2024届长郡中学高三下学期模拟（三）数学试卷+答案

湖南省长沙市长郡中学2024届高三下学期区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。求的.22．在ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，则“sin2A+sin2B+cos2C>1”是“ABC是锐角三角形”的()22224422三棱锥V−ABC的体积为()22i−1可以是()选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.线段AB与CD分别为圆O1与圆O2的直径，则()B．若P为圆O1上B的中点，AB⊥AC，且AB=AC，则OP与AC所成角的余弦值为D．若AB⊥CD，且AC与BD所成的角为60°,则球O的表面积为20π或84π表示为，若AD=，cos∠BAC=,则ABC面积的最大值为.答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.间并从参与者中随机抽取200人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图.(1)据此估计这200人满意度的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；返消费金额的10%，除此之外不返现金.张在该超市购买了总价为1000元的商品.①求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算注：结果精确到0.1）l2a,n为偶数面ABCD，E,F分别为侧棱PB,PD的中点，点M在CP上且=2.(2)求直线PA与平面BDM所成角的正弦值.19．已知抛物线x2=2py(p>0)上的动点到其焦点的距离的最小值为.y0>0)作抛物线的切线，分别交x轴于点D，交y轴于点B．点C在抛物线上，BGAEEC=λ;点G在线段BC上，满足点E在线段AC上，满足能1=λ2，且BGAEEC=λ;点G在线段BC上，满足点E在线段AC上，满足能1=λ,求⋅−⋅的值【分析】根据题意，将集合A,B化简，然后结合交2【分析】利用正弦定理和余弦定理可得cosC>0，但A,B不一定为锐角；若ABC是锐角三角形可知满足1，即可得出结论. 2π【详解】由ABC是锐角三角形，得0< 2π,从而cosC>0，22C2A39π2329(π)(π)又因为直线x=为函数y=f(x)图象的一条对称轴， 6π 6ππ「ππ]π「ππ]【详解】设圆的半径为R，过O作OD⊥AB于D点，如图，πR2SπR22设ABC外接圆半径r，解出并求出VA，进而解出三棱锥体积即可.【详解】设三棱锥V−ABC外接球的半径为R，则4πR3=40π,解得R=；所以BC==，故==1，所以VA=2，【分析】根据双曲线的定义，结合焦点三角形以及余弦定理即可求解.【详解】设双曲线的右焦点为F,连接MF,NF,--------------设MF1=3F1N=3x,MF=2a+3x=4+3x,FN=2a+x=4+x,--------------由余弦定理可得cos∠NF1F+cos∠MF1F=F1N+F1F−NF+F1M+F1F−MF=0,2FN⋅FF2FM⋅FF即x2+4c2−(4+x)2+9x2+4c2−(4+3x)2=0，解得x=1，2−2=−，故n=an+1由上式又有：a2==1，)+a1+1+a1+2+a1+3+a1+4+a1+5)=−6a1，所以可以判断a1一定不能为负整数，即只能有−6a1=9，子即可；对于C，直接证明a+b>12+4即可否定；对于D，给出a=1+2，b=12+2作为反例即可否定.ab12a+bb【详解】对于A，由已知正实数a,b满足12a+b=ab，有a==>=1，*【点睛】关键点点睛：本题的关键点是C选项中对基本不等式的适当运用.【分析】根据平均数、众数、百分位数和方差的定义求解.【详解】对于A，平均数=9.1+9.3+9.4+9.6+9.8+10+10)=9.6，故A正确；2+(9.4−9.62+(9.6−9.62+(9.8−9.6正确.C，利用向量法由异面直线所成角求出圆半径r，再得出球半径即可判断D.圆O1与圆O2的半径为r.对于A，由题意，R2=r2+3,AC2=AO+CO=AO+O4O+CO=2r2+12,AB2=4r2.因为AB=AC，所=r以=r所以R2+3=9，解得R=3（负值已舍去所以V球=πR3=36π,故A错误.对于B，因为AB∩AC=A，所以A,B,C三点在同一平面内.22r2+1222r2+12所以∠O1OP为OP与AC所成的角.因为AB=AC，所以OO1=AC=11AB=PO.122又PO1O1OP=45=2,故B正确.则A0,−,00,,0−,0,2，所以=−,−,2，−−−r,0,2，所以=， ------------=BDAC=所以AC⋅BD=−r2−r2+12=− ------------=BDAC=------------------ACBD------所以cosAC,BDACBD------−2r2+122r22r2+122r2+121=,2当r=时，球O的半径为R=r2+(3)2=，所以球O的表面积S= 当r=32时，球O的半径为R==21，所以球O的表面积S=4πR2=84π,故D正确. 【点睛】关键点点睛：由于球的半径未知，直径AB与CD间的位置关系未知，本题解题关键在于借助空间【分析】根据几何关系，表示向量；设=，再利用平面向量基本定理表示，即可求解λ,再【详解】由点P是MC的中点，则=+设=，=µ，+−，=λµ+−=λ−+−，=+(λ−1−λµ)=+(λ−1−λµ)，λ−1−λµ=−65---5------6---23所以AP=AD，即AD=AP=a+b，因为AD=，2=2+2+⋅=2+2+1，即b≤6，即b≤,当=b时，即=--- 22 32;8 =.82ca232ca23求a2,c2，即可得离心率.222)22，22c2222c 所以Cc a2 2然后可解.所以f(x)=f(x+1)−f(x+2)，f因为A+B+C=π,由正弦定理可得a+b=2c；2所以ABC的面积为或.所以X的可能取值为800,900,1000，X的分布列为：XP 565657因为P(Y=800)=,P(Y=900)=,P(Y=950)= 1,2YP 1613 12(2)T2n=an=n；n4n+1−4 +.2n+13=S1=1.当n=1时，也符合an=n.n=n.则T2n=+b3+2n−12+24+2n---cosPA,---cosPA,=4=1−+n4n+1−4=+，2n+132n+13----2---2---利用空间向量法证明AM=AE+AF，即可证明；由OP⊥平面ABCD，AC,BD⊂A(4,0,0),B(0,3,0),C(−4,0,0),D(0,−3,0),P(0,0,4)，则E(0,3,2),F(0,−3,2)，由=2，得M(−4,0,8)，所以=(−4,−3,2),=(−4,3,2),=(−16,0,8)，----2---2---则AM=AE+AF，所以----2---2---又直线AM,AE,AF的公共点为A，所以A,E,M,F四点共面；----------48（2）由（1）知，PA=(4,0,−4),DB=(0,6,0),BM=(−,----------48设平面BDM的一个法向量为=(x,y,z)，得------PAn==即直线PA与平面BDM所成角的正弦值为.2,y2【详解】（1）因为抛物线x2=2py(p>0)上故抛物线方程为x2=y；所以在点A的切线方程为y−1=2(x−1)，即y=2x−1，得D(,0),B(0,−1)，所以D为AB的中点，得CD=CA+CB=1CE+所以D为AB的中点，得CD=CA+CB=1CE+2CG，222