2020-2021学年浙江省台州市高二（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年浙江省台州市高二（上）期末数学试卷

一、选择题（共10小题）.

1.直线无-y+2=0的倾斜角为（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

2.若空间一点M（a-1,0,1+1）在z轴上，贝（Ja=（）

A.-1B.0C.1D.2

3.双曲线？-工!_=1的渐近线方程为（

)

4

A.y=±-^-xB.y=±-^-x

C.y=±2xD.尸土4尤

42

4.在正方体ABCD-AbBiGOi中，E是CG的中点，则直线与直线BE所成角的余弦值

为()

A.春B.返「疾C2娓

2255

5.已知圆Ci：(x-2)2+(y+4)2=16,圆C2：x2+y2+2x-3=0,则两圆的公切线的条数

为()

A.1B.2C.3D.4

6.已知a,0是两个不同的平面，/是一条直线，且/La,则，，0”是“a〃印'的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知抛物线N=4y的焦点为E准线为/,M是x轴正半轴上的一点，线段交抛物

线于点A,过A作/的垂线，垂足为8.若B—BM,则下M|=（）

57

A.4B.3C.《D.4

22

8.某几何体的三视图如图所示（单位：CM1）,则该几何体的体积（单位：cm3）是（）

俯视图

9.如图，在侧棱垂直底面的三棱柱ABC-AbBiG中，ZBAC=90°,AB=AC==hh[,

D,E分别是棱AB,81cl的中点，尸是棱CG上的一动点，记二面角。-EE-8的大小

为a,则在f从Ci运动到C的过程中，a的变化情况为()

A.增大B.减小

C.先增大再减小D,先减小再增大

22

10.如图，Fi,B分别是双曲线t-31仁>0,b>0)的左、右焦点，点尸是双曲线

与圆N+y2=q2+62在第二象限的一个交点，点。在双曲线上，且卜P一：FDQ，则双曲线

的离心率为()

A710RV17rV39nV37

2345

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11.已知空间向量残=(2,-1,2),b=(-1,0,3),贝l|a|=,a+b=-

12.已知直线/i：-3=0与/2：3x-y+l=0.若h〃I2,则机=；若/I_L/2,则

13.已知圆锥的底面积为iicm2,高为则这个圆锥的侧面积为cm2,圆锥的

内切球(与圆锥的底面和各母线均相切的球)的表面积为cm2.

14.已知平面内两点A(-1,0),B(3,0),动点P满足而•瓦二1，则点P的轨迹方

程为，点P到直线3x+4y+12=0的距离的最小值为.

15.在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA,PB,PC两两垂直，PA=1,PB=2,且△ABC的

面积为遥，则PC的长为.

16.在平面直角坐标系尤Oy中，设点P(xi,yi),Q(尤2,yi),定义：||尸。||=出-X2|+|yi

2

-J2|.若点A(1,0),点B为椭圆*-+y2n=]上的动点，则IIABII的最大值为.

17.如图，在△A8C中，AC=l,BC=M，C=5"，点。是边AB(端点除外)上的一动

点.若将△AC。沿直线CD翻折，能使点A在平面BCD内的射影A落在△BCD的内部

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.已知圆C的圆心为(2,1),且经过坐标原点.

(I)求圆C的标准方程；

(II)直线x+y-1=0与圆C相交于A,8两点，求|A8].

19.如图，在长方体42。-4由1。。1中，AB=BC=2AAi,。1是底面AiSGDi的中心.

(I)求证：平面AC。；

(II)求二面角。LAC-。的平面角的余弦值.

22

20.如图，已知椭圆¥V-l(a>b>0).。为坐标原点，C(2,0)为椭圆的右顶点，

A,8在椭圆上，且四边形0AC8是正方形.

(I)求椭圆的方程；

(II)斜率为左的直线/与椭圆相交于P，。两点，且线段尸。的中点/恰在线段A8上,

求k的取值范围.

B

21.如图，在四棱锥尸-ABC。中，AD//BC,AB=AD=CD=\,BC=2.平面P8D_L平面

ABCD,△PBC为等边三角形，点E是棱BC上的一动点.

(I)求证：CO_L平面PBD-,

(II)求直线PE与平面所成角的正弦值的最大值.

22.如图，过点P(0,-1)的直线/i与抛物线V=x相交于A,8两点(A在第一象限)，

且交尤轴于点过点A的直线/2交抛物线于另一点C,且交x轴于点N,ki,依分别是

直线/i,/2的斜率，且满足2所+依=0.记4AMN,ZkABC的面积分别为Si,

(I)若h=2,求/2的方程；

S1

(II)求U的取值范围.

b2

参考答案

一、选择题（共10小题）.

1.直线17+2=0的倾斜角为（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

解：•・•直线］->+2=0的斜率％=1,

JT

,直线x-y+2=0的倾斜角Q^―.

4

故选：A.

2.若空间一点M（a-1,0,1+1）在z轴上，则a=（）

A.-1B.0C.1D.2

解：•・•空间一点M（。-1,0,1+1）在z轴上,

'.a-1=0,解得〃=1.

故选：C.

2

3.双曲线N-工_=1的渐近线方程为（）

4

B.尸土/尤

A.尸土4•尤C.y=±2xD.y=±4x

4

222

解：因为双曲线*2一匚=1，所以双曲线-上-=1的渐近线方程为x2-X-=0,

444

即尸土2x.

故选：C.

4.在正方体中，E是CG的中点，则直线与直线8E所成角的余弦值

为（）

A.—B.返C.遮D.

2255

解：由题意可知，几何体的图形如图，

直线AD与直线BE所成角就是直线BC与直线BE所成角，

设长方体的棱长为2,

所以直线AD与直线BE所成角的余弦值为：

BC__2_2V5

故选：D.

5.已知圆Ci：(尤-2)2+(y+4)2=16,圆C2：x2+y2+2x-3=0,则两圆的公切线的条数

为()

A.1B.2C.3D.4

解：圆心是Ci(2,-4),半径是n=4；

圆C2：/+y2+2工-3=0化为标准形式是(x+1)2+y2=4,

圆心是Ci(-1,0),半径是n—2；

贝i||GC2|=5<ri+，2,

两圆相交，公切线有2条.

故选：B.

6.已知a,0是两个不同的平面，/是一条直线，且/La,则是“a〃0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解：由/La,Z±p,得：a〃0,是充分条件，

由a//p,l±a,得：/_L0,是必要条件，

故选：C.

7.已知抛物线x2=4y的焦点为R准线为/,M是x轴正半轴上的一点，线段NW交抛物

线于点A,过A作/的垂线，垂足为艮若则|FM|=()

57

A.4B.3C.3D.4

22

解：由抛物线N=4y的方程可得：焦点为尸(0,1),准线方程为y=-l,

设M(a,0),则直线MF的方程为：--x+1,

a

2

设A(xi,X1)，则8(xi,-1),

4

因为所以丽•百J=0,

即(-%1,2)•(a-xi,1)=0,

所以％J一的+2=0,①

,1整理可得：x2+—x-4=0,

y=—x+14

a

所以婷+国xi-4=0,②，

a

,46a

由Q)-(2)—)x\-6=0,x\=""n(3)

aa+4

*22

将③代入①可得：笑广笔一+2=0,

(a+4)a+4

整理可得：a4-la2-8=0,〃>0,解得：。=2衣,

所以尸MRF+Q近）2=3,

故选：B.

8.某几何体的三视图如图所示（单位：C%）,则该几何体的体积（单位：（:加3）是（

正视图侧视图

俯视图

解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体A-BCD；

如图所示:

故选：A.

9.如图，在侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A山Ci中，ZBAC=90°,AB=AC=

1'

D,E分别是棱AB,31cl的中点，尸是棱CG上的一动点，记二面角。-EF-8的大小

为a,则在/从Ci运动到C的过程中，a的变化情况为（）

A.增大B.减小

C.先增大再减小D.先减小再增大

解：如图，平面BEF固定,

由。向平面BE尸作垂线，垂足在BC边的四等分点处，

只需考虑清楚垂足到直线EF的变化情况，

如下图所示，当垂直交于正方形外的时候，距离先变大,

/1

再到垂直相交于正方形内的时候，距离变小，

...记二面角D-EF-B的大小为a,

则在厂从Ci运动到C的过程中，a的变化情况为先减小再增大.

故选：D.

10.如图，Fi,B分别是双曲线《-令1匕〉0,b>0）的左、右焦点，点尸是双曲线

1・1.

与圆N+y2=a2+62在第二象限的一个交点，点。在双曲线上，且FP二FDQ，则双曲线

13”

的离心率为（）

2(a2+2b2)

2上“2_2^,2_2

x+y-a+b-cx-2

c

解得《

2b4

y=­

.________,2

・・,尸在第二象限，：.P(-^/a2+2b2,k_),

__________,2____

J=mc,

设。(加，〃),则F[1二(c-j/a2+Zb2，—)»F2Q^~门)，

由用与0呜(m.c)=c-正蓝,

°OC□C

.•.加=4。-3aJa」+止,“=比，

CC

222222

T7m2n2.16c24^/c+b9(c+b)9b.

又R-讨j..--------a-H------2---------厂4

abaacc

442

化简得：土亍-142万+100，即2e4-7e2+5=0,

aa

解得：­或e?=l(舍).

可得e=H(e>l).

2

故选：A.

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11.已知空间向量a=(2,-1,2)，b=1,0,3)，则|a|=3,?+b=(1，一

1,5).

解：•・•空间向量£(2,-1,2)，b=(-l,0,3)，

la|=^22+(-1)2+22=3)

a+b=(1，一1，5).

故答案为：3,(1,-1,5).

12.已知直线/i：3+2y-3=0与/2：3x-y+l=O.若/i〃&,则m=-6；若/I_L/2,则

2

m=—.

—3—

解：、•直线/i：mx+2y-3=0与/2：3x-y+l=O.l\//h,

••百F声了’

解得m=-6；

当/I_L/2时，3m-2=0,

9

解得

o

故答案为：-6,

o

13.已知圆锥的底面积为m:源，高为则这个圆锥的侧面积为2ncm2,圆锥的内

切球（与圆锥的底面和各母线均相切的球）的表面积为等cm2.

解：♦..圆锥的底面积为何小，

圆锥的底面半径为1,

画出圆锥和内切球的轴截面，设内切球的球心为。，如图所示：

2222=2,

则BC=2,^=AC=^AD+DC=V(V3)+l

AnX1X2=2n,

=

•SAAOB—S/\BOCSAAOCf

：.-"ABT+^ACT+^-'BCT=—'BC-AD,

2222

(2+2+2)•r=-^-X2X1/3，

.a

••r,

3

•••圆锥的内切球的表面积为4n•产=等，

O

MM•心dc4兀

故答案为：2K,

14.已知平面内两点A(-1,0),B(3,0),动点尸满足施•杳=1，则点P的轨迹方

程为。+丫2-2元-4=0,点P到直线3x+4y+12=0的距离的最小值为_3-遥

解：设点P(羽y),

则PA=(-l-x,-y),PB=(3-X,-y),

所以强•丽=(-l-x)(3-x)+y2=］，

整理可得x2+y2-2x-4=0,

故点P的轨迹方程为x2+y2-2尤-4=0；

将N+俨-2x-4=0变形为(x-1)2+y2=5,

所以圆心为(1,0),半径r=

1151

则圆心到直线3x+4y+12=0的距离为d'f-~=3,

由圆的性质可得，点P到直线3尤+4y+12=0的距离的最小值为d-r=3-遥.

故答案为：x2+y2-2x-4=0；3-A/5.

15.在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA,PB,PC两两垂直，PA=1,PB=2,且AABC的

面积为迷，则PC的长为2.

解:如图，

过尸作POLAB,垂足为。，连接CD

'JPCLPA,PCLPB,且P8nP8=P,PA,P3u平面PA8,

；.PC_L平面PA8,贝I|PC_LAB,

又PCCPD=P,PC、POu平面PC。，得平面PC。，

：.AB±CD,

\"PA=1,PB=2,：.AB=y/s>

SAABC卷X泥XCD=圾，得CD=^^~.

由等面积法求得PQ=2工巨，

故答案为：2.

16.在平面直角坐标系xOy中，设点尸(xi,yi),Q(如＞2),定义：11尸。11=|为-垃|+|川

2

-y2|.若点A(l,0),点5为椭圆]-+了2二1上的动点，则IH和的最大值为—愿+1_.

解：由椭圆的参数方程可设点5(&COS8,sinQ),0e[0,n]

则||A3||=h/^cos8-l|+|sin0|=sin9+|^/2cos0-11,

TT

要使||A3||最大，需8c[―^―,兀],

此时||A5||=sin8+l-、/^cos8=^/3sin(0-(p)+1,(tan(p=&),

所以当sin(0-(p)=1时，||AB||max=V3+b

故答案为：Vs+i-

17.如图，在△ABC中，AC=lfBC=M，。=卷，点。是边AB(端点除外)上的一动

点.若将△AC。沿直线CD翻折，能使点A在平面BCD内的射影A落在△BCD的内部

VA4,_L平面BCD,过作设E_LCD,连接AE,可得设ELCD,

即A'在过A与CD的垂线AE上，又4C=Y2,贝IJA'在以C为圆心，以互为半径的

33

圆弧上，且在△8C。内部.

分析极端情况：

①当A'在2C上时，ZACE+ZCAE=90°,ZCAE+ZCA'A=90°,可得NCA'A=

ZACE,设为a,

13-sina.

在RtACA'A中，tana=J7WcosCL,且sin2a+cos2a=1,可得sinQ=-y,

4

设NEC8=B，ZC£>A=y,贝！Ja+0=9O°,y=p+30°,

J~73

贝！Jsin0=cosa=----，cosp=sinCl=—,

44

C0Sp

•,.sinY=sin（0+30。）=^-sinP-4

NNN4N4K

AC二AD

在△CZM中，由正弦定理可得:即sinY=sind

sinYsina

3

_sina_4_V21-3

'sinT&1+32

-8-

当A'在AB上时，＜CDLAB,此时f=AC・cos60°=1义13

•••A'在△8CO的内部(不包含边界)，.1的取值范围是弓，吗受)，

故答案为：g,吗金)・

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.已知圆C的圆心为(2,1),且经过坐标原点.

(I)求圆C的标准方程;

(II)直线x+y-1=0与圆C相交于A,B两点,求|A3|.

【解答】(I)解：由题意知，圆的半径r=|0C|=F7I=旄,

；•圆的标准方程为(x-2)2+(j-1)2=5；

12+1-11

(II)解：圆心C(2,1)至U直线x+y-1=0的距离d==V2>

|AB|=27r2-d2=2V3-

19.如图，在长方体ABC。-A由ICLDI中，AB=BC=2AAi,。1是底面AiBiCid的中心.

(I)求证：。由〃平面AS；

(II)求二面角。1-AC-。的平面角的余弦值.

B

解：(I)证明：连接8。交AC于点O,连接Di。，连接Bid,

由长方体的性质知8。=。1。1,S.BO//O1D1,

故四边形BOiDiO是平行四边形，

所以OiB〃£h。.

又因为AOu平面AC5,平面AC。，

所以58〃平面ACP.

(II)：设AB=BC=2AAi=2,由长方体底面ABC。是正方形，得。。_LAC.

因为。iA=£hC,。是AC的中点，所以。10LAC,

所以/。。。是二面角Dr-AC-D的平面角.

在直角三角形。。。中，/。1。。=90°,ObD=AAi=l,r>6»=yDB=V2.所以D[0=百,

得cos/D]0D=D=咚,

U]u0

20.如图，已知椭圆¥+^=l(a>b>0).。为坐标原点，C(2,0)为椭圆的右顶点,

ay

A,B在椭圆上，且四边形。4%是正方形.

(I)求椭圆的方程；

(H)斜率为左的直线/与椭圆相交于P,。两点，且线段PQ的中点M恰在线段上,

求k的取值范围.

解：(I)由题意a=2,

又由椭圆过点(1,1).得;G■二1，

41/

解得b2=4.

O

22

xy

所以椭圆的方程为工木=1.

~3

(II)设直线I的方程为y=kx^-m,

代入椭圆方程N+3y2=4,

得(3F+1)N+6左mx+3M2-4=0,

所以△=3642/-4(3F+1)(3m2-4)>0,

得12N-3m2+4>0.

设尸(xi,%),Q(%2,丁2)，MGo,yo),

X1+x23km,m

所以x()=」,,yn=kXn+m=9

23k2+13k2+1

因为尸。的中点恰在线段AB上，所以一欠3km私=1

3kJ+l

3k2+1

得皿=

3k

m1

所以y()n

3k2+13k'

由yoe(-1,1),

得-1<一1-<1,

解得k€(-8,q)UA，3).

21.如图，在四棱锥P-ABC。中，AD//BC,AB=AD=CD=1,BC=2.平面平面

ABCD,△PBC为等边三角形，点E是棱BC上的一动点.

(I)求证：CZ)_L平面PBD；

(II)求直线PE与平面所成角的正弦值的最大值.

【解答】（I）证明：由题意，得BD=«,所以80+82=忒咒故

又因为平面尸8。_1_平面ABCD,平面PRDA平面ABCD=BD.

所以C£»_L平面PBD.

（II）解：如图，以点。为原点，

分别以。8,0c所在的直线为无轴，y轴，以过点。垂直于底面的直线为z轴,

建立空间直角坐标系D-xyz.

由题意知，A亭，得，0）,B（V3-0，0），C（0,1,0）.

过点尸作直线PP1与8。垂直，且尸尸mB£）=Pi.

因为尸2。_1_平面ABCD,平面PBDn平面ABCD=BD,

所以PP」平面ABCD

又由PB=PC,得PB=PC,所以点Pi在线段BC的中垂线上.

BPIA

由对称性可知，A,Pi,C三点共线.由得

PlD

所以8尸1=尊1,又由尸2=2,得「尸产耳耳.

33

所以，点尸的坐标为（亨，0,竽■）.

DP=哼,0,孚），翁哼,0）,

设平面PA。的法向量^=（x,y,z）.

5M^挈z=o_.

<f—，取工=&，贝％=