2022-2023学年湖南省张家界市高一下学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省张家界市2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的〖答案〗信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗，〖答案〗不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，〖答案〗必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的〖答案〗，然后再写上新〖答案〗不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，故，故故选：C.2.运动员甲次射击成绩（单位:环）如下:，则下列关于这组数据说法不正确的是（）A.众数为和 B.平均数为C.中位数为 D.方差为〖答案〗C〖解析〗由题意，这组数据中7和9都出现3次，其余数出现次数没超过3次，故众数为7和9，A正确；计算平均数为，故B正确；将10次射击成绩从小到大排列为:，则中位数为，故C错误；方差为，故D正确.故选：C3.目前，甲型流感病毒在国内传播，据某市卫健委通报，该市流行的甲型流感病毒，以甲型亚型病毒为主，假如该市某小区共有100名感染者，其中有10名年轻人，60名老年人，30名儿童，现用分层抽样的方法从中随机抽取20人进行检测，则做检测的老年人人数为（）A.6 B.10 C.12 D.16〖答案〗C〖解析〗老年人做检测的人数为.故选：4.已知某圆锥的母线长为4，高为，则圆锥的全面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知，该圆锥的底面半径为，则圆锥的全面积为.故选：B5.某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据（单位：cm）从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，若样本数据的第60百分位数是170，则x=（）A.169 B.170 C.171 D.172〖答案〗C〖解析〗因为样本容量为10，且样本数据从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，又，所以第60百分位数为，由已知，所以，故选：C.6.已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设向量，的夹角为，因为，所以，所以，所以在上的投影向量为：.故选：C.7.张益唐是当代著名华人数学家，他在数论研究方面取得了巨大成就，曾经在《数学年刊》发表《质数间的有界间隔》，证明了存在无穷多对质数间隙都小于7000万．2013年张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述，存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数，在不超过12的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗不超过12的素数有2、3、5、7、11共5个，在其中任取两个数的基本事件为、、、、、、、、、共10个，其中是孪生素数的基本事件为、共2个，所以在不超过12的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率为.故选：B.8.三棱锥中，平面，，．过点分别作，交于点，记三棱锥的外接球表面积为，三棱锥的外接球表面积为，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取的中点，的中点，连，，，，因为平面，平面，所以，，，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，在直角三角形中，是斜边的中点，所以，在直角三角形中，是斜边的中点，所以，所以是三棱锥外接球的球心，为该球的直径.因为，是斜边的中点，所以，因为，是斜边的中点，所以，所以是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径.设，则，则，，所以.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（）A. B.的虚部是C.是纯虚数 D.在复平面上对应点在第四象限〖答案〗ACD〖解析〗则，A正确；的虚部是，B错误；是纯虚数，C正确；对应点的坐标是，在第四象限，D正确．故选：ACD．10.有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中为非零常数，则两组样本数据的样本（）A.平均数相同 B.中位数相同C.标准差相同 D.极差相同〖答案〗CD〖解析〗对于A，原样本数据的平均数，新样本数据的平均数（），所以A错误；对于B,不妨设原样本数据,中位数为或,则新样本数据,中位数为或,B错误;对于C，原样本数据的方差，新样本数据的方差为,所以,C正确；对于D，不妨设样本数据中，分别为最小值和最大值，极差为，则新样本数据，，…，中，分别为最小值和最大值，极差为，所以D正确.故选：CD.11.设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则〖答案〗BD〖解析〗对A：若，，则或与相交或与异面，故选项A错误；对B：若，，则，故选项B正确；对C：若，，则或与相交，故选项C正确；对D：若，，，则，故选项D正确.故选：BD.12.随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件“第一次为偶数”，“第二次为偶数”，“两次点数之和为偶数”，则（）A B.与对立C.与相互独立 D.〖答案〗ACD〖解析〗由题意可得，，所以，故A正确；因为事件，可以同时发生，故两事件不是对立事件，故B错误；因为事件，互不影响，所以，为相互独立事件，则，因为事件表示第一次为偶数且第二次为偶数，所以，又，所以与相互独立，故C正确；事件表示第一次或第二次为偶数，它的对立事件为第一次和第二次都是奇数，所以，故D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图所示，在正方体中，异面直线与所成的角为________．〖答案〗〖解析〗如图，连接，由正方体的性质可知，且，故异面直线与所成的角即为与所成的角.在中，均为面对角线，∴，为等边三角形，所以，即为异面直线与所成的角.故〖答案〗为：.14.已知向量，若，则实数__________.〖答案〗2或〖解析〗因为，且，所以，即，解得或.故〖答案〗：2或15.甲、乙两名乒乓球运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，如果比赛采用“三局两胜”制（先胜两局者获胜）．若第一局甲胜，则本次比赛甲获胜的概率为______．〖答案〗〖解析〗当第二局甲胜时，，当第二局乙胜，第三局甲胜时，，所以本次比赛甲获胜的概率为：，故〖答案〗为：.16.在中，为的外心，则__________.若，则的值为__________.〖答案〗①.②.〖解析〗在中，因为，由余弦定理得，所以，设外接圆的半径为，可得，所以，如图所示，因为外心是三边中垂线的交点，则有，即，又因为，可得，所以，解得，所以.故〖答案〗为：，.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知复数为虚数单位，且为纯虚数.（1）求实数的值；（2）若复数，求的模.解：（1）由，得，为纯虚数又；（2），.18.已知向量满足与的夹角为，当实数为何值时，（1）；（2）.解：（1）由题意得：当时，，则，即解得：；（2），解得：或.19.某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立.根据甲､乙､丙三人现有的水平，第一次选拔，甲､乙､丙三人合格的概率依次为；第二次选拔，甲､乙､丙三人合格的概率依次为.（1）求第一次选拔后甲､乙两人中只有甲合格的概率；（2）求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率.解：（1）分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件，设表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，则.（2）分别设甲、乙、丙经过前后两次选拔后合格为事件A，B，C，事件表示经过前后两次选拔后，恰有一人合格，则，所以.20.随着互联网的发展，移动支付（又称手机支付）越来越普遍，某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15-65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，回答“会”的共有个人，把这个人按照年龄分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，其中，第一组的频数为20.（1）求和的值，并根据频率分布直方图估计这组数据的众数；（2）从第1，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第1，3，4组抽取的人数；（3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.解：（1）由题意可知，，由，解得，由频率分布直方图可估计这组数据的众数为．（2）第1，3，4组频率之比为0.020：0.030：0.010=2：3：1则从第1组抽取的人数为，从第3组抽取的人数为，从第4组抽取的人数为．（3）设第1组抽取的2人为，第3组抽取的3人为，第4组抽取的1人为，则从这6人中随机抽取2人有如下种情形：，共有15个基本事件，其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有共4个基本事件，所以抽取的2人来自同一个组的概率为．21.如图，在矩形中，，沿对角线把折起，使移到，且在面内的射影恰好落在上.（1）求证：；（2）求与平面所成的角的正弦值.（1）证明：由已知易得：平面，又，平面，平面，平面；（2）解：由（1）知：，又，平面，平面，又平面，在Rt中，，设点A到平面的距离为，由，得，即，得：，与平面所成的角的正弦值为.22.在中，内角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）记的面积为，点是内一点，且，证明：①；②.（1）解：由，即得：，由正弦定理可得：，而由余弦定理，化简得：（2）证明：设面积分别为①，所以，而，所以，②由（1）中可知：，所以，在中，同理可得：，湖南省张家界市2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的〖答案〗信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗，〖答案〗不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，〖答案〗必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的〖答案〗，然后再写上新〖答案〗不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，故，故故选：C.2.运动员甲次射击成绩（单位:环）如下:，则下列关于这组数据说法不正确的是（）A.众数为和 B.平均数为C.中位数为 D.方差为〖答案〗C〖解析〗由题意，这组数据中7和9都出现3次，其余数出现次数没超过3次，故众数为7和9，A正确；计算平均数为，故B正确；将10次射击成绩从小到大排列为:，则中位数为，故C错误；方差为，故D正确.故选：C3.目前，甲型流感病毒在国内传播，据某市卫健委通报，该市流行的甲型流感病毒，以甲型亚型病毒为主，假如该市某小区共有100名感染者，其中有10名年轻人，60名老年人，30名儿童，现用分层抽样的方法从中随机抽取20人进行检测，则做检测的老年人人数为（）A.6 B.10 C.12 D.16〖答案〗C〖解析〗老年人做检测的人数为.故选：4.已知某圆锥的母线长为4，高为，则圆锥的全面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知，该圆锥的底面半径为，则圆锥的全面积为.故选：B5.某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据（单位：cm）从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，若样本数据的第60百分位数是170，则x=（）A.169 B.170 C.171 D.172〖答案〗C〖解析〗因为样本容量为10，且样本数据从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，又，所以第60百分位数为，由已知，所以，故选：C.6.已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设向量，的夹角为，因为，所以，所以，所以在上的投影向量为：.故选：C.7.张益唐是当代著名华人数学家，他在数论研究方面取得了巨大成就，曾经在《数学年刊》发表《质数间的有界间隔》，证明了存在无穷多对质数间隙都小于7000万．2013年张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述，存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数，在不超过12的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗不超过12的素数有2、3、5、7、11共5个，在其中任取两个数的基本事件为、、、、、、、、、共10个，其中是孪生素数的基本事件为、共2个，所以在不超过12的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率为.故选：B.8.三棱锥中，平面，，．过点分别作，交于点，记三棱锥的外接球表面积为，三棱锥的外接球表面积为，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取的中点，的中点，连，，，，因为平面，平面，所以，，，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，在直角三角形中，是斜边的中点，所以，在直角三角形中，是斜边的中点，所以，所以是三棱锥外接球的球心，为该球的直径.因为，是斜边的中点，所以，因为，是斜边的中点，所以，所以是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径.设，则，则，，所以.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（）A. B.的虚部是C.是纯虚数 D.在复平面上对应点在第四象限〖答案〗ACD〖解析〗则，A正确；的虚部是，B错误；是纯虚数，C正确；对应点的坐标是，在第四象限，D正确．故选：ACD．10.有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中为非零常数，则两组样本数据的样本（）A.平均数相同 B.中位数相同C.标准差相同 D.极差相同〖答案〗CD〖解析〗对于A，原样本数据的平均数，新样本数据的平均数（），所以A错误；对于B,不妨设原样本数据,中位数为或,则新样本数据,中位数为或,B错误;对于C，原样本数据的方差，新样本数据的方差为,所以,C正确；对于D，不妨设样本数据中，分别为最小值和最大值，极差为，则新样本数据，，…，中，分别为最小值和最大值，极差为，所以D正确.故选：CD.11.设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则〖答案〗BD〖解析〗对A：若，，则或与相交或与异面，故选项A错误；对B：若，，则，故选项B正确；对C：若，，则或与相交，故选项C正确；对D：若，，，则，故选项D正确.故选：BD.12.随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件“第一次为偶数”，“第二次为偶数”，“两次点数之和为偶数”，则（）A B.与对立C.与相互独立 D.〖答案〗ACD〖解析〗由题意可得，，所以，故A正确；因为事件，可以同时发生，故两事件不是对立事件，故B错误；因为事件，互不影响，所以，为相互独立事件，则，因为事件表示第一次为偶数且第二次为偶数，所以，又，所以与相互独立，故C正确；事件表示第一次或第二次为偶数，它的对立事件为第一次和第二次都是奇数，所以，故D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图所示，在正方体中，异面直线与所成的角为________．〖答案〗〖解析〗如图，连接，由正方体的性质可知，且，故异面直线与所成的角即为与所成的角.在中，均为面对角线，∴，为等边三角形，所以，即为异面直线与所成的角.故〖答案〗为：.14.已知向量，若，则实数__________.〖答案〗2或〖解析〗因为，且，所以，即，解得或.故〖答案〗：2或15.甲、乙两名乒乓球运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，如果比赛采用“三局两胜”制（先胜两局者获胜）．若第一局甲胜，则本次比赛甲获胜的概率为______．〖答案〗〖解析〗当第二局甲胜时，，当第二局乙胜，第三局甲胜时，，所以本次比赛甲获胜的概率为：，故〖答案〗为：.16.在中，为的外心，则__________.若，则的值为__________.〖答案〗①.②.〖解析〗在中，因为，由余弦定理得，所以，设外接圆的半径为，可得，所以，如图所示，因为外心是三边中垂线的交点，则有，即，又因为，可得，所以，解得，所以.故〖答案〗为：，.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知复数为虚数单位，且为纯虚数.（1）求实数的值；（2）若复数，求的模.解：（1）由，得，为纯虚数又；（2），.18.已知向量满足与的夹角为，当实数为何值时，（1）；（2）.解：（1）由题意得：当时，，则，即解得：；（2），解得：或.19.某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立.根据甲､乙､丙三人现有的水平，第一次选拔，甲､乙､丙三人合格的概率依次为；第二次选拔，甲､乙､丙三人合格的概率依次为.（1）求第一次选拔后甲､乙两人中只有甲合格的概率；（2）求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合