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文档简介
辽宁省重点名校2024年高三第一次模拟考试数学试卷
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色
字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
22
1.过双曲线=-孑=1(。〉0力>0)左焦点厂的直线/交C的左支于A3两点,直线AO(。是坐标原点)交C
的右支于点Z),若D/FAB,且忸h=|。耳,则C的离心率是()
A.立B.2C.75D.
22
2.学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A、B、C、D、E五个等级.某班共有36名学生且全部选考
物理、化学两科,这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中,这两科等级均为A的学生有5人,这两科中仅
有一科等级为A的学生,其另外一科等级为3,则该班()
7级
科久ABCDE
物理1016910
化学819720
A.物理化学等级都是3的学生至多有12人
B.物理化学等级都是3的学生至少有5人
C.这两科只有一科等级为3且最高等级为B的学生至多有18人
D.这两科只有一科等级为B且最高等级为3的学生至少有1人
3.4+/=i是asine+bcosOKl恒成立的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
—%2
4.已知x>0,a=xb=x——,c=ln(l+x),贝!|()
92
A.c<b<aB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a
TTTT7T
5.已知函数/(x)=sin(ox+0)(o>O,le|W—),x=——为了(尤)的零点,x=—为y=/(x)图象的对称轴,且/\x)
244
在区间(工,工)上单调,则。的最大值是()
43
A.12B.11C.10D.9
6.已知平面a和直线a,b,则下列命题正确的是()
A.若a〃b,b//o-,则。〃aB.若b-La,则。〃a
C.若。〃b,bVa,则a_LaD.若a_Lb,b//a,则aJ_a
7.设4(2,—1),6(4,1),则以线段A5为直径的圆的方程是()
A.(x-3)2+y2=2B.(x-3)2+y2=8
C.(x+3)2+y2=2D.(x+3)2+y2=8
8.设函数F(X)定义域为全体实数,令ga)=/(l九I)-"(x)|.有以下6个论断:
①/(x)是奇函数时,g(x)是奇函数;
②/(X)是偶函数时,g(x)是奇函数;
③/(X)是偶函数时,g(x)是偶函数;
④/(X)是奇函数时,g(x)是偶函数
⑤g(x)是偶函数;
⑥对任意的实数x,g(x),,0.
那么正确论断的编号是()
A.③④B.①②⑥C.③④⑥D.③④⑤
9.ABC是边长为2若的等边三角形,E、R分别为AB、AC的中点,沿所把,AER折起,使点A翻折到点P
的位置,连接尸5、PC,当四棱锥尸-5CFE的外接球的表面积最小时,四棱锥尸-NCEE的体积为()
.5A/3R3A/3„V6n376
4444
10.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案,形若铜钱,寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点,则该点取自阴
影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是()
1
A.B.-C.--1D.2--
237171
11.数列{〃n}是等差数列,ai=l,公差d£[L2],且〃4+Xaio+4i6=15,则实数X的最大值为()
1_5323
A.B.—C.——D.
219192
logix,0<%,1,
12.若函数/(%)=2函数g(x)=/(%)+日只有1个零点,则左的取值范围是()
一x(x-l)(x-3),x〉1,
A.(-1,0)B.(-°o,0)U(1,+oo)C.1)(0,+co)D・(0,1)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成
绩,并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在[250,400)内的学生共有__人.
14.已知数列{4}是各项均为正数的等比数列,若%-%=5,则4+8%的最小值为
y>x
15.已知实数x,y满足2x-y>0,则z=」的最大值为.
_x+2
x+y<5
16.已知抛物线V=2px(夕>0)的焦点为尸,斜率为2&的直线过产且与抛物线交于48两点,。为坐标原点,
S
若A在第一象限,那么三回
»BFO
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图在棱锥尸—ABCD中,ABCD为矩形,PD上面ABC。,PB=2,NBPC=45,NPBD=30.
(1)在心上是否存在一点E,使PC,面ADE,若存在确定E点位置,若不存在,请说明理由;
(2)当E为心中点时,求二面角P—AE—£>的余弦值.
18.(12分)联合国粮农组织对某地区最近10年的粮食需求量部分统计数据如下表:
年份20102012201420162018
需求量(万吨)236246257276286
(1)由所给数据可知,年需求量与年份之间具有线性相关关系,我们以“年份―2014”为横坐标x,“需求量—257”为
纵坐标V,请完成如下数据处理表格:
年份一20140
需求量一2570
(2)根据回归直线方程夕=赢+&分析,2020年联合国粮农组织计划向该地区投放粮食300万吨,问是否能够满足该
地区的粮食需求?
参考公式:对于一组数据(玉,%),(尤2,%),…,(%,%),其回归直线夕=良+&的斜率和截距的最小二乘估计分
_“__
别为:另=9............-,a=y-bJc.
—nx
19.(12分)已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(―0,0),(0,0),圆E是AABC的内切圆,在边上的
切点分别为P,Q,R,\CP\=2-42,动点C的轨迹为曲线G.
(1)求曲线G的方程;
(2)设直线/与曲线G交于M,N两点,点。在曲线G上,。是坐标原点OM+ON=OD,判断四边形OMDN的面积是
否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.
20.(12分)为了解广大学生家长对校园食品安全的认识,某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安
全网络知识问卷调查,每一位学生家长仅有一次参加机会,现对有效问卷进行整理,并随机抽取出了200份答卷,统
计这些答卷的得分(满分:100分)制出的频率分布直方图如图所示,由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的
得分Z服从正态分布N(〃,2io),其中〃近似为这200人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表).
(1)请利用正态分布的知识求尸(36<Z<79.5);
(2)该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案:
①得分不低于〃的可以获赠2次随机话费,得分低于〃的可以获赠1次随机话费:
②每次获赠的随机话费和对应的概率为:
获赠的随机话费(单位:元)1020
21
概率
3
市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人,请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费?
附:①J210标14.5;②若X~则P(〃一cr<X<//+cr)=0.6827,P(〃一2cr<X<〃+2cr)=0.9545,
尸(〃一3b<X<4+3b)=0.9973.
21.(12分)已知不等式|x+l|+|x|+|x—1]>恤+1|对于任意的xeR恒成立.
(1)求实数的取值范围;
(2)若m的最大值为且正实数a,b,c满足。+26+3c=".求证—1—+——>2+73.
2a+bb+2c
22.(10分)古人云:“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读,建设书香中国,校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计
学生一周课外读书的时间,从全校学生中随机抽取〃名学生进行问卷调查,统计了他们一周课外读书时间(单位:h)
的数据如下:
一周课外
合
读书时间(0,2](刊(4,6](6间(8,10](10,12](12,14](14,16](16,18]
计
/h
频数4610121424a4634n
频率0.020.030.050.060.070.120.25P0.171
(1)根据表格中提供的数据,求。,0,〃的值并估算一周课外读书时间的中位数.
(2)如果读书时间按(0,6],(6,12],(12,18]分组,用分层抽样的方法从1名学生中抽取20人.
①求每层应抽取的人数;
②若从(0,6],(6,12]中抽出的学生中再随机选取2人,求这2人不在同一层的概率.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
如图,设双曲线的右焦点为工,连接。鸟并延长交右支于C,连接FC,设=x,利用双曲线的几何性质可以得
到。尸=x+2a,FC=x+4a,结合RtAFDC、RtAFDF?可求离心率.
【详解】
如图,设双曲线的右焦点为招,连接尸C,连接。心并延长交右支于C.
因为EO=O6,AO=O。,故四边形为平行四边形,故FDLDF?.
又双曲线为中心对称图形,故=
设。则。尸=X+2Q,故与。=犬+2〃,故/C=X+4Q.
因为AFDC为直角三角形,tt(x+4«)2=(2x+2«)2+(X+2G)2,解得x=a.
在RtAFDB中,有4c2=4+9/,所以e=£="g=典.
av22
故选:D.
【点睛】
本题考查双曲线离心率,注意利用双曲线的对称性(中心对称、轴对称)以及双曲线的定义来构造关于a/,c的方程,
本题属于难题.
2、D
【解析】
根据题意分别计算出物理等级为4,化学等级为3的学生人数以及物理等级为3,化学等级为A的学生人数,结合表
格中的数据进行分析,可得出合适的选项.
【详解】
根据题意可知,36名学生减去5名全A和一科为人另一科为3的学生10-5+8-5=8人(其中物理4化学5的有5
人,物理3化学4的有3人),
表格变为:
ABCDE
物理10—5—5=016-3=13910
化学8-5-3=019-5=14720
对于A选项,物理化学等级都是3的学生至多有13人,A选项错误;
对于B选项,当物理C和。,化学都是3时,或化学C和。,物理都是3时,物理、化学都是3的人数最少,至少
为13—7—2=4(人),B选项错误;
对于C选项,在表格中,除去物理化学都是B的学生,剩下的都是一科为3且最高等级为3的学生,
因为都是3的学生最少4人,所以一科为3且最高等级为3的学生最多为13+9+1-4=19(人),
C选项错误;
对于D选项,物理化学都是3的最多13人,所以两科只有一科等级为3且最高等级为3的学生最少14-13=1(人),
D选项正确.
故选:D.
【点睛】
本题考查合情推理,考查推理能力,属于中等题.
3、A
【解析】
a=cosa
设{nasine+Z?cose=sinecosa+cos6sina=sin(e+a)〈l成立;反之,a=b=0满足
b=sina
22
asin0-\-bcosO<l9tz+Z?1,故选A.
4、D
【解析】
(2、2
令〃x)=ln(l+x)-x-+,求/'(%),利用导数判断函数为单调递增,从而可得ln(l+x)〉x-土,设
12J2
g(x)=ln(l+%)-x,利用导数证出g(x)为单调递减函数,从而证出Vx>O,ln(l+x)<x,即可得到答案.
【详解】
2
尤>0时,x〉x---x--
2
/2A12
令/'(x)=ln(l+尤)—x—,求导尸(x)=--------1+%=——
12J1+x1+x
Vx>0,/'(%)>0,故/(x)单调递增:/(x)>/(0)=0
V2
••.ln(l+x)>^-y
当x>0,设g(x)=ln(l+x)-x,
1-y
=-------1=--<0,
1+X1+X
又g(o)=o.
g(x)=ln(l+x)-x<0,即Vx>0,ln(l+x)<x,
%2
故x〉ln(l+x)〉x——
故选:D
【点睛】
本题考查了作差法比较大小,考查了构造函数法,利用导数判断式子的大小,属于中档题.
5、B
【解析】
由题意可得加(-工)+0=旖,^co.-+(p=k'7T+-,故有。=2(〃一幻+1①,再根据L也.求得@,12②,
4422®34
由①②可得①的最大值,检验。的这个值满足条件.
【详解】
解:函数/W=sin(s+(p)[a>>0,191,,今,
7F1T
%=一二为/(%)的零点,%=:为y=图象的对称轴,
44
二.G•(一生)+0=左不,且@•工+0=k'%+生,k、k'GZ,「.。=2(〃一4)+1,即①为奇数①.
442
/(x)在G,刍单调,.•./竺.5,,12②.
432。34
由①②可得。的最大值为L
JT77-TT
当0=11时,由x=i为y=/(x)图象的对称轴,可得11*=+0=左"+1,ksZ,
故有"=一7,怯(-■-)+(p=k7i:,满足》=一:为/(无)的零点,
444
同时也满足满足Ax)在(匕兀,W%、上单调,
故0=n为0的最大值,
故选:B.
【点睛】
本题主要考查正弦函数的图象的特征,正弦函数的周期性以及它的图象的对称性,属于中档题.
6、C
【解析】
根据线面的位置关系,结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可.
【详解】
A:当aua时,也可以满足a〃力,b//a,故本命题不正确;
B:当aua时,也可以满足°,方,b±a,故本命题不正确;
C:根据平行线的性质可知:当a〃b,b±a,时,能得到故本命题是正确的;
D:当aua时,也可以满足aJLb,b//a,故本命题不正确.
故选:C
【点睛】
本题考查了线面的位置关系,考查了平行线的性质,考查了推理论证能力.
7、A
【解析】
计算A6的中点坐标为(3,0),圆半径为厂=0,得到圆方程.
【详解】
A3的中点坐标为:(3,0),圆半径为厂=网=‘22+22=夜,
22
圆方程为(x—3)2+V=2.
故选:A.
【点睛】
本题考查了圆的标准方程,意在考查学生的计算能力.
8、A
【解析】
根据函数奇偶性的定义即可判断函数g(x)的奇偶性并证明.
【详解】
当了。)是偶函数,则/(r)=/(%),
所以g(T)=f(]~X1)-1/(-%)1=/(Ix1)-1/(x)|=g(x),
所以g(x)是偶函数;
当了(X)是奇函数时,贝!1/(—X)=—/(%),
所以g(-x)=f(\-x1)-1/(-x)1=/(IX1)-1/(x)|=g(x),
所以gCO是偶函数;
当/(X)为非奇非偶函数时,例如:f(x)=x+5,
则川-2|)=7,|/(-2)|=3,此时g(-2)>0,故⑥错误;
故③④正确.
故选:A
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性定义,掌握奇偶性定义是解题的关键,属于基础题.
9、D
【解析】
首先由题意得,当梯形6CEE的外接圆圆心为四棱锥尸-5CFE的外接球球心时,外接球的半径最小,通过图形发现,
的中点即为梯形5c庄的外接圆圆心,也即四棱锥尸的外接球球心,则可得到PO=OC=b,进而可
根据四棱锥的体积公式求出体积.
【详解】
如图,四边形6CEE为等腰梯形,则其必有外接圆,设。为梯形5CEE的外接圆圆心,
当。也为四棱锥尸-5CFE的外接球球心时,外接球的半径最小,也就使得外接球的表面积最小,过A作的垂线
交BC于点M,交跖于点N,连接点。必在AM上,
0//M
E、R分别为A3、AC的中点,则必有AN=PN="2V,
ZAPM=90,即为直角三角形.
对于等腰梯形5CEE,如图:
今
因为ABC是等边三角形,E、F、M分别为A3、AC.的中点,
必有MB=MC=MF="E,
所以点〃为等腰梯形5CEE的外接圆圆心,即点。与点〃重合,如图
M(O)
E
Bi
:.P。=OC=3BC=6,PA=Y/AO2-PO2=13。-3=屈,
所以四棱锥尸—5CFE底面BCEE的高为P°PA='娓=拒,
AM3
v-13。―131。归26_3#
Vp-BCFE^~SBCFEfl^~X-SABC丸=g乂/X5X2,3X3X,2=^―.
故选:D.
【点睛】
本题考查四棱锥的外接球及体积问题,关键是要找到外接球球心的位置,这个是一个难点,考查了学生空间想象能力
和分析能力,是一道难度较大的题目.
10>C
【解析】
令圆的半径为1,则尸=岂=」2(>2)=4_],故选c
S7171
11、D
【解析】
利用等差数列通项公式推导出九=生与,由2],能求出实数入取最大值.
【详解】
,♦,数列{an}是等差数列,“1=1,公差d6[L2],且。4+福10+。16=15,
,、加出13-18d
/.l+3d+k(l+9d)+l+15d=15,解得九=-------,
l+9d
13-18d15dKM
VdG[L2],k=----------=-2+--------是减函数,
l+9dl+9d
13—121
.•.d=l时,实数入取最大值为入=上-.
1+92
故选D.
【点睛】
本题考查实数值的最大值的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
12、C
【解析】
转化g(x)=/(x)+区有1个零点为y=与丫=-6的图象有1个交点,求导研究临界状态相切时的斜率,数形
结合即得解.
【详解】
g(x)=/(x)+区有1个零点
等价于y=/(x)与y=-质的图象有1个交点.
记丸(九)=一九(%-1)(九一3)(尤>1),则过原点作丸(%)的切线,
设切点为(为,先),
,
则切线方程为y-h(x0)=A(x0)(x-x0),
又切线过原点,即入(%)=五'(%)/,
将丸(%)=-x0(x0-l)(%0-3),,
"(x。)=—3Xg+8%0—3
代入解得%=2.
所以切线斜率为"(2)=—3x2?+8x2—3=1,
所以左<—1或左>0.
故选:C
【点睛】
本题考查了导数在函数零点问题中的应用,考查了学生数形结合,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13、750
【解析】因为:,得二=0.:^,
所以730X蔗g+MM+AMS)X网=加。
14、40
【解析】
5
设等比数列{4}的公比为4,根据%-%=5,可得4=q(q_i),因为
5(二+8)(9、
a+8a2=qq,+8aq==5q-l+^-+2,根据均值不等式,即可求得答案.
4lq—lI4TJ
【详解】
设等比数列{4}的公比为q,
。3a?—5,
5
a,=---------
q(q—D
等比数列{4}的各项为正数,
/.q>l,
5(/+8)
a4+8a2=%q(q2+8)=
q-i
(9)
=5q-l+—+2>40,当且仅当q—l=3,
Iq—i)
即q=4时,%+84取得最小值40.
故答案为:40.
【点睛】
本题主要考查了求数列值的最值问题,解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式,考查了分析能力和
计算能力,属于中档题.
一10
15、
11
【解析】
画出不等式组表示的平面区域,将目标函数理解为点(尤,y)与(-2,0)构成直线的斜率,数形结合即可求得.
【详解】
不等式组表示的平面区域如下所示:
数形结合可知,当且仅当目标函数过点3时,斜率取得最大值,
10
yio
故Z的最大值为/一=7T.
+211
3
故答案为:—,
【点睛】
本题考查目标函数为斜率型的规划问题,属基础题.
16、2
【解析】
S\AF\S\AF\
如图所示,先证明道1两,再利用抛物线的定义和相似得AFO到就=两=n2.
)BFO
【详解】
由题得=~\OF\\AF\sinZAFO,S^FO=~\OF||BF\sinZBFO.
因为ZAFO+ZBFO=7i.:.sinZAFO=sinZBFO.
\AF\
所以uAFO
uBFO\BFV
过点A、B分别作准线的垂线,垂足分别为M,N,过点B作BELAM于点E,
设|BF|二m,|AF|=n,则|BN|二m,|AM|=n,
所以|AE|二n-m,因为《钻=2/,
所以|AB|二3(mm),
所以3(n-m)=n+m,
ri
所以一=2.
m
\AF\_n
所以《皿
»BFOIBF|m
故答案为:2
【点睛】
本题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查抛物线的定义,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、(1)见解析;(2)B
3
【解析】
(1)要证明PC,面AOE,由已知可得AZ>,PC,只需满足。£.PC=O即可,从而得到点E为中点;(2)求出面AOE
的法向量,面R4E的法向量,利用空间向量的数量积,求解二面角尸-AE-O的余弦值.
【详解】
(1)法一:要证明PC上面ADE,易知ADL面PDC,即得ADLPC,故只需.尸C=0即可,
所以由(DP+PE)^PC=O=>QP.PC+PE^PC=O=>|P目=1,即存在点E为PC中点.
法二:建立如图所示的空间直角坐标系D—XYZ,由题意知PD=CD=L
CE=C,设PEKPB,.-.PE=APB=A(y/2,l-l),PC=(O,l,-l),由
PCDE=PC(DP+P£)=(0,1,-1).(722,2,1-2)=0,得2=;,
即存在点E为PC中点.
11)
(2)由⑴知。(0,0,0),A(V2,0,0),E,尸(0,0,1)
I22
£>A=(A/2,0,0),DE=,尸4=(仓0,T),PE=',;,一;
\7\7
设面ADE的法向量为々=(%,%,zj,面PAE的法向量为%=(x2,J2,z2)
A/2X,=0
nx-DA-0
由的法向量为।八得,属+9+;10得
珥•DE=0
同理求得々=(1,0,72)
«1•«1_A/3
所以cos。=
|»1|-|«113
故所求二面角P-AE-D的余弦值为且
3
【点睛】
本题考查二面角的平面角的求法,考查直线与平面垂直的判定定理的应用,考查空间想象能力以及计算能力.
18、(1)见解析;(2)能够满足.
【解析】
(1)根据表中数据,结合以“年份―2014”为横坐标x,“需求量—257”为纵坐标V的要求即可完成表格;
(2)根据表中及所给公式可求得线性回归方程,由线性回归方程预测2020年的粮食需求量,即可作出判断.
【详解】
(1)由所给数据和已知条件,对数据处理表格如下:
年份一2014-4-2024
需求量一257-21-1101929
(2)由题意可知,变量y与x之间具有线性相关关系,
由(1)中表格可得,工=0,y=3.2,
._-4X(-21)+(-2)X(-11)+0X0+2x19+4x29-5x0x3.2_260_
b=-------------:———:——---:---:---:-----:---------=――=6.5,4=7—另7=3.2.由上述计算结果可
(-4)2+(-2)2+02+22+42-5X0240
知,所求回归直线方程为,=6.5x+3.2,
利用回归直线方程,可预测2020年的粮食需求量为:
6.5x(2020-2014)+3.2+257=299.2(万吨),
因为299.2<300,故能够满足该地区的粮食需求.
【点睛】
本题考查了线性回归直线的求法及预测应用,属于基础题.
19、(1);+g=l(y/0).(2)四边形OMZJN的面积是定值,其定值为痛.
【解析】
(1)根据三角形内切圆的性质证得|C4|+|CB|=4>|A@,由此判断出C点的轨迹为椭圆,并由此求得曲线G的方程.
(2)将直线/的斜率分成不存在或存在两种情况,求出平行四边形QWDN的面积,两种情况下四边形QWDN的面
积都为V6,由此证得四边形OMDN的面积为定值.
【详解】
(1)因为圆E为4ABC的内切圆,所以|CA|+|aB|=|CP|+|q2|+|P4|+|Q5|=2|CP|+|AR|+|3R|=2eP|+|A5|=4>|A8|
所以点C的轨迹为以点A和点3为焦点的椭圆(点C不在X轴上),
所以c=^^2.,a=2,/>=,
22
所以曲线G的方程为上+上=1(丁。0),
42
(2)因为OM+ON=O。,故四边形。,WDN为平行四边形.
当直线I的斜率不存在时,则四边形QWDN为为菱形,
故直线MN的方程为x=-1或x=l,
此时可求得四边形OMDN的面积为寂.
当直线I的斜率存在时,设直线I方程是y=kx+m,
22
代入到—+—=1,得(1+2依)/+4左7WX+2m2-4=0,
42
-4km2
2m-422
/.Xl+X2=yXlX2=......-,△=8(4^+2-m)>0,
1+2421+2左2
.2m2ak?
+
••Jiy2=k(xi+X2)+2m=-一X
l+2k"
\m\
点O到直线MN的距离d=~r=,
J1+公
—4KVVI/yn
由。M+ON=0。,得XD=।2,yo=——r,
l+2kl+2k'
•.•点O在曲线C上,所以将D点坐标代入椭圆方程得l+2k2=2m2,
由题意四边形OMDN为平行四边形,
2。14/+2"|m|_2V2|m|V4Z:2+2-m2
AOMDN的面积为S=71+FxX,=7=
1+2左221+2左2
由l+2k2=2m2得S=^J6,
故四边形OMDN的面积是定值,其定值为几.
【点睛】
本小题主要考查用定义法求轨迹方程,考查椭圆中四边形面积的计算,考查椭圆中的定值问题,考查运算求解能力,
属于中档题.
20、(1)0.8186;(2)估计此次活动可能赠送出100000元话费
【解析】
(1)根据正态分布的性质可求P(36<ZW79.5)的值.
(2)设某家长参加活动可获赠话费为X元,利用题设条件求出其分布列,再利用公式求出其期望后可得计此次活动
可能赠送出的话费数额.
【详解】
(1)根据题中所给的统计表,结合题中所给的条件,可以求得
〃=35x0.025+45x0.15+55x0.2+65x0.25+75x0.225+85x0.1+95x0.05
=0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75=65
又36M65-20TU,79.5^65+7210.
所以P(36<ZW79.5)
=-x0.9545+-x0.6827
22
=0.8186;
(2)根据题意,某家长参加活动可获赠话费的可能值X有10,20,30,40元,且每位家长获得赠送1次、2次话费
的概率都为一,
2
121
得10元的情况为低于平均值,概率尸=一乂彳二7,
233
得20元的情况有两种,得分低于平均值,一次性获20元话费;得分不低于平均值,2次均获赠10元话费,概率
„111227
F=-X—+—X—X—=——,
2323318
1912
得30元的情况为:得分不低于平均值,一次获赠10元话费,另一次获赠20元话费,其概率为。=彳义仁义彳义彳二式,
2339
得40元的其情况得分不低于平均值,两次机会均获20元话费,概率为P=1><?x2=±.
23318
所以变量X的分布列为:
X10203040
1721
P
318918
1721
某家长获赠话费的期望为E(X)=10x§+20义行+30X§+40XR=20.
所以估计此次活动可能赠送出100000元话费.
【点睛】
本题考查正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望,注意与正态分布有关的计算要利用该分布的密度函数图象
的对称性来进行,本题属于中档题.
21、(1)[-3,1](2)证明见解析
【解析】
⑴法一:|.x+l|+|x-l|>|(^+l)-(x-l)|=2,|x|>0,#|x+l|+|x|+|x-l|>2,贝!]加+1区2,由此可得答案;
法二
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