高中数学人教B版选择性第一册课件2-3-1圆的标准方程

2.3.1圆的标准方程第二章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习核心素养思维脉络1.掌握圆的定义及标准方程.(数学抽象)2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程,并能解决一些简单的实际问题.(数学模型)3.会用待定系数法求圆的标准方程.(数学运算)4.能借助圆的几何性质处理与圆心及半径有关的问题.(直观想象)课前篇自主预习激趣诱思拉达尔公路隧道位于挪威西部,是世界上最长的公路隧道.拉达尔隧道位于挪威西部的拉达尔和艾于兰之间,全长24.51千米.于1995年3月开始动工兴建,2000年11月27日正式通车.隧道中也蕴含着丰富的数学知识,比如,隧道横截面可近似看成半圆形,测出相关数据可以解决车辆能否通过的问题,那么怎样建立这个圆的方程呢?知识点拨1.圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆,其中定点是圆心,定长是圆的半径.微思考平面内到一个定点的距离小于或等于定长的点的集合是什么?提示

是一个以定点为圆心,以定长为半径的圆面.2.圆的标准方程一般地,如果平面直角坐标系中☉C的圆心为C(a,b),半径为r(r>0),设M(x,y)为平面直角坐标系中任意一点,则点M在☉C上的充要条件是|CM|=r,

两边平方,得(x-a)2+(y-b)2=r2,通常称为圆的标准方程.微判断(1)(x-a)2+(y-b)2=r2一定表示圆的方程.(

)(2)函数y=b-

(r>0)的图像是以(a,b)为圆心,半径为r的位于直线y=b下方的半圆弧.(

)答案

(1)×

(2)√微思考在平面直角坐标系中,圆是函数的图像吗?提示

根据函数知识,对于平面直角坐标系中的某一曲线,如果垂直于x轴的直线与此曲线至多有一个交点,那么这条曲线是函数的图像,否则,不是函数的图像.对于平面直角坐标系中的圆,垂直于x轴的直线与其至多有两个交点,因此圆不是函数的图像.3.点与圆的位置关系点M(x0,y0)与☉C:(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2点M在圆外|CM|>r(x0-a)2+(y0-b)2>r2点M在圆内|CM|<r(x0-a)2+(y0-b)2<r2微练习点P(1,3)与圆x2+y2=24的位置关系是(

)A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不确定答案

B课堂篇探究学习探究一求圆的标准方程例1(1)圆心在点C(2,1),半径长是

的圆的标准方程为

.

(2)圆心在点C(8,-3),且过点P(5,1)的圆的标准方程为

.

(3)已知两点A(-1,-3),B(3,a),以线段AB为直径的圆经过原点,则该圆的标准方程为

.

答案

(1)(x-2)2+(y-1)2=3

(2)(x-8)2+(y+3)2=25

(3)(x-1)2+(y+2)2=5因为以线段AB为直径的圆经过原点,故(0,0)代入①成立,解得a=-1.故圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=5.反思感悟1.确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,因此用直接法求圆的标准方程时,要首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程.2.确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”,“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.变式训练(1)以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(

)A.(x+1)2+(y+2)2=100B.(x-1)2+(y-2)2=100C.(x+1)2+(y+2)2=25D.(x-1)2+(y-2)2=25(2)与y轴相切,且圆心坐标为(-5,-3)的圆的标准方程为

.

答案

(1)D

(2)(x+5)2+(y+3)2=25解析

(1)∵AB为直径,∴AB的中点(1,2)为圆心,∴该圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25.(2)∵圆心坐标为(-5,-3),又与y轴相切,∴该圆的半径为5,∴该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25.探究二点与圆的位置关系例2已知在平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一个圆上,为什么?分析先确定出过其中三点的一个圆的方程,再验证第四个点是否在这个圆上,即可得出答案.所以,经过A,B,C三点的圆的标准方程是(x-1)2+(y-3)2=5.把点D的坐标(-1,2)代入上述圆的方程,得(-1-1)2+(2-3)2=5.所以,点D在经过A,B,C三点的圆上,即A,B,C,D四点能在同一个圆上.反思感悟判断点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有几何法和代数法两种:(1)对于几何法,主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小;(2)对于代数法,主要把点的坐标代入圆的标准方程,左端与r2比较.延伸探究试求过三点A(0,1),B(2,1),C(3,4)的圆的方程,并且判断点(3,6)与所求圆的关系.解

所求方程同例题中的结论(x-1)2+(y-3)2=5.经判断,因为点(3,6)代入圆方程左边可得(3-1)2+(6-3)2=13>5,因此点(3,6)在该圆外.素养形成一题多解——待定系数法与几何法求圆的标准方程案例求经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程.【规范答题】

解

方法一:待定系数法设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.方法二:几何法由题意知OP是圆的弦,其垂直平分线为x+y-1=0.∵弦的垂直平分线过圆心,∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.归纳提升(1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤

(2)几何法即是利用平面几何知识,求出圆心和半径,然后写出圆的标准方程.(3)有时待定系数法和几何法交叉使用,体现数形结合的数学思想.当堂检测1.圆心为(3,1),半径为5的圆的标准方程是(

)A.(x+3)2+(y+1)2=5 B.(x+3)2+(y+1)2=25C.(x-3)2+(y-1)2=5 D.(x-3)2+(y-1)2=25答案

D2.若点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a满足(

)答案

D解析

依题意有(5a)2+144a2<1,所以169a2<1,3.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是(

)A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1答案

A解析

方法一:直接法

∴b=2,∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.方法二:数形结合法作图(如图),根据点(1,2)到圆心的距离为1易知,圆心为(0,2),故圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.4.圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+y-3=0对称的圆的标准方程是