2024届辽宁省大连市高二年级上册数学期末考试试题含解析

2024届辽宁省大连市高二上数学期末考试试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在等差数列｛凡｝中，已知%+%=12,则数列｛4｝的前6项之和为（）

A.12B.32

C.36D.37

2.圆/+丁2=1与圆（%一2）2+3—2）2=4的位置关系是（）

A.相交B.相离

C.内切D.外切

3.设抛物线/=8x的焦点为尸，准线为1,P为抛物线上一点，PALI,A为垂足.如果直线A尸的斜率是一百，

那么归耳=（）

C.16D.8

4.过抛物线C：V=4x的焦点厂分别作斜率为右、近的直线小h,直线A与C交于A、B两点,直线b与C交于

E两点，若由上2|=2,则|43|+|Z>E|的最小值为（）

A.10B.12

C.14D.16

5.某公司有320名员工，将这些员工编号为1,2,3，…，320,从这些员工中使用系统抽样的方法抽取20人进行“学

习强国”的问卷调查，若54号被抽到，则下面被抽到的是（）

A.72号B.150号

C.256号D.300号

6.在等差数列{4}中，已知%+4=12,则数列{4}的前6项之和为（）

A.12B.32

C.36D.72

7.2013年9月7日，总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲在谈到环境保护问题时提出“绿水青山就是金

山银山”这一科学论新.某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20

万元，从2021年开始每年投入资金比上一年增加10%,到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（）（其中

1.13=1.331»1.1』.464，1.15«1.611）

A.2559万元B.2969万元

C.3005万元D.3040万元

8.命题“VxNl,%2〉i„的否定形式是（）

A.“Vxvl,X2>rB.“玉<1,—>1”

C.663x>l,%2<lwD.wVx>l,W

9.在下列函数中，最小值为2的是（）

1B.y=lg无+二（1<》<10）

A.y=x+—

xIgx

.171

D.y=sinx+-------0<x<—

10.已知集合4=<尤eNg<2向<16>,3=卜|_?—4x+加=,若leAB,则A8=（）

A.{L2,3}B.{1,2,3,4）

C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}

11.如图，在单位正方体ABC。-a4Gq中，以。为原点，DA，DC，为坐标向量建立空间直角坐标系，则

平面ABC1的法向量是（）

A.(l,1,1)1,1)

C.(l,-1,1)D.U,1,-1)

12.已知空间向量a=(O,l,4),Z?=(1,-1,O),贝4a+q=()

A.719B.19

C.17D.而

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在公差不为0的等差数列｛4｝中，S“为其前〃项和，若12=3(%+2a5+为)，则正整数左=

14.若xe[2,5]和xe｛x|x＜l或九＞4｝都是假命题，则、的范围是

15.在学习《曲线与方程》的课堂上，老师给出两个曲线方程G：«+4=l；C:x4+y4=1,老师问同学们：

你想到了什么？能得到哪些结论？下面是四位同学的回答：

甲：曲线G关于y=%对称；

乙：曲线G关于原点对称；

丙：曲线G与坐标轴在第一象限围成的图形面积$＜；；

7T

T：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积S2〉]；

四位同学回答正确的有(选填“甲、乙、丙、丁”)

16.设等差数列｛4｝,也｝前几项和分别为s“，Tn,若对任意自然数"都有率="|,则烹工+三索的

八I/LDcZIU[1^3Icz

值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

jr

17.（12分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为菱形，ZDAB^-,侧面"0?为等腰直角三角形，PA=PD,

AB=PB=2,点E为棱A。的中点

（1）求证：ABCDi

（2）求直线AB与平面所成角的正弦值

18.（12分）如图所示，已知定点。（4,0）,P为曲线/+/=4上一个动点，求线段PQ中点的轨迹方程.

19.（12分）已知椭圆C:鼻+2=1（。〉6〉0）与直线2>+缶=0相切，点G为椭圆上任意一点，G（—l，°），

ab

G,（l,0）,且GG/GG2的最大值为3

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线/：y=履+机与椭圆C交于不同两点E,F,点0为坐标原点，且0M=g（0E+0fj,当△EOF的面

积取最大值时，求几=就订一2|MG?|的取值范围

20.（12分）已知｛&｝是公差不为0的等差数列，其前〃项和为S“，q=2,且%，为，趣成等比数列.

（1）求％和s“；

（2）若勿=（、历-+（,数列也｝的前〃项和为T“，且7；2二片对任意的“wN*恒成立，求实数〃，的取值范围.

21.（12分）如图，在正方体A8C。-A4GA中，。为AC的中点，点P在棱8月上

(1)若=证明：2。与平面PAC不垂直；

(2)若2。，平面PAC,求平面PCR与平面PAC的夹角的余弦值

22.(10分)在公差为d的等差数列｛叫中，已知q=10,且％,2g+2,5%成等比数列.

(I)求*;

(II)若d<0,求H|++同|"I---(„

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解题分析】直接按照等差数列项数性质求解即可.

【题目详解】数列｛。”｝的前6项之和为4+。2+g+。4+。5+。6=33+。4)=36.

故选：C.

2、A

【解题分析】求出两圆的圆心及半径，求出圆心距，从而可得出结论.

【题目详解】解：圆好+/=1的圆心为(0,0),半径为1,

圆(x-2)?+(y-2)2=4圆心为(2,2),半径为2,

则两圆圆心距d=44+4=272，

因为2—1<2血<2+1，

所以两圆相交.

故选：A.

3、D

【解题分析】由题可得Ab方程，进而可得A点坐标及尸点坐标，利用抛物线定义即求

【题目详解】•••抛物线方程为V=8x,

二焦点F(2,0),准线/方程为x=-2,

,：直线AF的斜率为—百，直线AF的方程为y=-A/3(X-2),

\=-2

由［尸一回一2)’可得小工4⑹，

'：PA±l,A为垂足，

，尸点纵坐标为4君，代入抛物线方程，得尸点坐标为尸(6,43)，

.•.附=6+2=8.

故选：D.

4、B

y

【解题分析】设出A的方程为x=f+l,与抛物线联立后得到两根之和，两根之积，用弦长公式表达出

%

(1A(1A

|AB|=4l+-y,同理表达出|£>E|=4l+-y利用基本不等式求出+|。目的最小值.

V^1JI，J

【题目详解】抛物线C：V=4x的焦点尸为(1,0),直线11的方程为％=：+1,

化1

则联立后得到V-提y—4=0,设A(&X),5(%,%)，

4(4、2(11

%+为=1，%%=T，贝!AB+16=41+—，

I||=“2

\K17

11

同理设。4,%),石(%，%)可得：|。曰=41+行’

/

因为必1•切=2,所以|AB|+|OE|=4.+，)+4.+

=8+4⑹出•表3,

当且仅当=即匕=逝,右=-夜或《=-血,&=血时，等号成立，

K]K2

故选：B

5、B

【解题分析】根据系统抽样分成20个小组，每组16人中抽一人，故抽到的序号相差16的整数倍，即可求解.

【题目详解】•••用系统抽样的方法从320名员工中抽取一个容量为20的样本

320

...—=16,即每隔16人抽取一人

20

••,54号被抽到

...下面被抽到的是54+16x6=150号，而其他选项中的数字不满足与54相差16的整数倍，故答案为：B

故选：B

6、C

【解题分析】利用等差数列的求和公式结合角标和定理即可求解.

【题目详解】解：等差数列｛4｝中，/+%=12

所以等差数列｛4｝的前6项之和为：

。6*(弓+6)6x(0,+%)6x12„,

6222

故选：C

7、B

【解题分析】前7年投入资金可看成首项为160,公差为20的等差数列，后4年投入资金可看成首项为260,公比为

1.1的等比数列，分别求和，即可求出所求

【题目详解】2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，成等差数列，

则2020年投入资金160+(7-1)x20=280万元，

2014-2020年共7年投资总额为160+180+200+220+240+260+280=1540,

从2021年开始每年投入资金比上一年增加10%,

则从2021年到2024年投入资金成首项为280x1.1,公比为1.1,项数为4的等比数列，

故从2021年到2024年投入总资金为280x«280x1.lx4.64=1429.12«1429,

1—1.1

故到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为1540+1429=2969万元

故选：B

8、C

【解题分析】由全称命题的否定是特称命题即得.

【题目详解】“任意”改为“存在”，否定结论即可.

命题公〉1”的否定形式是“王21,x2<lw.

故选：C.

9、C

【解题分析】结合基本不等式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【题目详解】对于A选项，X=—1时，y为负数，A错误.

对于B选项，1<X<1O,0<lgx<l,lgx+^>2Igx-=2,但不存在X使lgx=J一成立，所以B错误.

1g%V炮工坨》

对于C选项，d2x+2=(xl)=1+当且仅当x—1=4,1=2时等号

x-1x-1X-1V'X-1X-1

成立，C正确.

对于D选项，0<x<—,0<sinx<1,sinxH——-—>2./sinx—--=2,但不存在x使sinx=^—成立，所以D

2sinxVsinxsinx

错误.

故选：C

10、D

【解题分析】根据题意，解不等式求出集合A={O,L2},由leAB,得进而求出机=3,从而可求出集合

8={1,3},最后根据并集的运算即可得出答案.

【题目详解】解：由题可知，A=xeN工<2向<161，

、2,

而;<2田<16,即2T<2>I<24,解得：—2<%<3,

又由于xeN,得4={0,1,2},

因为IEAB,贝！llwB,所以1—4+加=0,解得：m=39

所以B=——4X+3=o}={1,3},

所以ADB={0,1,2,3}.

故选：D.

【题目点拨】本题考查集合的交集的定义和并集运算，属于基础题.

11、A

【解题分析】设平面ABC］的法向量是〃=(%,y,z),由n-BA,1=7y—z=O可求得法向量.

Ti,BC^——九+z=0

【题目详解】在单位正方体A3CD-4301〃中，

以。为原点，DA>DC，为坐标向量建立空间直角坐标系，

4(1,0,1),5(1,1,0),C,(0,1,1),

BA=(0,1,-1),BCt=(-1,0,1),

设平面ABG的法向量是“=(X,y,Z),

n-BA,=y-z=0

则।,取x=l,得〃=(1,1,1),

n-BCx=—x+z=0

平面的法向量是a,i,i).

故选：A.

12、D

【解题分析】先求出a+b的坐标，再求出其模

【题目详解】因为£=(0,1,4),1=(1,-1,0),

所以a+Z?=(l,0,4),故卜+囚=后，

故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、13

【解题分析】设等差数列公差为心根据等差数列通项公式、前〃项和公式及$2=3(/+2%+以)可求比

【题目详解】设等差数列公差为d,

,/Sl2=3（/+2a5+以），

-4=3[4+24+2（4]+44）+4+（左一1”],

即44+224=4。］+（左H-9）d,

即左+9=22,

:.仁13.

故答案为：13.

14、［1,2）

【解题分析】先由无e［2,5］和Xe{x［x<l或%>4}都是假命题，求出x的范围，取交集即可.

【题目详解】若无42,5］为假命题，则有xe{x|x<2或%>5}

若Xe{x|x<l或x>4}是假命题,则xe{x|lWxW4}

所以x的范围是1WX<2

即x的范围是［1,2）

胡答案：［1,2）

15、甲、乙、丙、丁

【解题分析】结合对称性判断甲、乙的正确性；通过对比％+y=l和必+/=1与坐标轴在第一象限围成的图形面积

来判断丙丁的正确性.

【题目详解】对于甲：交换方程«+6=i中x和丁的位置得打+«=i，所以曲线G关于y=x对称，甲回答

正确.

对于乙：（羽y）和（-％-y）两个点都满足方程>4=1,所以曲线C?关于原点对称，乙回答正确.

对于丙：直线x+y=i与坐标轴在第一象限围成的图形面积为《义1义1=《，

22

0<%<1

4x+yfy=l,

0<y<l

f—LIO<X<1

在第一象限，直线x+y=l与曲线«+6=l都满足c,

v[0<y<1

%+y=1y=1-x,^~x+=1=>y=1—yfxj=x-2Vx+1

1-x-^x-2^fx+1）=2A/X-2X=2y/x（1-五）>0,

所以在第一象限，直线1+y=1的图象在曲线G+6=l的图象上方，

所以S]<L,丙回答正确.

2

1JT

对于丁：圆好+丁=1与坐标轴在第一象限围成的图形面积为一兀XF=—,

44

在第一象限，曲线f0+>2°=1与曲线/,+4=1都满足0<x<l

[0<J<1

x2+y2=1ny?=1-x2,y4=(1-x?)?=x4-2x2+1,

x4+y4=1=>y4=1-x4,

x4-2x2+1-(1-x4)=2x4-2x2=2x2(x2-1)<0,

所以在第一象限，曲线V+J/=1的图象在曲线f+y4=i的图象下方,

TT

所以S2〉],丁回答正确.

故答案为：甲、乙、丙、丁

19

16、

41

【解题分析】由等差数列的性质可得：与嬴刊个今.再利用已知即可得出

^I-1X11Q

%%%十。3%+%]2

【题目详解】由等差数列的性质可得:

bs+b]4+%々+4瓦+%4+如xll"

2

S2/i-3

对于任意的〃eN*都有姬n

Tn4〃-3

%a.S2x11-319

贝——+——=—u=-------=—

人」与+2Tn4x11-341

19

故答案为：—

【题目点拨】本题考查了等差数列的性质，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析，(2)正

4

【解题分析】(1)题中易得PELAD,BELAD,利用勾股定理可得尸石，3石，从而可证得线面垂直；

(2)以E为原点，EA为x轴，E5为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角的正弦值

【题目详解】(1)证明：在四棱锥P—ABCD中，底面ABC。为菱形，ZDAB=-,

侧面△4DP为等腰直角三角形，PA=PD,AB=PB=2,点E为棱的中点

：.PE±AD,PE=3BELAD,BE=4^i=6，

PE2+BE2=PB?，PE±BE,

ADcBE=E,..PE_L平面A3CZ>

(2)以E为原点，EA为x轴，E8为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，

A(l,0,0),B(0,73,0),P(0,0,1),C(-2,^,0),

BA=(l,-73,0),PB=(O,73,-I),PC=(-2,73,-1),

设平面PBC的法向量〃=(x,y,z),

n-PB=A/3V-z=0「

则.「,取y=i,得〃=(o,i,73),

n-PC=-2x+y/3y-z=0

设直线A3与平面PBC所成角e,

\BA-f\J3J3

直线AB与平面PBC所成角的正弦值为：sin0==W

|BA|.|H|2-24

【题目点拨】本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求线面角.空间角的求法一般都是建立空间直角坐标系，用

空间向量法求得空间角

18、（x-2）2+y2=1

【解题分析】设线段PQ的中点R的坐标为（x,y）,点P的坐标为（后,%）,根据中点坐标公式和代入法求得线段PQ

中点的轨迹方程.

【题目详解】解设线段PQ的中点R的坐标为（x,y）,点尸的坐标为（/，%），则

「0+4

<%-2，J/=2x-4,

2

v_y0bo=y-

用代入法求得所求方程为（X-2）2+V=1.

【题目点拨】本题考查了中点坐标公式和代入法求动点的轨迹方程，属于容易题.

22

19、（1）土+匕=1

42

⑵[-20,1一0）

【解题分析】（1）设点G（x,y）,根据题意，得到口=回，根据向量数量积的坐标表示，得至U炉+。2一1,

根据其最小值，求出a=21=0,即可得出椭圆方程；

（2）设EF（x2,y2）,〃（得，儿），联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，由弦长公式，以及点到直线距

离公式，求出△EOF的面积S的最值，得到4=2左2+1；得出点”的轨迹为椭圆G：5+y2=l（yw0）,且点

']_、

G，G2为椭圆G的左、右焦点，记f=贝/e（虎—1,行+1）,得到2=—2|MG21=2f+2—40,

\'AzGJt

I）

根据对勾函数求出最值.

【小问1详解】

设点G（x,y）,由题意知。=回，

所以：C:x2+2y2=a2,贝!JGG；+/一1=一/十〃一1，

当y=。时，GG,取得最大值，即a?—1=3=>a=2,b=A/2

22

故椭圆C的标准方程是L+2L=1

42

【小问2详解】

九)

2+27/=4

设£（%，%），/（孙％），〃（得,人），则由<7得

y=kx+m

(2k2+1)12+4mkx+2m2-4=0n玉+%=一]：：\，

2m2-4m

x,x;——----,--点。到直线/的距离d=

1222k2+1Jk2+1

4mk1242m2—4

2P+1J-,2k2+1

对“（4^+2—用均值不等式，贝|j：7叫伏苏）/苏+（止+2-疗））_（4」2+2『

当且仅当m2=4k2+2—/即加—2k2+1,①

4左2+2

=日S取得最大值后.此时，/二弓玉2mk2k

2k2+1m

QT.21]^2v2

y0=kxQ+m=------+m=_，即，"='—',k=一■不/=一三-代入①式整理得工+y；=1(%w0),

°°mmy022yo2°1°)

即点M的轨迹为椭圆G:]+/=1（yw0）

且点G1,5为椭圆G的左、右焦点，即明勾+|肱引=2立

记r=|MGj,贝—1,0+1）于是：

什尚/依小12（2血一）,

（]_、

=-+2z-4V2=2f+2-472

tt

I7

由对勾函数的性质：当”走时，2.=-2A/2,

2

M2（V2-1]=-V2-1<2（V2+1]=1-V2,

故2的取值范围为[-272,1-吟

20、(1)an=In,S“=/+w；(2)(-oo,5].

【解题分析】(1)求出d=2,即得数列的%和S.；

(2)由题得优=2〃+!———,再利用分组求和求出T,,得到(〃+1)2用—(〃+2)之加，令

/(〃)=(〃+l)2"+i—(〃+2),判断函数的单调性得解.

【题目详解】⑴设数列｛4｝的公差为d,由已知得，。：=为处，

即(2+3dp=(2+d)(2+7d),整理得屋—2d=0，

又dw0,d=2,

:.an=2+(n—l)2=2n；

〃(2+2〃)

S=^-------^=/9+〃

〃2

.(nr\2n1111

(2)由题意：b=(v2)+2=2+———=2+-----—,

n\Jn+〃+nn+1

-2(「2”)1…1

-r1-----------------乙—1-------

1—27t+ln+1

n+1

Tn>-^,.•.(77+l)2-(w+2)>m,

令/(〃)=(〃+l)2"+i—(n+2),

则—/5)=5+3)2"+「l〉0,

即/(〃+l)>/(«)对任意的neN*恒成立,

・•・｛/(")｝是单调递增数列，

・•・[小心可⑴=5,

，只需mW5,

所以me(f。,5].

【题目点拨】方法点睛：求数列的最值，常用数列的单调性求解，求数列的单调性，一般利用定义法作差或作商判断.

21、(1)证明见解析

⑵骼

【解题分析】(1)设正方体ABC。-ABCQ的棱长为2,以点A为坐标原点，AB.AD.A4所在直线分别为x、

V、z轴建立空间直角坐标系，计算出〃0./LPwO,即可证得结论成立；

(2)利用空间向量法可求得平面与平面PAC的夹角的余弦值.

【小问1详解】

证明：以点A为坐标原点，AB.AD.A4所在直线分别为x、,、？轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方体A8CD-AgCQ的棱长为2,则4(0,0,0)、00,1,0)、C(2,2