2022-2023学年山东省日照市高一下学期期末校际联合考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省日照市2022-2023学年高一下学期期末校际联合考试数学试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号．回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．的值为（）A． B． C． D．2．在中，角为钝角，则点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知为线段上一点，且，若为直线外一点，则（）A． B．C． D．4．我国北宋时期著作《梦溪笔谈》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为（）A． B． C． D．5．把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（）A． B．C． D．6．已知函数（）在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（）A． B． C． D．7．一个棱长为1分米的正方体形封闭容器中盛有升水（没有盛满），若将该容器任意放置均不能使容器内水平面呈三角形，则的一个可能取值为（）A． B． C． D．8．一纸片上绘有函数（）一个周期的图像，现将该纸片沿轴折成直二面角，此时原图像上相邻的最高点和最低点的空间距离为，若方程在区间上有两个实根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．下列选项正确的是（）A．B．C．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则D．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则一定是等腰三角形10．已知，为两个不同平面，，为两条不同的直线，下列结论正确的为（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则11．已知函数，有下列四个结论，其中正确的为（）A．的图像关于轴对称 B．在区间上单调递增C．不是的一个周期 D．当时，的值域为12．在平面四边形中，，，，其外接圆圆心为，下列说法正确的是（）A．四边形的面积为 B．该外接圆的直径为C． D．过作交于点，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，若，则______．14．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则______．15．如图，在边长为2的正方形中，以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在圆上运动时，的最大值为______．16．如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，，，点在上底面所在平面上，使得，点在下底面所在平面上，使得，若三棱锥的外接球表面积为，则的取值范围是______．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，．（1）求的面积；（2）求边长及的值．18．（12分）如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，面，，，点是的中点．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．19．（12分）已知函数（，，）的部分图像如图所示，为图像与轴的交点，，分别为图像的最高点和最低点．在中，角，，所对的边分别为，，，的面积．（1）求角的大小；（2）若，，点的坐标为，求的〖解析〗式．20．（12分）已知函数（，）只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数的最大值为2；②函数的图像可由的图象沿轴左右平移得到；③函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为．（1）请写出这两个条件的序号，求的〖解析〗式，并求出在上的值域；（2）求方程在区间上所有解的和．21．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，且，，．（1）证明：平面平面；（2）当二面角的平面角的余弦值为时，求直线与平面夹角的正弦值．22．（12分）某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花．（1）求该烟花的体积；（2）工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，在弧上，在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（），①请用表示燃料的体积；②若烟花燃烧时间和燃料体积满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间．

——★参考答案★——一、单项选择题：1．〖答案〗C〖解析〗，故选C．2．〖答案〗D〖解析〗因为中，角为钝角，所以为锐角，可得，，所以点在第四象限．故选D．3．〖答案〗B〖解析〗如图，，故选B．4．〖答案〗C〖解析〗设扇形的圆心角为，由扇形面积公式可知，所以，如图，取的中点，连接，交于点，则．易知，则，所以，，，所以扇形弧长的近似值为弦．故选：C．5．〖答案〗C〖解析〗向左平移个单位得：将横坐标缩短为原来的得：本题正确选项：C．6．〖答案〗B〖解析〗由于函数（）在上单调递增；，，且，解得且，所以；又因为在区间上只取得一次最大值，即时，；所以，解得；综上知，的取值范围是．故选：B．7．〖答案〗C〖解析〗如图，在正方体中，若要使液面形状不可能为三角形，则平面平行于水平面放置时，液面必须高于平面，且低于平面，若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形，设正方体内水的体积为，而，而（升），（升），所以的取值范围是．故〖答案〗为：C．8．〖答案〗D〖解析〗原图像上相邻的最高点和最低点的空间距离为，∴，故，方程在区间上有两个实根，即有2个解，由于，∴，则，故〖答案〗为：D二、多项选择题：9．〖答案〗AC【详析】解：对A：；对B：；对C：若，由大角对大边得到，设为的外接圆半径，由正弦定理得，得到，故C正确．对于D：若，则，可得，所以为等腰或直角三角形．10．〖答案〗ABD〖解析〗对于A，若，则取内任意两条相交直线，，使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A正确；对于B，垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确；对于C，若，平面为平面，，设平面为平面，则，故C错误；对于D，由面面垂直的判定定理可得，故D正确；故选：ABD．11．〖答案〗ACD〖解析〗定义域为，因为，所以为偶函数，图像关于轴对称，故A正确；因为是上的偶函数，所以，当时，，设，则在上单调递减，又在上单调递增，所以在单调递减，故B错误；，故C正确；当时，，设，则，因为，所以，故D正确；故选：ACD．12．〖答案〗ACD〖解析〗对于A，连接，在中，，，由于，所以，故，解得，所以，，所以，故，，故四边形的面积为，故A正确；对于B，设外接圆半径为，则，故该外接圆的直径为，故B错误；对于C，对于D，由选项A同理可求，在中由余弦定理可知：，故，所以，故选：ACD三、填空题：13．〖答案〗〖解析〗因为，所以，解得．故〖答案〗为：．14．〖答案〗〖解析〗，，则．15．〖答案〗〖解析〗如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，设，，则，，则，由，得的最大值为．16．〖答案〗〖解析〗由题意，在中，，，，由余弦定理得：，所以，由勾股定理逆定理得：，取、、的中点分别为、、，则，，又，故点在平面的轨迹为以为直径的圆，记为．，故点在平面的轨迹为以为直径的圆，记为，则经过点，且三棱锥的外接球球心在直线上．设，，球的半径为，则在中，，在中，则，则，由知，则，，所以．故三棱锥的外接球的表面积．四、解答题：17．解：（1）由，且，则，所以．（2）由，则，而，则．18．（1）证明：连接交于点，连接，∵底面为正方形，∴为中点，∵点是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）解：因为平面，平面，所以，又四边形为正方形，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，又点是的中点，，，所以，，，，所以，设点到平面的距离为，则，即，即，解得，即点到平面的距离为．19．解：（1）因为，又，∴，即∵，∴．（2）由题意得，，，，∴由余弦定理，得，即设边与轴的交点为，则为正三角形，∴且，∴函数的最小正周期为2，∴∴又点在函数的图象上，∴，即，即∴，，即，，又，∴．故．20．解：（1）函数满足的条件为①③；理由如下：由题意可知②函数的最大值为，条件①②互相矛盾，故③为函数满足的条件之一，由③可知，，所以，故②不合题意，所以函数满足的条件为①③；由①可知，所以；因为，所以所以，所以的值域为（2）因为，所以，所以（）或（），所以（）或（），又因为，所以的取值为，，，，所以方程在区间上所有的解的和为．21．（1）证明：中，由余弦定理：，所以，则，，又，所以，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：如图，取中点，连接，，因为，，则，，所以为二面角的平面角，且由（1）知，平面平面，所以．中，，中垂线，所以由勾股定理可得，，，所以，又，所以平面，又，所以平面，过作于点，因为平面，所以，因为，所以面，所以直线与平面夹角即为．中，，所以直线与平面夹角的正弦值为．22．解：（1）该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成，又，，，所以该烟花的体积；（2）①由图可知：，，在梯形中，由，，易知，故，则，所以；（2）由上问可知：即，令，则，上式即为，又令，，则，当时，，当时，，当时，当且仅当，即，即时，等号成立，满足题意．该烟花燃烧的最长时间为．山东省日照市2022-2023学年高一下学期期末校际联合考试数学试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号．回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．的值为（）A． B． C． D．2．在中，角为钝角，则点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知为线段上一点，且，若为直线外一点，则（）A． B．C． D．4．我国北宋时期著作《梦溪笔谈》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为（）A． B． C． D．5．把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（）A． B．C． D．6．已知函数（）在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（）A． B． C． D．7．一个棱长为1分米的正方体形封闭容器中盛有升水（没有盛满），若将该容器任意放置均不能使容器内水平面呈三角形，则的一个可能取值为（）A． B． C． D．8．一纸片上绘有函数（）一个周期的图像，现将该纸片沿轴折成直二面角，此时原图像上相邻的最高点和最低点的空间距离为，若方程在区间上有两个实根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．下列选项正确的是（）A．B．C．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则D．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则一定是等腰三角形10．已知，为两个不同平面，，为两条不同的直线，下列结论正确的为（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则11．已知函数，有下列四个结论，其中正确的为（）A．的图像关于轴对称 B．在区间上单调递增C．不是的一个周期 D．当时，的值域为12．在平面四边形中，，，，其外接圆圆心为，下列说法正确的是（）A．四边形的面积为 B．该外接圆的直径为C． D．过作交于点，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，若，则______．14．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则______．15．如图，在边长为2的正方形中，以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在圆上运动时，的最大值为______．16．如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，，，点在上底面所在平面上，使得，点在下底面所在平面上，使得，若三棱锥的外接球表面积为，则的取值范围是______．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，．（1）求的面积；（2）求边长及的值．18．（12分）如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，面，，，点是的中点．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．19．（12分）已知函数（，，）的部分图像如图所示，为图像与轴的交点，，分别为图像的最高点和最低点．在中，角，，所对的边分别为，，，的面积．（1）求角的大小；（2）若，，点的坐标为，求的〖解析〗式．20．（12分）已知函数（，）只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数的最大值为2；②函数的图像可由的图象沿轴左右平移得到；③函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为．（1）请写出这两个条件的序号，求的〖解析〗式，并求出在上的值域；（2）求方程在区间上所有解的和．21．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，且，，．（1）证明：平面平面；（2）当二面角的平面角的余弦值为时，求直线与平面夹角的正弦值．22．（12分）某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花．（1）求该烟花的体积；（2）工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，在弧上，在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（），①请用表示燃料的体积；②若烟花燃烧时间和燃料体积满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间．

——★参考答案★——一、单项选择题：1．〖答案〗C〖解析〗，故选C．2．〖答案〗D〖解析〗因为中，角为钝角，所以为锐角，可得，，所以点在第四象限．故选D．3．〖答案〗B〖解析〗如图，，故选B．4．〖答案〗C〖解析〗设扇形的圆心角为，由扇形面积公式可知，所以，如图，取的中点，连接，交于点，则．易知，则，所以，，，所以扇形弧长的近似值为弦．故选：C．5．〖答案〗C〖解析〗向左平移个单位得：将横坐标缩短为原来的得：本题正确选项：C．6．〖答案〗B〖解析〗由于函数（）在上单调递增；，，且，解得且，所以；又因为在区间上只取得一次最大值，即时，；所以，解得；综上知，的取值范围是．故选：B．7．〖答案〗C〖解析〗如图，在正方体中，若要使液面形状不可能为三角形，则平面平行于水平面放置时，液面必须高于平面，且低于平面，若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形，设正方体内水的体积为，而，而（升），（升），所以的取值范围是．故〖答案〗为：C．8．〖答案〗D〖解析〗原图像上相邻的最高点和最低点的空间距离为，∴，故，方程在区间上有两个实根，即有2个解，由于，∴，则，故〖答案〗为：D二、多项选择题：9．〖答案〗AC【详析】解：对A：；对B：；对C：若，由大角对大边得到，设为的外接圆半径，由正弦定理得，得到，故C正确．对于D：若，则，可得，所以为等腰或直角三角形．10．〖答案〗ABD〖解析〗对于A，若，则取内任意两条相交直线，，使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A正确；对于B，垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确；对于C，若，平面为平面，，设平面为平面，则，故C错误；对于D，由面面垂直的判定定理可得，故D正确；故选：ABD．11．〖答案〗ACD〖解析〗定义域为，因为，所以为偶函数，图像关于轴对称，故A正确；因为是上的偶函数，所以，当时，，设，则在上单调递减，又在上单调递增，所以在单调递减，故B错误；，故C正确；当时，，设，则，因为，所以，故D正确；故选：ACD．12．〖答案〗ACD〖解析〗对于A，连接，在中，，，由于，所以，故，解得，所以，，所以，故，，故四边形的面积为，故A正确；对于B，设外接圆半径为，则，故该外接圆的直径为，故B错误；对于C，对于D，由选项A同理可求，在中由余弦定理可知：，故，所以，故选：ACD三、填空题：13．〖答案〗〖解析〗因为，所以，解得．故〖答案〗为：．14．〖答案〗〖解析〗，，则．15．〖答案〗〖解析〗如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，设，，则，，则，由，得的最大值为．16．〖答案〗〖解析〗由题意，在中，，，，由余弦定理得：，所以，由勾股定理逆定理得：，取、、的中点分别为、、，则，，又，故点在平面的轨迹为以为直径的圆，记为．，故点在平面的轨迹为以为直径的圆，记为，则经过点，且三