黑龙江省哈尔滨市六校2024年高一数学第二学期期末检测试题含解析

黑龙江省哈尔滨市六校2024年高一数学第二学期期末检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽丈，长丈；上棱长丈，无宽，高丈（如图）．问它的体积是多少?”这个问题的答案是（）A．立方丈 B．立方丈C．立方丈 D．立方丈2．直线上的点到圆上点的最近距离为（）A． B． C． D．13．若，，且与夹角为，则（）A．3 B． C．2 D．4．已知为锐角，，则（）A． B． C． D．5．设，，，则的最小值为（）A．2 B．4 C． D．6．“”是“函数的图像关于直线对称”的（）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分又非必要7．现有1瓶矿泉水，编号从1至1．若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽的编号为（）A．3，13，23，33，43，53 B．2，14，26，38，42，56C．5，8，31，36，48，54 D．5，10，15，20，25，308．不等式的解集为，则不等式的解集为（）A．或 B． C． D．或9．函数的单调减区间为A．B．C．D．10．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知平行四边形的周长为，，则平行四边形的面积是_______12．若，则_________.13．在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边过点，则______14．已知，则的最小值为_______．15．三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.16．在边长为2的正△ABC所在平面内，以A为圆心，为半径画弧，分别交AB，AC于D，E.若在△ABC内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．一只红铃虫的产卵数和温度有关，现收集了4组观测数据列于下表中，根据数据作出散点图如下：温度20253035产卵数/个520100325（1）根据散点图判断与哪一个更适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（数字保留2位小数）；（3）要使得产卵数不超过50，则温度控制在多少以下？（最后结果保留到整数）参考数据：，，，，，，，，，，5201003251.6134.615.7818．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形狐上的动点，点分别在半径上，且是平行四边形，记，四边形的面积为，问当取何值时，最大？的最大值是多少？19．在△ABC中，AC=6，cosB=，C=.(1)求AB的长；(2)求△ABC的面积.20．如图，四棱锥，平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，，，E为PB中点.（1）求证：平面PCD；（2）求证：.21．已知等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足.若，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】过点分别作平面和平面垂直于底面，所以几何体的体积分为三部分中间是直三棱柱，两边是两个一样的四棱锥，所以立方丈，故选A.2、C【解析】

求出圆心和半径，求圆心到直线的距离，此距离减去半径即得所求的结果.【详解】将圆化为标准形式可得可得圆心为，半径，而圆心到直线距离为，

因此圆上点到直线的最短距离为，故选：C.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，求圆心到直线的距离是解题的关键，属于中档题.3、B【解析】

由题意利用两个向量数量积的定义，求得的值，再根据，计算求得结果．【详解】由题意若，，且与夹角为，可得，.故选：B．【点睛】本题考查向量数量积的定义、向量的模的方法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不要错选成A答案.4、A【解析】

先将展开并化简，再根据二倍角公式，计算可得。【详解】由题得，，整理得，又为锐角，则，，解得.故选：A【点睛】本题考查两角和差公式以及二倍角公式，是基础题。5、D【解析】

利用基本不等式可得，再结合代入即可得出答案．【详解】解：∵，，，∴，∴，当且仅当即，时等号成立，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，要注意条件“一正二定三相等”，属于中档题．6、A【解析】

根据充分必要条件的判定，即可得出结果.【详解】当时，是函数的对称轴，所以“”是“函数的图像关于直线对称”的充分条件，当函数的图像关于直线对称时，,推不出，所以“”是“函数的图像关于直线对称”的不必要条件，综上选.【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，余弦函数的对称轴，属于中档题.7、A【解析】

根据系统抽样原则，可知编号成公差为的等差数列，观察选项得到结果.【详解】根据系统抽样原则，可知所抽取编号应成公差为的等差数列选项编号公差为；选项编号不成等差；选项编号公差为；可知错误选项编号满足公差为的等差数列，正确本题正确选项：【点睛】本题考查抽样方法中的系统抽样，关键是明确系统抽样的原则和特点，属于基础题.8、A【解析】不等式的解集为,的两根为，，且，即,解得则不等式可化为解得故选9、A【解析】

根据正弦函数的单调递减区间，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】的单调减区间为，,解得函数的单调减区间为.故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的单调性，熟记正弦函数的单调区间即可，属于常考题型.10、B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，结合勾股定理，底面半径，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

设，根据条件可以求出，两边平方可以得到关系式，由余弦定理可以表示出，把代入得到的关系式，联立求出的值，过作垂直于，设，则可以表示，利用勾股定理，求出的值，确定长，即求出平行四边形的面积【详解】设又，由余弦定理将代入，得到将（2）代入（1）得到可以解得：(另一种情况不影响结果)，过作垂直于，设,则，所以填写【点睛】几何题如果关系量理清不了，可以尝试作图，引入相邻边的参数，通过方程把参数求出，平行四边形问题可以通过转化变为三角形问题，进而把问题简单化.12、【解析】

利用诱导公式求解即可【详解】，故答案为：【点睛】本题考查诱导公式，是基础题13、-1【解析】

根据三角函数的定义求得，再代入的展开式进行求值.【详解】角终边过点，终边在第三象限，根据三角函数的定义知：，【点睛】考查三角函数的定义及三角恒等变换，在变换过程中要注意符号的正负.14、【解析】

运用基本不等式求出结果.【详解】因为，所以，，所以，所以最小值为【点睛】本题考查了基本不等式的运用求最小值，需要满足一正二定三相等.15、【解析】

如图设设棱长为1，则，因为底面边长和侧棱长都相等，且所以，所以，，，设异面直线的夹角为，所以.16、【解析】

由三角形ABC的边长为2不难求出三角形ABC的面积，又由扇形的半径为，也可以求出扇形的面积，代入几何概型的计算公式即可求出答案．【详解】由题意知，在△ABC中，BC边上的高AO正好为，∴圆与边CB相切，如图．S扇形＝×××＝，S△ABC＝×2×2×＝，∴P＝＝.【点睛】本题考查面积型几何概型概率的求法，属基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）选择更适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型；（II）；（III）要使得产卵数不超过50，则温度控制在以下.【解析】

（I）由于散点图类似指数函数的图像，由此选择.（II）对；两边取以为底底而得对数，将非线性回归的问题转化为线性回归的问题，利用回归直线方程的计算公式计算出回归直线方程，进而化简为回归曲线方程.（III）令，解指数不等式求得温度的控制范围.【详解】（I）依散点图可知，选择更适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型。（II）因为，令，所以与可看成线性回归，，所以，所以，即，（III）由即，解得，要使得产卵数不超过50，则温度控制在以下。【点睛】本小题主要考查散点图的判断，考查非线性回归的求解方法，考查线性归回直线方程的计算公式，考查了利用回归方程进行预测.属于中档题.解题的关键点有两个，首先是根据散点图选择出恰当的回归方程，其次是要将非线性回归的问题，转化为线性回归来求解.18、当时，最大，最大值为【解析】

设，，在中，由余弦定理，基本不等式可得，根据三角形的面积公式即可求解．【详解】解：设，在中，由余弦定理得：，由基本不等式，，可得，当且仅当时取等号，∴，当且仅当时取等号，此时，∴当时，最大，最大值为．【点睛】本题主要考查余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19、（1）（2）21【解析】

（1）由，求得，再由正弦定理，即可求解.(2)由（1）和，求得，再由三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）由题意，因为，且为三角形的内角，所以，由正弦定理，可得，即，解得.(2)由（1）和，则，由三角形的面积公式，可得.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.20、（1）证明见详解；（2）证明见详解【解析】

（1）取的中点，证出，再利用线面平行的判定定理即可证出.（2）利用线面垂直的判定定理可证出平面，再根据线面垂直的定义即可证出.【详解】如图，取的中点，连接，E为PB中点，，且，又，，，,为平行四边形，即，又