2020高三数学上学期期末试题汇编

(辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数

学(文)试题)

7.数列｛aj满足，aI=^an-an+1=2anan+1,是数列归岛+一前5项和为()

48510

A.—B.—C.—D.—

33333939

【答案】C

【解析】

【分析】

利用递推公式求得22?3再4再506的值.进而利用裂项相消求和法，求得2色+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6的值.

【详解】由递推公式an・an+]=2an%+i，将电=；，代入得电-32=2电通2,解得a2=(；将@2=3弋入递推公

-a=aa

式得a2322,3»解得=；.同理解得@4=：卫5==~~，

所以a,a2+32a3+a3a4+a4a5+a5a6

=1[000/L_lu/_L_L\1=1[1_L]=A

35577991111132k35)+157)+\79)+\9IV\H13/J2匕13]39

【点睛】本小题主要考查递推公式求数列的前几项，考查裂项求和法求数列前几项的和.属于中档题.

(河北省衡水市第十三中学2019届高三质检(四)理科数学试题)

12.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)=4f(x+2),当xe[0,2)时,f(x)=,设f(x)在[2n-2,2n)

上的最大值为3n(n6N),且｛aj的前n项和为S”，若S”<k对任意的正整数n均成立，则实数k的取值范围为

()

A.+8)B.—+co)C.[2,+oo)D.—+O0

,3，

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数的解析式，求得当X6[O⑵时，f(x)的最大值为3再根据f(x+2)=lf(x),利用归纳法，得到当

44

x€[2n-2,2n)时，f(x)的最大值为3nHy-1，由等比数列的前n项和公式，求得与根据S—k,即可求

解,

5

【详解】由题意，可得当XW[O,1）时，lWf（x）W]xW[l,2）时，^-<f（x）<b

二当xG血2）时，f（x）的最大值为I

4

又由f(x+2)=lf(x),・••当xW[2,4)时、f(x)的最大值为」x-；

444

当xG[4,6）时，f（x）的最大值为2x

4

5/1>

in-1

所以当x£[2n-2,2n)H'1,f(x)的最大值为3n=-x/-

51

n]

4455

由等比数列的前n项和公式，得Sn=-------=--x

n133

1-

4

若Sn<k对任意的正整数被立，则kN：故选B.

【点睛】本题主要考查了数列与函数的综合应用，其中解答中根据分段函数的解析式，利用归纳法得到数

列的通项公式，再利用等比数列的求和公式，列出不等式求解是解答的关键，试题有一定的综合性，属于

中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

（湖南省长望浏宁四县2019年高三3月调研考试数学（文科）试题）

=

15.己知数列｛an）的前n项和为S2%=1.当nN2时，%+2S“_]=%!K!|^2O19

【答案】1010

【解析】

【分析】

由题意可得：%+25"_1=上册+1+25“=。+1,整理变形可知当“22时，数列任意连续两项之和为1,据

此求解52019的值即可.

【详解】由题意可得：an+2V1=n>an+l+2S„=n+1,

两式作差可得:%+厂％+2%=1,即%+1+4=1,

即当“22时，数列任意连续两项之和为1,

据此可知：$2019=H■—产=1010.

【点睛】给出％与4的递推关系，求知，常用思路是：一是利用“=S「S“_1转化为"“的递推关系，再

求其通项公式：二是转化为S,的递推关系，先求出S,与"之间的关系，再求a“.

（广东省汕尾市普通高中2019年3月高三教学质量检测文科数学试题）

16.已知数列0｝的首项的=l,an+1=-——-,bn=anan+1品为数列｛九｝的前n项和若S”<t恒成立，贝亚的最

3an+1

小值为.

【答案】I

【解析】

【分析】

首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用通项公式和裂项相消法求出数列的和，最后

利用放缩法和恒成立问题的应用求出结果.

【详解】数列&｝的首项的=1,%+1='不，

3an+1

11,

则：---------=3（常数）

aa

n+1n

,1、1

故数列｛一｝是以一=1为首项，3为公差的等差数列.

anal

则：%（首项符合通项）.

3n-Z

1

故：Q=

n3n-2,

bn=%小+1=(3n-2)(3n+l)=3(3n-2-3九+1)，

「1,11111、1,1、1

n3k4473n-23n+Y3、3n+Y3

由于数列出j的前n项和t恒成立,

乩1

故：t>—,

1

则：t的最小值为

1

故答案为：—.

【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考

查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.

（广东省深圳市2019届高三第一次（2月）调研考试数学理试题）

1

16.在下图所示的三角形数阵中，用气j（i2力表示第i行第/个数（ijeN*）,已知气1=气i=1--（ieN*）,

且当后3时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即％=生川_1+%口（24/4一1）,

若%%2>100,则正整数小的最小值为一

0

【答案】103

【解析】

【分析】

根据条件，利用数列的递推关系式，求得数列色常｝的递推关系式，利用累加法和数列的单调性，即可求解。

【详解】因为=1-击，所以，-白心2）

1

由题意可知%2=%-1,1+册-1,2，（九23）,二Q42-4-1,2=4-1,1=1一^^，（n>3）,

1

即。足2一。九一1,2二1一矿，（九N3），

15

an,2=（%2-an-1,2）+（an-1,2~an-2,2）+…+（%2-a2,2）+a2,2=_+〃一5，

2n2z

1515111

入tan,2n-1,222n-322n-22n-32n~2

所以当nN3时，数列｛%]｝显然递增，又易知%02,2<100<旬032，

.♦.加的最小值为103,故应填103.

【点睛】本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中结合数列的性质，求出数列｛册才的通项公式是

解答本题的关键，综合性较强，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力。

（山东省泰安市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）

5.已知数列｛%｝中，a1=l,an+1=2an+l（ne/V）,S”为其前几项和，则S5的值为（）

A.57B.61C.62D.63

【答案】A

【解析】

试题分析：由条件可得%=1必=2%+1=3,%=2a2+1=7,a4=2a3+1=15,as=2a4+1~31,所以

S5=ai+a?++。4+。5=1+3+7+15+31=57,故选A.

考点：1.数列的递推公式；2.数列求和.

(晋冀鲁豫名校2018-2019年度高三上学期期末联考数学(理)试题)

16.已知数列0｝的前n项和为S”,%=a,%+i=Sn+3"，若%+i2时对6eN”成立，则实数a的取值范围是

【答案】］一9,+8)

【解析】

【分析】

由题意首先将递推关系式整理为关于Sn_l-3n+l=2(S4-3n)的形式，然后结合等比数列通项公式可得

=由前“项和公式确定通项公式，计算可得%+1-%=4*3"-1+(*3)*2晨2,结

合恒成立的条件可得a>3-12x(|)n-2恒成立，据此讨论可得实数a的取值范围.

nnn+1n

【详解】据题意，得：S„+1-Sn=5„+3,ASn+!=2S„+3,Asn+1-3=2(Sn-3).

nn

又S1-3】=a-3,.-.Sn-3=(a-3)-2~\

当n=l时，%=a；

当nN2时：

%=S”-S”_i=3"+(a-3)x2…-3"i-(a-3)X2*2=2x3"T+(a-3)X2”2,

n-1n-2

.­.an+1-an=4x3+(a-3)x2.

n2

又当nN2时，a”+i24恒成立，a>3-12x||)'^Vne/V,,ftn>.-.a>-9.

又。2=%+3,.'a22al成立.综上，所求实数a的取值范围是［-9,+8).

【点睛】给出％与时的递推关系，求常用思路是：一是利用时=5“-5“_］转化为小的递推关系，再

求其通项公式；二是转化为S,的递推关系，先求出S,与〃之间的关系，再求a“.

(河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学(文)试题)

6.已知等差数列｛4｝中，。3++7,%0=19,则数列acosnir｝的前2018项和为()

A.1008B.1009C.2017D.2018

【答案】D

【解析】

【分析】

=。4+7410=19,得

=2n-1,由COS几7T的周期性得Q]COS7T+Q2cos27r=a3cos37r+Q4cos47T=2=•••=a2017cos20177T

冗，

数歹U｛Q〃cosmr｝的前2018项和分组求和即可.

【详解】由题户+晨瑞1=+4+7,解得修二；，..叫=2八1,

设b”=coszur,则与+b2=a^cosn+a2cos2n=2,%+b4=a3cos3冗+a4cos4n=2,.....

数列｛%cosn7r｝的前2018项和为Sn=(g+b2)+(bi+b2)+—“+(b20i7+b20i8)=2x—^2018

故选：D.

【点睛】本题考查求等差数列通项公式，数列求和，关键是由cosmr的周期性，推得｛a/osmT｝每两项的和

为2,分组求和.

(山东省泰安市2019届3月高三第一轮复习质量检测数学文科试题)

14.若数列｛a“｝满足：%=1,an+-j=2Sn,则。4+。5+。6=.

【答案】234

【解析】

【分析】

由%+1=2S”，可得Sn+「Sn=2Sn，Sn+1=35„,可得故｛Sn｝为等比数列，且5n=3人1,可得

+a5+。6=$6-S3,可得答案.

a=

【详解】解：n+12Sn=Sa+1-=2Sn^>Sn+1=3Sn,

故｛SR为等比数列=S]・3"T=3"-1，

52

故。4+as+a6=S6-S3=3-3=234.

【点睛】本题主要考查数列的性质及数列前n的项的和，得出｛S”｝为等比数列，且Sn=3"i是解题的关键.

(山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题)

2n_1321

7.已知数列｛%｝的通项公式是%=——，其前n项和Sn=H，则项数n=()

“2”64

A.13B.10C.9D.6

【答案】D

【解析】

•.•数列｛斯｝的通项公式是%=2三”-1=1-13，则:

s-H)+H)+H)+-+H)

/I111\

=n——I---1---F•••H---n

[2482)

2

1

=n-14---.

2n

据此可得：〃T+>篙，求解关于碓方程可得n=6.

本题选择。选项.

（陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）

1111

16.数列品满足产+产+萨+…+1时=5+2n（neAT*）,贝帆=.

【答案】64

【解析】

【分析】

在｛%｝满足的关系式中，设或=3％，则左式即为｛勾｝的前八项和，由此可以利用数列的项与和的关系，求

得与，进一步求得。5,得到结果.

,11111

【详解】令0=方%,因为^^+『2+萨+…+乔0n=5+2n（neN*）,

所以有4+%+与+4+与=5+I。=15,

%++砥+=5+8=13,

两式相减得坛=2,所以05=25x2=64,

故答案是：64.

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有数列的和与项的关系，整体思维的运用，属于

简单题目.

（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）

11.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世

杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如

图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件.已知第一层

货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的卷.若这堆货物总价是100-200（高"万元，则兀

的值为（）

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为2X，万元，第三层货物总价为3乂（得）2万元，…,

第n层货物总价为八（［"T万元，可设这堆货物总价为叩万元，从而可得到

W=1+2x，+3x舄）2+舄尸利用错位相减法可求出W的表达式,结合力=100-200舄）“可

求出答案。

9Q

【详解】由题意，第•层货物总价为1万元，第二层货物总价为2x而万元，第三层货物总价为3x（亚产万

元，…，第n层货物总价为大舄）*1万元，设这堆货物总价为W万元，则

〃=l+2x\+3x（2）2+...+n.

—W=1X—+2x（—）2+3x（—）3+...+n-（—）n,

1010101010

两式相减得蓊=一n.（Q+1+2+舄产+■）3+…+（2.）-1

则W=-10”•（，）"+100-100-（^）n=100-200（，）”,

解得九=io,

故选D.

【点睛】利用错位相减求和是解决本题的关键，考查了学生利用数列知识解决应用问题的能力，属于中档

题。

【点睛】本题考查等差数列通项公式，等比数列性质，裂项求和，熟记等差等比通项及性质，准确求和是

关键，是中档题

（广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学（文）试题）

17.设S渥公比不为1的等比数列｛%｝的前施和.己知&3=|,53=:

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）设=3—n/若品=7-7—，求数列｛0｝的前71项和7\.

"3nbnbn+1

【答案】⑴即=6舄尸⑵品

【解析】

【分析】

（1）由题意布列基本量首项与公比的方程即可得到数列｛4｝的通项公式；（2）由（1）得四==2%

利用裂项相消法求和即可.

【详解】⑴设等比数列｛册｝的公比为q,则53=%+。2+。3=:+%+。3・

qq

因为＜23=2，$3=2，所以2q2-q-l=0.

解得q=l（舍去），q=-|.

%=。34"-3=6卜#1.

(2)由(1)得6“=-~—----na=2n>

n3n

所福晶*看

数列｛7｝的前沱项和771=-«+...........

4\223nn4-1/

__L_\_n

4\n4-1/4(n+1)'

【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方

法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：

=肃一中｝⑵师"向二两式-晒；⑶(2…)(2n+l)=赤h罚

1

(4)------------=i(E一两E〕；此外'需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或

n(n+l)(n+2)

多项的问题，导致计算结果错误.

(山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题)

18.已知等差数列｛%｝的公差d>0,其前n项和为S”，且55=20,成等比数歹(].

(1)求数列｛4｝的通项公式；

1

(2)令与=--------+n,求数列｛勾｝的前n项和7n.

an-an+l

“nn(n+1)

【答案】⑴%=几+1；(2)Tn=-——-+\<

2(。+2)Z

【解析】

试题分析：(1)由55=20可得5%+等d=20,

化为：%+2d=4.由。3，。5户喊等比数列，可得城=a3a8，(%+4d)2=(%+2d)(%+7d),d力0,

化为：%=2d.联立解得：4,d.即可得出a”.

1111

(2)bn=--------+n=+n=(——f+n利用裂项求和方法、等差数列的求和公式

即可得出.

试题解析：

(1)因为S<=/%+&)=a。,即%+。5=8

52

。3=4即Q1+2d=4,①

因为。3，。5&为等比数列，即片=%。8

所以(。1+4疔=(%+2翅0,+7£/),化简得：aA=2d@

联立①和②得：%=2,d=l

所以4=n+1

1111

(2)因为现=--------+〃=----------—+〃=(-----------\+n

an'an+i(,+1)S+2)Vn+1n+2/

所以k(4+l]+修T+2]+[(K)+3]+.•.+[岛-帚+可

，

=［r（/12-3lx）+（/3I_4lx）+（/4I-5lx）+",+（/^T1l-^T12）］+（1+r2+c3+-+n）

_zl_1un（n+l）

12n+2J2

nn（n+1）

一2（l+2）2

点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学

生的转化能力和计算求解能力.

（安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学（文）试题）

1

17.已知数列｛%｝中，a2a6=64,且，。先a”，/先册+1，l（neN"）成等差数列.

（1）求数列｛册｝的通项公式；

（2）若数列｛%｝满足拗=,…、:"——r,数列｛0｝的前几项和为求7n.

（an+l）（an+1+l）

11

【答案】（1）%=2"T（2）Tn=^---

220+1

【解析】

【分析】

（1）利用等差中项求解出公比5利用a2a6=64求解出首项％,从而得到通项公式；（2）得到"的通项公

式后，利用裂项相消求解了小

1

【详解】⑴•"。924，产先册+1，1成等差数列

1

2”引。取册+1=/。先册+1=>/o52an+1=log2'2an=>an+j=2an^,an>0

二数列｛册｝是等比数列，且公比q=2

=8

由a2a$=64得：a：=64^a4

n-4n-4n

an=a4q=8x2=2~\neN*)

2“T11

---------------------------------------------

(2)由(1)知，bn=

(2"T+l)(2n+1)2"T+12”+1

._/1_1\/1_1\/1_1\/1_1\

"Tn\2°+l21+ll+'21+l22+1)+\22+123+1'++'2n-2+l2n-1+1'+

11\_11

n-1n

2+12“+J22+l

【点睛】本题考查等比数列求通项以及利用裂项相消法求和，解题关键在于能够通过通项公式的形式进行

裂项，从而可以前后相消，得到最终关系式.

【点睛】本题主要考查了数列的综合(包含数列通项的求法，以及求和中错位相减)，易错点在于是否检

验n=1的情况，以及计算的失误，属于中档题.

(河北省唐山市2019届高三上学期第一次摸底考试数学(文)试题)

17.已知数列｛%｝是公差不为0的等差数列，。4=3,。2，。3，。5成等比数列.

(1)求4;

(2)设勾=八2%，数列｛或｝的前n项和为〃，求

【答案】(1)an=n-l.(2)7\=(。-1>2"+1

【解析】

【分析】

(1)设数列｛4｝的首项为%,公差为乙由。2，。3户5成等比数列，列出方程，求得d=l,即可得到数列的通

项公式；

(2)由(1)得与=".2-1,利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和.

【详解】(1)设数列瓜｝的首项为a”公差为d(d#0),则a尸aH(n—l)d.

因为a”a$成等比数列,

所以(a1+2d)-=(西+d)®+4d),

化简得，aid=0,

又因为dWO,

所以ai=0,又因为&产a1+3d=3,

所以d=l.

所以a„=n—1.

n

(2)bn=n•2

T„=l•2°+2•233•22H——|-n•2n-1,①

则2，=1•2l+2•22+3•23+-+n•2n②

①一②得，

,2n,n

-TI1=l+2+2+-+2"-n•2,

=(l-n)•2"-l.

所以，Tn=(n-1),2"+l.

【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数

列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，利用乘公比错位相减法，

准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，增大了难度，导致错解，试

题能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.

【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)

在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的

表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求

解.

(河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学(文)试题)

17.已知正项数列｛%-1｝是公差为2的等差数列，且你是a?与。3的等比中项.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若勾=册・%+2,求数列［的前n项和Sm

【答案】(1)a„=2n(2)=

【解析】

【详解】(1)•••数列｛4-1｝是公差为2的等差数列，

:.a/一1=eq—1+(九一1)2,・•・=2"十%—2

.".«2=%,%=4+4,又属是与。3的等比中项，

:.24=%(4+%),:.a；+4al-24=0„

，解得%=2(%=-6舍掉)

故数列｛%｝的通项公式为%=2n

11111

（2加=册.*2=4Q+2）,•・瓦=嬴不力逐厂1”）

111lz1111111、1,311、

btb2bn832435九九+2，82几+1〃+2，

111,11、1

【点睛】本题考查求数列通项公式，数列求和，注意,上>=石（——三石）的提系数3,和裂项后剩

on—71（〃十4onn-rz8

余几项是易错点.

（江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体2019届高三第一次联考数学

（理）试题）

17.已知递增的等差数列｛%｝前n项和为S”，若%.%,=16,54=20.

（1）求数列｛册｝的通项公式.

（2）若与=（一1）"一1工一，且数列｛0｝前n项和为7\,求7n.

1

【答案】（1）a=2n；（2）1+（-1）"-1-

n''n+1

【解析】

【分析】

（1）由题意列出关于％,。4的方程组，求解，进而求得d,即可得到通项公式.

（2）整理"=（-1）八1七+—二），代入〃的表示式子即可求解.

【详解】⑴由L二:二，且％<。4知：

p4=2（%+a4）=20H

公差d=C「IA可-%」=2，.••数列｛4｝的通项公式为%=2%

(2n+2)n

⑵S『n(n+1)

2

.(In4-1«12n+1=（T）飞1

勾=(-1)"i-i=(-1尸--------4-

Snn(n+1)nn+ir

1/I1…+（T）”价高-11

1+—I"|—H—I+

2,23,n+1'

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式，考查了裂项求和，属于基础题.

（山东省泰安市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）

18.已知等差数列｛4｝的前n项和为％,且a?=3,S4=16,数列砂峰满足4片+a2b2+..•+*,=n.

（1）求｛%｝的通项公式;

也+1)

(2)求数列的前几项和〃.

【答案】(1)一；(2)7\=土1---—

"2n-ln42n+1)

【解析】

【分析】

(1)首先利用已知条件建立与的首项与公差的方程组，求解与，再由递推关系式写出"22时的等式，作

差求出数列｛九｝的通项公式.

(2)利用(1)的结论，求出通项，利用裂项相消法求出数列的和.

【详解】(1)设首项为%,公差为d的等差数列｛%｝的前礴和为无,且。2=3,54=16,

,%+d=3

所以：LJx3解得：Q]=l/=2,

[4Q]H----a=16

所以：an=l4-2(n-l)=2n-l,

由于%%+a2b2+…+0nbn=n

故：1•瓦+3仍2+…+(2n-l)bn=n0,

所以:当n22时，I-61+3b2+-+(2n-3)bn=n-1@,

①-②得：(2n-l)bn=l,

11

所以：b=-~当n=l时与=1(首项符合通项)，故：b=-~

nZn-1nZn-1

1

(2)由于勾=白干所以：%+i_2n+l_111],

na,,2n-1(2n-l)(2n+1)义2n-12n+1/

s1/11111\1/

故：T„=—11--1---—+,,,+-------------1=—(1-------1

n2X3352n-12n+1)2\2n+1)

【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考

查了运算能力，属于基础题型.

(山东省蒲泽市2019届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题)

17.已知正项等比数列｛4｝中，％=|,且。2，。3，。4T成等差数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

1

(2)若母=，0。2堤+4,求数列｛6---｝的前几项和丁八.

Dn°n+1

V)

【答案】⑴%=2*-2⑵T”

【解析】

【分析】

(1)由等比数列和等差数列的通项公式列出方程可求公比q,由此能求数列｛an｝的通项公式.(2)写出数列

｛九｝的通项公式，然后利用裂项相消求和法可得结果.

【详解】(1)设等比数列｛%｝的公比为q

因为。2，。3，。4T成等差数列，

所以2a3=a2+。厂1，得2%q2=+a^3-1,

11.11,_11,

乂%=了则2x^q=-q+-q—1,即q=-Q+—1>

所以2q2=q+q3-2，所以2q?+2=q+q3,所以20+1)=q(q2+助，

所以(q2+l)(2_q)=0

显然q2+lH0，所以2-q=0,解得q=2

1

故数列｛%｝的通项公式册=ai/T==2n-

22n2

(2)由(1)知，bn=log2a^+4=log^^')+4=2log22~+4=2(n-2)+4=2n

11111、

A

bnbn+12n-2(n4-1)4nn+1

111111II11n

则丁八=%+与+…+"=7[(1-5)+(5一？+(丁7)+…+(----Z7)]=公(1__彳)~77~,

422334nn4-14n4-14(n+1)

【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项公式的应用，考查裂项相消求和法的应用，属于基础题.

(河南省濮阳市2019届高三下学期摸底考试数学(理)试题)

17.在数列｛册｝和等比数列｛"｝中，%=0,。3=2,6“=2%+i(neN*).

(1)求数列｛£｝及｛玛｝的通项公式；

(2)若。=%-bn,求数列｛cj的前n项和先.

nn+1

【答案】⑴%=n-l；bn=2;(2)Sn=4+(n-2)2.

【解析】

【分析】

(I)先求出公比，可得数列砂“｝的通项，从而可求｛%｝的通项公式；(II)利用错位相减法，可求数列｛Cn｝的

前〃项和%.

3

【详解】(I)依题意与=2,h3=2=8,

设数列｛九｝的公比为q,由"=2%+】>0,可知4>0，

由%=%.q2=2.q2=8,得q2=%又q>0,则q=2,

故bn=biqnT=2.2=T=2n,

又由2、+1=2%得%

n123n-1n

(II)依题意%=(n-1).2,Sn=0-2+1•2+2-2+...+(n-2)-2+(n-1).2,@

则2sn=0.2?+1.23+2-24+...+(n-2)•2"+(n-1)-2"+1②

o2_yfi+1

23nn+1n+1

0--Sn=2+2+...+2-(n-1)-2=—=------(n-1)-2.

1—2

即-Sn=-4+(2-n)-2n+1,i^S„=4+(n-2)-2n+1.

【点睛】本小题主要考查等比数列、数列通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数

与方程思想等.数列求和的常用方法有:分组求和，错位相减求和，倒序相加求和等.

(河北省沧州市2019年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试题)

1

17.已知数列｛“｝满足+1-an=0(n£N*),且。2，。3+2,。减等差数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

11

(2)令与—(n€N*),数列｛九｝的前nJ页和为加,求配的取值范围.

1-an1-an+1

2

n

【答案】⑴an=2(2)-l<Tn<--

【解析】

【分析】

(1)由题意可得数列｛册｝是等比数列，且公比为q=2.结合。2，。3+2A成等差数列求得数列的首项即可确

定数列的通项公式；

1.

(2)裂项求和可得7;=中——1,结合前〃项和表达式的单调性确定〃的取值范围即可.

2n+-1

1+1

【详解】(1)由六”+「册=0知——=2(neN*),.•.数列｛%｝是等比数列，且公比为q=2.

,an

,J+2,@4成等差数列，2(%+2)=。2+04*2(4。]+2)=2a〔+8al*'•%=2

・•.an=2"

T11\/11\/1111

n\1~al1~a2/11-。21~a3/11-怎l-a7i+J1-Q]1-Q〃+1

=_]_.1

1-2n+12"+1-1

2

易知7n单调递减,二7»1571=-§

当n->+8时，r„->-i

2

二〃的取值范围为-1<7占--

【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，列项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求

解能力.

【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知

S”和与的关系，求。痣达式，一般是写出S”i做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适

用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.

【点睛】这个题目考查了数列的通项公示的求法以及数列的和的求法；采用的是观察法，得到数列的周期,

进而得到数列的和.

(陕西省宝鸡市2019届高三高考模拟检测(二)数学(文科)试题)

1

n

17.设数列｛4｝满足%=2,an+1-an=2；数列｛b“｝的前n项和为无,且

(I)求数列｛a/和的通项公式；

(II)若求数列｛7｝的前n项和7n.

nn+1

【答案】(I)an=2,bn=3n-2；(11)Tn=10+(3n-5)-2

【解析】

【分析】

(I)根据数列递推式，利用累加法可得4,验证n=l也符合，可求出数列｛an｝的通项公式：将已知

11

Sn=2(3M-/)中的n换为n-l,得到Sn_i=2[3(“-l)2-(n-l)],作差可得"=3M-2,验证n=l也符合即

可.

(II)由7=(3"-2>2”,利用错位相减法求和即可.

【详解】(I)由已知，当“22时，

an=[(an-an-l)+(an-l-an-2)+-+(a2-al)]+%=(2"+2'一】+...+2)+2=2",

又因为%=2,所以数列的通项公式为%=2n.

因为Sn=2(3M-n),所以1)2-(M-1)](n>2),

两式作差可得与=3。-2,且与=4=1也满足此式，因此所求通项公式为却=3n-2.(H)由

n

an=2,bn=3n-2,可得％=(3n