC的中点，即得证；

（II）如图建立空间直角坐标系，设Pf=22B（0</l<l）,计算平面8DE的法向量，由直线。尸与平面3DE所成

角的大小为30。，列出等式，即得解.

【详解】

(I)如图,

连接AC交BD于点“，连接EM,

则EM是平面PAC与平面8DE的交线，

因为24//平面3DE,

故PA//EM,

又因为“是AC的中点，

所以E是PC的中点，

故PE=EC.

(ID由条件可知，452+3。2=.2,所以的＞，即，故以。为坐标原点，DA为X轴，08为＞轴，DP为二轴

建立空间直角坐标系，

则0(0,0,0),4(1,0,0),B(0,l,0),P(0,0,l),C(-l,l,0),£(

,DE=D8=(0,1,0)

设PF=/IPB(O<；1<1),

则*0,41—4),DF=(O,/l,l-/l)

设平面BDE的法向量为〃=(x,y,z),

n-DE=Q一九+y+z=0/、

则，即《八，故取〃=(1,0,1)

n•DB=0[y=0

因为直线与平面8DE所成角的大小为30。

DF-ni

所以---n—=sin30°=-,

DF^n2

I1-21,1

即万次+(］叫22，

解得2=1,故此时PF:FB=1:1.

2

【点睛】

本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生逻辑推理，空间想象，数学运算的能力，属于中档题.

9

20、(1)r>4；(2)—

22

【解析】

(1)首先通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等

式组解集的并集，得到所求不等式的解集；

(2)首先确定m的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.

【详解】

(1)因为函数定义域为R,即f+2|x+l|-k-3|=0恒成立，所以「2-2卜+1|+卜一3|恒成立

x+5,x<-l,

—2|x+1|+|x—3|=<1—3x,—1<x<3,

-x-5,x>3.

由单调性可知当x=T时，一2k+1|+k一3|有最大值为4,即94；

(2)由(1)知机=4,a2+b2+c2^16,

由柯西不等式知后++1+Z72+2+C2+3)>(1+1+1)2=9

…111、9加111的最小值为三9.

所以-j---1—;----1—5-9即-----1—5---1—;

cr+1Zr+2c~+322。+1h~+2c~+3

当且仅“号，”印d号时,等号成立

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

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21、(1)/(x)极大值为——21n2；极小值为-6+21n2；(2)见解析

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【解析】

(1)对函数.f(x)求导，进而可求出单调性，从而可求出函数的极值;

(2)构造函数F⑶=f(x)~/(I一x),xe(0,g),求导并判断单调性可得尸(x)<0,从而/(x)</(I一x)在(0,；)上

恒成立，再结合％=内)</(1一玉)，可得到%>1一玉,即可证明结论成立.

【详解】

(D函数/(x)的定义域为((),+8),(x)=2x-5+/="1(一)(]>0),

所以当⑵y)时，[(x)>0；当xe2)时，/(x)<0,

则f(x)的单调递增区间为和(2,+8),单调递减区间为(J,2.

f1>1519

故/(x)的极大值为/不=1-s+21nj=—：-21n2；/(x)的极小值为f(2)=4—10+21n2=—6+21n2.

(2)证明油(1)知OVX]V；V%2<2〈七，

设函数/。)=/(X)-/(I一X),XG(o,g),

贝！]/(x)=X?-5x+21nx-(1-x)~—5(l-x)+21n(l-x),

p⑴二(21)(x-2)+(2x-l)(x+l)=2(21)2

x1-xx(l-x)

则F\x)>0在(°，；)上恒成立，即E(x)在10，、上单调递增，

故F(x)〈尸(；)，

又/713)=/(；)一/[3)=。'则/7(")=/(")二"1—无)<°"€1°'3}

即f(x)</(I一X)在(o,上恒成立.

因为％e(0,g],所以/(玉)</(1一百)，

又/(占)=/(X)，则/(/)</。一%)，

因为々,1一%e(g,2),且/(x)在(g，2)上单调递减，

所以%