2019-2020年浙江省绍兴市柯桥区北师大版九年级（上）期末数学试卷 解析版

2019-2020学年浙江省绍兴市柯桥区九年级（上）期末数学试卷

选择题（共10小题）

1.如果3〃=2b（9?#0）,那么比例式中正确的是（)

2X•——―c―DJJ•■—b^―-—2^―0X软一—=电D,包=电

b2a32332

2.下列事件中，是随机事件的是（）

A.三角形任意两边之和大于第三边

B.任意选择某一电视频道，它正在播放新闻联播

C.。是实数，|心0

D.在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球

3.已知O。的半径为4CMI,点P在。。上，则0P的长为（）

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

4.如图，△ABC的顶点A、B、C均在O。上，若NA8C+/AOC=75°，则/OAC的大小

5.如图，线段A3两个端点坐标分别为A（4,6）,B（6,2）,以原点。为位似中心，在第

三象限内将线段A8缩小为原来的工后，得到线段。，则点C的坐标为（）

A.(-2,-3)B.(-3,-2)C.(-3,-1)D.(-2,-1)

6.如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（）

SAEGD1

①西=1•；②岖=股；③AEDGs^CBG；

GB2ABBCSABGC4

A

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC,下列说法正确的有（）

①4。=立-142,②AC=@AB：AC^AC：BC,④AGO.618AB

22

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.如图，将边长为6的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为Si）变形为以点D为圆心,

O为半径的扇形（面积记为S2）,则S1与S2的关系为（）

A.Si=—^2B.Si<S2C.Si=S2D.Si>S2

3

9.若抛物线y=x?+依+6与x轴两个交点间的距离为4,称此抛物线为定弦抛物线.已知某

定弦抛物线的对称轴为直线x=2,将此抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位,

得到的抛物线过点（）

A.（1,0）B.（1,8）C.（1,-1）D.（1,-6）

10.如图坐标系中，0（0,0）,A（3,3心,B（6,0）,将△OAB沿直线C。折叠，使点

A恰好落在线段上的点E处，若0E=§,则AC：4。的值是（）

V

填空题（共6小题）

11.抛物线y=（尤-1）2-2与y轴的交点坐标是

12.计算：2sin245°-tan45°

13.如图，直线/l〃/2〃/3,直线AC交/i,/2,/3于点A,B,C；直线。尸交人，12,/3于点

则需

14.如图，点A,B,C均在6X6的正方形网格格点上，过A,B,C三点的外接圆除经过

A,B,C三点外还能经过的格点数为.

ZAOB=60°,OA=4,点C为弧A8的中点，。为半径OA上一

点，点A关于直线CD的对称点为E,若点E落在半径04上，则OE

(x-9)与坐标轴交于A、B、C三点，。为顶点，连结

AC,BC.点P是该抛物线在第一象限内上的一点.过点P作y轴的平行线交BC于点E,

连结AP交BC于点F,则里的最大值为

AF

三.解答题(共8小题)

17.一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个

小球不放回，再随机地摸出一个小球.

（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；

（2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率.

18.港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥.如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测

得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（C。的

长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°,测得8点的俯角为20。，求斜拉

索顶端A点到海平面8点的距离（A8的长）.（已知«F.732,tan20°-0.36,结果精

确到0.1）

19.如图，在锐角三角形A8C中，点。，E分别在边AC,AB±,AGL8C于点G,AF±

DE于点,F,ZEAF=ZGAC.

(1)求证：AADEsAABC；

20.如图，在△ABC中，AB=AC,是△ABC的外接圆，。为弧AC的中点，E是BA

延长线上一点，105°.

（1）求NCA。的度数；

（2）若的半径为4,求弧BC的长.

,E

21.我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务，据市场调查，天猫超市在销售一

种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价无（元）之间的

函数关系如图所示:

（1）当销售单价定为50元时，求每月的销售件数;

（2）设每月获得的利润为W（元），求利润的最大值;

（3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月获得的利

润不低于8000元，那么每月的成本最少需要多少元？（成本=进价X销售量）

22.如图①，是一张直角三角形纸片，NB=90°,AB=12,BC=8,小明想从中剪出一个

以为内角且面积最大的矩形，经过操作发现，当沿着中位线所剪下时，所得

的矩形的面积最大.

（1）请通过计算说明小明的猜想是否正确;

（2）如图②，在△ABC中，BC^10,BC边上的高40=10,矩形尸QMN的顶点尸、N

分别在边AB、AC上，顶点°、M在边上，求矩形PQMN面积的最大值;

(3)如图③，在五边形ABCDE中，AB=16,BC=23AE=10,C£>=8,/A=/B=

NC=90°.小明从中剪出了一个面积最大的矩形（NB为所剪出矩形的内角），求该矩

形的面积.

23.如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于8、C两点，抛物线y=-f+bx+c经过8、

C两点，与x轴另一交点为A,顶点为。.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在x轴上找一点E,使△EDC的周长最小，求符合条件的E点坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得/APB=/OCB?若存在，求出产亦的

24.已知：在。。中，弦ACJ_弦8。，垂足为“，连接BC,过点。作。E_L8C于点E,DE

(2)如图2,连接0C,若AC=8C,求证：0C平分NAC&

(3)如图3,在(2)的条件下，连接AB,过点。作QN〃AC交。。于点M若A8=

3A/10'DN=9.求sin/AOB的值.

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.如果3〃=2。（次?W0）,那么比例式中正确的是（）

Aa—3Db_2Qa_br\a_b

b2a32332

【分析】先逆用比例的基本性质，把3a=2b改写成比例的形式，使相乘的两个数a和3

做比例的外项，则相乘的另两个数b和2就做比例的内项；进而判断得解.

【解答】解：.：3a=2b,

•*ci'b=2：3,b：a=3：2,

即a：2=6：3,

故A,8均错误，C正确，。错误.

故选：C.

2.下列事件中，是随机事件的是（）

A.三角形任意两边之和大于第三边

B.任意选择某一电视频道，它正在播放新闻联播

C.。是实数，同三0

D.在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球

【分析】随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，根据定义即可判断.

【解答】解：4三角形任意两边之和大于第三边是必然事件，故选项不合题意；

2、任意选择某一电视频道，它正在播放新闻联播，是随机事件，故选项符合题意；

C、。是实数，间、0,是必然事件，故选项不合题意；

。、在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，是不可能事件，故选项不合题意.

故选：B.

3.已知。。的半径为4cm,点P在。。上，则OP的长为（）

A.2cmB.4cMiC.6cmD.8cm

【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解.

【解答】解：的半径为4c〃z,点尸在o。上，

.".OP=4cm.

故选：B.

4.如图，△ABC的顶点A、B、C均在O。上，若NABC+/AOC=75°，则/。4c的大小

是()

A.25°B.50°C.65°D.75°

【分析】根据圆周角定理得出/AOC=2NABC,求出N4?C=50°,再根据等腰三角形

的性质和进行内角和定理求出即可.

【解答】解：：根据圆周角定理得：ZAOC=2ZABC,

VZABC+ZAOC=15°,

；./AOC=2X75°=50°,

3

"：OA=OC,

J.ZOAC^ZOCA^l-(180°-ZAOC)=65°,

2

故选：C.

5.如图，线段A3两个端点坐标分别为A(4,6),B(6,2),以原点。为位似中心，在第

三象限内将线段缩小为原来的上后，得到线段C。，则点C的坐标为()

2

A.(-2,-3)B.(-3,-2)C.(-3,-1)D.(-2,-1)

【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标.

【解答】解：•••线段AB的两个端点坐标分别为A(4,6),B(6,2),以原点。为位似

中心，在第一象限内将线段4B缩小为原来的工后得到线段CD,

2

...端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半的相反数,

，端点C的坐标为：(-2,-3).

故选：A.

6.如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（

①电=1@AE=M；③AEDGs^CBG；@SaeGD=A.

GB2ABBC4

SABGC

C.3个D.4个

【分析】根据三角形的重心的概念和性质得到CE,3。是△ABC的中线，根据三角形中

位线定理得到DE//BC,QE=Lc,根据相似三角形的性质定理判断即可.

2

【解答】解：：点G是△ABC的重心，

；.CE,BD是△ABC的中线,

：.DE//BC,DE=1BC,

2

:.△DGEsABGC,

•••DG=1①正确;

GB2

AE股，②正确;

ABBC

AEDGs^CBG,③正确;

必暨_=(DE)2=X④正确,

^ABGCBC4

故选：D.

7.点C为线段AB的黄金分割点，且AOBC,下列说法正确的有（）

@AC=J^21AB,②AC=*一遍AB,@AB：AC=AC：BC,（4）AC^0.618AB

22

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可.

【解答】解：•••点C数线段AB的黄金分割点，

：.AC^^~1AB,①正确；

_2

AC=^^1AB,②错误；

2

BC-.AC=AC：AB,③正确；

AC^0.618AB,④正确.

故选：C.

8.如图，将边长为6的正六边形铁丝框ABCDEF(面积记为Si)变形为以点D为圆心,

O为半径的扇形(面积记为S2),则Si与S2的关系为()

A.Si=—^2B.Si<&C.Si=S2D.Si>S2

3

【分析】由正六边形的性质的长氤的长，根据扇形面积公式=Lx弧长X半径，可得

2

结果.

【解答】解：由题意：俞的长度=24,

.\&=AX24X6=72,

2

：Si=12X返X62=

42

：.S1>S2,

故选：D.

9.若抛物线y=/+a尤+6与x轴两个交点间的距离为4,称此抛物线为定弦抛物线.已知某

定弦抛物线的对称轴为直线尤=2,将此抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，

得到的抛物线过点()

A.(1,0)B.(1,8)C.(1,-1)D.(1,-6)

【分析】根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移

的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的

坐标特征即可找出结论.

【解答】解：二•某定弦抛物线的对称轴为直线x=2,

，该定弦抛物线过点(0,0)、(4,0),

该抛物线解析式为y=x(x-4)=/-4x=(x-2)2-4.

将此抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=(x

-2+2)2-4+3=/-1.

当％=1时，＞=/-1=0,

・•・得到的新抛物线过点（1,0）.

故选：A.

10.如图坐标系中，O（0,0）,A（3,3愿），B（6,0）,将△Q48沿直线CQ折叠，使点

A恰好落在线段OB上的点E处，若OE=旦,则AC：4。的值是（）

【分析】过A作AFL08于尸，如图所示：根据已知条件得到AF=3«,OF=3,OB

=6,求得NAOB=60°,推出△A02是等边三角形，得到/AOB=NABO=60°,根据

折叠的性质得到/CED=/OAB=60°,求得NOCE=/DEB,根据相似三角形的性质

得至ljBE=03-OE=6-2=处，设CE=cz,贝i|CA=a,CO=6-a,ED=b,则

55

DB=6-b,于是得到结论.

【解答】解：过A作AFLOB于R如图所示：

VA（3,3日），B（6,0）,

・・・A尸=3«,OF=3,05=6,

:・BF=3,

：.OF=BF,

：.AO=ABf

「tanZAOB=竺。尸处=如,

OF

ZAOB=60°,

/\AOB是等边三角形，

ZAOB=ZABO=60°,

・・,将△048沿直线线CQ折叠，使点A恰好落在线段08上的点石处，

：.ZCED=ZOAB=60°,

：.ZOCE=ZDEB,

:ACEOs^EDB,

•••O--E_--C-E-_CO一，

BDEDBE

：OE=g,

5

:.BE=OB-OE=6-2="

55

设CE=〃，则CA=〃，CO=6-a,ED—b,则AD=Z?,DB=6-b,

_6_

则工=亘，暮=至，

6-bb24b

5

：.6b=30a-Sab®,24a=30b-5ab②,

②-①得：24a-66=30b-30。，

•曳=z,

'T百’

即AC：AD=2：3.

11.抛物线y=（x-1）2-2与v轴的交点坐标是（0,-1）.

【分析】将尤=0代入y=（x-1）2-2,计算即可求得抛物线与y轴的交点坐标.

【解答】解：将x=0代入y=（x-1）2-2,得〉=-1,

所以抛物线与y轴的交点坐标是（0,-1）.

故答案为：（0,-1）.

12.计算：2sir>245°-tan45°=0.

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案.

【解答】解：原式=2X（返）2-1

2

1-1

=0.

故答案为：0.

13.如图，直线/1〃/2〃/3,直线AC交/1,12,/3于点A,B,C；直线。F交/1,h,△于点

D,E,F,已知胆=」，则变=2.

【分析】根据题意求出庭，根据平行线分线段成比例定理解答.

AB

【解答】解：•.•迪

AC3

・BC_9

AB

'：h//h//h,

•EF=BC=9

DEAB

故答案为：2.

14.如图，点A,B,C均在6X6的正方形网格格点上，过A,B,C三点的外接圆除经过

A,B,C三点外还能经过的格点数为

【分析】根据圆的确定先做出过A,B,C三点的外接圆，从而得出答案.

【解答】解：如图，分别作A&的中垂线，两直线的交点为。，

以。为圆心、OA为半径作圆，则。。即为过A,B,C三点的外接圆,

由图可知，。。还经过点。、E、尸、G、H这5个格点，

故答案为：5.

15.如图，扇形。4B中，ZAOB=60°,。4=4,点C为弧A2的中点，。为半径。4上一

点，点A关于直线C。的对称点为E,若点E落在半径上，则OE=4巫-4.

【分析】连接。C,作EfUOC于R根据圆心角、弧、弦的关系定理得到/AOC=30°,

根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到NECF=45°,根据正切的定义列式计

算，得到答案.

【解答】解：连接。C,作EBLOC于R

:点A关于直线CD的对称点为E,点E落在半径OA上，

：.CE=CA,

VAC=BC-

ZAOC=AZAOB=30°,

2

\'OA=OC,

；.NOAC=NOCA=75°,

：CE=CA,

.\ZCAE=ZCEA=75°,

：.ZCAE=30°,

：.ZECF=45°,

设EF=x,则尸C=x,

在RtZXEOF中，tan/EOF=皿，

OF

•••OF=—三

tan30

由题意得，QF+尸C=OC,即，§x+x=4,

解得，x=2yj~2~2,

VZEOF=30°,

：.OE=2EF=4y/3-4,

故答案为：4/3-4.

16.如图，抛物线>=-工(%+1)(%-9)与坐标轴交于A、B、C三点，。为顶点，连结

3

AC,8C.点P是该抛物线在第一象限内上的一点.过点尸作y轴的平行线交8c于点E,

连结AP交BC于点孔则空的最大值为.

AF一坐一

【分析】根据抛物线的解析式求得A、B、C的坐标，进而求得AB、BC、AC的长，根据

待定系数法求得直线BC的解析式，作PNLBC,垂足为N.先证明△PNES^BOC,由

相似三角形的性质可知PPN=-^-PE,然后再证明△PEVS^AFC,由相似三角形的

10

性质可得到PF：AF与机的函数关系式，从而可求得空的最大值.

AF

【解答】解：：抛物线y=-工(x+1)(x-9)与坐标轴交于A、B、C三点，

3

AA(-1,0),B(9,0),

令％=0,则y=3,

：.C(0,3),

BC=VOB2-K)C2=3'/^

设直线BC的解析式为y=kx+b.

...将2、C的坐标代入得：19k+b=。，解得上=一上，b=3,

lb=33

直线BC的解析式为y=-L+3.

3

设点尸的横坐标为相，则纵坐标为-工(〃z+l)(m-9),点E(m,-Lw+3),

33

PE—-A(m+1)(m-9)-(-L〃+3)=-^nt2+3m.

333

作PN_LBC,垂足为N.

：PE〃y轴，PN1BC,

；.NPNE=NC0B=9U°,ZPEN=ZBCO.

:.丛PNEs^BOC.

•PN=OB=9

"PEBC371010

PN=2/^PE=2/^(-Xm2+3m).

10103

•：AB2=(9+1)2=100,AC2=l2+32=10,BC2=90,

:.AC2+BC2^AB2.

：.ZBCA^9O°,

又,：/PFN=/CFA,

:.APFNsAAFC.

3^10/12,„)

，里=里=io._上层-J_(…9)2+红

AFACV10101010240

9

...当根=-----2一=9■时，空的最大值为&L.

2X(,)2AF40

故答案为gL.

40

三.解答题（共8小题）

17.一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个

小球不放回，再随机地摸出一个小球.

（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；

（2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率.

【分析】（1）画树状图列举出所有情况；

（2）让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率.

【解答】解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：

从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种.

（2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，

...摸出的两个小球号码之和等于4的概率为2=工.

63

18.港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥.如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测

得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（8的

长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30。，测得8点的俯角为20。，求斜拉

索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）.（己知«仁1.732,tan20°^0.36,结果精

确到0.1）

【分析】在RtZXAC。和RtaBC。中，根据锐角三角函数求出A。、BD,即可求出

【解答】解：如图，由题意得，在△A8C中，CD=100,ZACD=30°,ZDCB=20°,

CD±AB,

在RtZvtCD中，AO=CD・tan/Aa）=100x1257.73（米）,

3

在Rt/XBC。中，8D=CD・tan/8CD"100X0.36-36（米），

.•.AB=AO+OB=57.73+36=93.73-93.7（米），

答：斜拉索顶端A点到海平面B点的距离A8约为93.7米.

D■c

B

19.如图，在锐角三角形ABC中，点。，E分别在边AC,AB±,AG_L8C于点G,AF±

DE于点、F,ZEAF=ZGAC.

(1)求证：△ADEsAABC；

【分析】（1）由于AGLBC,AF±DE,所以NAPE=NAGC=90°,从而可证明/4即

=ZACB,进而可证明△ADES/XABC；

（2）LADEsAABC,又易证△EApsZ\cAG,所以鲤从而可知

ABACAGAC

AFAD

AG'AB"

【解答】解：（1）\'AG±BC,AFIDE,

：.ZAFE=ZAGC=90°,

,：ZEAF=ZGAC,

：.ZAED=ZACB,

,：ZEAD^ZBAC,

：.AADEsAABC,

（2）由（1）可知：△AOES/XABC,

-AD_AE=3

"AB=AC~5

由（1）可知：ZAFE^ZAGC^90°,

：.ZEAF=ZGAC,

:.△EAFsXCAG,

•••A-F---A-E,

AGAC

•••AF_3

AG5

另解：'：AG±BC,AF±DE,

△ADEs^ABC,

.AF=AD=2

"AGABT

20.如图，在△ABC中，AB=AC,O。是△ABC的外接圆，。为弧AC的中点，E是BA

延长线上一点，ZDAE=105°.

（1）求NC4。的度数；

（2）若。。的半径为4,求弧8C的长.

【分析】（1）由AB=AC,得到第=/，求得/ABC=/ACB,推出/CAZ）=/ACD,

得到/ACB=2/ACr）,于是得到结论；

（2）根据平角的定义得到乙BAC=40°,连接。8,OC,根据圆周角定理得到/BOC=

80°,根据弧长公式即可得到结论.

【解答】解：（1）'：AB=AC,

AB=AC-

ZABC^ZACB,

•••。为孩的中点，

AD=CD，

：.ZCAD=ZACD,

**•AB=2AD，

・・・ZACB=2ZACD,

又・・・NDAE=105°,

：.ZBCD=105°,

ZAC£>=Ax105°=35°，

3

：.ZCAD=35°；

(2)VZDAE=105°,ZCAD=35°,

：.ZBAC=40°,

连接08,OC,

：.ZBOC=SQ°,

.•.弧BC的长=8071x42=322L.

3609

21.我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务，据市场调查，天猫超市在销售一

种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价无（元）之间的

函数关系如图所示：

（1）当销售单价定为50元时，求每月的销售件数；

（2）设每月获得的利润为W（元），求利润的最大值；

（3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月获得的利

润不低于8000元，那么每月的成本最少需要多少元？（成本=进价义销售量）

【分析】(1)设y=fcv+6,把(40,600),(75,250)代入，列方程组即可.

(2)根据利润=每件的利润X销售量，列出式子即可.

(3)思想列出不等式求出x的取值范围，设成本为S,构建一次函数，利用二次函数的

性质即可解决问题.

【解答】解：⑴设厂质+6,把(40,600),(75,250)代入可得140k+b=600,

l75k+b=250

解得：(k=-1°,

lb=1000

；.y=-10x+1000,

当x=50时,y=-10X50+1000=500(件)；

(2)根据题意得，W=(x-40)(-lOx+1000)

=-10?+1400尤-40000

=-10(x-70)2+9000.

当x=70时，利润的最大值为9000；

(3)由题意,“7：，

2

k-10x+1400x-40000>8000

解得60WxW75,

设成本为S,

.,.S=40(-lOx+1000)=-400A+40000,

-400<0,

.♦.S随x增大而减小，

；.x=75时，S有最小值=10000元，

答：每月的成本最少需要10000元.

22.如图①，是一张直角三角形纸片，NB=90°,AB=12,BC=8,小明想从中剪出一个

以N8为内角且面积最大的矩形，经过操作发现，当沿着中位线。£、E尸剪下时，所得

的矩形的面积最大.

(1)请通过计算说明小明的猜想是否正确；

(2)如图②，在△ABC中，8c=10,8c边上的高AD=10,矩形尸QWN的顶点P、N

分别在边A3、AC上，顶点。、M在边3c上，求矩形PQMN面积的最大值；

(3)如图③，在五边形A8CDE中，48=16,BC=20,AE=10,CD=8,ZA=ZB=

NC=90°.小明从中剪出了一个面积最大的矩形(/B为所剪出矩形的内角)，求该矩

积公式得出S矩形BDEF=-—(X-6)2+24,即可得出结论；

3

(2)设DE=a,AE=lO-a,则证明△APNS/XABC,进而得出PN=10-a,利用面积

公式S矩形MNPQ=-(4-5)2+25,即可得出结果；

(3)延长BA、DE交于点F,延长BC、ED交于点、G,延长AE、CD交于点H,取8尸

中点/,PG的中点K,连接/K,过点K作KZABC于L由矩形性质知10、

CD=DH=8,分别证aAE/丝△//££)、ACDG会AHDE得AF=DH=8、CG=HE=13

从而判断出中位线/K的两端点在线段A3和。E上，利用(1)的结论解答即可.

【解答】解：(1)正确；理由：

设(0<x<12),

：AB=12,

'.AF—12-x,

过点F作FE//BC交AC于E,过点E作ED//AB交BC于。，

四边形8OEP是平行四边形，

'：ZB=90°,

“BDEF是矩形，

"."EF//BC,

：./\AFE^AABC,

.AF=EF

"ABBC，

•••-1-2---x_-E-F,

128

:.EF=2(12-X),

3

:.S短彩BDEF=EF,BF=2L(12-尤)•尤=-—(x-6)2+24

33

...当X=6时，S矩形BDEF最大=24,

.\BF=6,A尸=6,

：.AF=BF,

...当沿着中位线。£、防剪下时，所得的矩形的面积最大；

(2)设£>E=a,(0<a<10),

,/AD=10,

；.AE=10-a,

•/四边形MNPQ是矩形，

：.PQ=DE=a,PN//BC,

：.△APNs/xABC,

•PN=AE

"BCAD"

-PN=10-a

•下10

：.PN=1O-a,

:•S矩形MNPQ=PN*PQ=(10-a'),a=-(a-5)2+25,

当a=5时,s矩形MNPQ最大为25;

(3)延长A4、DE交于点F,延长3。、ED交于点、G,延长AE、CD交于点H,取3尸

中点/,/G的中点K,连接/K,过点K作KLL8C于3如图③所示：

VZA=ZB=ZC=90°,

・•・四边形A3cH是矩形，

VAB=16,BC=20,AE=10,0)=8,

:・EH=1U、DH=8,

:・AE=EH、CD=DH,

，ZFAE=ZDHE=90°

在△AEf'和△»£!)中，，AE=EH，

1ZAEF=ZHED

:.AAEF义AHED(ASA),

，AF=OH=8,

：.BF=AB+AF=16+8=24,

同理△C£)G丝△"£)£,

：.CG=HE=10,

.,.BG=2C+CG=20+10=30,

A12,

2

'：BI=12<16,

：.中位线IK的两端点在线段AB和DE上，

：.IK=1.BG=15,

2

由(1)知矩形的最大面积为B/・/K=12X15=180.

图③

23.如图，直线y=-x+3与无轴、y轴分别交于8、C两点，抛物线y=-/+bx+c经过8、

C两点，与x轴另一交点为A,顶点为。.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上找一点E,使△££＞（7的周长最小，求符合条件的E点坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得/AP8=/0C8?若存在，求出P82的

值；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)求出点8、C的坐标分别为(3,0)、(0,3),将点8、C的坐标代入二次

函数表达式，即可求解；

(2)如图1,作点C关于x轴的对称点C',连接C。'交x轴于点E,则此时EC+即

为最小，△EDC的周长最小，即可求解；

(3)分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，由勾股定理可求解.

【解答】解：(1)直线y=7+3与x轴、y轴分别交于2、C两点，则点8、C的坐标分

别为(3,0)、(0,3),

将点2、C的坐标代入二次函数表达式得：

19+3b+c=0,解得：。=2,

Ic=3