【人教版】2018年八年级上册数学：第十三章《轴对称解读与拓展》：等腰三角形

第十三章轴对称13.3等腰三角形文字叙述几何语言图例等腰三角形的概念有两边相等的三角形是等腰三角形在△ABC中，如果AB=AC，那么△ABC是等腰三角形等腰三角形的概念及性质等腰三角形的性质文字叙述几何语言图例等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C等腰三角形的性质文字叙述几何语言图例等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)在△ABC中，AB=AC.①∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC；②∵AD是BC边上的中线，∴AD平分∠BAC，AD⊥BC；③∵AD是BC边上的高，∴AD平分∠BAC，BD=CD知识解读(1)等腰三角形的两腰相等，两底角相等；(2)在“三线合一”中，①②③的证明依据都是△ABD≌△ACD注意：等腰三角形腰上的高、中线不一定重合.有关等腰三角形的性质的一些结论：(1)等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等；(2)等腰三角形底边上的任意一点到两条腰的距离之和等于腰上的高.例1

如图13-3-1，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC的度数是_______.图13-3-1解析：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.∵∠A=40°，∴∠ABC=∠C=×(180°-40°)=70°.∵BD为∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=×70°=35°.∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-70°-35°=75°.75°等腰三角形的两底角相等，两底角的平分线也相等例2

如图13-3-2，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．图13-3-2证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．又∵BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CAD=∠CBE，∴∠CBE=∠BAD．等腰三角形的判定文字叙述几何语言图例

等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)在△ABC中，∵∠B=∠C,∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形知识解读(1)“等角对等边”必须是在同一个三角形中；(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)巧计乐背：性质“等边对等角”，判定“等角对等边”，“三线合一”最广泛.对等腰三角形“三线合一”的再思考：(1)在△ABC中，如果AD既是△ABC的角平分线，又是△ABC的中线，那么AB=AC；(2)在△ABC中，如果AD既是△ABC的角平分线，又是△ABC的高，那么AB=AC；(3)在△ABC中，如果AD既是△ABC的中线，又是△ABC的高，那么AB=AC.例3

如图13-3-3，△ABC是等腰三角形，且AB=AC，BM，CM分别平分∠ABC，∠ACB，DE经过点M，且DE∥BC，则图中有

个等腰三角形.图13-3-35解析：∵BM平分∠DBC，∴∠DBM=∠CBM.又∵DE∥BC，∴∠DMB=∠MBC，∴∠DMB=∠DBM，∴BD=DM，∴△BDM是等腰三角形.同理，△CEM是等腰三角形.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠MBC=∠MCB，∴△CBM是等腰三角形.∵DE∥BC，∴△ADE是等腰三角形.又∵△ABC是等腰三角形,∴共有5个等腰三角形．等边三角形的性质与判定文字叙述几何语言等边三角形的性质与判定性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°在等边三角形ABC中，AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°文字叙述几何语言等边三角形的性质与判定判定三个角都相等的三角形是等边三角形在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C,∴AB=BC=AC有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形在△ABC中，AB=AC①∵∠A=60°，∴AB=BC=AC；②∵∠B=60°，∴AB=BC=AC;③∵∠C=60°,∴AB=BC=AC知识解读(1)等边三角形具有等腰三角形的所有性质；(2)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，三边的垂直平分线都是它的对称轴；知识解读(3)三条边都相等的三角形是等边三角形(定义)；(4)判定一个三角形是等边三角形，可以先判定它是等腰三角形，再证明有一个角等于60°注意：判定一个三角形是等边三角形时，要结合题目的已知条件，选择恰当的方法.例4

如图13-3-4，一张等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β=()图13-3-4A.180°B.220°C.240°D.300°C图13-3-5解析：如图13-3-5，由题意知∠3=60°.∵∠α+∠1=180°，∠β+∠2=180°，∴∠α+∠β=360°-(∠1+∠2).又∵∠1+∠2=180°-∠3，∴∠α+∠β=360°-(180°-∠3)=360°-(180°-60°)=240°.故选C.例5

如图13-3-6，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠BAD=30°.求证：△ABC是等边三角形.证明：∵AB=AC，D是BC边上的中点，∴∠BAC=2∠BAD=2×30°=60°.∴△ABC是等边三角形.图13-3-630°角的直角三角形的性质文字叙述几何语言图例30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半在Rt△ABC中，∠C=90°.若∠B=30°，则AC=AB知识解读(1)性质使用的前提：直角三角形.(2)性质的证明：如图，延长AC至点A′,使A′C=AC，易证Rt△ABC≌Rt△A′BC，∴AB=A′B,∠ABA′=2∠ABC=60°.∴△ABA′是等边三角形.∴AB=AA′=2AC,即AC=AB注意：这一性质是含有30°角的直角三角形的性质，其余直角三角形没有这个性质.(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=AB，则∠B=30°；(2)如果一个三角形中30°角所对的边等于另一边的一半，那么这个三角形是直角三角形.例6

如图13-3-7，在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，垂足为E，连接CD，若BD=1，则AB的长是_____.图13-3-73解析：∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-90°=60°.∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=30°.∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=60°-30°=30°.∵BD=1，∴CD=AD=2.∴AB=AD+DB=2+1=3.忽视等腰三角形为钝角三角形的情形

例7

已知等腰三角形ABC一腰上的高与另一腰的夹角为50°，设这条高与等腰三角形底边上的高所在的直线的夹角中，有一个锐角为α，求α的度数.解：分两种情况讨论：(1)如图13-3-8，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC.∵∠ABE=50°，∴∠EBC=∠C-50°.∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°.∴∠C+∠EBC=90°，∴∠C-50°+∠C=90°，∴∠C=70°，∴∠EBC=70°-50°=20°.∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°.∴α=90°-∠EBC=90°-20°=70°.(2)如图13-3-9，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC.∵∠ABE=50°，∴∠EBC=∠ABC+50°=∠C+50°.∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°.∴∠C+∠EBC=90°,∴∠C+50°+∠C=90°,∴∠C=20°.∴∠EBC=20°+50°=70°.∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°.∴α=90°-∠EBC=90°-70°=20°.综上所述，α的度数为70°或20°．图13-3-8图13-3-9等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当三角形为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以此题存在等腰三角形的顶角为锐角或钝角两种情况，在解答时最容易遗漏顶角为钝角的情况.运用30°角的直角三角形的性质时出错例8如图13-3-10，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°，AD与BD有怎样的数量关系？解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，∠B=60°又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°,∴BC=2BD.∴AB=4BD.∴AD=3BD.图13-3-10在运用30°角的直角三角形的性质时,易把“30°角所对的直角边等于斜边的一半”误用为“30°角所对的直角边等于另一条直角边的一半”，导致错误.题型一等腰三角形的性质与线段垂直平分线的性质的综合

例9

如图13-3-11，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于点E，D为垂足，连接EC．(1)求∠ECD的度数；(2)若CE=5，求BC的长.思路导图：由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求解得出∠ECD的度数，进而得出BC的长解：(1)∵DE垂直平分AC，∴CE=AE.∴∠ECD=∠A=36°.(2)∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°(等边对等角).∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°.∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5(等角对等边).题型二等腰三角形的性质与判定的综合运用

例10

如图13-3-12，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．求证：M是BE的中点.图13-3-12思路导图：构造等腰三角形由“三线合一”证得结论证明：如图13-3-13，连接BD.图13-3-13∵在等边三角形ABC中，D是AC的中点，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∠ACB=60°.∵CE=CD，∴∠CDE=∠E.∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴BD=ED，即△BDE为等腰三角形.又∵DM⊥BC，∴M是BE的中点．题型三等腰(边)三角形的性质与全等三角形的综合

例

11如图13-3-14，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作等边三角形ACM和等边三角形BCN，连接AN，BM，分别交CM，CN于点P，Q．求证：PQ∥AB．图13-3-14思路导图：证明△ACN≌△MCB，△PCN≌△QCB得到△PCQ是等边三角形运用平行线的判定定理证明PQ∥AB证明：∵△ACM和△BCN都是等边三角形，∴∠ACM=∠BCN=60°，AC=CM，BC=CN．∵点C在线段AB上，∴∠ACM=∠BCN=∠MCN=60°.∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN=120°，即∠NCA=∠BCM=120°.在△ACN和△MCB中，AC=MC,∠ACN=∠MCB,CN=CB,∴△ACN≌△MCB(SAS)，∴∠ANC=∠MBC．在△PCN和△QCB中，∠ANC=∠MBC,CN=CB,∠PCN=∠QCB,∴△PCN≌△QCB(ASA)，∴PC=QC．又∵∠PCQ=60°，∴△PCQ是等边三角形.∴∠PQC=60°，∴∠PQC=∠QCB，∴PQ∥AB．

例12

如图13-3-15，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，CF⊥BD,交BD的延长线于点F．求证：BD＝2CF．图13-3-15证明：延长BA,CF交于点E.∵BD平分∠ABC，∴∠EBF=∠CBF.在△BFE和△BFC中，∠EBF=∠CBF，BF=BF,∠BFE=∠BFC=90°，∴△BFE≌△BFC(ASA),∴EF=CF=CE.∵∠E+∠ABD=∠E＋∠ACE=90°,∴∠ABD=∠ACE.在△ABD和△ACE中，∠ABD=∠ACE,AB=AC,∠BAD=∠CAE=90°，∴△ABD≌△ACE(ASA),∴BD=CE=2CF.方法点拨：证明线段的和差倍分关系，一般通过对线段割补或相等线段的代换，转化为证明线段的相等问题来解决.题型四30°角的直角三角形的性质的综合运用

例13

已知：如图13-3-16，在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q．求证：BP=2PQ.图13-3-16证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠C=∠ABC=60°，AB=BC=AC.∵AE=CD，AC=BC，∴EC=BD.在△BEC和△ADB中，EC=DB，∠C=∠ABD，BC=AB，∴△BEC≌△ADB(SAS)，∴∠EBC=∠DAB.∵∠ABE+∠EBC=60°，∴∠ABE+∠BAD=60°.∵∠BPQ是△ABP的外角，∴∠ABP+∠BAP=60°=∠BPQ.又∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°.∴BP=2PQ．题型五与等边三角形有关的综合探究例14

如图13-3-17，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运动(与点A，C不重合)，Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动(点Q不与点B重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ,交AB于点D.(1)当∠BQD=30°时，求AP的长.(2)在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由.(1)(2)图13-3-17图13-3-18解：(1)设AP=BQ=x，则PC=6-x，QC=6+x.在△QCP中，∠CQP=30°,∠C=60°，∴∠CPQ=90°.∴QC=2PC,即6+x=2(6-x)，∴x=2，∴AP=2.(2)在运动过程中线段ED的长不会发生变化.如图13-3-18，过点P作PF∥QC，则△AFP是等边三角形.∵点P，Q同时出发，速度相同，即BQ=AP，∴BQ=PF，∴△DBQ≌△DFP，∴BD=DF.∵△APF是等边三角形，PE⊥AF,∴AE=EF，∴DE+(BD+AE)=AB=6,∴DE+(DF+EF)=6，即DE+DE=6，∴DE=3，即DE的长不变.解读中考：等腰三角形是中考的重要考点之一.当以选择题或填空题命题时，常常结合线段垂直平分线、平行线、角平分线、30°角的直角三角形以及轴对称等，求角度、线段长度或线段和的最小值；当以解答题命题时，通常与全等三角形综合，进行证明或计算．考点一等腰三角形的性质

例15(湖北黄石中考)如图13-3-20，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=()B图13-3-20A.50°B.100°C.120°D.130°解析：设线段AC的垂直平分线交线段AC于点E.∵DE是线段AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DCA=∠A=50°，∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°.故选B.

例16(山东滨州中考)如图13-3-21，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，若∠A=50°，则∠CDE的度数为()D图13-3-21A.50°B.51°C.51.5°D.52.5°解析：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED.∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，∴∠B=25°.∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，∴∠BDE=∠BED=×(180°-25°)=77.5°，∴∠CDE=180°-∠CDA-∠EDB=180°-50°-77.5°=52.5°.故选D.考点二等腰三角形的判定例18(新疆内高班中考)如图13-3-24，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是()海里．DA.25B.25C.50D.25图13-3-24解析：如图13-3-25，根据题意，得∠1=∠2=30°.∵∠ACD=60°，∴∠ACB=30°+60°=90°.∵∠CBA=75°-30°=45°，∴△ABC为等腰直角三角形.∵BC=50×0.5=25(海里)，∴AC=BC=25(海里)．故选D.考点三等边三角形的性质与判定

例19(江苏泰州中考)如图13-3-27，已知直线∥，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠β=_____.20°图13-3-27图13-3-28解析：如图13-3-28，过点A作AD∥

，∴∠BAD=∠β．∵∥

，∴AD∥

，∴∠DAC=∠α=40°．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠β=∠BAD=∠BAC-∠DAC=60°-40°=20°．

例20(河北中考)如图13-3-29，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有()D图13-3-29A.1个B.2个C.3个D.3个以上解析：若点Ｍ，Ｎ分别在ＯＡ，ＯＢ上，满足上述条件的△PMN有1个；若点M，N中有一个和点O重合，满足上述条件的△PMN有2个；若点Ｍ，Ｎ分别在ＯＡ，ＯＢ的反向延长线上，满足上述条件的△PMN有1个.故选D.

例22(吉林中考)如图13-3-32，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D(不与点B，C重合)是BC上任意一点.将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为_____(用含a的式子表示).图13-3-323a解析：由折叠的性质，得点B和点D关于折痕所在的直线对称，∴DE=BE.又∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠A=60°.由折叠的性质知，FD∥AC，∴∠EFD=∠A=60°.又∵∠FED=60°，∴△EFD是等边三角形，则DF=DE=EF=a，∴△DEF的周长为DE+EF+DF=3a.考点四30°角的直角三角形的性质

例23(湖北荆州中考)如图13-3-34，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC=3，则DE的长为()A图13-3-34A.1B.2