新教材苏教版高中数学必修第二册全册书各章节知识点考点重点难点解题规律归纳总结

苏教版高中数学必修第二册知识点总结第9章平面向量 -2-9.1向量概念 -2-9.2向量运算 -6-9.3向量基本定理及坐标表示 -20-9.4向量应用 -30-第10章三角恒等变换 -33-10.1两角和与差的三角函数 -33-10.2二倍角的三角函数 -43-10.3几个三角恒等式 -47-第11章解三角形 -52-11.1余弦定理 -52-11.2正弦定理 -55-11.3余弦定理、正弦定理的应用 -63-第12章复数 -68-12.1复数的概念 -68-12.2复数的运算 -72-12.3复数的几何意义 -78-12.4复数的三角形式* -81-第13章立体几何初步 -86-13.1基本立体图形 -86-13.2基本图形位置关系 -96-13.3空间图形的表面积和体积 -123-第14章统计 -130-14.1获取数据的基本途径及相关概念 -130-14.2抽样 -132-14.3统计图表 -140-14.4用样本估计总体 -148-第15章概率 -160-15.1随机事件和样本空间 -160-15.2随机事件的概率 -163-15.3互斥事件和独立事件 -168-第9章平面向量9.1向量概念知识点1向量的定义及表示定义既有大小又有方向的量叫作向量表示方法(1)几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)字母表示：用小写字母a，b，c来表示模向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|1．定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特征？只描述其中一个方面可以吗？[提示]向量不仅有大小而且有方向，其中大小描述了向量的代数特征，方向描述了向量的几何特征，两者缺一不可，故不能只描述其中一个方面．知识点2向量的有关概念及其表示名称定义表示方法零向量长度为0的向量记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量平行向量方向相同或相反的非零向量a与b平行(或共线)，记作a∥b相等向量长度相等且方向相同的向量a与b相等，记作a＝b相反向量长度相等且方向相反的向量a的相反向量记作－a2．(1)零向量的方向是如何规定的？零向量与任一向量共线吗？(2)已知A，B为平面上不同两点，那么向量eq\o(AB,\s\up6(→))和向量eq\o(BA,\s\up6(→))相等吗？它们共线吗？(3)向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？[提示](1)零向量的方向是任意的；规定零向量与任一向量共线．(2)因为向量eq\o(AB,\s\up6(→))和向量eq\o(BA,\s\up6(→))方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线．(3)不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．重点题型类型1向量的概念【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)任何两个单位向量都是平行向量；(2)零向量的方向是任意的；(3)在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则向量eq\o(DE,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))是平行向量；(4)对于向量a、b、c，若a∥b，且b∥c，则a∥c；(5)若非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是平行向量，则直线AB与直线CD平行；(6)非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))是模相等的平行向量．[解](1)错误．因为两个单位向量只是模都等于1个单位，方向不一定相同或相反；(2)正确．任何向量都有方向，零向量的方向是任意的；(3)正确．由三角形中位线性质知，DE∥BC，向量eq\o(DE,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))方向相反，是平行向量；(4)错误．b为零向量时，有a∥b且b∥c，但a与c的方向可以任意变化，它们不一定是平行向量；(5)错误．A、B、C、D四点也可能在同一条直线上；(6)正确．非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))的模相等，方向相反，二者是平行向量．1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量．3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．类型2向量的表示【例2】一辆汽车从A点出发，向西行驶了100千米到达点B，然后又改变方向向西偏北50°行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(AD,\s\up6(→))|．依据向量的几何特征和代数特征，分别作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))；进而求出|eq\o(AD,\s\up6(→))|.[解](1)如图．(2)由题意，易知eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))方向相反，故eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线，即AB∥CD．又∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，∴在四边形ABCD中，ABeq\o(\s\do2(═),\s\up3(∥))CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝200(千米)．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点.必要时，需依据直角三角形知识，求出向量的方向或长度模，选择合适的比例关系作出向量.类型3共线向量【例3】(对接教材P6例2)如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与eq\o(AC,\s\up6(→))平行且长度为2eq\r(2)的向量个数有______个．8[如图所示，满足与eq\o(AC,\s\up6(→))平行且长度为2eq\r(2)的向量有eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(FA,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))，eq\o(HG,\s\up6(→))，eq\o(IJ,\s\up6(→))，eq\o(JI,\s\up6(→))共8个．]1．(变条件)在本例中，与向量eq\o(AC,\s\up6(→))同向且长度为2eq\r(2)的向量有多少个？[解]与向量eq\o(AC,\s\up6(→))同向且长度为2eq\r(2)的向量占与向量eq\o(AC,\s\up6(→))平行且长度为2eq\r(2)的向量中的一半，共4个．2．(变条件)在本例中，与向量eq\o(AO,\s\up6(→))相等的向量有多少个？[解]题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量eq\o(AO,\s\up6(→))方向相同的向量与其相等，共有8个．1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．9.2向量运算9.2.1向量的加减法第1课时向量的加法知识点1向量的加法(1)向量加法的定义求两个向量和的运算叫作向量的加法．(2)向量加法的运算法则①三角形法则：如图，已知向量a和b，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(OB,\s\up6(→))叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))．这个法则称为向量加法的三角形法则．②平行四边形法则：如图，已知两个不共线的非零向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，以OA，OC为邻边作▱OABC，则以O为起点的对角线表示的向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，这个法则叫作向量加法的平行四边形法则．向量的三角形法则和平行四边形法则是否对任意两个向量的加法都适用？[提示]向量的三角形法则对任意两个向量的加法都可以适用；向量的平行四边形法则仅适用两个不共线的非零向量．知识点2向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a．(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．(3)a＋0＝0＋a＝a．(4)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0．重点题型类型1向量加法的三角形法则和平行四边形法则【例1】如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c．[解]法一：可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即为a＋b＋c(用到向量加法运算律)．如图①，首先在平面内任取一点O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，接着作向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，则得向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋c，然后作向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，(1)在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b；(2)作平行四边形AOBC，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b；(3)再作向量eq\o(OD,\s\up6(→))＝c；(4)作▱CODE，则eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋c＝a＋b＋c．则eq\o(OE,\s\up6(→))即为所求．向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系：区别：1三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；2三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.联系：1当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；2三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.类型2向量的加法运算【例2】(1)在正六边形ABCDEF中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AF,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝________，eq\o(AD,\s\up6(→))＝________，eq\o(AE,\s\up6(→))＝________．(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝________．(1)2a＋b2a＋2ba＋2b(2)0[(1)如图，连接FC交AD于点O，连接OB，由平面几何知识得四边形ABOF，四边形ABCO均为平行四边形．根据向量的平行四边形法则，有eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝a＋b．在平行四边形ABCO中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝a＋a＋b＝2a＋b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))＝2a＋2b．而eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＝a＋b，由三角形法则得eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝b＋a＋b＝a＋2b．(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0．]1．解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0．2．运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．类型3向量加法在实际问题中的应用【例3】(对接教材P11例2)已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10km/h．(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？(2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东30°有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)结合实际问题画出草图，借助三角形的边角关系求解.[解](1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20km/h；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0km/h，此时小船是静止的．(2)如图所示，设eq\o(MA,\s\up6(→))表示水流的速度，eq\o(MN,\s\up6(→))表示小船实际过河的速度．设MC⊥MA，|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝10，∠CMN＝30°．∵eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))，∴四边形MANB为菱形．则∠AMN＝60°，∴△AMN为等边三角形．在△MNB中，|eq\o(BN,\s\up6(→))|＝|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝10，∴∠BMN＝60°，而∠CMN＝30°，∴∠CMB＝30°，所以小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西30°．解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题→作出解答.第2课时向量的减法知识点向量的减法(1)向量减法的定义若b＋x＝a，则向量x叫作a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，叫作向量的减法．(2)向量的减法法则如图所示，以O为起点，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，即当向量a，b起点相同时，从b的终点指向a的终点的向量就是a－b．向量的加法三角形法则和减法三角形法则有什么不同？类比实数的减法，a－b＝a＋(－b)是否一定恒成立？[提示]向量的加法三角形法则对任意两个向量首尾相接，第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量就是它们的和向量；向量的减法三角形法则，对任意两个向量同起点，由减向量的终点指向被减向量的终点的向量就是它们的差向量；类比实数的减法，a－b＝a＋(－b)一定恒成立．重点题型类型1向量减法的几何作图【例1】(对接教材P12例3)如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c．[解]法一：先作a－b，再作(a－b)－c即可．如图①所示，以A为起点分别作向量eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AC,\s\up6(→))，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，连接CB，得向量eq\o(CB,\s\up6(→))，再以C为起点作向量eq\o(CD,\s\up6(→))，使eq\o(CD,\s\up6(→))＝c，连接DB，得向量eq\o(DB,\s\up6(→))．则向量eq\o(DB,\s\up6(→))即为所求作的向量a－b－c．法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②．(1)作eq\o(AB,\s\up6(→))＝－b和eq\o(BC,\s\up6(→))＝－c；(2)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－b－c．求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合时，再作出差向量.类型2向量减法法则的应用【例2】(1)化简下列式子：①eq\o(NQ,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(NM,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))；②(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))．(2)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，试用向量a，b，c表示向量eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))．[解](1)①原式＝eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))－(eq\o(NM,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→)))＝eq\o(NP,\s\up6(→))－eq\o(NP,\s\up6(→))＝0．②(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．(2)因为四边形ACDE是平行四边形，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＝c；eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，故eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b－a＋c．(1)向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点．(2)用几个基本向量表示其他向量的技巧①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果．类型3|a－b|与a，b之间的关系【例3】已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|．结合向量加、减的运算法则，你能发现向量a，b间存在怎样的位置关系？如何借助该关系求得|a－b|.[解]如图，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD．则eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，因为|a＋b|＝|a－b|，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|．又四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为矩形．故AD⊥AB．在Rt△DAB中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝8，由勾股定理得|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝eq\r(|\o(AB,\s\up6(→))|2＋|\o(AD,\s\up6(→))|2)＝eq\r(62＋82)＝10，所以|a－b|＝10．1．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则两条对角线表示的向量为eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．2．若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形是矩形．9.2.2向量的数乘知识点1向量的数乘定义一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)若a≠0，则当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反．实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘．特别地，当λ＝0时，0a＝0；当a＝0时，λ0＝0．向量的数乘λa的几何意义：当λ＞0时，把向量a沿着a的相同方向放大或缩小；当λ＜0时，把向量a沿着a的相反方向放大或缩小．1．λa＝0，一定能得到λ＝0吗？[提示]不一定．λa＝0，则λ＝0或a＝0．知识点2向量数乘的运算律设a，b为向量，λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算．知识点3向量共线定理一般地，对于两个向量a(a≠0)，b，设a为非零向量，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa．2．向量共线定理中，为什么规定a≠0．[提示]当a＝0时，显然b与a共线，此时若b＝0，则存在无数实数λ，使b＝λa；若b≠0，则不存在实数λ使得b＝λa．重点题型类型1向量数乘的基本运算【例1】计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\f(2,3)a－b))－eq\f(7,6)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,7)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(7,6)a))))；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．[解](1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b．(2)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\f(2,3)a－b))－eq\f(7,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,7)b＋\f(1,2)a))＝eq\f(3,2)a＋b－eq\f(1,3)a－eq\f(1,2)b－eq\f(7,12)a－eq\f(1,2)b－eq\f(7,12)a＝0．(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝6a＋2b．向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解.类型2向量的共线问题【例2】已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．1欲证A，B，D三点共线，能否证明eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))或eq\o(BD,\s\up6(→))共线？2若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则两向量间存在怎样的等量关系？[解](1)证明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))∴k＝±1．1．证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．2．若A，B，C三点共线，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系．而向量共线定理是实现线性关系的依据．类型3向量的表示【例3】如图所示，已知△OAB中，点C是以A为对称中心的B点的对称点，D是把eq\o(OB,\s\up6(→))分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于E，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b．(1)用a和b表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，求实数λ的值．[解](1)依题意，A是BC中点，∴2eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，即eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－b－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b．(2)若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，则eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b．∵eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))共线，∴存在实数k，使eq\o(CE,\s\up6(→))＝keq\o(DC,\s\up6(→))，∴(λ－2)a＋b＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(5,3)b))，解得λ＝eq\f(4,5)．用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理，用已知向量表示未知向量；(3)求解过程体现了数学上的化归思想．9.2.3向量的数量积知识点1向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cosθ叫作向量a和b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ．规定：零向量与任一向量的数量积为0．1．(1)两个向量的数量积是向量吗？(2)数量积的大小和符号与哪些量有关？[提示](1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．(2)数量积的大小与两个向量的长度及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定．知识点2两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB称为向量a与b的夹角．(2)范围：0°≤θ≤180°．(3)当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．(4)当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b．(5)两个非零向量a和b的夹角θ，可以由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得．知识点3投影向量设a，b是两个非零向量，如图，eq\o(OA,\s\up6(→))表示向量a，eq\o(OB,\s\up6(→))表示向量b，过点A作eq\o(OB,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足为点A1，我们将上述由向量a得到向量eq\o(OA1,\s\up6(→))的变换称为向量a向向量b投影，向量eq\o(OA1,\s\up6(→))称为向量a在向量b上的投影向量．(1)(2)所以eq\o(OA1,\s\up6(→))＝(|a|cosθ)eq\f(b,|b|)，a·b＝eq\o(OA1,\s\up6(→))·b．投影向量与向量数量积的关系：向量a和向量b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积．知识点4向量的数量积的运算律及性质(1)向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数λ．①a·b＝b·a；②(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c．(2)数量积的性质：①a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)；②|a·b|≤|a||b|，当且仅当向量a，b为共线向量时取“＝”号；③a⊥b⇔a·b＝0．(向量a，b均为非零向量)2．向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？[提示]向量线性运算结果是向量，而数量积运算结果是数量．重点题型类型1向量数量积的运算【例1】(对接教材P20例1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．[解](1)a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－3．(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5．(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos120°－3|b|2＝8－15－27＝－34．1．求平面向量数量积的步骤：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ．要特别注意书写时，a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．类型2求向量的模【例2】已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，∠AOB＝60°，且|a|＝|b|＝4．求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|．[解]∵a·b＝|a|·|b|cos∠AOB＝4×4×eq\f(1,2)＝8，∴|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(16＋16＋16)＝4eq\r(3)，|a－b|＝eq\r(a－b2)＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(16－16＋16)＝4，|3a＋b|＝eq\r(3a＋b2)＝eq\r(9a2＋6a·b＋b2)＝eq\r(9×16＋48＋16)＝4eq\r(13)．1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a·a＝|a|2，勿忘记开方．2．一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．类型3求向量的夹角【例3】已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．由两组向量分别垂直可得出|a|，|b|同a·b的关系，由此可借助公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求a与b的夹角.[解]由已知，得(a＋3b)·(7a－5b)＝0，即7a2＋16a·b－15b2＝0， ①(a－4b)·(7a－2b)＝0，即7a2－30a·b＋8b2＝0， ②①②两式相减，得2a·b＝b2，∴a·b＝eq\f(1,2)b2，代入①②中任一式，得a2＝b2，设a，b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)b2,|b|2)＝eq\f(1,2)，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°．求a与b夹角的思路(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．(2)在个别含有|a|，|b|及a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值．提醒：注意两向量的夹角θ∈[0，π]．9.3向量基本定理及坐标表示9.3.1平面向量基本定理知识点1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．(2)基底：两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底．如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？[提示]能．依据是数乘向量和平行四边形法则．知识点2平面向量的正交分解由平面向量基本定理知，平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式．我们称λ1e1＋λ2e2为向量a的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．重点题型类型1对向量基底的理解【例1】如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，则下列说法正确的是()A．若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1，λ2为实数C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对A[平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；对任意实数λ1，λ2，向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α内，故C不正确；而对平面α内的任一向量a，实数λ1，λ2是唯一的，故D不正确．]考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．类型2用基底表示向量【例2】如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，BN与CM相交于点E，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用基底a，b表示向量eq\o(AE,\s\up6(→))．[解]法一：由已知，在△ABC中，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))，且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，已知BN与CM交于点E，过N作AB的平行线，交CM于D，如图所示．在△ACM中，eq\f(CN,CA)＝eq\f(ND,AM)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(ND,MB)＝eq\f(NE,EB)＝eq\f(DE,EM)＝eq\f(2,3)，所以eq\o(NE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(NB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(NE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(NB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)(eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))＋\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)b．法二：易得eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)b，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，由N，E，B三点共线知存在实数m，满足eq\o(AE,\s\up6(→))＝meq\o(AN,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)mb＋(1－m)a．由C，E，M三点共线知存在实数n，满足eq\o(AE,\s\up6(→))＝neq\o(AM,\s\up6(→))＋(1－n)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)na＋(1－n)b．所以eq\f(1,3)mb＋(1－m)a＝eq\f(1,2)na＋(1－n)b．因为a，b为基底，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝\f(1,2)n，,\f(1,3)m＝1－n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(4,5)，))所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)b．将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直到用基底表示为止；另一种是通过列向量方程，利用基底表示向量的唯一性求解.类型3平面向量基本定理与向量共线定理的应用【例3】如图，在△ABC中，点M是BC的中点，N在AC上且AN＝2NC，AM与BN交于点P，求AP∶PM的值．[解]设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(2,3)b．∵A，P，M共线，∴设eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)(a＋b)．同理设eq\o(BP,\s\up6(→))＝μeq\o(BN,\s\up6(→))，∴eq\o(BP,\s\up6(→))＝－μa＋eq\f(2,3)μb．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，∴a＝eq\f(λ,2)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－μa＋\f(2,3)μb))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(λ,2)－μ))a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)－\f(2,3)μ))b．∵a与b不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＋μ＝1，,\f(λ,2)＝\f(2,3)μ，))∴λ＝eq\f(4,5)，μ＝eq\f(3,5)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(BN,\s\up6(→))，∴AP∶PM＝4∶1．1．充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注意方程思想的应用．2．用基底表示向量也是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握．9.3.2向量坐标表示与运算第1课时向量的坐标表示知识点1向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj．我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．1．在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1，1)，则向量a的位置确定了吗？[提示]对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定．对于向量a，给定的坐标为a＝(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关．知识点2向量线性运算的坐标表示(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．2．设i，j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i，j表示？[提示]a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，λa＝λx1i＋λy1j．重点题型类型1平面向量的坐标表示【例1】(对接教材P28例1)在直角坐标系xOy中，向量a，b的位置如图，|a|＝4，|b|＝3，且∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，分别求向量a，b的坐标．[解]设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，由于向量a相对于x轴正方向的转角为45°，所以a1＝|a|cos45°＝4×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2)，a2＝|a|sin45°＝4×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2)．可以求得向量b相对于x轴正方向的转角为120°，所以b1＝|b|cos120°＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,2)，b2＝|b|sin120°＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)．故a＝(2eq\r(2)，2eq\r(2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算.类型2平面向量的坐标运算【例2】已知平面上三个点A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，求eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，2eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))．[解]∵A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3，2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0，1)，2eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝(6，－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，－1))．平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．类型3平面向量线性运算的坐标应用【例3】已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，试问：(1)当t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？(2)四边形OABP是否能成为平行四边形？若能，则求出t的值．若不能，说明理由．以坐标轴上点的坐标特征为切入点求解t的值；结合平行四边形的向量表达式建立参数t的表达式．[解](1)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，3)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))＝(1＋3t，2＋3t)，则P(1＋3t，2＋3t)．若P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－eq\f(2,3)；若P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－eq\f(1,3)．(2)因为eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(3－3t，3－3t)，若OABP是平行四边形，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－3t＝1，,3－3t＝2，))此方程组无解；故四边形OABP不可能是平行四边形．1．(变条件)在本例条件下，若P在第三象限，求t的取值范围．[解]由本例解知，若P在第三象限，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t<0，,2＋3t<0，))解得t<－eq\f(2,3)，所以t的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))．2．(变条件)在本例条件下，t为何值时，P在函数y＝－x的图象上？[解]由P点坐标(1＋3t，2＋3t)在y＝－x上，得2＋3t＝－1－3t，解得t＝－eq\f(1,2)．即t＝－eq\f(1,2)时，P在y＝－x的图象上．已知含参的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横纵坐标满足的条件，建立关于参数的方程组或不等式组，求解即可.提醒：要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.第2课时向量数量积的坐标表示知识点1平面向量数量积的坐标运算若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．知识点2向量的长度、夹角、垂直的坐标表示(1)向量的模：设a＝(x，y)，则a2＝x2＋y2，即|a|＝eq\r(x2＋y2)．(2)向量的夹角公式：设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))．特别地，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量eq\o(AB,\s\up6(→))的模？[提示]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)．重点题型类型1数量积的坐标运算【例1】已知a＝(1，3)，b＝(2，5)，c＝(2，1)，求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a＋b)；(3)(a·b)·c．[解](1)a·b＝1×2＋3×5＝17．(2)∵a＋b＝(3，8)，2a＋b＝(4，11)，∴(a＋b)·(2a＋b)＝12＋88＝100．(3)(a·b)·c＝17c＝(34，17)．利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件，找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算，列出方程组来进行求解.类型2向量的夹角【例2】已知A(2，－2)，B(5，1)，C(1，4)，求∠BAC的余弦值．[解]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5，1)－(2，－2)＝(3，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，4)－(2，－2)＝(－1，6)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3×(－1)＋3×6＝15．又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(－12＋62)＝eq\r(37)，∴cos∠BAC＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(15,3\r(2)×\r(37))＝eq\f(5\r(74),74)．已知a，b的坐标求夹角时，应先求出a·b及|a|，|b|，再代入夹角公式，由夹角的余弦值确定夹角的大小.类型3向量垂直的综合应用【例3】已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|eq\o(AD,\s\up6(→))|．[解]法一：设点D坐标为(x，y)，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y＋1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－6，－3)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(x－3，y－2)，∵D在直线BC上，即eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))共线，∴存在实数λ，使eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－6λ,y－2＝－3λ，))∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0．①又∵AD⊥BC，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即2x＋y－3＝0．②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即D点坐标为(1，1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1，2)，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(－12＋22)＝eq\r(5)，即|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(5)．法二：在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－6，－3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，3)．与eq\o(BC,\s\up6(→))垂直的一个向量eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－3，6)，所以|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝3eq\r(5)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝15．向量eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(AE,\s\up6(→))上的投影向量eq\o(AD,\s\up6(→))＝(|eq\o(AB,\s\up6(→))|cosθ)eq\f(\o(AE,\s\up6(→)),|\o(AE,\s\up6(→))|)(其中θ为eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AE,\s\up6(→))的夹角)，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|\o(AB,\s\up6(→))|cosθ\f(\o(AE,\s\up6(→)),|\o(AE,\s\up6(→))|)))＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·\o(AE,\s\up6(→))|,|\o(AE,\s\up6(→))|)＝eq\f(15,3\r(5))＝eq\r(5)．向量的垂直问题主要借助于结论：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，把几何问题转化为代数问题．它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．(1)与向量a＝(x，y)垂直的一个向量可以设为b＝(y，－x)；(2)求△ABC中BC边上的高AD，可以先求出与eq\o(BC,\s\up6(→))垂直的一个向量eq\o(AE,\s\up6(→))，再求出eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(AC,\s\up6(→)))在eq\o(AE,\s\up6(→))上的投影向量的模，就是高AD的大小．9.4向量应用知识点向量的应用(1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(2)向量在物理中的应用①速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．②物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．(3)向量在平面解析几何中的应用向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．重点题型类型1向量在物理中的应用【例1】(对接教材P38例1)如图所示，在重300N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．[解]如图，作平行四边形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°．在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°．|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|cos30°＝300×eq\f(\r(3),2)＝150eq\r(3)(N)，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|sin30°＝eq\f(1,2)×300＝150(N)．故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150eq\r(3)N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N．1．解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成．2．解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型．类型2向量在平面几何中的应用【例2】如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．[解]法一：设eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(b,2)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝b＋eq\f(a,2)，所以eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(a,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(b,2)))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(b2,2)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0，故eq\o(AF,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE．法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(2，1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1，－2)．因为eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq\o(AF,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE．向量法证明平面几何问题的方法(1)向量的线性运算法eq\x(选取基底)→eq\x(把待证问题用基底线性表示)→eq\x(利用向量的线性运算或数量积找相应关系)→eq\x(把向量问题几何化)(2)向量的坐标运算法eq\x(建立适当的坐标系)→eq\x(把相关量坐标向量化)→eq\x(利用向量的坐标运算找相应关系)→eq\x(把向量问题几何化)但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用．类型3平面向量的综合应用【例3】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝9，tanA＝eq\f(4,3)，P为线段AB上的点，且eq\o(CP,\s\up6(→))＝x·eq\f(\o(CA,\s\up6(→)),|\o(CA,\s\up6(→))|)＋y·eq\f(\o(CB,\s\up6(→)),|\o(CB,\s\up6(→))|)，则xy的最大值为________．3[在Rt△ABC中，由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝9，得AB·AC·cosA＝9，因为Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝eq\f(4,3)，所以cosA＝eq\f(3,5)，所以AB·AC＝15，所以AB＝5，AC＝3，BC＝4．又P为线段AB上的点，且eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(x,3)·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(y,4)·eq\o(CB,\s\up6(→))，故eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1≥2eq\r(\f(x,3)×\f(y,4))，即xy≤3，当且仅当eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)＝eq\f(1,2)，即x＝eq\f(3,2)，y＝2时取等号．]利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，要先将线段看成向量，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化，得以解决.第10章三角恒等变换10.1两角和与差的三角函数10.1.1两角和与差的余弦知识点两角和与差的余弦公式(1)两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．(2)两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ．cos(90°－30°)＝cos90°－cos30°成立吗？[提示]不成立．重点题型类型1两角和与差的余弦公式的简单应用【例1】求下列各式的值：(1)cos40°cos70°＋cos20°cos50°；(2)eq\f(cos7°－sin15°sin8°,cos8°)；(3)eq\f(1,2)cos15°＋eq\f(\r(3),2)sin15°．[解](1)原式＝cos40°cos70°＋sin70°sin40°＝cos(70°－40°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)．(2)原式＝eq\f(cos15°－8°－sin15°sin8°,cos8°)＝eq\f(cos15°cos8°,cos8°)＝cos15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4)．(3)∵cos60°＝eq\f(1,2)，sin60°＝eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(1,2)cos15°＋eq\f(\r(3),2)sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝eq\f(\r(2),2)．1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．提醒：要重视诱导公式在角和函数名称的差异中的转化作用．类型2已知三角函数值求角【例2】已知锐角α，β满足sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，求α＋β的值．以同角三角函数的基本关系为切入点，求得cosα，sinβ的值，在此基础上，借助cosα＋β的公式及α＋β的范围，求得α＋β的值.[解]因为α，β为锐角，且sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\f(1,5))＝eq\f(2\r(5),5)，sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\r(1－\f(9,10))＝eq\f(\r(10),10)，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)．由0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，得0<α＋β<π．因为cos(α＋β)>0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝eq\f(π,4)．已知三角函数值求角，一般