2023年甘肃省兰州市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析)

2023年甘肃省兰州市成考专升本数学（理）

自考真题（含答案带解析）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.若a>b>0,则（）

A.A.

B.R1

C.t../-</

D.

已知焦点在1轴上的确%+（=】的焦距等于2,则该椭圈上任一点P到两焦点的距

2.*之和为（）

（）

A.A.8

B.B.275

C.4

DJ>.2万

3.

第14题已知圆的方程为X2+y2+2x-8x+8=0,过P（2,0）作该圆的切线，则

切线方程为（）

A.7x+24y-14=0或y=2

B.7x+24y-14=0或x=2

C.7x+24y+14=0或x=2

D.7x-24y-14=0或x=2

4.二次函数y=(l/16)x2的图象是一条抛物线，它的焦点坐标是()

A.A.(-4,0)B.(4,0)C.(0,-4)D.(O,4)

5.等差数列｛an｝中，前4项之和S4=l,前8项之和S8=4,贝!]

al7+al8+al9+a20=()

A.A.7B.8C.9D.10

已知/(*)是偶函数,定义域为(-8,+8),且在[0,+8)上是减函数，设『=

-a+1(aeR),则()

(叫-'三/(0)(D)U)W〃P)

(7)设命噩甲：*-1.

命题乙：直线y«H与直线y««♦1平行.

(A)甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件

(B)甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件

(C)甲不姑乙的充分条件也不是乙的必要条件

(D)甲用乙的充分必要条件

8.棱长等于1的正方体内接于一球体中，则该球的表面积是()

A.A.371

B.R2V3X

C.6兀

D.9兀

9.已知f(x)是偶函数，定义域为(-8,+00),且在［0,+00)上是减函数,

设P=a2-a+l(a£R),则()

A.A.O>/⑺

B,1-：)<"

D(：)w"

等差数列｛4｝中，若q=2.4=6,我J4=

]0(A)3(B)4(C)8(D)12

]]已知一号•VTVO.且sinx-+-cos工=3•.则cos2H的值为

A.-7/25B.7/25C,-7/25或7/25D.12/25

2*-ItX-1=

函数，=仃+皿力是

(A)偶函数而非奇函数

(B)奇函数而非偶函数

(C)非奇非偶函数

12(D)既是奇函数又是偶函数

13.若a=(L5,-2),b=(m,2,m+2),且a_Lb,则m的值为0

A.OB.6C.-6D.l

sin4208in720+cos42°co»72°等于

(A)sin60o(B)coa60°

C

14,)cosll4°(D)8inll40

15.下列函数中，为偶函数的是()。

Ay=v<?~TT

B.y=2x

C.y=x1-1

D.y=l+x-3

16.若函数y=f⑴的定义域是[—1,1),那么f(2x-l)的定义域是()

A.[O,1)B.[-3,1)C.[-1,1)D.[-1,O)

17.巳知正三横柱的底面积等于帛，儡面积等于30.J8此正三检柱的体积为()

A.A.2^3B.5«3C.10^3D.15也

18.平面上到两定点Fl(-7,0),F2(7,0)距离之差的绝对值等于10的

点的轨迹方程为()

T2V2

A———1

A-10016

m

19已知椭AS不占+，=।的焦点在）轴上•则的取值范用是

A.A.m<2或m>3

B.2<m<3

C.m>3

D.m>3或<m<2

20.将5本不同的历史书和2本不同的数学书排成一行，则2本数学书

恰好在两端的概率为Oo

A1

A-20

C—

21D・吉

y=xe",则y'=

(A)xe*(B)xe,+x

21(C)xe*+e*(D)e*

若a成等比数列.则iga.lgfr」gc成

（A）等比数列（B）等差数列

22.（C）等比数列或等差数列（D）无法确定

23.设।=：7柒，%虚数单位用sg,尊干

logs10-logs2=

()o

A.8B.OC.lD.5

jr方程，+g+2=0的两根为xi和h•若=+)=5,剜m=

A.-10B.10C.-5D.5

函数y=x+l与y=L图像的交点个数为

X

“(A)0(B)1(C)2(D)3

Zo.

y—3sin壬

27.函数-4的最小正周期是()o

A.8n

B.47r

C.27r

2K

D.

28.以点(0,1)为圆心且与直线相切的圆的方程为()o

A.(工一1)2+丁=1B.X2+(y-I)2=2

C.7+⑶-1尸=4D.x2+(j-l)2=16

29.

(3)下列函数■，偶函数是

(Q)y=3"+3T(B)y=3J：-?

(C)r=i*sinx(Dj)=Uni

30.

函数y=「‘()

A.为奇函数且在(0,+8)上为增函数

B.为偶函数且在(-8,0)上为减函数

C.为奇函数且在(0,+8)上为减函数

D.为偶函数且在(心，0)上为增函数

二、填空题(20题)

31.已知曲■外瓦若㈤=2.1。36,则

32.

设函数r(z)=e"—则f(0)=________.

33.过点(2,1)且与直线Y=x+1垂直的直线的方程为.

34.已知|a|=2,|b|=4,|a+b|=3,则<a,b>=

35.直线3x+4y-12=0与x轴，y轴分别交于A,B两点，。为坐标原

点，则aOAB的周长为

36.向量a=(4,3)与b=(x,-12)互相垂直，贝！］x=.

抛物戌)，=的准线过双曲线号〜=1的左焦点，则p=

37.___..

38.顶点在原点、焦点在x轴上且通径(过焦点和对称轴垂直的弦)长为

6的抛物线方程为.

39.已知ij,k为单位向量且互相垂直，向量a=i+j,b=-i+j-k则a*b=

(19)limr-~~-

40.'-'2X+1

41.1••5-;心成可比数列.则“二

42.已知正四棱柱ABCD-的底面边长是高的2位，则AC与

CC所成角的余弦值为

43.设正三角形的一个顶点在原点，且关于x轴对称，另外两个顶点在

抛物线丁=2Gz上，则此三角形的边长为.

44.&IC45・一0)costf+cost45'

45.设/(]+】)=Z+26+1,贝IJ函数f(x)=.

46.函数f(x)=2cos2x-l的最小正周期为

47.若a=(1-t,1-t,t)，b=(2,t,t)，则|b-a|的最小值是

48.过圆x2+Y2=25上一点M（-3,4）作该圆的切线，则此切线方程为

r

49.已知数列｛an｝的前n项和为亍，则a3=。

50.函数y=x*x+10的图像的单调递增区间为（考前押题2）

三、简答题（10题）

51.（本小题满分12分）

设两个二次函数的图像关于直线X=1对称，其中一个函数的表达式为

Y=x2+2x-l,求另一个函数的表达式

52.（本小题满分13分）

从地面上A点处测山顶的仰角为«,沿A至山底直线前行a米到B点

处，又测得山顶的仰角为D，求山高.

53.（本小题满分12分）

#AAJ5C中*8==45°,C=60。.求AC.8C.

54.

（本小题满分12分）

已知函数/（X）=』-3』+m在［-2.2］上有最大值5.试确定常故m,并求这个函数

在该闭区间上的最小值.

55.

（22）（本小题满分12分）

面积为6的直角三角形三边的长由小到大成等差数列,公差为d.

（1）求＜/的值；

（D）在以最短边的长为首项,公差为d的等差数列中，102为第几项?

（25）（本小题满分13分）

已知抛物线八90为坐标原点,F为抛物线的焦点・

（I）求IOFI的值；

（n）求抛物线上点P的坐标‘使的面积为"

56.

57.

（本小题满分13分）

如图，已知椭圆GW+八I与双曲线G：4-/=1（O>1）

aa

（l）设e,..分别是G.C,的离心率,证明eg<1；

（2）设44是。长轴的两个端点,「（与,。）（1飞1>a）在G上，直线。4与G的

另一个交点为Q,直线与G的另一个交点为心证明QR平行于y轴.

58.

（本小题满分12分）

在（a%+l）7的展开式中,%3的系数是％2的系数与Z4的系数的等差中项,

若实数a>l,求a的值.

59.

（本小题满分13分）

2sin0cosd+-

设函数/⑻=,八1°，会

⑴求/哈）；

（2）求/⑹的最小值.

60.（本小题满分12分）

巳知等比数列％.1中.4=16.公比g=1

（I）求数列|a1的通项公式；

（2）若数列|a.|的前n项的和S.=124.求n的©

四、解答题（10题）

61.

已知函数义工）:仝53，+伙。＞0）有极值,极大值为4.极小值为0.

（I）求*6的值，

（n）求函数/（公的总谢递增区间.

62.

直线产"力和楠畤+y』l相交于A.8两点.当m变化时.

（I）求1八3|的最大值；

（II）求少。5面根的最大值（O是原点）.

6工（22）（本小题U分12分）

已知等比数列I。」的各项都是正数通12.前3以和为14.

（l）4t|a.|的通项公式；

（n）ttVloba・，求数列也|的前20『的和.

64.

（本小题满分12分）

已知函数f（x）=x3+x2-5x-l。求：

⑴f（X）的单调区间；

（2）f（x）零点的个数。

65.

设函数〃工)=整下.求：

1十JT-

(I)f(x)的单调区间，并判断它在各单调区间上是增函数还是减函数；

(n)f(x)在［-2,0］上的最大值与最小值.

66.已知正圆锥的底面半径是1cm,母线为3cm,P为底面圆周上-点，

由P绕过圆锥回到P点的最短路径如图所示，由顶点V到这条路线的

最小距离是多少？

设。＞0，*)・+是R上的偶函我。

(1)求。的值；

(2)亚明；/(g)在(0,.。)上鼻地福敢.

已知点y)在曲线y=丁^7上・

(D求孙的值；

68.(2)求该曲线在点4处的切线方程.

69.正三棱柱ABC-A，B，C,底面边长为a,侧棱长为h。

求I.求点A到AATC所在平面的距离d;

n.在满足d=i的上述正三棱柱中，求侧面积的最小值。

70.

如图，已知椭圆6：,+丁=1与双曲线G：4-/=1(<»>»).

(1)设G0分别是C,,C2的离心率，证明<1；

(2)设44是C,长轴的两个端点>。)在G上，直线P4与a的

另一个交点为Q,直线PA1与C,的另一个交点为上证明伊?平行于y轴.

五、单选题(2题)

函数y=2-(y-sinx)2的最小值是

(A)2(B)l|

3

(C)-十(D)-If

71.4

72.在等差数列｛an｝中，31=1,公差d#0,a2,a3,a6成等比数列,则

d=()o

A.lB.-lC.-2D.2

六、单选题(1题)

73.下列函数中为偶函数的是()

A.A.y=2xB.y=2xC.y=log2xD.y=2cosx

参考答案

1.D

根据指数函数与对数函数的单调性可知.当“>6>0时，有a+>H恒成立.（答案为D）

2.B

由则意可知/=切."=4,2。5=2・则\/m-4=1,解得a2=m=5t

则该桶IS上任点P到两焦点的距离之和为为=2邛.（答案为B）

3.B

4.D

5.C

6.C

7.D

8.A

该球的直径为4.其表面积为4xr=4京§尸=3七《苏案为A）

9.C

10.B

11.B

B【解析】因为（cos/一sin/尸一1一sin2”

・=喜所以

乂sinx-t-cos•sin2j"»-•

4n

乂一发0<0.所以cosx—sinx--y.

.7

二cos2z=cos'工一sin：工=运.

12.B

13.B

由a_Lb可得a・b=0,即(1,5,-2)*(m,2,m+2)=m+5x2-2(m+2)="

m+6=0,解得m=6.

14.A

15.A

本题考查了函数的奇偶性的知识点。

A项，）=义工）=//+1，

y（—x）=y（—x）2+1=2+1=/（］）,故

V=//+1为偶函数.

16.A由已知，得-£2x-l<1,0<2x<2,故求定义域为0秘<1.

17.B

设正三板柱的底面的边长为心底面枳为&•ya=7349a=2.

设正三检柱的高为人侧面积为3XaXA=3X2XA=3O.^25.

则此正三棱柱的体积为底而积X高二56.（咎*%B）

18.D

D【解析】因为c=7,2a=10,即a=5,所以

〃=/一/=49—25=24,由题意知，焦点在z轴

上，所以双曲线的轨迹方程为经一另=1.故

选D.

19.D

20.C

该小题主要考查的知识点为随机事件的概率.【考试指导】

2本数学书恰好在两端的概率为

丘•旦=5X4X3X2X1X2X1_1

H&6X5X4X3X2X1=斤

21.C

22.B

23.C

24.C

该小题主要考查的知识点为对数函数.【考试指导】

log510—logs2=logs写=1.

25.A

（书达定理）知•+*:加.4.r：=2,所以

由一元二次方程根与系数的关系±++=/=W?"XM=T。.本题

主要考查一元二次方程根与系数的关系及考生的运算能力.

26.C

27.A

该小题主要考查的知识点为最小正周期.

T=斗=8a

【考试指导】了

28.C

该小题主要考查的知识点为圆的方程.【考试指导】

由题意知，R=-，°-1~~3I=

2•则圆的方程为z+（y_］）2=4.

29.A

30.B

31.

由于8V普%^^=芋.所以Va.b>=f.（答案为十

32.

/（1）=<?-3/'（丁）=1—1=H-1=1-1"«0.（答案为0）

33.

34.

【答案】xarccos讳

|a+b|*=(a+b)•(a+b)

・a,a+2a•b+0•b

-Ia|14-2|a|•b\,co*<a,fr>+Ifrl

-4+2X2X4cos<a,»>+16=9.

解好cos<a.b>—_jg.

即(a.b)-arccox(~)■,it-arccos

35.

12【解析】令y=0,科A点坐标为(4.0)：令

r=0.得B点坐标为(0.3).由此得ABI-

/?:卬=5.所以4。s的周长为3+4+5=12.

36.

37.

4

【解析】该小题主要考查的知识点为圆锥曲线的性质.

【考试指导】

由题意如，/>>0.抛物线y2=2后的

准线为,双曲线=］的左焦点为

（一■+1.0）,即（一2.0）,由题意知,一且一

2

~2*p=4.

38.y2=±6x设抛物线的方程为：ysup>2=±2px,则焦点F（士p/2,0）,所以

有（6/2）2=±2p（土p/2）,得p=±3故抛物线方程为：y2=±6x

39.答案：0解析：由向量是内积坐标式，坐标向量的性质得：

A=r=A2=i,i,j=八k=i・k=o

a

・b=(i+j)(-<+(/-jt)

=—?+/2

=0.

(19)；

40.1

41.

42.

43.答案:12

解析：

设A(4，w)为正三角形的一个顶

点且在x轴上方.OA=m,

o4^o1

则Xo=mcos30°=-r-ni,y0=msin30°=亍

可见A（等m,夕）在抛物线y1=2/3x上，从而

(—)2=2y/3X母，■加=12・

2，

44.

Mn(450-a)8Sa+coK45&-a)sim=rin(45°—a+a)=sin45'=冬(答案为哙)

45.

1十2Jx二'

亚工+|=，・用它*1代入/G+D-12々/I中料

/3__[+2k1-4=T・*〃*—+2kT.

46.

K【解析】因为/(z)=2cos2z-l=cos2z,所以

最小正周期7"现=字=".

(D4

47.

醇【解析】fr-fl=(l+*.2/-1.0).

H；./(1+>+(2LD：+0；

=/5?-2z+2

3T)7)醇

【考点指要】本题考查空间向量的坐标运算及模的相关知识.

48.

49.9

由题知S“=今■，故有为=»a2=S2—at=4------1~=3,

乙乙LL

cQ3O

。3=S3—a2—ai=——3--T-=9.

50.答案：［3,+oo）解析:

由y—x2-6H+10

=r2-6x+9+l=（x-3）2+l

故图像开口向上，顶点坐标为（3.1），

18翘答案图

因此函数在［3.+8）上单调增.

51.

由巳知，可设所求函数的衰达式为y=(x-m)'+n.

ffijysx1+2x-l可化为y=(x+l)'-2-

又如它们图像的顶点关于宜线x=l对称.

所以n=-2,m=3,

故所求函数的表达式为y=(工-3)'-2,即尸--6x+7.

52.解

设山高WjRtAXDC41.AZ?=xcola.

Rt△BDC中，Bl)=xcdfl.

分为AB=AD-所以asxcota7coy3所以x=---------

cola-coy3

答:山离为二一四二挤.

cota-co|S

53.

由已知可得4=乃。，

又sin750=sin(450+30°)=sin450cos300+«»45o»in30o=.......4分

在△麴，中，由正弦定理得

ACBC8%.......o分

sin45osin75°sin600'

所以4c=16.的=86+8.……12分

54.

f(x)=3/-6x=3x(x-2)

令了(x)=0.得驻点i,=0,Xj=2

当x<0时/(x)>0；

当0<x<2时/(*)<0

.•.工=0是“外的极大值点,极大值〃0)“

=m也是最大值

・，m=5.又/(-2)=m-20

f(2)-4

・J(-2)=-15/2)=l

二函数〃外在［-2,2］上的最小位为〃-2)=-15.

55.

(22)解：(I)由已知条件可设直线三角形的三边长分别为

a-dfQ,a+d.其中a>0,d>0,

则(a+d)2=a?+(a-d)L

a=4d,

三边长分别为3d,4d,5d.

S=*~x3Jx4d=6,d=1.

故三角形的三边长分别为3,4,5,

公差J=1.

(U)以3为首项,1为公差的等差数列通项为

4=3+(吁1),

3+(吁1)=102,

n=100,

故第100项为102.

(25)解：(I)由已知得F(f,O),

O

所以IOFI=

O

(口)设P点的横坐标为(x>0)

则P点的纵坐标为

△OF。的面积为

111

Tx¥x=T*

解得N=32,

故。点坐标为(32.4)或(32.-4).

57.证明：(1)由已知得

,,,4寸.vZ±r=7ZzZ=

2-aaa2

又a>l,可得O<(L)'<1,所以.egvl.

(Z

(2)世QCi.yJ.Wx?.%).由题设，

_ZL_=_2®_t①

X|+«*0+a，

a

-?+y?=I-③

IQ

将①两边平方.化简得

(0+o}*y?®(x,+a尸赤

由②③分别得y：=；(£-«J).y?=4(。'y：)

aa

代人④整理得

«-*i*o-a即a3

----=-----,即4=—..

o+x,Xo+ax0

同理可得-

所以4=小，0.所以OH平行于T轴.

由于(or+I)，=(1♦9)7.

可见,盛开式中的系数分别为c；1.d,CJ.

由巳知,2C)3=Cf+C；a”.

..屈c7x6x57x67x6x5aai八上二八

又。>1t.W1lj12x•a=-y.3工厂*a，5<。-1。。+3=0.

58.

59.

1+2Ain0cos94-

由期已知4。)二一・W产

sin®♦cosd

(sinff-f-cosd)2+率

sin。♦coM

令4=葡n&+co^.得

加)=Y"+AG铝c石噜

£—

+医

由此可求得J(净=腐"9)最小值为百

I/

60.

(1)因为%即16=5X：,得a1=64.

所以，该数列的通项公式为a.=64x(J)….

出(1-g,)64(14)

(2)由公式S.=-f得!24=---------J

"g1_X

2

化简得2"=32,解得n=5.

61.

(I)/(4)=15ajr，-150^=15"叱1》.令八］)=0.

得工=0.1=±1.

以下列表讨论？

X(-8.一］)一】(一1・0)0(0J)1(l,+oo)

/<x)十0—0—0+

极大值极小值

/(x)/、Z

/《一D=4

…//(l)=3a-5a+ft0.

由巳知条件得|「,

l/(—1)=-3a+5a+fr~i,

解得a—1,b=2,/(x)—3P—SJ4+2.

(fl)函数/(1)的总调递增区间为(-g,T)U(l,+8).

62.

产工+wi,①

依题感.得

V+4，=4.⑵

把①代人②中，得5/+8皿+4(k1)=0.

设点A(xt,>1),B(x,.yr).Xi+x,=—Y.nx,---j-

61，〃*“，〃1)一

•/5-m*.

设原点到直线的距离为儿

则卑k所以SMBH^IAB]一不.

424。

《1）当街=0时，|,48|—二卷。^.

(Il)SMR=y/E"5—m*)=y+5m:=工一陷

当加=日.即"尸士印时,面积最大，最大面积为■1

nL□

63.

（22）本小猫博分12分.

解：（I）设等比数列1。・1的公比为小则2♦R'=14.

即g'r-6=0.

所以轨-2.的・-3(舍去).”…，分

通反公式为oa-2'.…“6分

(II・lag)2・・H.

设T.。瓦

・1,2♦…620.......10分

■yx20x(20*l)«210.・•••••12分

64.

⑴/'(")=3*2+2z-5•令/'⑺=0.得5=

当工>】或“V一言时,/'（]）>0:

o

当I"V]V1时♦/'（I）<0.

故/（X）的单剧增区间为（-8,_年）和

（1.+8）,单调前区间为（--1,1）.

⑵，（—y）><0.

.•.人工）有3个零点.

65.

（I•令八"二0•解得工=士'

以下列表讨论।

X(-8,-1)-1(一1,1)1(lt+oo)

/（X）0+0一

~~~~1

/（T）Z7

即/（6的笊调区间为（-8,-1）.（一1.1）和（1.+8）,

在（8,D.（L+8）内JCr）是减函数;在（一1,1）内JGr）站用函数.

(II)«^/(2)--j2./(1)=-^1./(0)=0,所以/("在..［-2.0］匕的最大值是0,

最小值是一十.

66.圆锥的曲面沿着母线剪开，展开成-个平面（如下图），其半径

VP=3,弧长=2冲1=2兀的扇形，

•・•圆锥的底面半径为1,于是围绕圆锥的最短路线对应于扇形内是Pi

到P2的最短距离，就是弦P1P2,由V到这条路线的最短距离是图中

的线段h=AV,依据弧长公式27r=2吩3,得。=兀/3,，

h=3cos0=3xcos7r/3=3/2

67.

解(1”厅(幻=£■今是R上的偶雨数

ac

对户任意的X,都有人-X)=人工).

叫‘+；,=：*；.化荷得(a-:)['-/卜0,；德式对「任意,均成8二"=1.

(2)由(1)得人*)=・•+・•

故任收。>«.>0,«/(«,)-/(«