2024年高考数学 直线与圆（解析版）

直线与圆

目录一览

2023董题展现

考向一直线与圆相切

考向二直线与圆相交

真题考查解读

近年真题对比

考向一直线与圆相切

考向二直线与圆的位置关系

命题规律解密

名校模拟探源

易错易混速记/二级结论速记

2。23年真题展现

考向一直线与圆相切

1.（2023•新高考I•第6题）过点（0,-2）与圆N口2_叙-1=0相切的两条直线的夹角为a,则sina=

A.1B.叵C.叵D.亚

444

【答案】B

解：圆x2+y2-4x-1=0可化为(x-2)2+俨=5,则圆心C(2,0),半径为r=器;

设0(0,-2),切线为P/、PB,则PC=M22+22=2退,

△尸"C中，Sinj=^,所以c滤=3=瑞，

所以sina=2si■靖=2x磊x居=乎.

故选：B.

考向二直线与圆相交

2.(2023•新高考II•第15题)已知直线x-叼+1=0与OC：(x-1)2切2=4交于g两点，写出满足

“△Z5C面积为g”的m的一个值____.

【答案】2(或-2或，或一方

解：由圆C：(%-1)2+y2—4,可得圆心坐标为C(1,0),半径为丫=2,

8_-Io

因为△ABC的面积为9可得SAABC=万X2X2XsmZACB=

414

解得sinN4c5=-,设5/408=8所以.)Zsinecose=-,

_2sin0cos04.2tan0

可r得za----------=..--------|,tan0=1或tan0=2,

sin23+cos205tan？-O+1

COS0=又或COS0=店，

，圆心眼到直线x-叼+1=0的距离2或烹

24.、22

**y/l+ni2价或,1+m2非,

解得"=土:或m=±2.

故答案为：2(或-2或9或4)

B=

.真题考查解读,

【命题意图】

考查直线的倾斜角与斜率、直线方程、两直线平行与垂直、距离公式、圆的方程、直线与圆的位置关

系、圆与圆的位置关系.

【考查要点】

常考查直线与圆的位置关系、动点与圆、圆与圆的关系。常考查由直线与圆相切或相交来解决问题(解

析法、几何法)，常与平面向量、几何概型、三角函数、函数与最值等联合考查.

【得分要点】

1.直线的倾斜角与斜率

V

y/1

i

图示0ra.

0X0x

7\x0V

倾斜角4=0°0°<。<90°a=90°90°<^<180°

斜率k—Qk>0不存在衣0

2.直线方程的五种形式

形式方程局限

点斜式y-%=A（x一胸）不能表示斜率不存在的直线

斜截式y=kx+b不能表示斜率不存在的直线

y—jz1x一x1

两点式修W兹，为W及

211

j—7JT2-jr

x.P

截距式--1--=1不能表示与坐标轴平行及过原点的直线

ab

一般式Ax~\~By~\-C=0无

3.距离公式

（1）两点间的距离同“01-乂2）2+

（2）点到线的距离

（3）平行线的距离言.

4.直线的夹角

（1）定义：两条直线人和，2相交，到，2的角是9P，2到A的角是。2=口-©I，当直线A与，2

相交但不垂直时，"和“-<h，仅有一个角是锐角，我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹角9.

（2）直线A和，2的夹角公式：tane=I署名|（9不为90。），么与&的夹角的取值范围是（。，

十（27cl

2J,

5.圆的方程

（1）圆的一般方程：/+/+为+为”=0（-4Q0）,其中圆心坐标为（_今_|）,半径

^D2+£2-4F.

（2）圆的标准方程：（x-a）2+（y-6）2=/,其中圆心坐标为（a,0,半径为二

6.圆的切线方程

（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率,

继而求出直线方程

（2）过圆外一点的切线方程.这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交

点）时斜率的值，进而求出直线方程.

7.直线与圆的位置关系

相惠楣怀相交

8.直线4r+"5=0与圆（x-a）2+Qy-b）2=/位置关系的判断方法

（1）几何方法：利用圆心到直线的，和半径r的关系判断.

圆心到直线的距离d=^=fl

7A4十B乙

①相交：d<r；②相切：d=r；③相离：d>r.

（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用△判断.

由偿+y2+DXZEy+F=0消元，得到一元二次方程的判别式△

①相交：△>（）；②相切：△=（）；③相离：△<（）.

9.圆与圆的位置关系

10.圆与圆的位置关系的判定

设两圆圆心分别为无小，半径分别为右，r2,\OYO,\=d

（1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断

①外离（4条公切线）：0>八+%

②外切（3条公切线）：，=百+调.

③相交（2条公切线）：|71-72|<4<71+?2.

④内切（1条公切线）：£/=|A-12|.

⑤内含（无公切线）：0<^<|A-r2|.

（2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值.

『近年真题对比］

考向一直线与圆相切

3.（2022•新高考I）写出与圆/+炉=1和（x-3）2+（>-4）2=16都相切的一条直线的方

程.

【解答】解：圆/+廿=1的圆心坐标为。（0,0）,半径尸1=1,

圆（%-3）2+（y-4）2=16的圆心坐标为C（3,4）,半径尸2=4，

如图：

•••|OC|=n+r2，•••两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条.

Vkoc=y的斜率为整，设直线小尸-1x+b，即3x+4y-4b=0,

由।YbI=],解得6=$（负值舍去），则小3x+4y-5=0；

54

由图可知，6：x=-1；，2与，3关于直线y=9x对称，

3

x=-l

联立I4，解得/2与/3的一个交点为（-1，一^），在4上取一点（-1，0），

yfx3

,O

y（）_4,X0-l

A2327r）A

该点关于y=^x的对称点为Go,涧），贝Uv，解得对称点为3-2生）.

3o32525

Ik%

—，贝!I13：尸工

（x+1）等即7x-24y-25=0.

2424O

与圆x2t/=i和（x-3）2+（厂4）2=16都相切的一条直线的方程为:

x=-1（填3x+4y-5=o,7x-24y-25=0都正确）.

故答案为：x=-1（填3x+4y-5=0,7x-24y-25=0都正确）.

考向二直线与圆的位置关系

4.（多选）（2021•新高考I）已知点尸在圆（x-5）2+⑶-5）2=16上，点/（4,0）,8（0,2）,

贝I（）

A.点P到直线的距离小于10

B.点尸到直线的距离大于2

C.当NPA4最小时，|尸引=3&

D.当/PA4最大时，|依|=3近

【解答】解：（4,0）,B（0,2），

.•.过/、3的直线方程为亳心=1，即x+ly-4=0,

圆(%-5)2+(y-5)2=16的圆心坐标为(5,5),

x

圆心到直线x+2y-4=0的距离d=J,l5+2X5-4111_=11V5>4,

712+22娓5

...点尸到直线的距离的范围为［坦叵.4,豆近■+41，

55

V112ZL<5,让+4<10,

555

点尸到直线N2的距离小于10,但不一定大于2,故/正确，5错误;

如图，当过2的直线与圆相切时，满足NPA4最小或最大（P点位于B时NPA4最小，位于尸2时NPR4

最大），

此时|8C|=1（5-0）2+（5-2）2=V25+9=V34，

|尸8尸＞7|BC12-42=V18=3V2'故C。正确•

故选：ACD.

5.（多选）（2021•新高考H）已知直线/：办+勿-户=0与圆C：x^y2—}2,点、A（a,b）,则下列说法

正确的是（）

A.若点/在圆C上，则直线/与圆C相切

B.若点N在圆C外，则直线/与圆C相离

C.若点N在直线/上，则直线/与圆C相切

D.若点/在圆C内，则直线/与圆C相离

2

【解答】解：/中，若/在圆上，则。2+庐=八，而圆心到直线/的距离〃=兽^=|r|,所以直线与

圆相切，即4正确；

2

8中，点N在圆C外，则。2+62＞：2,而圆心到直线/的距离"=兽_.＜|r|,所以直线/与圆相交，

77^

所以B不正确;

2

C中，点/在直线/上，则那+房二八，而圆心到直线/的距离]=兽_,=|r|,所以直线/与圆相切,

47^

所以C正确;

2

。中，点/在圆C内，则层+庐<户,而圆心到直线/的距离]=兽_.>|r|,所以直线/与圆相离,

77^

所以D正确;

故选：ACD.

6.（2022•新高考II）设点/（-2,3）,B（0,a）,若直线N8关于y=a对称的直线与圆（x+3）2+

（y+2）2=1有公共点，则a的取值范围是.

【解答】解：点”（-2,3）,2（0,a）,心8=呼，所以直线48关于y=a对称的直线的斜率为：

芋，所以对称直线方程为：了-。=要・*，即：（3-a）x-2y+2a=0,

（x+3）2+（尹2）2=1的圆心（-3,-2）,半径为1,

所以」对aT）+4+2a|《得12层-22a+6W0,解得。日上，1].

山+（3一产32

故答案为：-1].

命题规律解密

近几年的考查方式及难度变化不大，主要考查直线、圆的方程及位置关系，考查直线方程的求解、直

线过定点问题的求解、含参直线方程中参数取值范围求解、直线与圆的位置关系中涉及的弦长与切线方程

的求解，以常规题型、常规解法为主要方向，常结合基本不等式、函数、三角形面积等知识考查最值问题。

名校模拟探源

--轨迹方程（共2小题）

1.（多选）（2023•保定三模）在平面直角坐标系中，A（1,0）,5（3,0）,C（-1,4）,动点尸满

足|尸/|2+『砰=10.则（）

A.点P的轨迹方程为（X-2）2+y2=4

B.△P42面积的最大值为2

C.过点C与点尸的轨迹相切的直线只有1条

D.设的最小值为0,当m+w=a（m>0,n>0）时，3二的最小值为4+2,百

mn3

2

【解答】解：设尸（x,歹），I尸4阳尸砰=（X-1）2+/+（x-3）2+y2=io,即（X—2）+/=4,故Z正

确；

|AB|rX2X2=2,

SAPABniaX4''"2故正确；

因为（-1-2）2+42=25>4,所以点C在圆外，切线有两条，故C错误;

22>

|PClmim=V（-l-2）+4-2=3贝叫+"=3，

（3J）吟吟）

mnmn333m3n3V33

当且仅当时等号成立，故。正确.

故选：ABD.

2.（2023•河南模拟）圆M：/+/+2X-8=0与x轴交于4,2两点（/在3的左侧），点N满足

4^叫~=2，直线/：加（左>0）与圆M和点N的轨迹同时相切，则直线/的斜率为限.

|NBl-12一

【解答】解：圆M的圆心新（-1,0）,半径力=3,

令y=0可得/+2x-8=0,解得x=-4或x=2,由题意可得/（-4,0）,5（2,0）,

设N（x,y）,由题意可得&+4）2+了2=2,整理可得：/+廿_。=0,

22

7（x-2）+y

可得N的轨迹为圆，且圆心（4,0）,半径为4,

「「k+b=.

Vl+k2,_

因为直线/与两个圆相切，所以，1妹+b|'两式相除可得4|-左+句=3|4人+外

24

LVl+k

可得4(-k+b)=3(4左+6)或4〈k-b)=3(4K6),

即b—16k或b--J,

7

当6=164时，代入」；k+b1=3中,整理可得24庐=1,因为左>0,解得人=近；

百商12

当6=-%时，代入」：k+b[=3中,整理可得24庐+49=0,显然无解，

771^?

综上所述直线I的斜率k=垣,

12

故答案为：近.

12

圆的切线方程（共14小题）

3.（2023•丰台区一模）已知圆（%-2）2+（》+3）2=户与〉轴相切，贝ljr=（）

A.&B.V3C.2D.3

【解答】解：由圆（x-2）2+（尹3）2=/的方程可得圆心的坐标（2,-3）,

再由圆与y轴相切，可得半径r=2,

故选：c.

4.（2023•潮州模拟）过圆/+72=4上一点尸作圆。：/+廿=加2（OT>0）的两条切线，切点分别为N,B,

若NAPB=5~，则实数优=（）

A.工B.工C.1D.2

32

【解答】解：根据题意，如图：/+廿=4的圆心为（0,0）,半径R=2,即。尸|=2,

圆。：x2+y2=m2,圆心为（0,0），半径尸=冽，则|。4|=|。5|=加，

若NAPB==，则

36

又由则|OP|=2Q/|,贝！）机=1,

故选：C.

5.（2023•延庆区一模）若直线x-y+l=0与圆X2+J?-2X+1”=0相切，则。等于（）

A.2B.1C.A/2D.4

【解答】解：因为直线尤-尹1=0与圆/+^-2x+l-a=0相切,

又圆x2+y2-2x+l-a=0可化为（x-1）2+y2=a,

\>0

由题意得,

11-0+1Ir,

解得a=2.

故选：A.

6.（2023•琼海校级模拟）过点（3,2）作圆（％-1）2+廿=户的切线有且只有一条，则该切线的方程是x+v

-5=0（用一般式表示）.

【解答】解：设切线方程为）；-2=后（x-3）,

因为过点（3,2）作圆（x-1）2+廿=八的切线有且只有一条，

则（3,2）在圆上，切点与圆心连线的斜率k1h^j=l，

所以切线的斜率左=7,则切线方程为厂2=-IX（x-3）,即x+y-5=0.

故答案为：x+y-5=0.

7.（2023•石家庄模拟）过圆。：/+/=2上一点尸作圆C：（x-4）2+（y-4）2=2的切线，切点为Q,

则|尸。|的最小值为4.

【解答】解：圆O：/+炉=2上一点尸作圆C：G-4）2+（厂4）2=2,

可得。（0,0）,C（4,4）,半径/=加,

可得|OC|=4&,

所以|PC|》QC|-&=4&-a=3&,

所以2V|CP|2-r2=V（3V2）2-（V2）2=4，

故答案为：4.

8.（2023•东城区二模）已知点H（1,我）在圆C：/+72=,〃上，过M作圆C的切线/,则/的倾斜角

为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【解答】解：圆C：%2+/=171,

则圆C的圆心为C（0,0）,

V3-0

=«，

kcir^ry

过朋r作圆C的切线/,

则kcM.ki=-1,即ki

13

故/的倾斜角为150°.

故选：D.

9.（2023•自贡模拟）过直线/：x+y-5=0上的点作圆C：（x-1）2+（了+2）2=6的切线，则切线段长的

最小值为（）

A.娓B.2V3c.V15D,342

【解答】解：设直线上任意一点为P,过尸作圆的切线，切点为圆C圆心C为（1,-2）,半径

r=加，

则IMPI=V|PC|2-r2W|PCI2-6'

要使陶尸|最小，则|PC|最小，易知|PC|最小值为圆心C到直线/的距离,

IMP|>V（3V2）2-6=2V3-

故选:B.

10.（2023•河南模拟）过圆/+廿=4上的动点作圆/+y2=i的两条切线，则连接两切点线段的长为（）

A.2B.1C.近D.如

2

【解答】解：令点P是圆/+/=4上的动点，过点尸作圆/+产=1的两条切线，切点分别为4,B,如

图，

则OA±PA,而|0A|卷|0P|=1，于是//P8=2NO尸/=60。，

又|PB|=|PA|=V3-

因此△P/8为正三角形，|AB|=|PA|一、行，

所以连接两切点线段的长为

故选：D.

11.（2023•贵阳模拟）过/（0,1）,B（0,3）两点，且与直线y=x-1相切的圆的方程可以是（

A.（x+1）2+（厂2）2=2B.（X-2）2+⑶-2）2=5

C.（X-1）2+（厂2）2=2D.（x+2）2+（厂2）2=5

【解答】解：对于/,圆心为（-1,2）,半径为r=&,

直线y=x-1,即x-y-1=0,

圆心（7,2）到直线的距离d=/73-I।=2^Wr,故/错误；

Vi2+（-）l2

对于8,圆心为（2,2）,半径为，=遥，

直线y=x-1,即x-y-l=0,

圆心（2,2）到直线的距离d=-J2-2-1|中故8错误；

22

7I+（-D

对于C,圆心为（1,2）,半径为r=、历，

直线y=x-1,即％-1=0,

圆心（1,2）到直线的距离d=J1-2-1।==,

22

Vi+（-D

（x-1）2+（y-2）2=2过点/（0,1）,B（0,3）,故C正确；

对于。，圆心为（-2,2）,半径为r=7后，

直线y=x-l,即x-y-l=0,

圆心（-2,2）到直线的距离♦=/'--Il半丫,故。错误.

22

7I+（-D

故选：C.

12.（2023•叙州区校级模拟）已知圆C的圆心坐标是（0,机），若直线2x-y+3=0与圆C相切于点/

（2,7）,则圆C的标准方程为炉+（广8）2=5.

【解答】解:如图所示，

由圆心C（0,m）与切点/的连线与切线垂直，得M二二=-工，解得m=8.

0-22

所以圆心为（0,8）,半径为r=J（2-0）2+（7-8）2=

所以圆C的标准方程为/+（y-8）2=5.

故答案为：x2+S-8）2=5.

13.（2023•泸县校级模拟）已知直线1：y=k（x+\^）和圆C：/+（厂1）2=1相切，贝ij实数上=_日

或o.

【解答】解：由直线与圆相切可知，上卑幺U=1，化简得k2f巧k=0,解得kS或0.

Vk2+1

故答案为：愿或0.

14.（2023•延边州二模）经过尸（2,3）向圆/+廿=4作切线，切线方程为（）

A.5x-12y+26=0B.13x-12y+10=0

C.5x-12j+26=0或x=2D.13x-12y+10=0或x=2

【解答】解：（1）当切线的斜率不存在时，直线x=2是圆的切线；

（2）当切线斜率存在时，设切线方程为/：y-3=k（x-2）,

由（0,0）到切线距禺为d」充一工工=2,得k—J，

12

此时切线方程为丫-3=备（x-2），即5x-12y+26=0.

故选：C.

15.（2023•琼中县模拟）已知尸是直线3x+4尸43=0上的动点，PA,总是圆（尤-1）2+（厂1）2=i的

切线，A,8是切点，C是圆心，那么四边形P4C8面积的最小值是（）

A.V10B.遍C.V15D.3娓

【解答】解：如图，设PC=d,

则由圆的知识和勾股定理可得PB=PA=Yd2T,

四边形R4C5面积S=2X/XP/X2C=g一］，

当d取最小值时S取最小值，

由点P在直线上运动可知当PC与直线垂直时d取最小值，

此时d恰为点C到已知直线的距离，

由点到直线的距离公式可得I3X1+4XJ+13|=4,

V9+16

四边形PACB面积S的最小值为J后.

故选：C.

16.（2023•济宁二模）在平面直角坐标系中，过点尸（3,0）作圆0：+2=4的两条

切线，切点分别为4B.则直线Z5的方程为（）

A.x-V3y+3=0B.x+V3y+3=0C.V3x-y+3=0D.V3x+y+3=0

【解答】解：圆o：（x-l）2+（y-W§）2=4的圆心为。（1，2«）,半径为2,

以尸（3,0）、0（1,2如）为直径，则P。的中点坐标为N（2,V3）,

|P0|=7（3-l）2+（2V3-0）2=4>

以N为圆心，PO为直径的圆的方程为（x-2）2+（y-V3产=4，

因为过点P（3,0）圆0：（x-l）2+（y-W^）2=4的两条切线切点分别为aB,

是两圆的公共弦，

将两圆的方程相减可得公共弦的方程为：x-V3y+3=0.

故选:A.

三.直线与圆相交的性质（共4小题）

17.（2023•红桥区二模）已知直线x-J^y+8=0和圆苫2+廿=/（r>0）相交于N,B两点.若|N8|=6,

则r的值为.

【解答】解：根据题意，圆N+y2=r2的圆心为（0,0）,半径为r；

则圆心到直线x-V3y+8=0的距离，=厂8_=4.

V1+3

若恒为=6,则有/=/+（J^L）2=16+9=25,

故r=5；

故答案为：5

18.（2023•顺义区二模）若圆G-1）2+^=4与>轴交于4,3两点，则回尸（）

A.2B.4C.2^2D.2百

【解答】解：当X=0时，圆（X-1）2+y2=4与y轴交于/（0,M）、3（0,-,

，弦4B的长|/引=«+加=2近.

故选：D.

19.(2023•曲靖模拟)已知圆C的圆心是抛物线/=句的焦点，直线4x-3厂2=0与圆C相交于4B

两点，且［48|=6,则圆C的标准方程为

【解答】解：由题意可知，圆心C(0,1),

圆心C(0,1)到直线4x-3y-2=0的距离d=b3-2|二

"+(-3)2

又•.,直线4x-3y-2=o与圆C相交于/、3两点，且|/。=6,

.•.圆C的半径r=-J(l|AB|)2+d2=5/^l=V10.

.•.圆C的标准方程为：/+(y-1)2=10,

故答案为：/+(y-1)2=10.

20.(2023•南关区校级模拟)已知圆C：(x-a)2+。-2)2=4(°>0)及直线/：x-y+3=0,当直线/

被C截得弦长为时，则。=.

【解答】解：由题意可得圆心C(a,2)半径厂=2

则圆心(°,2)到直线x-j+3=0的距离d=_hz弊J_=_L^LL

V2V2

RtACW中由勾股定理可得，d1+BM1=BC2

Va>0

/•a=V2T或a=-V2-1（舍去）

故答案为：&-1

四.直线与圆的位置关系(共23小题)

21.(2023•福建模拟)设圆C：x2-2x+y2-3=0,若直线/在y轴上的截距为1,则/与C的交点个数为

）个

A.0B.1

C.2D.以上都有可能

【解答】解：•••直线/在y轴上的截距为1,

直线/过定点（0,1）,

VO2-2X0+12-3=-2<0,

.•.点（0,1）在圆内，

直线/与C的交点个数为2个.

故选：C.

22.（2023•三模拟）已知/乜2=2苫，则_Y_的最大值为（）

x+2

A.—B.—C.近D.近

2343

【解答】解：设工=k，贝1履-尹2左=0,

x+2k

x2-f^2=2x,即（x-1）2+y2=1,圆心为（1,0）,半径为1,

•.•圆心（1,0）到直线依-尹2左=0的距离小于等于1,

解得正4k4近，

4X4

工的最大值为巨.

x+24

故选：C.

23.（2023•北京模拟）若直线与圆（x+l）2+（尹2）2=1交于8两点，且|/8|=2,则加=（）

A.-1B.-2C.1D.2

【解答】解：根据圆的标准公式可知圆的圆心为（-1,-2）,直径为2,

因为|/2|=2,所以直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，

得-2=-l+m,解得m=-\.

故选：A.

24.（2023•海淀区校级模拟）直线/：ax+勿=0和圆C：/■92_25-2勿=0在同一坐标系的图形只能是

，圆心C(a,b),r=^a2+b2>0,

又直线l的方程可化为：》=-曳x,

b

又4个选项的圆心C都在第三象限,

6<0,.,.0*<0，.,.排除C,。选项；

b

又圆心C到直线的距离d=f+b=7a2+b2;r，

J2—2v

va+b

・・・直线/与圆C相切，力选项正确，B选项错误.

故选：A.

25.(2023•忻州模拟)已知直线A：(6Z-1)x-(2q+3)y+a+4=0与圆。：/+/+2、-冽-2=0,则“加>

2”是“直线/与圆。一定相交”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：直线l\：(tz_1)x-(2a+3)y+a+4=0,BPa(x-2y+l)+(-x-3y+4)=0,

令[x-2y+l=°,解得卜=1,即直线a过定点(i,i),

l-x-3y+4=0{y=l

圆C：x2+y2+2x-m-2=0,即(x+1)2+/=冽+3,圆心为(-1,0),半径为A/m+3,

充分性：当加>2时，V(l+l)2+(l-0)2<\^+3,则定点(1，1)在圆内，充分性成立，

必要性：当直线/与圆C相交时，根据直线与圆相交的性质可得圆心到直线的距离小于半径，

由于直线中的。没有范围界定，故无法求得加的范围，

这里结合图象思考，举出反例：当直线/1为了=无，加=1时，满足圆与直线相交，但不满足机>2,

故必要性不成立；

故“别>2”是“直线/与圆C一定相交”的充分不必要条件.

故选：A.

26.(2023•连云港模拟)设直线(a+1)x-ay-1=0(aeR)与圆/+廿=4交于48两点，贝力/目的取值

范围为()

A.[&,2]B.[&,4]C.[2,4]D.[272,4]

【解答】解：设直线(a+1)x-ay-1—0(tzGR)为直线I,

直线(。+1)x-ay-1=0,BPa(x-y)+x-1=0,

.•.直线恒过定点。(b1),

圆x2+y2=4,

，圆心C(0,0),半径r=2,。在圆的内部，

当直线时，弦最短，

••,卬=丘2+12=&,

.♦.朋=242_|CD4=24,

当直线/过圆心时，弦必用最长，为2r=4,

故|/目的取值范围为［2加,4］.

故选：D.

27.(2023•海淀区一模)已知直线^=X+加与圆。：/乜2=4交于4,8两点，且为等边三角形，

则m的值为()

A.±V2B.c.±2D.±V6

【解答】解：由题意，圆心到直线的距离为近，

...

V2

A/6，

故选：D.

28.(2023•天津模拟)P点是圆C：(x-3)2+廿=9上一点，则P到直线/：s-y+〃?+2=0距离的最大

值是—2^+3—.

【解答】解：•圆C：(尤-3)2+廿=9,

圆心C为(3,0),半径厂=3,

又直线/：mx-y+m+2=0,

即m(x+1)+(2-y)=0,

.•.直线/过定点/(-1,2),

,当过点A的直线/与CA垂直时，满足圆C上的点P到直线/的距离最大，

且最大值为［。什="16+4+3=275+3.

故答案为：2^5+3.

29.(2023•酒泉模拟)点/在圆C：/+(y-1)2=4上，点N(W^,3),则1MM的最大值为()

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：•圆C：/+(y-1)2=4的圆心C(0,1),半径为厂=2,

又|NC|=V(2Af3)2+(3-l)2=4>2'在圆外，

\MN\max=\NC\+r=4+2=6.

故选：D.

30.（2023•济宁一模）若过点P（0,-1）的直线/与圆（乂//5）2+了2=1有公共点，则直线/的倾斜角

的最大值（）

*1.—B.—C.—D.

6433

【解答】解：直线的倾斜角最大时，直线与圆相切，此时斜率存在，如图所示:

圆（*-7§）2+丫2=]的圆心为，（通，0）,半径「=1,

设直线方程y=Ax-1,即Ax-y-1=0,

直线到圆心的距离为方1俨7।口,解得kS或左=0,

Vk2+1

当kS时，倾斜角最大为工，

3

故选：C.

31.（2023•密云区三模）已知A/是圆C：/+廿=1上一个动点，且直线A：加x-即-3加+〃=0与直线6：

nx+my-3m-n=0（m,加ER,加2十几2/。）相交于点尸，则1PM的取值范围是（）

A.[V3-1,273+1]B.[V2-1,272+1]C.[V2-1,372+1]

D.[V2-1,373+1]

【解答】解：依题意，直线4：加x-即-3〃?+〃=0恒过定点/（3,1）,直线校内+町-3加-〃=0恒

过定点8（1,3）,

显然直线因此，直线/i与打交点尸的轨迹是以线段为直径的圆，

其方程为：（x-2）2+（y-2）2=2,圆心N（2,2）,半径，2=&，而圆C的圆心C（0,0）,半径

r\=\,如图：

|NC|=2&>n+，2，两圆外离，由圆的几何性质得『M""R=WC|-n-厂2=我-1，|尸加1侬«=卬。+4+/2

=3&+1,

所以1PM的取值范围是：[&-L372+1].

故选：C.

32.（2023•北京模拟）已知/,2为圆C：（x-加）2+-ri'）2=4（加，〃eR）上两个不同的点（C为圆

心），且满足|族+而|=2731则⑷8|=（）

A.2A/3B.2V2C.2D.4

【解答】解：设圆C：（x-%）2+⑶-〃）2=4与y轴交于/,8两点，取线段48的中点。，

61..__

则由弦的性质可得CDL/5,且CD=L（CA+CB），故CD的长度即为圆心C到弦的距离.

2

圆心C到AB的距离为d=-^-|CA+CB|=-1-X273=%，由于圆的半径为r=2,

故AB=2yJ4-3=2,

故选：C.

33（多选）.（2023