2023-2024学年辽宁省鞍山二中九年级（上）月考数学试卷（12月份）

九年级十二月份限时作业训练数学试题（考试时间120分钟试卷满分120分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1.下列图形是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列方程中，关于的一元二次方程是（）A. B.C. D.3.如图，直线，分别交直线，于点，，，，，，若，，则的长为（）A.6 B.9 C.10 D.254.已知二次函数的图象经过点，，则的值为（）A.2 B. C.4 D.5.如图，是中边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（）A. B.C. D.6.如图，中三个顶点的坐标分别为，，，为的中线，以为位似中心，把每条边扩大到原来的2倍，得到，则的长为（）A. B. C.或 D.或7.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则下列符合题意的方程是（）A. B.C. D.8.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，若点在边上，则的长为（）A. B.4 C. D.59.如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于，两点，连接，，则的度数是（）A. B. C. D.10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，（点在点的左侧），且，则点的坐标为（）A. B. C. D.二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11.一元二次方程的两个实数根分别是和，则抛物线的顶点坐标为________.12.如图，四边形内接于，交延长线于点，连接，平分，若，，则的长为________.13.已知是方程的一个根，则代数式的值是________.14.如图，矩形中，点在函数的图象上，点，在轴上，交轴于点，延长至点，使，连接交轴于点，连接，，若的面积为4，则的值为________.15.如图，为的直径，为上一点，连接，，，，连接，点在边上（），点关于直线的对称点为，连接与边交于点，连接.当为直角三角形时，________.三、解答题（本题共8小题，共75分，写出必要文字说明、演算步骤或推理过程）16.解方程（每题5分，共10分）（1）； （2）.17.（本小题8分）如图，在中，为边上一点，连接，为线段上一点，若，.求证：.18.（本小题8分）某超市以每件24元的价格购进一种商品，以每件30元的价格出售，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，日销售量就会减少5件，但物价部门规定商品售价不高于进价的2倍，设每件商品售价为元.（1）当每件商品的售价为多少元时，每天该商品销售利润达2240元？（2）设超市每天销售这种商品的利润为元，则每件商品的售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？19.（本小题9分）某蔬菜生产基地在冬天气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度（℃）与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题：（1）当时，求与的关系式；（2）解释线段的实际意义；（3）大棚里栽培的这种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？20.（本小题8分）如图，某电影院的观众席或“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为，垂直高度都为.测得在点的仰角，测得在点的仰角.求银幕的高度.（参考数据：，，，，，）21.（本小题8分）如图，在中，，的平分线交于点，点在边上，以为圆心的圆经过，两点，交于点，连接.（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为3，求线段的长.22.（本小题12分）【发现问题】某数学兴趣小组的同学发现，1条直线把平面分割成2部分，2条直线最多把平面分割成4部分，3条直线最多把平面分割成7部分，4条直线最多把平面分割成11部分……，平面被直线最多分割成的部分随着直线条数的变化而变化.【提出问题】平面被直线最多分割成的部分与直线的条数之间有怎样的函数关系？【分析问题】小组同学结合实际操作和计算得到下表（一）所示的数据：表（一）条直线12345…最多把平面分成部分2471116…然后在平面直角坐标系中，描出表（一）中各对数值所对应的点，得到图①，兴趣小组的同学根据图①中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分.为了验证猜想，同学们根据以往学习经验，先从另一组数据入手，制定了表（二），在平面直角坐标系中，描出表（二）中各对数值所对应的点，得到图②，根据图②中点的分布情况，猜想其图象也是二次函数图象的一部分；如图③，同学们从“形”的角度出发，再借助“补”的思想，进而得出图②中图象确为二次函数图象的一部分；再将图②中图象平移，就可以得到图①中的图象，进而求出与的关系式.表（二）12345…1361015…【解决问题】（1）直接写出与的关系式；（2）当平面被直线最多分割成；106部分时，求直线的条数；（3）点是（1）中所求抛物线上的一点，且位于第一象限，点，，当中有一个角等于时，请求出点的坐标.23.（本小题12分）【问题初探】（1）如图1，在等边中，为边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接.求证：.图1图2图3【类比分析】（2）如图2，在等腰中，，底角度数为，，为边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，在线段上取点，使，连接.求证：.【学以致用】（3）如图3，在等腰中，，底角度数为，，点为延长线上的一点，连接，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，在线段上取点，使，连接交于，求线段的长.

九年级数学十二月份限时作业训练参考答案及评分细则（*若有其他正确解法或证法，请参照此标准赋分）一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分）题号12345678910答案BABCCDBABD二、填空题（本题包括5小题，每小题3分，共15分）11.12.13.202914.615.或三、解答题16.（每题5分，共10分）（1），…………5分（2），……………………10分17.（本小题8分）证明：∵∴………………2分∵，又∵………………4分∴………………6分∴………………8分18.（本小题8分）（1）解：由题意可得…………1分整理，得解方程，得，……………………2分又∵∴…………………………3分答：当每件商品的售价为38元时，每天该商品销售利润达2240元.……4分（2）由题意得：…………5分…………6分∵∴当时，有最大值，最大值为2645.…………7分答：当售价为47元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为2645元.………………8分19.（本小题9分）解：（1）设双曲线解析式为：，∵图象过点，∴，…………2分∴双曲线的解析式为：；……3分（2）线段表示恒温系统设定恒温为20℃；……5分（3）设的解析式为：，把，代入中，得，解得，∴的解析式为：，…………6分当时，，解得，当时，，解得，………………7分∴.……………………8分答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时……9分20.（本小题8分）解：延长，，分别交于点，，由题意知，，在中，，∵，∴，…………1分在中，，∵，∴，…………2分∵，，∴，………………3分∵，∴，∴……4分解得，…………6分∴.……7分答：银幕的高度约为.…………8分21.（本小题8分）（1）证明：如图，连接，∵平分，∴.∴，∴，∴，∴，…………1分∴.∵，∴，∴.……………………2分∵为的半径，∴是的切线；…………3分（2）解：∵为的直径，∴，∵，∴.∵，∴，………………4分∴，∵的半径为3，∴.∴，∵，∴.∵，∴，∵，∴，…………5分∵，∴，…………6分∴∴，……………………7分∴.…………8分22.（本小题12分）解：（1）…………3分（2）由题意知，当时，解得，（不合题意，舍去）答：满足题意的直线有14条.……………………6分（3）如答图1，当时，过点作于点，则，∴，∴，∴∵点，∴点，代入得，解得（负值舍去），∴点；……………………8分如答图2，当时，过点作于点，则，∴，∴，∴∵点，∴点，代入得，解得，（不合题意，舍去）∴点，……………………10分∵点，此时点与点重合，，……11分综上所述，点的坐标为或.………………12分图1图223.（本小题12分）（1）证明：如图1，过点作交于点，证出，……………………2分∴，∴，∴，∴，…………………………3分图1图2图3（2）证明：如图2，过点作交于点，证出，………