2023年新高考全国Ⅰ卷模拟测数学试卷03（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12023年新高考全国Ⅰ卷模拟测试卷03数学一、单选题1．已知集合，，则集合的元素个数为（

）A．6 B．7C．8 D．9〖答案〗B〖解析〗由得，，解得，所以.由解得，所以.所以，共有个元素.故选：B.2．设为复数，为虚数单位，关于的方程有实数根，则复数的模的范围是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由题意知，设是方程的实数根，则，若，则，等式不成立，所以，有，所以，当且仅当即时等号成立.所以的取值范围为.故选：B.3．已知向量不共线，则“”是“的夹角为钝角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗充分性：因为，向量不共线，所以，即的夹角为钝角，满足充分性.必要性：若的夹角为，，，则，所以不满足，不满足充分性.所以“”是“的夹角为钝角”的充分不必要条件.故选：A4．已知的解集为，则的值为（

）A．1 B．2 C．-1 D．-2〖答案〗B〖解析〗因为的解集为，所以为方程的一个根，所以．故选:B．5．随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有共六个数字，记事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数含有”，则下列说法正确的是（

）A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是互斥事件C． D．〖答案〗C〖解析〗投掷两个质地均匀的正方体骰子，所有可能的结果有种；满足事件的有，，共种；满足事件的有，，共种；满足事件的有，，，，，，，，，，，共种；，C正确；，D错误；，不是相互独立事件，A错误；事件和事件可能同时发生，不是互斥事件，B错误.故选：C.6．如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则如图，水最少的临界情况为，水面为面，水最多的临界情况为多面体，水面为，因为，，所以，即.故选：A.7．椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆E交与点A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于l的对称点为M，若，则（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗如图，由椭圆的光学性质可得三点共线.设，则，.故，解得.又，所以，.所以.故选：A.8．已知数列的前项和满足．若存在，使得，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗因为数列的前项和满足，所以当n=1时，有.不合题意；所以，解得：；当时，.，解得：.设，解得：，可得：，所以是公比为，首项的等比数列，所以，所以.经检验，对n=1也成立.若存在，使得，则数列不单调.只需，则正负项交替出现，符合题意，此时.当时，单调递增，不符合题意；当时，单调递减，不符合题意；而.综上所述：.故选：A.二、多选题9．已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（

）A．， B．若，则C． D．随机变量满足，则〖答案〗ABC〖解析〗因为,所以，，A正确；因为，所以，B正确；因为，所以，C正确；因为，所以，所以,D错误，故选:ABC.10．函数的部分图象如图所示，则（

）A．B．C．的图象关于点对称D．在区间上单调递增〖答案〗ACD〖解析〗，，由于，所以，所以A选项正确，B选项错误.，当时，得，所以关于对称，C选项正确，，当时，得在上递增，则在区间上单调递增，所以D选项正确.故选：ACD11．如图的六面体中，CA＝CB＝CD＝1，AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝，则（

）A．CD⊥平面ABC B．AC与BE所成角的大小为 C． D．该六面体外接球的表面积为3π〖答案〗ACD〖解析〗因为CA＝CB＝CD＝1，BD＝AD＝，所以，即又，所以CD⊥平面ABC，故A正确；因为CD⊥平面ABC，如图，建立空间之间坐标系，因为CA＝CB＝CD＝1，所以四面体是正三棱锥，因为AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝，所以四面体是正四面体，在正三棱锥中过点C作底面的垂线，垂足为正三角形的中心，同理，在正四面体中，过顶点作底面的垂线，垂足为正三角形的中心，所以，三点共线；因为，因为正三角形的中心，所以，设，因为在正四面体中，，在正三棱锥中，，所以，解得，所以，所以，又，所以，故AC与BE所成角的大小为，故B错误；因为，所以，故C正确；

显然，该六面体外接球的球心位于线段的中点，因为，所以六面体外接球的半径，所以该六面体外接球的表面积为，故D正确.故选：ACD.12．已知抛物线的焦点为，以该抛物线上三点为切点的切线分别是，直线相交于点与分别相交于点.记的横坐标分别为，则（

）A． B．C． D．〖答案〗BCD〖解析〗设，所以，即，同理，，即，也即，B正确；不一定为A错误；正确；正确，故选:BCD.三、填空题13．已知函数，则__________.〖答案〗4〖解析〗由，所以，所以.故〖答案〗为：4.14．的展开式中含项的系数为___________.〖答案〗〖解析〗，的展开式中项为：，的展开式中没有项，故的展开式中含项的系数为，故〖答案〗为：.15．过点作圆的两条切线，切点分别为，则的直线方程为___________.〖答案〗〖解析〗圆的圆心，半径，方程化为一般式方程为，则，以为圆心，为半径作圆，其方程为，方程化为一般式方程为，∵，则是圆与圆的交点，两圆方程作差可得：，∴直线的方程为.故〖答案〗为：.16．已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则________〖答案〗2〖解析〗因为函数的两个零点为，，则，即，又，则，即，所以.故〖答案〗为：2.四、解答题17．已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求的通项公式；（2）数列满足，求的前n项和.解：（1）设数列的公比为，则，，解得，所以，即的通项公式为；（2）方法一：由题可知，则，，所以，.方法二：，所以.18．在中，的对边分别为.（1）若，求的值；（2）若的平分线交于点，求长度的取值范围.解：（1）已知，由正弦定理可得，，，，，即，.（2）由（1）知，由，则.设，，，，.19．如图，四边形ABCD是边长为的菱形，DD1⊥平面ABCD，BB1⊥平面ABCD，且BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点．（1）证明：平面BDEF∥平面CB1D1；（2）若∠ADC＝120°，求直线DB1与平面BDEF所成角的正弦值．（1）证明：连接，交于点，连接，则为的中点，∵是的中点，平面,平面,所以平面又是的中点平面,平面,所以平面又平面,,所以平面平面．（2）解：取的中点，连接，在菱形中，为正三角形，则由平面，故以所在直线分别为轴，建立如图示的空间直角坐标系

则∴设平面BDEF的法向量为，即，令则设直线与平面所成角为，则故直线与平面所成角的正弦值为20．随着科技的发展，手机的功能已经非常强大，各类APP让用户的生活质量得到极大的提升，但是大量的青少年却沉迷于手机游戏，极大地毒害了青少年的身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏APP，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：关卡x123456平均过关时间y（单位：秒）5078124121137352（1）通过散点图分析，可用模型拟合y与x的关系，试求y与x的经验回归方程；（2）甲和乙约定举行对战赛，每局比赛通关用时少的人获胜（假设甲､乙都能通关），两人约定先胜4局者赢得比赛.已知甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，若前3局中甲已胜2局，乙胜1局，求甲最终赢得比赛的概率.参考公式：对于一组数据（xi，yi）（i=1，2，3，…，n），其经验回归直线ŷ=x+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.参考数据：，其中.解：（1）令，由，即，，，，，.（2）记“甲最终赢得比赛”为事件，则事件包含三种情况：一是接下去进行两局比赛，甲都赢了；二是接下去进行三局比赛，乙在前两局胜了其中一局，甲赢了剩余两局；三是接下去进行四局比赛，乙在前三局胜了其中两局，甲赢了剩余两局；故，所以甲最终赢得比赛的概率为.21．设函数，.（1）若函数图象恰与函数图象相切，求实数的值；（2）若函数有两个极值点，，设点，，证明：、两点连线的斜率.（1）解：设与切于，由，则，所以，则，即，令，则，所以在上单调递增，又，所以，所以.（2）证明：证法一：由，所以，因为有两个极值点，，即有两个不等的正根，且，，要证：，即证.不妨设，即证：，即证：，令证令，在上，证毕!证法二：因为，所以，令，则，因为函数有两个极值点，所以，解得.所以，所以的斜率.令，则，所以在上单调递增，又，所以当时，.不妨设，令，则，所以，即，证毕!22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a、b为正常数)的右顶点为A，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的中点．（1）设直线PQ与直线OM的斜率分别为k1、k2，求k1·k2的值；（2）若＝，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．解：（1）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，因为P、Q在双曲线上，所以－＝1，－＝1，两式作差得－＝0，即＝，即＝，即k1·k2＝；（2）因为＝，所以APQ是以A为直角顶点的直角三角形，即AP⊥AQ；①当直线l的斜率不存在时，设l：x＝t，代入－＝1得，y＝±b，由|t－a|＝b得，(a2－b2)t2－2a3t＋a2(a2＋b2)＝0，即[(a2－b2)t－a(a2＋b2)](t－a)＝0，得t＝或a(舍)，故直线l的方程为x＝；②当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，代入－＝1，得(b2－k2a2)x2－2kma2x－a2(m2＋b2)＝0，Δ＝a2b2(m2＋b2－k2a2)＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－；因为AP⊥AQ，所以·＝0，即(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝0，即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋y1y2＝0，即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，即(km－a)(x1＋x2)＋(k2＋1)x1x2＋m2＋a2＝0，即＝0，即a2(a2＋b2)k2＋2ma3k＋m2(a2－b2)＝0，即[a(a2＋b2)k＋m(a2－b2)](ak＋m)＝0，所以k＝－或k＝－；当k＝－时，直线l的方程为y＝－x＋m，此时经过A，舍去；当k＝－时，直线l的方程为y＝－x＋m，恒过定点(，0)，经检验满足题意；综上①②，直线l过定点(，0).2023年新高考全国Ⅰ卷模拟测试卷03数学一、单选题1．已知集合，，则集合的元素个数为（

）A．6 B．7C．8 D．9〖答案〗B〖解析〗由得，，解得，所以.由解得，所以.所以，共有个元素.故选：B.2．设为复数，为虚数单位，关于的方程有实数根，则复数的模的范围是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由题意知，设是方程的实数根，则，若，则，等式不成立，所以，有，所以，当且仅当即时等号成立.所以的取值范围为.故选：B.3．已知向量不共线，则“”是“的夹角为钝角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗充分性：因为，向量不共线，所以，即的夹角为钝角，满足充分性.必要性：若的夹角为，，，则，所以不满足，不满足充分性.所以“”是“的夹角为钝角”的充分不必要条件.故选：A4．已知的解集为，则的值为（

）A．1 B．2 C．-1 D．-2〖答案〗B〖解析〗因为的解集为，所以为方程的一个根，所以．故选:B．5．随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有共六个数字，记事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数含有”，则下列说法正确的是（

）A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是互斥事件C． D．〖答案〗C〖解析〗投掷两个质地均匀的正方体骰子，所有可能的结果有种；满足事件的有，，共种；满足事件的有，，共种；满足事件的有，，，，，，，，，，，共种；，C正确；，D错误；，不是相互独立事件，A错误；事件和事件可能同时发生，不是互斥事件，B错误.故选：C.6．如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则如图，水最少的临界情况为，水面为面，水最多的临界情况为多面体，水面为，因为，，所以，即.故选：A.7．椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆E交与点A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于l的对称点为M，若，则（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗如图，由椭圆的光学性质可得三点共线.设，则，.故，解得.又，所以，.所以.故选：A.8．已知数列的前项和满足．若存在，使得，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗因为数列的前项和满足，所以当n=1时，有.不合题意；所以，解得：；当时，.，解得：.设，解得：，可得：，所以是公比为，首项的等比数列，所以，所以.经检验，对n=1也成立.若存在，使得，则数列不单调.只需，则正负项交替出现，符合题意，此时.当时，单调递增，不符合题意；当时，单调递减，不符合题意；而.综上所述：.故选：A.二、多选题9．已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（

）A．， B．若，则C． D．随机变量满足，则〖答案〗ABC〖解析〗因为,所以，，A正确；因为，所以，B正确；因为，所以，C正确；因为，所以，所以,D错误，故选:ABC.10．函数的部分图象如图所示，则（

）A．B．C．的图象关于点对称D．在区间上单调递增〖答案〗ACD〖解析〗，，由于，所以，所以A选项正确，B选项错误.，当时，得，所以关于对称，C选项正确，，当时，得在上递增，则在区间上单调递增，所以D选项正确.故选：ACD11．如图的六面体中，CA＝CB＝CD＝1，AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝，则（

）A．CD⊥平面ABC B．AC与BE所成角的大小为 C． D．该六面体外接球的表面积为3π〖答案〗ACD〖解析〗因为CA＝CB＝CD＝1，BD＝AD＝，所以，即又，所以CD⊥平面ABC，故A正确；因为CD⊥平面ABC，如图，建立空间之间坐标系，因为CA＝CB＝CD＝1，所以四面体是正三棱锥，因为AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝，所以四面体是正四面体，在正三棱锥中过点C作底面的垂线，垂足为正三角形的中心，同理，在正四面体中，过顶点作底面的垂线，垂足为正三角形的中心，所以，三点共线；因为，因为正三角形的中心，所以，设，因为在正四面体中，，在正三棱锥中，，所以，解得，所以，所以，又，所以，故AC与BE所成角的大小为，故B错误；因为，所以，故C正确；

显然，该六面体外接球的球心位于线段的中点，因为，所以六面体外接球的半径，所以该六面体外接球的表面积为，故D正确.故选：ACD.12．已知抛物线的焦点为，以该抛物线上三点为切点的切线分别是，直线相交于点与分别相交于点.记的横坐标分别为，则（

）A． B．C． D．〖答案〗BCD〖解析〗设，所以，即，同理，，即，也即，B正确；不一定为A错误；正确；正确，故选:BCD.三、填空题13．已知函数，则__________.〖答案〗4〖解析〗由，所以，所以.故〖答案〗为：4.14．的展开式中含项的系数为___________.〖答案〗〖解析〗，的展开式中项为：，的展开式中没有项，故的展开式中含项的系数为，故〖答案〗为：.15．过点作圆的两条切线，切点分别为，则的直线方程为___________.〖答案〗〖解析〗圆的圆心，半径，方程化为一般式方程为，则，以为圆心，为半径作圆，其方程为，方程化为一般式方程为，∵，则是圆与圆的交点，两圆方程作差可得：，∴直线的方程为.故〖答案〗为：.16．已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则________〖答案〗2〖解析〗因为函数的两个零点为，，则，即，又，则，即，所以.故〖答案〗为：2.四、解答题17．已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求的通项公式；（2）数列满足，求的前n项和.解：（1）设数列的公比为，则，，解得，所以，即的通项公式为；（2）方法一：由题可知，则，，所以，.方法二：，所以.18．在中，的对边分别为.（1）若，求的值；（2）若的平分线交于点，求长度的取值范围.解：（1）已知，由正弦定理可得，，，，，即，.（2）由（1）知，由，则.设，，，，.19．如图，四边形ABCD是边长为的菱形，DD1⊥平面ABCD，BB1⊥平面ABCD，且BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点．（1）证明：平面BDEF∥平面CB1D1；（2）若∠ADC＝120°，求直线DB1与平面BDEF所成角的正弦值．（1）证明：连接，交于点，连接，则为的中点，∵是的中点，平面,平面,所以平面又是的中点平面,平面,所以平面又平面,,所以平面平面．（2）解：取的中点，连接，在菱形中，为正三角形，则由平面，故以所在直线分别为轴，建立如图示的空间直角坐标系

则∴设平面BDEF的法向量为，即，令则设直线与平面所成角为，则故直线与平面所成角的正弦值为20．随着科技的发展，手机的功能已经非常强大，各类APP让用户的生活质量得到极大的提升，但是大量的青少年却沉迷于手机游戏，极大地毒害了青少年的身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏APP，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：关卡x123456平均过关时间y（单位：秒）5078124121137352（1）通过散点图分析，可用模型拟合y与x的关系，试求y与x的经验回归方程；（2）甲和乙约定举行对战赛，每局比赛通关用时少的人获胜（假设甲､乙都能通关），两人约定先胜4局者赢得比赛.已知甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，若前3局中甲已胜2局，乙胜1局，求甲最终赢得比赛的概率.参考公式：对于一组数据（xi，yi）（i=1，2，3，…，n），其经验回归直线ŷ=x+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.参考数据：，其中.解：（1）令，由，即，，，，，.（2）记“甲最终赢得比赛”为事件，则事件包含三种情况：一是接下去进行两局比赛，甲都赢了；二是接下去进行三局比赛，乙在前两局胜了其中一局，甲赢了剩余两局；三是接下去进行四局比赛，乙在前三局胜了其中两局，甲赢了剩余两局；故，所以甲最终赢得比赛的概率为.21．设函数，.（1）若函数图象恰与函数图象相切，求实数的值；（2）若函数有两个极值点，，设点，，证明：、两点连线的斜率.（1）解：设与切于，由，则，所以，则，即，令，则，所以在上单调递增，又，所以，所以.（2）证明：证法一：由，所以，因为有两个极值点，，即有两个不