2020-2021学年广西南宁某中学高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年广西南宁三中高一上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设全集（7=/?,集合4={1,3,5,7},8={引3<刀<7},则4。（（：1/8）=（）

A.{1,3,5}B.{1,3,7}C.{5}D.{1}

2-化简4si*©+a）tan《-a）=（）

A.sin2aB.cos2aC.sinaD.cosa

n

3.若2014=2al+2a2H----F2an,其中g，・・・，Qn为两两不等的非负整数，令％=sin，：

£=1

nn

y=cos^2a^9z=tan>二4，则%,y,z的大小关系是（）

i=1i=1

A.x<y<zB.z<x<yC.x<z<yD.y<z<x

4.函数y=的定义域是（）

A.{x\x>-3}B.{x\x>-3且％H1}

C.{x\xH—3且xW1）D.{x\x>一3且xH1}

5.周长为：L圆心角为条翻感的扇形的面积等于

6,已知/（%）是定义域为［-3,3］的奇函数，且在［-3,0］上是减函数，那么不等式/（X+1）>/（3-2%）

的解集是（）

A.（-00,|）B.［0,2］C.［0,|）D.（|,+8）

-2

7.a=log034,b=log43,c=0.3,则（）

A.a<c<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c

8.函数y=3sin0c+$的图象，可由v=sinx的图象经过下述哪种变换而得到（）

A.向右平移:个单位，横坐标缩小到原来的工倍，纵坐标扩大到原来的a倍

B.向左平移:个单位，横坐标缩小到原来的1倍，纵坐标扩大到原来的a倍

a2

c.向右平移g个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的a倍

6

D.向左平移:个单位，横坐标缩小到原来的1倍，纵坐标缩小到原来的a倍

62

9.已知sina=—且aE(―^,0),则±Q九Q等于()

A.辿B.-辿C.渔D.-渔

5522

10.要得到函数解=姨喊言案印手的图像，只要将函数解=4W方家的图像()

A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位

C,向左平移1个单位D.向右平移-个单位

罢$

11.为了得到函数y=pos(2x+9的图象，可以把函数y=：cos2x的图象上所有的点()

A.向右平移9个单位B.向右平移W个单位

O

C.向左平移弓个单位D.向左平移擀个单位

JO

12,设/⑶是定义域为R且最小正周期为2兀的函数，且有f(x)=1讥工厅：干则/(一手)=

()

A.在B.一返C.0D.1

22

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.函数y1=log3%与函数丫2=3”,当x从1增加到m时，函数的增量分别是△力与△乃，则A'I

A'2•(填“<"或“=”)

14.某同学在借助计算器求“方程，gx=2-x的近似解(精确到0.1)”时，设/Q)=+x-2,算

得"1)<0,/(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的

正负，并得出判断：方程的近似解是x=1.8,那么他再取的％的4个值分别依次是.

15.已知函数/(%)=/+2x-3,x€[0,2],则函数/(x)的值域为

16.函数/(x)与g(x)的图象拼成如图所示的“Z”字形折线段4B0CD,不

含4(0,1),8(1,1),0(0,0),C(-l,-1),。(0,-1)五个点，若f(x)的

图象关于原点对称的图形即为9。)的图象，则其中一个函数的解析式

可以为.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.集合P={x\a+1<x<2a+1],Q={x|—2<x<5}

(1)若。=3,求集合(C/)nQ；

(2)若PUQ,求实数a的取值范围.

18.设函数/（x）=sin（2x+尹）（-兀<9<0）,y=/（x）图象的一条对称轴是直线x=；.

11

11

1L___.J..■,■--.

11

11

111

----------i-------1-1-

211

11

我।

05开•x

■■■「___fi'______

"-1r-"■*r-~*i"~""n■■■■1r--""1・

।I

~2a।

一—»-1—一一一」____

i1

-1

⑴求处

（2）画出函数y=f（x）在区间［0,汨上的图象，完成列表并作图）.

37r7n

X071

-8"~8

y

19.已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且2（。？+炉—c2）=3ab；

⑴求siM等;

（2）若c=2,求△ABC面积的最大值.

20.某交易市场的土豆在30天内每吨的交易价P（千元）与时间t（天）（0<t<30）,组成有序数对（t,p）,

点（t,p）落在如图所示的两条线段上，该市场土豆在30天内的日交易量Q（吨）与时间t（天）的部分

数据如下表所示

第t天4101622

Q（吨）36302418

（1）根据提供的图象，写出每吨的交易价格P（千元）与时间t（天）所满足的函数关系式;

（2）根据表中数据确定日交易Q（吨）与时间t（天）的一次函数解析式；

(3)用y表示日交易额(千元)，写出y关于t的函数解析式，问这30天中第几天交易额最大，最大

值多少？

21.设函数/(x)=ax2+(b—2)x+3(a力0),

(1)若不等式/(x)>0的解集为(—1,3),求a,b的值.

(2)若/(1)=2,a>0,b>0,求三+*的最小值.

ab

22.己知函数/'(x)=/og2(2x+1)-1x.

①求证函数/(x)为偶函数；

②若函数/Q)的图象与直线y=|x+b没有交点,求b的取值范围.

参考答案及解析

I.答案：B

解析：解：全集U=R,集合4=口,3,5,7},B={x[3<x<7},

•••ZuB={x|x<3或x>7]=(-co,3]U[7,+8)；

•••an(QB)={1,3,7}.

故选：B.

根据补集的定义求出QB,再计算4n(QB).

本题考查了补集与交集的定义与运算问题，是基础题目.

2.答案：A

sin4a_sin4a_sin4a_2sin2acos2a_.)

解析5解：4sin2(^+a)tan(-a)4cos2(~a)-tan(-a)4sin(~a)cos(-a)2sin(~2a)°，

故选4.

利用诱导公式以及二倍角公式、以及同角三角函数的基本关系，把要求的式子化为号焉翳，即

sin2a.

本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题.

3.答案：B

109876

解析：试题分析：由题意2014=20i+2a2+…+2an=可变形为2014=2+2+2+2+2+

24+23+22+21,继而得到然后根据三角函数的函数值之间的关系即可得到结论.

•・,2014=2%+2a2+…+2an,且%,…，Qn为两两不等的非负整数，

・・.2014=210+29+28+27+26+24+23+22+21,

:,%1见=10+9+8+7+6+4+3+2+1=50,

a

.%x=sin£仁1七=sinSO,y=cos£%i=cos50,z=tan£陶at=tan50,

v50«157r+2.9,

・••x=sinSO=sin(15兀+2.9)=—s讥2.9,

y=cosOS=COS(15TT+2.9)=-cos2.9,

z=tan50=tan(157r+2.9)=tan2.9<0,

,・,-<2.9<7T

2

tan2.9<—1,—1<-sin2.9<0,—cos2.9>0,

tan2.9<—sin2.9<—cos2.9,

tan50<sin50<cos50,

Az<x<y.

故选：B.

4.答案：D

解析：解：由题意得：。~n，

+2x—3力0

解得：x>—3且x*1,

故选：D.

根据二次根式的性质以及分母不为0,得不等式组，解出即可.

本题考查了函数的定义域问题，考查了二次根式的性质，是一道基础题.

5.答案：D

解析：试题分析：由题意可知：lxr+2r=1二,=」，面积为S=2>=2xlxJx1=2

3223318

考点：1.弧长公式；2.扇形面积

6.答案：C

解析：解：••,/"(X)是定义在［一3,3］上的奇函数，且在［一3,0］上是减函数，

・••/(X)在［0,3］上为减函数，

由f(x+1)>f(3-2x)

-3<x+1<3

可得一3<3-2x<3.

%4-1<3—2%

解可得，0Wx<|,

故不等式的解集为{x|0<x<1},

故选：C.

根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集.

本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查

函数性质的应用.

7.答案：C

解析：解：由指数函数和对数函数的性质可以得到：

logo.34<logo,31=°，°=log。<=L0.32>0.3°=1,

a<0,0cbe1,c>l,

a<b<c.

故选：C.

由指数函数和对数函数的性质，可以判断a,b,c和0,1的大小，从而可以判断a,b,c的大小.

本题考查利用特殊值法比较大小，熟练掌握指数函数和对数函数的图象和取值的分布是解决本题的

关键.

8.答案：B

解析：

本题考查利用图象平移、图象伸缩变换的规律解题；用图象平移的规律：左加右减，加减的单位是

自变量x的变化的单位；图象伸缩变换的规律：横坐标变为坐标系x乘的数的倒数；纵坐标变为三角

函数前面乘的数倍.

解：将由y=sinx的图象向左平移捐到函数y=sin(x+

再横坐标缩小到原来的：倍，纵坐标不变得到函数y=sin(2%+1)

再横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y=3sin(2x+今

故选B.

9.答案：B

解析：

根据同角的三角函数间的基本关系sin2a+cos2a=1可求出cosa的值，再根据tema=把竺可求出所

cosa

求.

本题主要考查学生会利用同角三角函数间的基本关系化简求值，以及会根据象限角判断其三角函数

的取值，属于基础题.

解：,0),

・•.a为第四象限角，则cosa>0,

—而r-sin2a+cos2a=1；sina=--2

解得cosa=—，

3

,i._sina__32_2V5

WmiltdYlCC=---=-7=-=-----,

人」cosa咨5'

3

故选民

10.答案：c

解析：试题分析：婵=叫螭侬冢署，I与展二修整既冢比较可知，只需将展=4W普嘉'的图

匕鼻，

像向左平移:个单位即可得到岸=越碱融出砥图像

考点：三角函数平移伸缩变换

点评：由解=飙济到解=,圆媪4幄:年施将展变化中国，与y轴上的伸缩有关，.掾,与x轴上的平移有关，

&与x轴上的伸缩有关，觥与x轴上的平移有关

11.答案：D

解析：解：•.,y=2cos（2x+g=gcos[2（x+3）],

将函数y=2cos2x的图象上所有的点向左平移，个单位长度，可得函数y-cos（2x+1）的图象，

故选：D.

由条件根据函数y=Acos^x+s）的图象变换规律，可得结论.

本题主要考查函数y=Acos（：a）x+0）的图象变换规律，属于基础题.

12.答案：A

解析：

解：・•・/（>）是定义域为R且最小正周期为2〃的函数，

•・•〃一•）=〃一等+4兀）=/（乎），

、（sinx,0<x<n

.•"（无）=tcosx,—7T<X<0'

,/3兀、.37rV2

••"（7）=siny=T'

故选:A.

本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性进行转换求解是解决本题的关键，属于基础题.

根据函数的周期性进行转化求解即可.

13.答案:<

解析：解：二,函数为=log3%与函数为=3%,

当%从1增加到m时，

△yi=啕加

m

△y2=3-3,

当m>1时，log3m>0,且37n—3>0,

但4yj=一<1,

mln3

△yz=3mbi3>1,

故4月<△y2>

故答案为：<.

利用导数法，分别求出与的导数，进而分析出两个增量的大小，可得答案.

本题考查的知识点是对数函数，指数函数和基的增长差异，正确理解函数的增量，是解答的关键.

14.答案：1.5,1.75,1.875,1.8125

解析：

本题考查二分法的定义，以及利用二分法求方程的近似解，属于基础题.

根据“二分法”的定义，每次把原区间缩小一半，且保证方程的近似解不能跑出各个小的区间.

解：根据“二分法”的定义，最初确定的区间是(1,2),又方程的近似解是久。1.8,

故后4个区间分别是(1.5,2),(1.75,2),(1.75,1.875),(1.75,1.8125),

故它取的4个值分别为1.5,1.75,1.875,1.8125,

故答案为:1.5；1.75；1.875；1.8125.

15.答案：[-3,5].

解析：解：/(%)=x2+2%—3=(x+I)2-4,

1■,XG[0,2],

•••1<x+1<3,

1<(x+I)2<9,

-3<(x+I)2—4<5>

故值域为[-3,5]；

故答案为：[-3,5].

化简/(x)=x2+2%-3=(%+I)2-4,从而求函数的值域.

本题考查了配方法在求函数的值域中的应用，注意二次函数的性质的运用.

16.答案：f(x)={；鼠；着°

解析：解：由图可知，线段0C与线段。8是关于原点对称的，

线段C。与线段84也是关于原点对称的，

根据题意，/(x)与g(x)的图象关于原点对称，

所以f(x)的图象可以在0C或CD中选取一个，再在48或08中选取一个，

比如其组合形式为：0c和AB,CD和0B,

且0C的方程为：y=x(-l<x<0),0B的方程为：y=x(0<x<1),

所以,询=般空着°，9(>)={九晨『，

或的=孱二NF，m)={；黑；*

故答案为:/⑶七*T

先根据图象可以得出/(比)的图象可以在0C或CC中选取一个，再在4B或0B中选取一个，即可得出函

数/Q)的解析式为f(乃=；着°.

本题主要考查了函数解析式的求法，涉及分段函数的表示和函数图象对称性的应用，属于中档题.

17.答案：解:将a=3代入得：P={x|4<x<7),可得CRP={x|x<4或x>7},

■■Q=[x\-2<x<5},二(CRP)n(J={x|-2<x<4}；

(2)由PUQ,分两种情况考虑：

a+1>—2

(1)当昨0时，根据题意得：2a+l<5，解得：0WaW2；

.2a+12a+1

(")当。=0时，可得2a+l<a+l,解得：a<0,

综上：实数a的取值范围为(-8,2].

解析：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

(1)将a的值代入集合P中的不等式，确定出P，找出P的补集，求出P补集与Q的交集即可；

(2)根据P为Q的子集列出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可得到a的范围.

18.答案：解：

(1)•••x=三是函数y=/(x)的图象的对称轴，

•••sin(2xq+0)=±1,

8

7T.i.7T.__

-+(p=k7r+-,kEZ,

•・,—n<(p<0,

(2)由丫=$也(2%一弓)可列表:

n37r57r77r

X071

8~8~8~8

_V2_V2

y-1010

―"2-T

故函数y=〃x)在区间［0,扪上图象如图所示:

解析：(1)函数/(x)=sin(2x+0在对称轴为直线x=F时取最值±1,从而进一步确定9值;

(2)由(1)得到函数表达式y=sin(2x-午)从而可完成列表并作图.

本题主要考察五点法作函数y=Asin(<ox+⑺的图象，属于中档题.

19.答案：解：(l)va2+h2-c2=|ab,

•・•A+B=7T—C,

.2工+B1-COS(4+B)1+cosC7

smz------=-----------------°=----------=-；

2228

(2)va2+&2-c2=|czh,且c=2,

Aa24-b2—4=-a/>,

2

又a24-ft2>2ab,

3

・，・-ab>2ab—4,・,・ab<8,

•・,cosC=|，；・sinC=V1—cos2C=Jl—(|)2=?，

•••S^ABC=\absinC<V7,当且仅当a=b=2&时，△ABC面积取最大值，最大值为近.

解析：(1)利用余弦定理表示出cosC,将已知的等式两边除以2变形后代入表示出的cosC中，化简即

可求出cosC的值，然后由三角形的内角和定理得到4+B=7r-C,把所求的式子利用二倍角的余弦

函数公式及诱导公式化简得到关于cosC的式子，把cosC的值代入即可求出值；

(2)把c=4代入已知的等式，得到一个关于a与b的关系式，由基本不等式a2+b2>2ab,求出ab的

最大值，然后由cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形的面积公式

表示出三角形4BC的面积，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出三角形4BC面积的最大值.

此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，基本不等式及三角形的面积公式.要求学生熟

练掌握三角函数的恒等变换公式，同时注意灵活变换已知的等式，利用整体代入的数学思想解决问

题.

20.答案：解：(1)由图象可知当0Wx<20时，直线过点(0,2)和(20,6),

所以设此时对应的直线为P(t)=at+2,解得a=2,所以此时P(t)=*+2.

当20<t<30时，直线过点(20,6)和(30,5).可以求出此时对应的函数P(t)=-会+8

f-t+2,0<t<20

所以.P(t)=I51.“(2分)

I——t+8,20VtW30

(2)根据交易额和时间的关系可设函数为Q(t)=ax+b,由图表可知当t=4时，Q=36,当t=10设,

Q=30,

所以代入函数解得a=-1,b=40,所以Q(t)=一尤+40,(0WtW30)…(2分)

(3)当0<x<20时，y=Q(t)P(t)=(1t+2)(-t+40),

当20<%<30时，y=Q(t)P(t)=(一三+8)(-1+40),

f(it+2)(-t+40),0<t<20

即'=[(-吊+8)(-1+40),20<t<30

...(2分)

第15天时，交易额最大，最大值为1