2024年新高考数学复习 函数性质(单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性) 含答案详解

函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性）

目录

题型01奇偶性基础

题型02中心对称型函数

题型03轴对称型函

题型04斜直线轴对称

题型05“正余弦”型对称

题型06伸缩型对称

题型07一元三次函数型中心对称

题型08“局部周期”型函数性质

题型09双函数型对称

题型10原函数与导函数型双函数对称

题型11放大镜型函数性质

题型12抽象函数赋值型性质

题型13对称型恒成立求参

题型14构造“对称”型函数

高考练场

热点题型归纳

题型01奇偶性基础

【解题攻略】_____________________________________________________________________________

高莉函函而桂欣：

[①偶函数0/（-X）=小）0关于丁轴对称O对称区间的单调性相反；;

:②奇函数0/（-x）=-Xx）O关于原点对称O对称区间的单调性相同；：

:③奇函数宙=0处有意义时,必有结论＜0）=0；

啬偶性的判定i

I①"奇士奇"是奇，"偶士偶"是偶，"奇X/.奇"是偶，"偶X/一偶"是偶，"奇X/.偶”是奇；:

珍奇（偶）函数倒数或相反数运算，奇偶性不变；

[③奇（偶）函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数.j

SSvi]

（2023秋•山西•高三校联考期中）

题号：1

已知函数/（x）=（x+a-2）（x2+q-I）为奇函数，则/（a）的值是（）

A.0B.-|2C.12D.10

【典例1-2】

（2023秋•北京昌平•高三北京市昌平区前锋学校校考阶段练习）

题号：2

已知/⑴二与1，则（）

A./(x)为偶函数，且在(0,+8)上单调递增

B./(X)为偶函数，且在(0,+oc)上单调递减

C./(x)为奇函数，且在(0,+8)上单调递增

D./(x)为奇函数，且在(0,+8)上单调递减

【变式1-1】

(2023•全国•高一专题练习)

题号：3

若/•(x)=eT-a8为奇函数，则/(X)4-c的解集为()

A.(-00,2]B.(-oo,1]C.[2,+8)D.[1,+8)

【变式1-2】

(2023秋•江苏南通•高三统考开学考试)

题号：4

已知/(X);匕目(440)是奇函数，则”X)在.V-(处的切线方程是()

A.y=xB.y=2vC.y=exD.y=2ex

【变式1-3】

(2023秋•天津和平•高三天津一中校考阶段练习).

题号：5

已知函数,XGR,若对任意.vC[m.〃I+I],都有/(2/n-x)>0成立，则实

数〃的取值范围是C)

A.(0,+oc)B.[0,+oo)C.(2,+x>)D.[2,+x)

题型02中心对称型函数

【解题攻略】

布藏觥懿；…

i(1)若函数儿丫)满足+X)+如z-X)=2b,贝版x)的一个对称中心为(a,b)

：(2)若函数”)满足/(2a-x)+-)=2b,则危)的一个对称中心为(a,6)

;(3)若函数4x)满足"2a+x)+人-幻=26,则/(x)的一^对称中心为(a,6).

隔箱j

题号：6_____

已知函数/(x)=/〃(小疝2戈+1+shu)(xWR)，则存在非零实数'o,使得()

2

A.f(xn)=-IB./(A-o)-/(-Vo)=

C

-/(/(xo))=①(6+1)D.f(7r+xa)-f(xn)=1

【典例1-2】

题号：7

函数V=5sin（争+即（-15Wx力0）的图象与函数片图象的所有交点的横坐标之和为

【变式1-1】

题号：8

设函数/（力=53+加m+由（》+必_7）-巡）最大值为5,则/（X）的最小值为（）

A.-5B.1C.2D.3

【变式1-2】

题号：9

已知函数/（x）=bg2（广511）-芫7+2,XER,若三大［0,孙吏关于〃的不等式

/（2sin。-cosff）+/（4-2sin。-2co3-ni）＜2成立，则实数〃的范围为.

【变式1-3】

题号：10

题型03轴对称型函数

【解题攻略】

脚函唯的需甬曾领口示:一…

；(1)若函数/(X)满足/(a+x)=五。-x),贝队X)的一条对称轴为x=a

\(2)若函数/(x)满足/(2a-x)=小)，贝!|/(x)的一条对称轴为x=a

：(3)若函数/(X)满足/(2a+x)=/(-x),贝奴x)的一条对称轴为x=a

：(4)/(a-x)=/(6+x)空危)的图象关于直线x=:'对称；

'【典例*i

(2023上•重庆•高三重庆市忠县忠州中学校校联考)

题号：11

已知定义在R上的函数/(X),函数v=/(x+l)为偶函数，fi^VX1,X2e[1,+8)但62)都有

[/(^l)_/(v2)](xl-x2)>0-若/(a-1)s/(3a)，贝必的取值范围是.

【典例1-2】

(2023上•江西景德镇•高一统考期中)

题号：12

已知函数/(x)满足关系式/(2+x)=/(-x),且对于V.t1,fW(-°°,1](工法叼)，满足

/3)二,(叼)<6皈立,若不等式/(aOv/M+S)对VxeR恒成立，则实数a的取值范围是

【变式1-1】

(2023上•江苏南通•高三统考阶段练习)

题号：13

设定义在R上的函数/(X)在(-%,2]单调递减，且〃x+2)为偶函数，若,2mtn,且有

/(2m)=f(n),则J十邺的最小值为.

【变式1-2】

(2023上•山东济南•高三统考开学考试)

题号：14

若函数/(x)=|(l-x2)(x2+ar+6)|-c(c,0)的图象关于直线》=-2对称，且/(》)有且仅有4个零

点，则a+/>+曲值为.

【变式1-3】

(2023上•陕西榆林•高三校考阶段练习)

题号：15

函数“X)是定义在R上的奇函数，且图象关于对称，在区间(0,；)上，/(x)=2v-l,则

/(W)-.

题型04斜直线轴对称型

【解题攻略】

关于斜直线轴对称，可以借鉴圆锥曲线中直线的对称性来处理

n-b

------x-1

m-a

(1)点6)关于直卑lx+By+C=0的对称点/(m,〃),则有

a+mb+n

A--+C=0

(2)直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.:

如果斜直线轴对称，还有以下经验公式：

如果对称轴所在的直线斜率是土1,即直线是)，=±x+6型，可以利用反解对称轴法直接求出对称变i

换式子

y=±x0+b

x=+y0-b

)如果4(为,此)关于直线/:>=x+6的对称点为3,贝帕的坐标为(y0~b,x0+6)；

⑵如果人均⑹关于直线/:尸一x+6的对称点为3,贝帕的坐标为(一处+①一和+Z?)

[Sw-i]

(2023上•重庆・高三西南大学附中校考)

题号：16

已知函数/(2+.H)为奇函数，/(x)的函数图象关于尸丫对称，且当时，/(A)-sin^.v,则

/(A------------------------------，

【典例1-2】

(2023上•辽宁•高三校联考)

题号：17

已知定义域为R的函数.L〃x)满足f(2-x)+〃x)=2,且其图象关于直线厂r对称，若当

xW(0,l)时,/(x)=2*-l,则/(后-3卜.

【变式1-1】

(2023上•辽宁大连•禺三大连八中校考期中)

题号：18

已知函数/•(x)=0-a)ln(l+t),若曲线v=/Q)关于直线'/对称，贝L+/)的值为

【变式1-2】

(2023上•上海浦东新•高三华师大二附中校考)

题号：19

已知函数/'(x)=；；；■、；(a#0)的图象过点(-4,4),且关于直线l-、成轴对称图形，贝加+”

【变式1-3】

(2021上•高一校考课时练习)

题号：203

-

若函数g(x)的图象与＜(%)=54冏图象关于直线v=、对称，则g(2)的值等于

()

5

225

A~-D

--65一-

C.5TT

题型05“正余弦”型对称

【解题攻略】

二在余弦壅函数为祢性质厂课类比正弦"或者余孩r简活注忆:…

(1)两中心(。,0),(6,0),-=\a-b\-,

(2)两垂直轴x=a,x=6,则/=\a-b\；

(3)一个中心(a,0),一条轴x=b,贝归=|a-臼

【丽1二彳】

题号：21

函数“X)是定义在R上的奇函数，且“x-l)为偶函数，当在［0刀时，"X)-金，若函数

g(x)=/(x)-X-M合有一个零点，则实数/)的取值集合是()

A.+B.++

C.(44-孑,必+,)/ezD.(44+:,4k+竽)*ez

【典例1-2】

题号：22

定义在R上的偶函甄G)满足/'(7)+/(%-2)=0,当-IWxgO时，〃x)=(l+x)铲(已知

Iny=0.405)，则()

A./(2022)</(k)g2^)</(e0.3)B./(2022)</(e»-3)</(bg,-^)

C./(60.3)</饱高)v〃2022)D./他端)v/(e0,3)<〃2022)

【变式1-1】

题号：23

已知定义在R上的函数尸满足条件“X仔)一/(x),且函数L/QL》为奇函数，则下列说法中错

误的是()

A.函数/(X)是周期函数；

B.函数/(X)的图象关于点|[,0)对称；

C.函数〃x)为R上的偶函数；

D.函数为R上的单调函数.

【变式1-2】

题号：24

,

已知函数〃x)1g(X)的定义域为R,g(x)为g(A珀勺导函数，且/1(x)+g(x)=2,/(x)-g(4-v)=2,若gfx)为

偶函数，则下列结论不一定成立的是()

A.7(4)=2B.0(2)=0

C./(-1)=/(-3)D./⑴+〃3)=4

【变式1-3】

题号：25_

定义在R上的函数/(X)满足/(-x)+/(x)=0,/(-x)=/(x+2)；且当［0,1］时,

/(、)=x3_"+x.贝(］方程4/(大)一x+2=0所有的根之和为()

A.6B.12C.14D.10

题型06伸缩型对称

【解题攻略】

伸缩变换

1斓中卜.仲:。阳火的M,,HH*.小变v=af(x)

索:，…」一一，…上二氐工L」二匕一二

【典例1-1】

（2023秋•湖南怀化•高三统考）

题号：26

已知v=〃x）不是常函数，且是定义域为R的奇函数，若v=/（2x+l）的最小正周期为1,则（）

A./(x+1)=/(-x+1)

C./(1)=/(-1)=0

【典例1-2】

（2023•河南•长葛市第一高级中学统考模拟预测）

题号：27

若函数/'（x）的定义域为R,且/'（入+1）为偶函数，/（x-1）的图象关于点（3,3）成中心对称,

则下列说法正确的个数为（）

①的一个周期为2②/（22）=3

19

③Z/（i）=57（7GN）④直线\=4是/（X）图象的一条对称轴

【变式1-1】

（2022秋・重庆南岸•高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）

题号：28

已知是定义在R上的函数，〃2t+l）是奇函数，且〃4x+2）是偶函数，则下列选项一定正确的

是（）

A.函数"X）的周期为2B.函数/（x）的周期为3

C./（2022）=0D./（2023）=0

【变式1-2】

（2022秋•吉林长春•高三长春市第二中学校考阶段练习）

题号：29

设函数7•1）的定义域为R,且/.（X+2）是奇函数，是偶函数，则一定有（）

A./(4)=0B./(-1)=0C./⑶=0D."5)=0

【变式1-3】

（2022秋•广西玉林•高三校联考阶段练习）

题号：30

已知〃X-1)是定义域为R的奇函数，g(x)=/(2r+3)是定义域为R的偶函数，则()

A.g(2)=0B.g(3)=0C.〃3)=0D./(5)=0

题型07一元三次函数型中心对称

【解题攻略】_____________________________________________________________________________

配看函三次函频轮看，，拐点"，百夜”拐点"田是函薮yl数函窗豪1

旭对称中心，

翊'(X)是函数仆)的导数，/'(X)是/'6)的导数，若方程八(x)=0有实数解》,则称点加小。))为函:

数8=ax3+bx2+ex+d(aR0加勺"拐点".：

’【施而二彳】

题号：31

给出定义：设/'(X)是函数v=/(x)的导函数，r(x)是函数v=/(x)的导函数，若方程/"(x)=0有实

数解L%,则称(XoJ(Xo))为函数v=/(x)的"拐点”经研究发现所有的三次函数

/(x)=ox3+bx2+cx+d(ar0)都有“拐点"，且该"拐点"也是函数v=/(x)的图像的对称中心，若

函数/3="一次2,则/(襦)+/(赢)+/(俞)+•嬲”()

A.8082B.2021C.-8082D.-2023

【典例1-2】

题号：32

已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点.若/(X)=X3-铝+3x+1,则

【变式1-1】

题号：33

在同一坐标系中作出三次函数“X)=。必+瓜.2+cx+d(aW0)及其导函数的图象，下列可能正确的序

号是()

①②④

A.①②B.①③C.③④D.①④

【变式1-2】

题号：34

设函数y=/(x)是y=/(x)的导数，经过探究发现，任意一个三次函数/。)=⑪3+m2+以+/

(ar0)的图象都有对称中心(.”,/(%)),其中均满足八%)=0,已知函数/-(x)=2始-3x2+9x-孑

，则”+)+/(疆卜()

A.0B.1C.1D.g

【变式1-3】

题号：35

一般地，对于一元三次函数/(X),若r(Xo)=O,则(飞,/(而))为三次函数/(X)的对称中心，已知

函数/(工)=》3+aH+I图象的对称中心的横坐标为“(.vu>0),且/(C有三个零点，则实数。的取值范

围是()

A-(一0-芈)B.(-8.0)

C.(0,+ac)D.(—®,—1)

题型08“局部周期”型函数性质

(福建省长汀县第一中学2022届高三上学期第二次月考数学试题)

题号：36

定义在[0,+oo)上的函数“X)满足L：；”？一.

'l/(x-1)-2,xe[1,+8)

(i)/(2021)=.

(ii)若方程/(x)-h=(宿且只有两个解，则实数舶勺取值范围是.

【典例1-2】

题号：

371

-

2)+a.x<0,

已知/(x)=且方程/(.V)-M合有两解.则实数,7的取值范围是

1),x>0.

【变式1-1】

(2021下•天津武清•高三天津市武清区杨村第一中学校)

题号：38_______

已知函数/(、)=仲一(XT)2,0WX<2,若对于正数直线y=hr与函数的图像恰好

{f(x-2),x>2

有2〃T个不同的交点，则Aj+后+...+k；t=.

【变式1-2】

(2021上•四川资阳•高三统考期末)

题号：39

已知函数人工卜场［，；：：］］函数/(X底LR处的切线为/，若\<所<发贝!!/与/Q)的图象的公

共点个数为I

题型09双函数型对称

【解题攻略】

双函黝醺：

1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质

2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系

(2023•广西玉林•统考模拟预测)

题号：40

已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,/(x+1)是奇函数，fi/(l-x)+g(x)=2,/(.r)+g(x-3)=2,则

()

A.f(x)为奇函数B.g(x)为奇函数

2020

C.Z/的=40D.》依)=40

【典例1-2】

(2023春•河南开封•高三统考开学考试)

题号：41

已知函数/Xx),g(x)的定义域为R,且f(x)-g(l+x)=2,g(x)+/(3-x)=4,若g(x)为偶函

28

数./(3)=1,则£g(k)=()

Jb=l

A.24B.26C.28D.30

【变式1-1】

(2023秋•江西•高三校联考期末)

题号：42

已知函数/(X),g(x)的定义域均为R,、目/(x)-g(2-x)=-5,g(x)+/(x+2)-3■•若/(\)的图象

关于直线x=l对称，且〃3)=-3,则£g*)=()

jb=1

A.80B.86C.90D.96

【变式1-2】

(2023秋•全国•高三校联考阶段练习)

题号：43

y=/(K)的定义域为R,y=/(x+2)为偶函数，/(2)=L@./(x)=g(2v)-g(4-2v),则下列说法不

正确的是()

A.y=/⑴的图象关于(1,0)对称B.y=/⑴的图象关于工=2对称

r22

C.4为y=/(x)的周期D.Z/优)=0

Jb=l

【变式1-3】

(2022秋•四川成都•高三成都校考专题练习)

题号：44

已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,为偶函数，且/(*)+8(2-.》)=1，8(*)-/'*-4)=3,

下列说法正确的有()

A.函数g(x)的图象关于'1对称

B.函数〃X)的图象关于(-1,-2)对称

C.函数是以4为周期的周期函数

D.函数g(x)是以6为周期的周期函数

答案详解

1.

哙】D

【分析】由奇函数的性质可知/(0)=0,由此可以求出。的值，进而可以求出/(a).

【详倒因为函数/(X)=(x+a-2)(x2+a-I)为奇函数，

所以/(0)=0,BP(a-2)(a-l)=0,BPa=2s&i=1,

显然函数/(x)-(x+a-2)(x：+a-1)的定义域为R关于原点对称，

且当?-2时，W/(x)=x(x2+I),从而有/(-x)=-x(.v2+1)=-/(x),

与T时，有/(x)=x2(x-1),但/(-1)=-2于-/(1)=0,

所以a-2,即/(X)=x(x2+|),

所以/(a)=/(2)=2x(22+1)=10.

故选：D.

2.

【答案】C

［分析］根据函数定义判断函数的奇偶性以及结合指数函数判断函数的单调性；

/(-x)=3'-3'=-/(A),

结合奇偶性定义，可知函数/(X)为奇函数，

结合指数函数性质，.p=3'.y=-3".在(0,+8)单调递增，

故/'(x)=3J3r在(0,+a)单调递增，

故选；C.

3.

【答案】D

【分析】利用奇函数的定义求出，，值，再由函数单调性求解不等式作答.

【详解】由/(x)=e-*-ae'为奇函数，W/(~x)+f(x)=(ev+e-x)-+er)-0,解得a=L

于是〃x)=er-e3而.丫=L、是减函数，j，=8•是增函数，函数，(x)是R上的减函数，

j-e<=>/(.r)</(1),L

所以不等式/(x)wj-c的解集为［1,+oo).

故选：D

4.

刖】B

【分析】根据奇函数定义求出“，再由导数的几何意义求出切线斜率，即可得解.

【详解】因为〃x)为奇函数，

所以〃-A+/(x)=+『=0，

化简可得t5八一e2v十&1公—1一0,

当L2时，对任意YWR方程成立，

故/(X)=I=e，-e_t.

所以/'(x)=片+―3

蜘=/(0)=2,

所以切线方程为.v-/(0)=2x,即N=2v.

故选：B

【答案】C

【分析】由解析式.奇偶性定义判断/⑺的单调性、奇偶性，再将条件化为，心会在r€],*"1+1]上恒成立，即可求范围.

【详解】由/仆)=宜于在rCR上单调递增，且/(-x)=j£=-/(x),即为奇函数，

所以/(2m一工)+/'(w-A)>0=>2m-x)>—f(m-x)-f(x—m)t

则2m-x>x-ni^m>yvffivG(ZM,7?J+1]上恒成立，

所以〃>q(m+1)=m>2.

故选：C

【答案】D

【解析】判断函数/(不)的奇偶性并求出其值域，根据值域可判断A错误；

由函数的奇偶性可推出/(%)=1，此式不成立，故B错误；

由所给等式可知/(汇0)-1,此时不成立，故C错误；

由二角函数诱导公式可知/(乃+与)-h(Jsin2Ko+1-siiivo)=f(-.r0)»代入等式可得/(的)=成立，故D正确.

【详解】r/(x)=h(Jsin)工十1+sinx).In(',[------)=一In(^sin2x+1-sin.v),

VsinF+I-sin.v

/(-A*)-In(Jsin—十1-siav)，

・•♦/(-、)=一/(、)，・•♦/(、)是定义在R上的奇函数，

令LsiruG[—1,1],/'(/)=h(—+i+j="7(一r)，

当W[0,1]时,/(I)单调递增，♦•.0=/(0)W/(f)S/(l)=ln(&+l),

又函数/(f)为奇函数，.・.一]0(卷+1)&ln(0+l),

.,.函数/(充)的值域为(-In(e+I),In(祖十1)],

•・・一1〈一|!1(隹+1)，、不存在％使得/(的)=-1成立，A错误；

-)-/(-与)=/(频)，♦•♦若/(飞)-〃-工o)=2岫,则/(殉)=1,

又函数/(汇)的值域为[-h(祖+l).ln(E+1)],

所以/(的)---2不成立，B错误；

若/'(/(而))=厉("+1)成立，则/(闻)一I,/(的)一I不成立，C错误；

2

•••/(江十工0)-ln(7sinx0+l-sinv0)=/(-x0)r

A/(^*A0)-/(X0)=2/(-x0)=-2/(x0)=4

则/(两)=一'成立,故D正确

故选：D

咨】-7

【分析】由函数解析式可得两函数图象均关于点（T,0）曲，进而探讨函数.粉裂的单调性，然后画出图象的大致睁,

即可求得两图象所有交点的横坐标之和.

【详解】易知函数v-5sin（Wx+g）的图象关于点（-I,0）对称,

设函数「小）=融2图象上任意一点为出“），则它关于（工。）的丽点为8L2—将其代入

5(-1-工)________

y=〃x）的解析式得:

(-2-N)2-2(-2-X)+2

日n_5(工+1)_5(工-1)=5(x+1)'于是函数L*当关于点T，。）对掰

即‘(X+2)2-2X-2~(x+2)2-lr-2婷+2行2

显+2什2-(-+l)(2x+2)

又/（工）=5・

(x2+2x+2)2(x2+lt+2)2

所以\W(-X,一2)时，/(五)<0,y=/(x)单调递减rxE(-2,0)W,f(x)>0,.v=/(x)单调递增，xE(0,+oo)

时，/（工）<0,N=/（x）单调递减

于是工=-2时，y=/（x）的极小值为-2）=-今,

而v=5sin（—-）=-5sin5<—5sin^=

尸。时，y=/（x）的极大值为/，（0）=当，

而v=5sing>5sin^=g•

现作出两个函数的大致图象，如图：

故融为：-7.

【点睛】本题在函数的对称性的应用类题型中非常典型，首先要对函数的大致图象要有所把握（在草稿纸上分析），进而找出函数的对

称点或对称轴（大题需说明理由），然后讨论函数的单调性；需要注意的是在本题中在［-2⑼这个区间上（即函数），=/（工）两

个极值点之间），两个函数都是单调递增，这里有一个函数增加快慢的问题，如果把函数.\，=/（、）的图象画得太靠近，轴，最

后会影响两个函数图象交点的个数，这个时候往往代特值比较两个函数的函数值大小进行解决.

8.

【答案】B

【解析】根据题意，设g(x)-a<3-/)siru+dn(A+”T)，利用定义法判断函数的奇偶性，得出g(x)是奇函数，结合条件得出g(.r)

的最大值和最小值，从而得出/(X)的最小值

【二】解：由题可知,f(A)-ax^戾inx-cln(A+^x2+1)-3，

设g(v)~aH-Asinx+ch(x+代+i),义域为R,

又g(-x)=a(一工户十层皿(-x)+cln(-x+J(-.r)2+1)•

即且(—x)--ax3-hamx+ck\(—x+^.v2+1)»

由于g(-v)+g(x)=dn(x+Jx2+i)+dn(-x+^2+1)

=cln(.r+^x2+I)(一x+旧+1)=dn(、2+I-x2)=dnl=O，

即g(-工)十g(x)-0,所以g(x)是奇函数，

而/(》)=g*)+3,

由题可知，函数/(X)的最大值为5,

则函数以2的最大值为：5・3=2,

由于是奇函数，得g(x)的最小值为2

所以/(.、)的最小值为：-2+3=1.

故选：B.

【点睛】本题考查利用定义法判断函数的奇偶性，以及奇函数性质的应用和函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

9.

【答案】

【解析】证明函数图象关于点(0,1)对称，再判断函数的单调性，从而把不等式变形后应用单调性化简，然后分离参数，转化为三角函

数的最值，利用换元法可得结果.

【详解】显然函数定义域是7?,

/(-x)+,/'(-<)=k>g,("+x2-x)--?+2+10gl("+理+x)-TA-J+2

*x'1.Z।1

=(Jl+x2-Y)(J|+显+工)]-(苣/十+4=2,

的图象关于点(0,1)对称，

原不等式可化为/(2疝〃coM)<2-f(4-2sin/?-2cos-m),

即/(2、in9coM)v/(一4十2sinO+2cos0+m),(*)

i§-V|<x2,则+—+A-|-(Jl+.v?十必)=71+A-|-Jl+x;+⑺-x2)-I?-「+(X|-x2)

yi+巧十yi+.力

,-------t-------1-------,-------.X|+.V2

,•同〈出同〈出豆•,•|A||+|-V2|<)/1+X1+^1+X2,.L=[+xj+j+.,<L

“1+x；+x「("+.q+x2)="「叼)({]+$+j+x；+1卜0,即山+W+X|<"+.,+X2,

>

bg,(^l+Aj+X|)<(J1+.+A2).由2"<2"得/：[.1I-

..bgJ^l+A-f+3)-+2<bg,(^l+A-5+x,)-+2，

•,./(x)是增函数，

不等式(*)化为2sinOcosZ?<m-4+2sin〃+2cosf),(**)

令t~sinO+coM=psin(0+与)，

•・力€[0,多],\£[1,小，

不等式(**)化为户一1V〃J-4+2/，in>(t-l)2+2»

问题转化为存在ZE[1,近],使不等式/〃>1-+2成立，

当pl.何时，"1)2-2的最小值为2.

w>2-

故答集为：m>2-

【点睛】方法点睛：本题考查能成立问题，解题方法是确定函数的对称性与单调性，把不等式化简变形，然后再利用换元珑问题转化

为一元二次不等式能成立问题.分离参数后变成求函数的最大值.

10.

【统】D

【分析】分析给定函数的奇偶性可力除两个选项，再对函数求导并求出在0处的导数值即可判断作答.

【详解】令/“)=、鼠+用T),COS2T，则其的定义域为(一8,+8),

f(-A*)=In(-x+^(-x)2+1)♦cos(—2r)=In(-x+'x2+I)-cosZv

="In-----Jcos2x=-In(x+^r2+1)cosZv=-f(x)

x+yjx2+1

则函数/(x)是奇函数，其图象关于原点对称，于期滁选项A,B;

7c尸小+即"瑞-24+师g

于是得〃0)=L即函数/6)图象在原点处切线斜率大于0,显然选项C不满足，D满足.

故选：D

11.

【答案】(-8,T]u[T，+ao)

【分析】先根据条件得到函数的对称性和单调性，进而根据函数性质解不等式即可.

【详解】•.・函数.v=/（x+l）为偶函数，即/1+1）=/（-工+1）

二函数/"）关于直线\-1对称，

又；对7町，必£［1,+8）（工］羊.巧）都有［/（修）一/（工2）］（町一叼）>°，

函数/（》）在U，+8）上单调递增，

由/（4-1）&/（%）得。-1-W囚-1|,

【分析】由已知判定函数的对称性与单调性，利用单调性去函数符号解一元二次不等式恒成立问题即可.

【详解】由于〃2+'）=/（-X），可知函数/（、）图象关于直线\一1轴对称,

又对大了”叼€（-00.1］（x.&），//g二\（必）<（）恒曲,

则函数/*）在（-8,1）上单调递减，在（I,+8）上单调递增，

贝(IVxeR,/(ax)v/("+3)=ax-i|<M+3T|=|"+2|

2

2、.i2.(x+ax+1>0

<=>-x-2<ar-1<x+2<=>\I">—ax，3.>o八恒成立,

A|=a24<0

则A,=«2-12<0=>flG(-2'2)-

故球为：（-2,2）.

13.

【僦4+^2

【分析】由题意可得/（冗）的对称轴为x=2,函数/（工）在［2,十8）单调递增，若〃J>0,〃>0,2m±n,且有/（2”）-/（〃），则

2卅十〃=4,结合基本不等式求解最值即可.

【详解】八'+2）为偶函数，则/（-克+2）=/（"2）,则/（不）的对称轴为「2,

函数/（X）在（一肛2］单调递减，则函数./（、）在［2,十》）单调递增，

若〃】2m/n,且有/（2m）一/'（〃）,

则户叫"〃=2,即2加+〃=4,2加=4—〃，

—十孕=J+当产=J十余一［=1（2加+〃）（J+射一1

=:（2m+〃）（J+g）_］=｝（6+转+等）7

?［（6+2用.弊）-I-j+^2»

当且仅当备=弊蜘+*4,m>0,7!>0f即〃］-2（石-1）,〃=4（2-石）时，等号成立，

故一〒孕的最小值为彳+石.

故答案为：

14.

【答案】39

【分析】先得到&*)=|(1-堀)(以+奴+万)|的图象也关于、--2对称，观察到I,-1为g(x)的两个库点，故由对称性可知，

g(x)的另外两个零点分别为-5,-3,从而得到方程组，求出匕二：一令/心)=(■")(x2+&+15),求导得到其单调

性和极值情况，画出力(X)的图象，进而得到如x)的图象，根据/(X)的零点个数，数形结合得至必=16,从而得到答案.

【详解】S|(l-x2)(x2+ax+*)|-c=0ff|(l-x2)(x2+ar+A)|=c,

令g(x)=1(1-*)(显+小/))|,

由于/(x)-l-x2)(x2+ax+b)|-c(c¥O)的图象关于直线丫=-2对称，

所以g(x)=|(l-x2)(x2+ax+/>)|的图象也关于x-

显然I.-I为g(x)的两个零点，故由对称性可知，g(x)的另外两个零点分别为-5,-3,

即管之;”°,解得忆3

193a+/)=03=15

檄(X)=I(1一)("十心+15)|,

令力(、)=(I-K2)(X2+&、+15),

贝加'(工)=(-2n("十纵+15)+(1一建)(2t+8)=-4x3-24显一28x+8

=-4Q3+6x2+7r-2)=-4(x+2)(N+4入-1),

故当、<-2-«或-2<x<-2+而时,/i(x)>0,/?(x)单调递增，

当-B〈x<-2或丫>-2+正时，<0,/“X)单调递减，

XA(-2-^5)=h(-2+75)=16.h(-2)=-9,

2

画出/?(')=(I-A-)(X+8L¥+15)的图象如下，

檄(工)=I(1-短)(显十以-15)|的图象是将/“》)=(I-")(x2+如+15)图象位于、轴下方部分沿着工轴翻折至心轴上方

要想/(A)有且仅有4个零点,贝必-[6,

故《十力+。―8+15+16=39-

故答案为：39

【点睛】方法点睛：函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分

析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幕函数，三角函数等，还要熟练掌握函数

图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.

15.

【分析】根据对称性和奇函数分析可得“x+2)=f(x),进而结合指对数运算求解.

【详解】由题意可得：/(^+A)=/(j-X)=-/(A-4),则/(x+l)=-/(X),

可得/(x+2),f(x+I)=-[~/(x)]:/(x),

又因为2-log,4<10gl5<-k>g,25=j.即bg?56(2,.

Miog,5-2=iog2^e(o,j).

所以“bgj)=/(Io匿)=2崛-1=5-1=5

故舐为：

16.

【分析】根据函数的对称性可得/(x)关于点(2,0)对称，进而根据点(表w)关于yr的对称点为(,”1),格(小金)代入

/(X)=5畤%即可求解.

【详解】由/(2-x3)=-/(2+x3),卧替换目可得：/(2-x)=-/(2+A),所以/(X)关于点(2,0)对称，故

/(£)=-/G)，

设/(：)=,”，由于关于严、对称，又当1—W2时，/(K)=sin打,

由于点(4,m)关于尸'的对称点为(，"./)，则(±)在/<x)=sin冬x上，故/(,”)=sin*,"=’(IWW2),所以

夕”=誓.解得,"=g.

故唱)=7，

故答案为：

17.

【答案】-百

【分析】求得/⑴，又由/(2-x)+/(x)=2,可得/&=3-拉根据点尸(…)关于直线「7的对称点为P(-y.-x),即

可求解.

【详解】设点27，)在函数y=/(x)的图像上，则关于直线v=7的对称点为2(5.”，

[%+4=0x=_y

则二，02，解得：｛；,：，；，则户(-*,-X),

[x^=I°

由x€(0,1)时,f(x)=2'-\,则/(，)=0-1,

又/(2-x)+/(x)=2,M/(2-5)+/(5)=2.则/南=3-亚，

由图象关于直线丫=-x对称，则/(3-3)=4

故答案为：-义

18.

【--I

【分析】直线关于1-6对称，可从定义域出发判断对称轴的位置，进一步结合函数的对称性利用特殊值法即可得到实数。的值，检验

后，即可a+力的值.

【详例因为函数〃x)=0-a)ln(|+x)，

/(X)的定义域为(-1,0)U(0,+oo)

则g(x)=y=/(*)=(x-a)ln(l+4)

则g(x)的定义域为1+4=亨>0,即函数的定义域为(-8,-l)U(0,+oo),

又因为曲线&(x)关于直线r-/1对称,则定义域也关于l〃对称,

即八T，

由对称的性质可知则g(x)=g(-1-x)(x>0)

令1可得g(1)=g(-2)

代入函数得(l-fl)h2-(-2-a)ln(l-4)<则([-ajln?--2-a)ln4=(2+a)h2

所以I-a=2+a,贝(laJ

为--当时，g(.r)-(x+^)h(1+4)

验证是否关于a-T对称：

g(-l-.r)=(-l-x+j)ln(l+y)=-(A+4)h(-j47)=(v+4)h(l+|)=g(.r)(x>0)fi)uz；

则a十一=-1>

故恭为：-1.

【点瞪】方法点睛：函数关于直线对称，即函数图象关于直线对称，定义域也关于直线对称，也可通过特殊值的代入进行求解.

9

【分析】在函数/支)的图象上任取点/>(.*]，)，可得该点关于直线--A-对称点，代入函数式并比较求出从再将给定点代入求出〃得蟀

【详解】在函数〃')一舟;的图象任取点P(X..V),则该点关于直线片7对称点(11，.-工)在/心)的图象上，

即r=T■击P整理得尸痣I，而有蚱舟;，因此…，即有/⑶一品，

又函数/仆)的图象过点(-4,4),加二词,解得