人教高中数学-选修4-4第二讲-一、曲线的参数方程课件

曲线的参数方程？救援点投放点

一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？

即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？如图，建立平面直角坐标系。

因此,不易直接建立x,y所满足的关系式。x表示物资的水平位移量，y表示物资距地面的高度，

由于水平方向与竖直方向上是两种不同的运动，xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；（2）沿oy反方向作自由落体运动。

在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有什么关系？t时刻，水平位移为x=100t，离地面高度y，即：y=500-gt2/2，物资落地时，应有y=0，得x≈10.10m；即500-gt2/2=0，解得，t≈10.10s，

因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投放物资，可以使其准确落在指定位置。

参数方程的概念：

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数

那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。

并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，

参数是联系变数x,y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。例1:已知曲线C的参数方程是（为参数）

(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系；(2)已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值。

解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所以M1在曲线上．把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到这个方程无解，所以点M2不在曲线C上．(2)因为点M3(6,a)在曲线C上，所以解得t=2,a=9所以，a=9.练习1、曲线与x轴的交点坐标是()BA(1，4)；B(25/16,0)C(1,-3)D(±25/16,0)2、方程所表示的曲线上一点的坐标是()DA(2，7)；B(1/3,2/3)C(1/2,1/2)D(1，0)3已知曲线C的参数方程是点M(5,4)该曲线上.(1)求常数a;（2）求曲线C的普通方程(1)由题意可知:1+2t=5，at2=4；a=1，t=2；代入第二个方程得:y=(x-1)2/4（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.参数方程求法:

（1）建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为;（2）选取适当的参数;

（3）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参数的函数式;圆的参数方程复习：1.圆的标准方程是什么？它表示怎样的圆？(x-a)2+(y-b)2=r2，表示圆心坐标为

(a,b),半径为r的圆。2.三角函数的定义？3.参数方程的定义？一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数，即探求：圆的参数方程∵点P在∠P0OP的终边上,

如图,设⊙O的圆心在原点,半径是r.与x轴正半轴的交点为P0,圆上任取一点P,若OP0按逆时针方向旋转到OP位置所形成的角∠P0OP=θ,求P点的坐标。根据三角函数的定义得解:设P（x,y）,(1)

我们把方程组(1)叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程。其中参数θ表示OP0到OP所成旋转角，。yxorM(x,y)

圆周运动中，当物体绕定轴作匀速运动时，物体上的各个点都作匀速圆周运动，

怎样刻画运动中点的位置呢？那么θ=ωt.设|OM|=r，那么由三角函数定义，有如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x,y)，即这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程参数t有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻)考虑到θ=ωt，也可以取θ为参数，于是有圆心为原点半径为r的圆的参数方程.

其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度

圆心为，半径为r的圆的参数方程一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，另外，要注明参数及参数的取值范围。1.写出下列圆的参数方程:(1)圆心在原点,半径为

:______________;(2)圆心为(-2,-3),半径为1:______________.x=cosθy=sinθx=-2+cosθy=-3+sinθ2.若圆的参数方程为

,则其标准方程为:_________________.x=5cosθ+1y=5sinθ-1(x-1)2+(y+1)2=253.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,则它的参数方程为_______________.x=1+2cosθy=-3+2sinθ练习解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程,(x+1)2+(y-3)2=1∴参数方程为(θ为参数)例1已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。练习：

例2如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxPMQ解：设点M的坐标是(x,y),则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ).由中点坐标公式可得因此，点M的轨迹的参数方程是例3已知x、y满足,求的最大值和最小值．解：由已知圆的参数方程为2点P(x,y)是曲线为参数)上任意一点，则的最大值为()A1B2CD练习1P(x,y)是曲线(α为参数)上任意一点,则的最大值为()AA．36B．6C．26D．25D3圆的圆心的轨迹是()A．圆B．直线C．椭圆D．双曲线A(为参数)上任意一点,则4点P(x,y)是曲线的最大值为

..5已知点P是圆上一个动点,定点A(12,0)，点M在线段PA上，且2|PM|=|MA|，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹．解：设点M的坐标是(x,y),则点P的坐标是(4cosθ,4sinθ).∵2|PM|=|MA|,∴由题设∴(x-12,y)=

因此，点M的轨迹的参数方程是

例4(1)点P(m,n)在圆x2+y2=1上运动,求点Q(m+n,2mn)的轨迹方程;(2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若该方程表示一个圆,求m的取值范围和圆心的轨迹方程.

已知P(x,y)圆C：x2+y2－6x－4y+12=0上的点。(1)求的最小值与最大值(2)求x－y的最大值与最小值例5最值问题例6参数法求轨迹

已知点A(2,0),P是x2+y2=1上任一点,的平分线交PA于Q点,求Q点的轨迹.AQ:QP=2:1

例7已知A（―1，0）、B（1，0）,P为圆上的一点,求的最大值和最小值以及对应P点的坐标.

参数方程和普通方程的互化

把它化为我们熟悉的普通方程，有

cosθ=x-3,sinθ=y;于是(x-3)2+y2=1，轨迹是什么就很清楚了在例1中，由参数方程直接判断点M的轨迹是什么并不方便，

一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.

在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.把参数方程化为普通方程：（1）参数方程通过消元（代入消元、加减消元、利用三角恒等式消元等）消去参数化为普通方程。如：①参数方程消去参数

可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.②参数方程（t为参数）可得普通方程y=2x-4通过代入消元法消去参数t,（x≥0）。注意：

在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.

例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？解:(1)由得代入得到这是以（1，1）为端点的一条射线；所以把得到(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2(1)(x-2)2+y2=9(2)y=1-2x2（-1≤x≤1）(3)x2-y=2（x≥2或x≤-2）练习、将下列参数方程化为普通方程：步骤：（1）消参；（2）求定义域。练习将下列参数方程化为普通方程(2)B例2求参数方程表示（）（A）双曲线的一支,这支过点（1,1/2）;（B）抛物线的一部分,这部分过（1,1/2）;（C）双曲线的一支,这支过点（–1,1/2);（D）抛物线的一部分,这部分过（–1,1/2).例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？例、将下列参数方程化为普通方程：(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（1）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1≤x≤1）（3）x2-y=2（X≥2或x≤-2）步骤：（1）消参；（2）注意取值范围。

参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数2.三角法：利用三角恒等式消去参数3.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征,整体上消去

化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。小结普通方程化为参数方程：普通方程化为参数方程需要引入参数：如：直线l的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程:

一般地,如果知道变量x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t的关系y=g(t)，那么:就是曲线的参数方程。

在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致例3求椭圆的参数方程：(1)设为参数；(2)设为参数.为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？在y=x2中，x∈R,y≥0，因而与y=x2不等价；练习:曲线y=x2的一种参数方程是（）.在A、B、C中，x,y的范围都发生了变化，而在D中，x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.

在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.解：(1)，设，t为参数；(2)，设，为参数。练习把下列普通方程化为参数方程：练习把下列参数方程化为普通方程(3)(t是参数)

练习P是双曲线(t是参数)上任一点，F1,F2是该焦点：求△F1F2的重心G的轨迹的普通方程。长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上，要不断反思、关照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已，不亦远乎?心中有理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭疏食，饮水，曲肱而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策，有包藏宇宙之机，吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不信者行不果。立志越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担当。为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立志，难成！海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”真正努力精进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学技术，都需要无数次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁击溃过你，都不重要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。最深的孤独不是长久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一个人的价值，应该看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知，最苦的是等待，最幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。人若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便是黑暗中的那一盏明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目标，去承受常人承受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服的枕头。嫉妒他人，表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自