2022-2023学年陕西省榆林市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省榆林市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若复数z=a2—l+（a+l）i是纯虚数，则实数a=（）

A.1B.-1C.±1D.0

2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42,

摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是（）

A.0.42B,0.28C.0.3D,0.7

3.若向量N表示“向东航行Mm”，向量石表示“向北航行，，则向量五+方表示（）

A.向东北方向航行2/CTHB.向北偏东30。方向航行2km

C.向正北方向航行（1D.向正东方向航行（1+，石）Mn

4.从某班57名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将57名同学按

01,02,57进行编号，然后从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始往右依次选取两

个数字，则选出的第4个同学的编号为（）

03474373863696473661469863716297

74246292428114572042533237321676

（注：表中的数据为随机数表第1行和第2行）

A.36B.42C.46D.47

5.如图，已知水平放置的AABC按斜二测画法得到的直观图为仆C'/y

A'B'C,若=AC'=3,则AABC的面积为（）/

A.3（〃）//

D*

2

6.已知0=弓）3.1,6=3.12,c=Igg，则a,b,c的大小关系为（）

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.a<b<c

7.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地

震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为=4.8+1.5M,据此，地

震震级每提高1级，释放出的能量是提高前的（参考数据：«3.16）（）

A.9.46倍B.31.60倍C.36.40倍D.47.40倍

8.我国北宋时期科技史上的杰作啰溪笔淡）收录了计算扇形弧长的近似计算公式：I蠡=

2

弦+文竺，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心

径

到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径.如图，已知扇形的面积为与，扇形所在圆。的

半径为2,利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为（）

A

A.「+2B.C.D.2<^+1

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，力表示事件“两次掷出的点数之和是3”，B表示事件

“第二次掷出的点数是偶数”，。表示事件“两次掷出的点数相同”，。表示事件“至少出现

一个奇数点”，则下列结论正确的是（）

A.2与B互斥B.力与C互斥C.8与C独立D.B与。对立

10.以下说法正确的有（）

A."x=0且y=0”是“xy=0”的充要条件

B.若工<<0,则a>b

ab

C.命题使得/+久+1N0”的否定是FER,使得/+%+1<0”

D.当％e（0,g）时，s讥％+―—的最小值为21^

Lsinx

11.已知TH,九，Z为三条不同的直线，仇，/?为两个不同的平面，则下列命题中错误的有（）

A.a〃S，THU/,几u£=m//nB.I上0,a1/?=l//a

C.m1a,mLn=>n//aD.仇〃S，I1aI1

12.已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为q和万，

母线长为球的表面积与体积分别为S1和匕，圆台的表面积与体积分别为S2（参考公式：S2=

1

7T（斤+母+rrl+厂2。）和%（，2=§兀九（炉+厂1厂2+符），其中九是高）.则下列说法正确的是（）

D.瓢最大值送

A.l=rr+r2B.R=Vrrr2C.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.复平面内复数z所对应的点为（2,-1）,则5+4=.

14.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示

年降水量（nun）[100,150)[150,200)[200,250)[250,300]

概率0.210.160.130.12

则年降水量在［200,300］（nmi）范围内的概率是

15.如图，正方体48CD-44的/中，E,F分别是面A/iGDi和

44道1。的中心，贝UEF和CD所成的角是

16.如图，直径4B=2的半圆，D为圆心，点C在半圆弧上，AADC=60°,线段4C上有动点

P,则丽•前的最小值为.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知胃=（4,3）,b=（-1,2）.

（1）求方与3的夹角的余弦值；

（2）若0—商）1（2五+1），求实数4的值.

18.(本小题12.0分)

在AaBC中，a、b、c分别是内角4、B、C的对边，sin2X+sinAsinC+sin2C=sin2B.

(1)求角B的大小；

(2)若a=5,b=7,求sinC.

19.(本小题12.0分)

已知函数/⑴=Asin^x+0)(4>0,3>0,切<力的图象过点P(刍0),且图象上与点P最

近的一个最低点是Q(Y，-2).

(1)求/'(x)的解析式；

(2)若/'(a+专)=|,且a为第三象限的角，求sina+cosa的值.

20.(本小题12.0分)

某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩；经统计，这批学生

的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)的

分组作出频率分布直方图如图所示.

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的第80百分位数；

(2)若按照分层随机抽样从成绩在[50,60),[90,100)的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取

2人，求至少有1人的成绩在[50,60)内的概率.

已知函数/(%)=log2x,g(x)=/(I-x)+/(I+x).

(1)判断函数g(x)的奇偶性并予以证明；

(2)若存在x使得不等式g(x)>m-1成立，求实数zn的最大值.

22.(本小题12.0分)

如图，在直三棱柱ABC—a/iG中，AB=2C=2,ABLAC,AA1=3,点M,N分别在棱

1-1

44」，且Ci"="iC,4iN4&4CN与AM交于点0.

(1)求证：CN1平面ABM；

(2)求三棱锥4-ABM的体积；

(3)求直线BC与平面ABM所成角的大小.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：z=a2-l+(a+l)i是纯虚数，

则卜2一1=°,解得a=l.

(a+140

故选：A.

根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解.

本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：•.•口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，

在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的

摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,

•••摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，

••・摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3,

故选：C.

在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，摸出红球的概率是0.42,

摸出白球的概率是0.28,根据互斥事件的概率公式得到摸出黑球的概率是1-0.42-0.28,得到结

果.

本题考查互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系，本题是一个简单的数字运

算问题，只要细心做，这是一个一定会得分的题目.

3.【答案】B

【解析】解：如图,

易知tana=六=?，所以a=30。.故反+3的方向是北偏东30。.

又|3+6|=2km-

故选：B.

根据向量的方向，画出图形，利用向量的加法运算，计算结果.

本题主要考查向量的三角形法则，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：根据题意，选出的第1个同学的编号为47,第2个同学的编号为43,第3个同学的编

号为36,

第4个同学的编号为46.

故选：C.

根据题意，由随机数表分析数据，找到选出的第4个同学的编号，即可得答案.

本题考查简单随机抽样，涉及随机数表的应用，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：根据题意，直观图△AB'C'中，AC'A'B'=45°,A'B'=A'C'=3,

rni|101c3<7

r5X3X5x—=—T—»

ZZZO

则小ABC的面积S=2cs=|.

故选：C.

根据题意，求出直观图△AB'C'的面积，由原图与直观图的面积关系分析可得答案.

本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查利用指数函数与对数函数的性质比较大小，属于基础题.

根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a,b,c的取值范围，从而可得结果.

【解答】

3.111

©6(0,1)，b=3,12>1-c=1g-<0,

c<a<b,

故选：A.

7.【答案】B

【解析】解：记地震震级提高至里氏震级M+1,释放后的能量为%,

由题意可知，lgE]一IgE=4.8+1.5(M+1)-(4.8+1.5M)=1.5,

即]g今=1,5,所以卷=1015=lOV^Ox31.60.

故选：B.

记地震震级提高至里氏震级M+1,释放后的能量为由题意可推得仞邑-国石=1.5,根据对

数的运算，结合指对互化以及指数累的运算，即可得出答案.

本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：设扇形的圆心角为a,

由扇形面积公式可知卜22xa=竽，所以a=：,

如图，取筋的中点C,连接0C,交AB于点D,

则OC14B.易知NO/!。=7，贝I。。=2s讥g=1,

oo

所以CD=2-1=1,AD=2cosa-V-3,AB=2AD=2V_3>

27

所以扇形弧长的近似值为/门=弦+江=48+也=生』.

AB4T径20A2

故选：C.

根据扇形的面积公式可得圆心角大小，进而根据弧长的近似计算公式即可求解.

本题主要考查了扇形的面积公式，考查了扇形弧长的近似计算公式，属于基础题.

9.【答案】BC

【解析】解：对于选项4事件4与事件B都包含事件(1,2),所以不互斥，错误；

对于选项2,很明显事件a与事件c互斥，正确；

对于选项C,事件8的发生与事件。的发生没有关系，所以互不影响，相互独立，正确；

对于选项。，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，。表示事件“至少出现一个奇数点”，很

明显不是对立事件，错误.

故选：BC.

根据互斥事件和对立事件的定义，即可判断正误.

本题考查互斥事件和对立事件的概念，属于基础题.

10.【答案】BC

【解析】解：对于4当％=。且y=。时，有工y=0；当xy=。时，x=0或y=0,得不出无=。且

y=0.所以，"x=0且y=0"是"xy=0"的充分不必要条件，故A错误；

对于B,由工<〈<0可知ab>0,由不等式的性质，可得a>6成立，故8正确；

对于C,由存在量词命题的否定可知命题“mxeR,使得+久+120”的否定是“VxeR,使

得/+X+1<0”,故C正确；

对于D,令t=s出x€(0,1),因为t+|在(0,1)上单调递减，所以t+：>3,故。错误.

故选：BC.

分别判断充分条件和必要条件是否成立，即可判断4项；根据不等式的性质，即可判断B项；写出

存在量词命题的否定，即可判断C项；换元t=sExe(0,1),根据对勾函数的单调性，即可求出

t+->3,即可判断。项.

本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了命题的否定，以及基本不等式的应用，属于

基础题.

11.【答案】ABC

【解析】解：对于2：若a〃£,mea,nu0,则ni与n可能平行，也可能异面，故A错误;

对于B：若alp,则〃/a或Zua,故8错误；

对于C：若m1a,mln,贝!Jn〃a或nua,故C错误；

对于D：a〃£,I1a,易得I10,故。正确.

故选：ABC.

根据线、面位置关系逐一判断得到相应的结果.

本题考查空间中线、面位置关系的判断，属基础题.

12.【答案】ABC

【解析】解：对于2选项，取圆台的轴截面力BCD,

则四边形4BCD为等腰梯形，

圆台的外接球球心为。，则球心。在截面A8CD内，

在截面ABCD内，设圆。切梯形4BCD的边4B、BC、

CD、D4分别于点E、F、G、H,

由切线长定理可得力E=4",DG=DH,故4D=

DH+AHDG+AE,§PZ=r1+r2,4对；

对于8选项，连接。。、0A,因为=AO=A0,OE=OH,

所以，△ZOE三△4。"，所以N04E=N04”,^AOAH=~^BAD,

■\

同理可得N4D。=.ADC,因为2B//CD,贝!JNBAD+N4DC=180。，

所以L+^ADO=j(ABAD+N4DC)=jx180°=90°,故N4。。=90°,

由圆的切线的性质可知，OH1AD,所以乙DOH=90。一/。。/7=NCMD,

由tan/。。"=tanzOTlD,可得黑=空

OHAH

即。=即7?2=勺上，故/?=^^7^,B对；

对于C选项，/=京"rM2+珍一7TX2R（r彳+，优2+栈）=丑+「。2+母,

V1~凯R3—4/—2”2，

Si=以丁彳+"+丁1/+丁2/）=7什日+（厂1+72）2=丁什日+丁1丁2,故%=K1,C对；

S2-4"/?2一姐吃一2厂1丁2'$2叱''

Si_2丁1丁2_2,2_2

对于。选项，因为心力「2，则理=而疥不=五HI<77豆豆G=百，D错.

rrr

2l［r2x

故选：ABC.

作出圆台的轴截面，利用切线长定理可判断4选项；在截面2BCD内，设圆。切梯形力BCD的边4B、

BC、CD、DA分别于点E、F、G、H,推导出tanND。"=tanNOAD,可判断B选项；利用圆台、

球体的表面积、体积公式可判断C选项；利用基本不等式可判断。选项.

本题考查了台体和球体的表面积和体积公式的应用，属难题.

13.［答案】2。

【解析】解：因为平面内复数z所对应的点为（2,-1）,

所以z=2—i=>z=2+i,

|z+i|=|2+2i|=V4+4=2c.

故答案为：2V"攵.

先求出z,再结合共轨复数的定义，复数模公式，即可求解.

本题主要考查共辗复数的定义，属于基础题.

14.【答案】0.25

【解析】解：观察图表年降水量在［200,300］（小，6）范围内有两部分

一部分在［200,250］,另一部分在［250,300］

年降水量在［200,300］（m,zn）范围内应该是［200,250与［250,300］两部分的概率和

所以年降水量在［200,300］（小，爪）范围内的概率=0.13+0.12=0.25

故答案为0.25

先根据频率分布表观察年降水量在［200,300］（小，6）范围内有几种情形，然后将这几种情形的概

率相交即可求出年降水量在［200,300］（小，6）范围内的概率.

本题主要考查了频率分布表，以及等可能事件的概率问题，属于基础题.

15.【答案】45°

【解析】解：设正方体48CD—481GD1的棱长为2,

以4为坐标原点建立如图所示的空间坐标系，

C

则E(l,l,2),尸(1,0,1),C(2,2,0),D(2,0,0),

则前=(0,—CD=(0,-2,0),

设EF和CD所成的角是0,

舐函_v~2

则cos。=

\EF\-\CD\一~

：.e=45°,

即异面直线EF与CD所成的角为45。.

故答案为：45°

以4为坐标原点建立空间坐标系，分别求出EF和CD的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案.

本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中建立空间坐标系，将异面直线夹角转化为向量

是解答的关键.

16.【答案】1

【解析】解：设布=2芯(0W4W1)，

则丽=DA+AP=DA+AAC=DA+A(DC-DA)=(1-A)+ADC，

vZXDC=60°,\DC\=\DA\=\\~BA\=1-则育•比=|/|•|尻|cos60。=

所以，DP-BA=[(1-A)DA+ADC]-2DA=2(1-A)DA+2ADA-DC

=2x(1—A)+24x—=2—AG[1,2].

因此，丽・瓦?的最小值为1.

故答案为：1.

设9=4万(0W4W1)，可得出9=(1-4)瓦？+4方乙计算得出瓦T反=g,利用平面向量

数量积的运算性质可得出丽.瓦?关于2的表达式，结合4的取值范围可求得丽•瓦?的最小值.

本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题.

17.【答案】解：(1)N•6=—4+6=2，|a|=V42+32=5，|b|=(―I)2+22-A/-5.

,一7、a-b22<3

COS<CL,b>=一————

|a||b|5<525

(2)a—A,b=(4+43—22),2a+b=(7,8)，

又(a—Ab')_L(2a+b)，，.(a—Ab')■(2a+b)=7(4+A')+8(3—22)=0，

解得2=y

【解析】⑴利用湍即可得出.

(2)(a-26)1(2a+K)，可得位一4石)•(2方+9)髭0,解得人

本题考查了向量数量积运算法则、向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与

计算能力，属于中档题.

22222

18.【答案】解:(1)vsin>l+sinAsinC+sin2c=sinB,由正弦定理可知,a+ac+c=b9

・•.COSB=次.2-相=界=T，••-56(0,71).

2ac2ac2J

(2)a-5,b=7,则由余弦定理知〃=a2+c2—2accosB,

即72=52+c2-2x5ccos等化简得c2+5c-24=0,解得c=3或c=一8(舍去).

由正弦定理知肃=焉则s讥。=¥=岁=答・

【解析】(1)利用正弦定理结合余弦定理可求得COSB,再结合角B的取值范围可求得角B的值;

(2)利用余弦定理可得出关于c的等式，解出c的值，再利用正弦定理可求得s讥C的值.

本题主要考查三角形中的几何计算，属于基础题.

19.【答案】解：(1)・.・函数/(%)=h讥(3%+9)(4>0,3>0,依|<今的图象过点尸七,0),

且图象上与点P最近的一个最低点是Q(-?-2),

•••4=2,J=f=亮+£•••3=2.

423126

再根据2"kEZ,求得(P=_2.•.f(x)=2sin(2x

(2)f(a+777)=I=Isinla,•••sin2a=

12olo

•••a为第三象限的角，・•.sina+cosa——JQsina+cosa)2=—V1+sin2a=一2^.

v4

【解析】(1)由图象的顶点坐标求出4由周期求3,根据函数的零点求出0,可得函数的解析式.

(2)由题意，利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式的，以及三角函数在各个象限中的符号,

求得结果.

本题主要考查根据函数y=4s仇(3X+W)的部分图象求函数的解析式，三角函数的求值问题，属

于中档题.

20.【答案】解：(1)由题意得，10(0.005+0.030+0.035+a+0.010)=1,

所以a=0.020,

因为10x0.005=0.05,10x0.030=0.3,10x0.035=0.35,10x0.02=0.2,10x0.01=0.1,

所以成绩在80(分)以下的频率为0.05+0.3+0.35=0.7<0.8,

成绩在90(分)以下的频率为0.05+0.3+0.35+0.2=0.9>0.8,

所以第80百分位数p£(80,90),即p=80+10x若/=85.

(2)因为［50,60),［90,100)的频率之比为0.005：0.010=1：2,

所以从［50,60)中随机抽取6X：=2人，从［90,100)中随机抽取6X|=4,

从［50,60)中抽取的2人记为a,b,从［90,100)中抽取的4人记为1,2,3,4,

从这6人中随机抽取2人的样本空间为。={12,13,14,1a,lb,23,24,2a,2b,34,3a,3b,4a,4b,ab］,共

有15个样本点，

设事件4表示“至少有1人的成绩在［50,60)内”，

则4={la,lb,2a,2b,3a,3b,4a,4b,ab}共有9个样本点，

所以至少有1人在［50,60)内的概率为2(4)=言="

【解析】本题考查了频率分布直方图的应用、百分位数的定义以及古典概型概率公式的运用，属

于基础题.

(1)利用频率之和为1,列式求a,由百分位数的定义求解第80百分位数即可；

(2)先求出从［5