南京师范大学数学分析2007-2018年考研真题及答案解析

Ⅰ历年考研真题试卷.................................................................................................................2南京师范大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题...................................................2南京师范大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题...................................................4南京师范大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题...................................................6南京师范大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题...................................................8南京师范大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试试题................................................12南京师范大学2013年攻读硕士学位研究生入学考试试题................................................15南京师范大学2014年攻读硕士学位研究生入学考试试题................................................17南京师范大学2015年攻读硕士学位研究生入学考试试题................................................19南京师范大学2017年攻读硕士学位研究生入学考试试题................................................25南京师范大学2018年攻读硕士学位研究生入学考试试题................................................27Ⅱ历年考研真题试卷答案解析.............................................................................................29南京师范大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析................................29南京师范大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析.............37南京师范大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析................................45南京师范大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析................................52南京师范大学2011年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析................................59南京师范大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析................................68南京师范大学2013年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析.............76南京师范大学2014年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析................................85南京师范大学2015年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析................................93《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》1/102考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。计算下列极限3、设x1(0,1),xn1xn(1xn),(n1,2,),证明nxn收敛并求极限。（1）设函数f在点x0的某领域U(x0)内有n1阶的连续导函数。证明对任意的xU(x0)，有f(x)f(x0)f'(x0)(xx0)(xx0)nRn(x)，其中Rn(x)f(n1)(x0(xx0))(1)n(xx0)n1，且01；（2）求ln(1x2)(x1)的麦克劳林级数展开，并加以证明。设f为(0,)内的连续函数，lxim0f(x)，xlf(x)0.试证1）f(x)sin1在a,(a0)内一致连续；x（2）f(x)sin1在(0,)内不一致连续。x利用Stokes公式计算(2yz)dx(xz)dy(yz)dz，其中L为平面Lxyz1与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》2/102zzz0zz0n1n试研究方程ax1nx(a0)实根的个数。设函数F(u,v)有连续的二阶偏导数，求证有方程Fxx0,yy00所确定的隐函数zz(x,y)满足下列两个方程：(xx0)(yy0)zz0；2z2z2z2x2y2xy。证明f(x)(x1)在(1,1)内连续。设f是区间0,上的连续函数，含参量非正常积分0xf(x)dx当a,b(ab)时收敛，证明0xf(x)dx在a,b上关于一致收敛。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》3/102考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。一、简答题每小题5分，共10分）判断下列命题是否正确，并简要说明理由。n1n12、若非正常积分af(x)dx收敛，且af'(x)dx也收敛，则xlf(x)0。计算下列极限：1k计算第二型曲线积分：ILexsinyb(xy)dxexcosyaxdy，其中a,b为正的常数，L是从点A(2a,0)沿曲线y2axx2到点O(0,0)的弧。设函数f(x)在a,b上连续，且f(a)f(b)0，又设f(x)在a,b内存在二阶导数，且f''(x)0，求证在a,b上f(x)0。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》4/102nn1n（1）试列举证明函数f(x)在区间a,b上为凸函数的方法（至少两种上的凸函数。将周期为2的函数f(x)x(2x)，x0,2（1）展开成Fourier级数；（2）通过Fourier级数的逐项积分求的值。设f(x,y)为a,bc,上的连续非负函数，I(x)cf(x,y)dy在a,b上连续，证明：cf(x,y)dy在a,b上一致收敛。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》5/102anantant考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。判断下列命题是否正确，并简要说明理由。1．牛顿－莱布尼兹公式可叙述为：若f(x)在区间a,b上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在区间a,b上可积，且abf(x)dxF(b)F(a)。现将条件减弱为：f(x)在区间a,b上连续，但F(x)仅在(a,b)内为f(x)的原函数，则原结论仍然成立。2.设af(x)dx收敛，且f(x)在a,连续恒正，则xlf(x)0。计算下列各题：3.设F(x)abf(y)xydy，其中ab，f(x)连续，求F''(x)。为无理数时，上述等式也成立。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》6/102设fn(x)是定义在实数集E上的函数列，f(x)在E上有定义。1.请写出fn(x)在E上不一致收敛于f(x)的正面定义；2.若fn(x)在E上一致收敛于f(x)，x0是E的聚点，且lxfn(x)An(n1,2,)则An收敛，且lxlnfn(x)lnlxfn(x)。设f(x)在区间a,b上有连续的导函数，f(a)0。证明：abf(x)f'(x)dxabf'(x)2dx。xy设f(x,y)x2y2,0问：1.f(x,y)在点0,0是否连续？2.f(x,y)在点0,0是否可微？请证明你的结论。计算：yzdydz(x2z2)ydzdxxydxdy，其中S为曲面4yx2z2上Sy0的部分并取正侧。设un(x)是a,b上的正值递减（即对固定的xa,b，un1(x)un(x)，n1,2,）且收敛于零的函数列，而对每个固定的n,un(x)均是a,b上的递增函数。证明级数(1)n1un(x)在a,b上一致收敛。n1《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》7/102考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。一、计算题（15分）1（1）设f(x)，g(x)是有限开区间(a,b)上的一致连续函数，求证f(x)g(x)在(a,b)上一致连续。（2）试举例说明1）中开区间若无“有限”条件，则结论不成立。试用有限覆盖定理证明根的存在性定理。设函数f(x)在闭区间a,A上连续，证明：EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(),h)axf(th)f(t)dtf(x)f(a)(axA)。计算二重积分xydxdy，其中D是曲线x2y2xy所围成的区域。Dnn《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》8/102（1）设f(x)在0,上可微，且0f'(x)f(x)，f(0)0。试证明：在0,上f(x)0。（2）证明：不存在0,上的正值函数f(x)，使得f'(x)0。f'()(ba)f'()设pn(x)是多项式序列，且在R上一致收敛于P(x)。证明：P(x)也是多项式。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》9/102 考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。一、计算题（共5题，每题8分，共计40分）（1）求第二型曲面积分Sx3dydzy3dzdxz3dxdy，其中S是单位球x2y2z21，方向取外侧。（2）设函数f(x)具有二阶连续导数，且0,f''(0)4,1（3）设wf(xy,xy,x)，其中f有二阶连续偏导数，求。（4）在区间(0,2)内将函数f(x)展开成傅里叶级数。（5）求函数f(x)的n阶导数。设函数f(x)在区间[0,1]上可导，且f(1)2f(0)，求证：存在(0,1)，使得(1)f'()f()。x0x设函数f(x)在(,)内二次可导，limf(x)1，且f"(x)0，则x0xf(x)x,x(,)。设函数f(x),g(x)在0,1上连续且单调减少，证明：EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(1),0)f(x)g(x)dxEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(1),0)f(x)dxEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(1),0)g(x)dx。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》10/102nn1n（1）证明级数ln(cos1)收敛。（2）设函数f(x)在区间(1,1)内具有直到三阶的连续导数，且x0xf(0)0,limf'(x)x0x则级数n2nf(1)绝对收敛。n将直角坐标系下Laplace方程0化为极坐标下的形式。讨论含参量反常积分关于分别在[,)和(0,)上的一致收敛性，其中0。证明函数f(x)(1)cos在[1,)上一致连续。设f(x)在[a,b]上连续，且存在非负整数m，使得baxnf(x)dx0(n0,1,,m)，《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》11/102考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。5n2n2222设f(x)在有限区间a,b上可微，且满足f(a)f'(b)0，则存在ca,b使f'(c)0。设函数f(x)在a,上一致连续，g(x)在a,上连续，且xlf(x)g(x)0，设数项级数an收敛，则n1nn（2）当数列an单调时，lnnan0对上述结论中正确的给予证明，错误的给出反例。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》12/102设函数f(x)在0,内递增，对任何正数T，f(x)在0,T上可积，且xl0xf(x)dtC（C为常数）设fn(x)sinxsin2xsinnx。求证1）对任意自然数n，方程fn(x)1在,内有且仅有一个解；（2）设xn,是方程fn(x)1的解，证明limxn计算积分L；其中L为一条不经过点0,0任意正向的闭曲线。设数列an的极限为a，证明f(x)anxn在1,1上有定义，且n1lim(1x)lim(1x)f(x)a。设数列an的极限为a，证明f(x)anxn在1,1上有定义，且n1lim(1x)lim(1x)f(x)a。设二元函数f(x,y)在正方形区域0,10,1上连续，记I0,1。（1）试比较inyfIEQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up1(p),I)f(x,y)与EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up1(p),I)inyfIf(x,y)的大小并证明之；（2）给出并证明使等式inyfIEQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up1(p),I)f(x,y)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up1(p),I)inyfIf(x,y)成立的成分条件你认为最好的）《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》13/102（1）证明I(x)0dy在2,内连续；（2）利用欧拉积分计算0dx；其中(s)(1s)；0s1《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》14/102考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。叙述并证明一元函数的最大，最小值定理。判断函数lnx在下列区间上的一致连续性，并说明理由。计算积分(x1)z2dydz(x2y2)dzdx(xyy2z)dxdy,S其中S为球面z2x2y232的上半部并选取外侧。证明函数f(x)0dy在[0,)上连续，在(0,)上连续可导。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》15/102证明下列各题。1、设正项级数un发散，则k0，正项级数(kn1n1)un发散。2、证明函数项级数n13nsin在[0,)上收敛，但是不一致收敛。构造一个二元函数f(x,y)，使它在原点(0,0)连续且两偏导数存在，但在原点(0,0)不可微。证明：设二元函数f(x,y)在区域二元函数D{(x,y)2x2y26}上有定义，f(0,y)在点y0处连续，且fx(x,y)在区域D上有界，则f(x,y)在点(0,0)连续。证明方程3y3xsiny0在原点的附近能唯一地确定隐函数yf(x)，描绘隐函数yf(x)在原点附近的图像。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》16/102考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。计算不定积分I,ab且n为正整数。若f'(a)0，能否断定函数f在点a的某个邻域U(a;)内单递增？若是，请简要证明，若不能，请举例说明。已知函数f(x)在区间(1,1)内有二阶导数，且f(0)f'(0)0，|f''(x)||f(x)||f'(x)|，证明存在01，使得在(,)内f(x)0。设f(x)在0,2上连续，证明：ln02f(x)|sinnx|dx02f(x)dx。设f(x)在a,上一致连续，且af(x)dx收敛，证明xlf(x)0。设f是以2为周期，且具有二阶连续可微的函数，bnf(x)sinnxdx，《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》17/102EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6("),)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up6(),)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6("),)求积分0exdx。设fx,fy在点(x0,y0)的某邻域内存在，且在点(x0,y0)可微，证明：fxy(x0,y0)fyx(x0,y0)。求积分[f(x,y,z)x]dydz[f(x,y,z)z]dxdy[2f(x,y,z)y]dzdx，其中Sf(x,y,z)为S上的连续函数，S为平面xyz1在第IV卦限部分之上侧。注：此题错误。因平面S在第IV卦限是无界的。考生可将其改为在第I卦限上侧的积分。类似题目还有如下湖北大学考题：计算积分[f(x,y,z)x]dydz[f(x,y,z)z]dxdy[2f(x,y,z)y]dzdx，其中Sf(x,y,z)是连续函数，S为平面xyz1在第IV卦限部分之上侧。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》18/102nnf(0)。k（2）若f(0)0，求limn考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。设a1,a2,,ak为k个正数。（1）求lima1n1（2）令f(x)a1xa2xakxx，求lxf(x)。已知f(x)在x0处可导，（1）若f(0)0，求，f1n《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》19/102xx（3）设f(x)在(0,)内可导，且f'(x)在(0,)内有界，证明：f(x)在(0,)内一致连续。计算不定积分。设f(x)是(,)内周期为T(0)的连续函数，证明：（1）任给a(,)，aaTf(x)dx0Tf(x)dx；（2）xl0xf(t)dt0Tf(t)dt。设函数f(x)在[a,a](a0)上连续，且对任意x[a,a],x0,有f(x)x，又f1(x)f(x),f2(x)f(f1(x)),,fn1(x)f(fn(x))上一致收敛于0。1ex(x2y2)讨论函数f(x,y)x2y2,x2y20在点(0,0)处的连续性，可微性，偏导数0,x2y20的存在性以及偏导数的连续性。求函数f(x,y,z)lnxlny3lnz的最大值，其中x2y2z25r2（x,y,z均《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》20/102rr0,r0并利用所得结果证明不等式abc327()5。（a,b,c均0）计算积分Sdydzdzdxdxdy。其中S为长方体V{(x,y,z)|x[2,2],y[3,3],z[4,4]}的表面的外侧， (x1)2(y2)2(z3)2。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》21/102考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》22/102《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》23/102《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》24/102考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。2.设是上一个非常数的连续函数，M，m分别是其最大值和最小值。求证：。（1）举例说明:有界可做函数的导函数不一定有界；《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》25/102内连续。证明：（1）f(x，y)在(0，0)处任意方向的方向导数都存在；（2）f(x，y)在(0，0)处不可微。设函数在上无限次可微，且计算曲面积分其中S为曲线，绕z轴旋转一周生成的旋转曲面，并取上侧。证明积分中非一致收敛，但在中一致收敛。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》26/102考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》27/102《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》28/102xyxyxyx2y22yx考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。【考查重点】考查求极限的方法—洛必达法则。【答案解析】xlimx1xxlnxxlnx【考查重点】考查二元函数的极限，本题所用方法是常规方法，适用于一类型题目。【答案解析】x2y2xy而lxx而lxxy0EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up2(x),y)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up2(0),0)xy，故limEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up2(x),y)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up2(0),0)xy3、设x1(0,1),xn1xn(1xn),(n1,2,),证明nxn收敛并求极限。【考查重点】考查数列收敛的单调有界定理。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》29/102limnxlim nxx1x【答案解析】因为xn1xn(1xn)，所以，xnn1nn又因为xn11xn1，所以xn单调递减，且0xn1，xn所以limxn所以limxn存在，不妨设为x，则有xx(1x)x0。nn所以limnxnlim(1xn)101nn（1）设函数f在点x0的某领域U(x0)内有n1阶的连续导函数。证明对任意的xU(x0)，有f(x)f(x0)f'(x0)(xx0)(xx0)nRn(x)，其中Rn(x)f(n1)(x0(xx0))(1)n(xx0)n1，且01；（2）求ln(1x2)(x1)的麦克劳林级数展开，并加以证明。【考查重点】考查泰勒定理；幂级数的麦克劳林展开式。【答案解析】F(t)f(x)[f(t)f(t)(xt)(xt)n]；G(t)(xt)n1所要证明的f(x)f(x0)f'(x0)(xx0)(xx0)nRn(x)F(x0)ffG(x0)或者F(x0)f(n1)()《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》30/102不妨设x0x，则F(t),G(t)在[x0,x]上连续，在(x0,x)可导，且F(t)(xt)n，G(t)(n1)(xt)n0又因为F(x)G(x)0，所以由柯西中值定理有F(x0)F(x0)F(x)F()f(n1)()F(x0)F(x0)F(x)F()f(n1)()其中(x0,x)(a,b)有Rn(x)f(n1)(x0(xx0))(1)n(xx0)n1x2nn我们考查ln(1x)，因为ln(1x2)只需要将ln(1x)中的x用x2代替即可。下考查f(x)ln(1x)f(n)(x)1n1从而f(n)(0)1n1(n1)!所以ln(1x)xxnn用比式判别法可求得级数ln(1x)x1n1的收敛半径为R1又因为(x1)，则收敛域为(1,1)，现在讨论在收敛区间上它的余项的极限情形。当0x1时，用拉格朗日余项公式有Rn(x)1nxn!0n《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》31/102（2）0（2）0f时，对0,N,x,x1,x2，使得对于1x0的情形，拉格朗日余项不易估计，该用柯西余项考查。则有()nxn1Rn(x)0xnn将ln(1x)中的x用x2代替即可得到在(x1)x2nn设f为(0,)内的连续函数，lxim0f(x)，xlf(x)0.试证1）f(x)sin1在a,(a0)内一致连续；x（2）f(x)sin1在(0,)内不一致连续。x【考查重点】考查第十三章函数的一致连续与不一致连续。【答案解析】（1）因为xlf(x)0，所以对0,N，当xN时，有f(c)所以对上述，对x1,x2N1时，有f(x1)sinf(x2)sinf(x1)sinf(x2)sinf(x1)f(x2)所以f(x)sin1在N1,上一致连续。x易知f(x)sin1在a,N1上一致连续，即证f(x)sin1在a,上一致连续。xx《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》32/1021010f(x1)sin 1f(x2)sinx2 2xf(1)0f(1)所以f(x)sin1在(0,)内不一致连续。x利用Stokes公式计算L(2yz)dx(xz)dy(yz)dz，其中L为平面xyz1与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向。【考查重点】考查第二十二章斯托克斯公式。【答案解析】应用斯托克斯公式推得：(2yz)dx(xz)dy(yz)dzLS2dydz2dzdxdxdyS32试研究方程ax1nx(a0)实根的个数。【考查重点】考查凸函数与极值的相关知识点。【答案解析】设函数f(x)1nxax，则f'(x)1xa，f''(x)0。f(x)在(0,)上为凸函数，由f'(x)0知f(x)在x1处取极大值，af1ln11。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》33/102euvxvxuvyvyzz0zz0下面求,（1）a1时，fe（2）a1时，fe1f0。即f(x)0，f(x)无实根；0。f(x)有两个实根。设函数F(u,v)有连续的二阶偏导数，求证有方程Fxx0,yy00所确定的隐函数zz(x,y)满足下列两个方程：(xx0)(yy0)zz0；【考查重点】考查第十八章，隐函数的问题。【答案解析】记uxx0;vyy0；且F(u,v)0；zz0zz0①对F(u,v)0分别对x,y求偏导，可得FuFuF0F0zFu(zz0)yFu(xx0)Fv(yy0)将,代入(xx0)(yy0)zz0，证得等式成立。由(xx0)(yy0)zz0分别对x,y求偏导，化解可以得到《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》34/102nn2z2z2z2x2y2xy【考查重点】考查狄利克雷判别法判定数项级数的收敛。【答案解析】 下证b1单调递减且趋于0。n所以bn1bn，即bn单调递减且趋于0，级数n11收敛。证明f(x)(xn【考查重点】考查函数项级数的和函数的连续性，将开区间转化为闭区间，利用内闭一致收敛性来证。【答案解析】下证f(x)n1xn在,内收敛，从而f(x)在,内连续，特别地，在x0点也连续。由x0得任意性知：f(x)在(1,1)内连续。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》35/102nn1nnn1nnnnnnn1nann1又因为x11，所以x1也收敛。所以f(x)在,内连续，f(x)在x0点连续。设f是区间0,上的连续函数，含参量非正常积分0xf(x)dx当a,b(ab)时收敛，证明0xf(x)dx在a,b上关于一致收敛。【考查重点】考查含参量非正常积分的一致收敛。【答案解析】0xf(x)dx01xaxaf(x)dx1xbxbf(x)dx（1）对于积分1xbxbf(x)dx，由于0xbf(x)dx收敛，故对于一致收敛，而xb单调，且xb1，由阿贝尔判别法知，1xbxbf(x)dx在a,b上一致收敛。（2）对于积分01xaxaf(x)dx，由于0xaf(x)dx收敛，所以01xaf(x)dx收敛，从而对一致收敛。而对一切x(0,1)，xa单调，且xa1，由阿贝尔判别法知，01xaxaf(x)dx在a,b上一致收敛。综上，0xf(x)dx在a,b上关于一致收敛。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》36/102 考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。一、简答题每小题5分，共10分）判断下列命题是否正确，并简要说明理由。【考查重点】级数收敛的判定方法【答案解析】错。n1但anbnn1n不收敛。2、若非正常积分af(x)dx收敛，且af'(x)dx也收敛，则xlf(x)0。【考查重点】x非正常积分的收敛与limf(x)极限的存在的关系x【答案解析】正确。因为af(x)dx收敛，则由收敛的柯西准则，0，存在Ga，当x,xG时，xxf(x)dxf(x)fxx设xf(x)x设xf(x)A设xf(x)A，设A0，则由极限的保号性，存在Ga，当Ga，xG时，满足f(x)0《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》37/102x0cos2xx0cos2xlncosxlncos2x2n于是af(x)dxaGf(x)dxf(x)dxaGf(x)dxdx对于af(x)dx考虑u\EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(),a)f(x)uaGf(x)dxu(uG)即：af(x)dx发散，与已知矛盾。则有xlimf(x)则有x计算下列极限：22【考查重点】取对数法求极限【答案解析】x0cos2x对limcosxx0cos2x上式可化为下面考查x0x0x2sinx2sin2xx0limcosxcos2x0xx0xcosxcos2xx0xcosxcos2xx0x03x0cos2x则有原来的极限为limcosxx0cos2x12、lim2、limnnk1k；【考查重点】利用函数项级数收敛的和函数极限，由迫敛性法则证明。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》38/102kkkk【答案解析】1 nnkkk11nnk1kk1nn11，k11111n1所以limnnk1k1。n1【考查重点】非正常积分的极限的求法【答案解析】下面求令因为收敛，所以故积分号下求导可得一致收敛。则有2nln(g(n))n2g(n)cen2《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》39/102带入可得 则有原式【考查重点】考查用积分第一中值定理来证明oxetdtxex。【答案解析】xetxx xx又因为lim0xe又因为lim0xetdt，所以适用洛比达法则《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》40/102（注意洛比达法则成立的条件）计算第二型曲线积分：ILexsinyb(xy)dxexcosyaxdy，其中a,b为正的常数，L是从点A(2a,0)沿曲线y2axx2到点O(0,0)的弧。【考查重点】考查第二型曲线积分的计算——格林公式。【答案解析】运用格林公式（注意格林公式成立的条件）记OA:0X2ay0Pexsinyb(xy)QexcosyaxL与OA构成一个封闭的曲线，PQ连续且有连续的导函数，则由格林公式()dLOAPdxQdy(ba)dLPdxQdyOAPdxQdyLPdxQdy(ba)dOAPdxQdy(ba)b(2a)2(ba)2a2b设函数f(x)在a,b上连续，且f(a)f(b)0，又设f(x)在a,b内存在二阶导数，且f''(x)0，求证在a,b上f(x)0。【考查重点】考查中值定理以及定理。【答案解析】用反证法，假设f(x)0，xa,b《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》41/102f(x)f(a)f'()(xa)0f(x)f(bf(x)f(a)f'()(xa)0f''()0，这与f''(x)0。所以，假设不成立。（1）试列举证明函数f(x)在区间a,b上为凸函数的方法（至少两种上的凸函数。【考查重点】【答案解析】（1）f为I上的凸函数的充要条件：对于I上的任意三点x1x2x3，总有f(x2)f(x1)f(x3)f(x2)，x2x1x3x2f为区间I上的二阶可导函数，则在I上f为凸函数的充要条件：f''(x)0.xI。（2）提示：对F(x)求二阶可导函数，得F''(x)f(x)，又因为f(x)在区间a,b上递增，所以有f'(x)0。由1）中第二个充要条件得F为凸函数。【考查重点】考查比较原则证明级数收敛。【答案解析】《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》42/102n1n2n1n2 令ut，ut（因为x0,1易证收敛，则由比较原则ut收敛，即得an收敛。将周期为2的函数f(x)x(2x)，x0,2（1）展开成Fourier级数；（2）通过Fourier级数的逐项积分求4的值。【考查重点】考查第十四章傅里叶级数。【答案解析】（1）a002f(x)dx02x(2x)dxan02f(x)cosnxdx02x(2x)cosnxdx（2）在端点x0和x2处，其傅里叶级数收敛于026 2ncosnx在[0,2]上一致收敛，可以逐项积分，得2 6x4x3x《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》43/102再逐次积分x2x3x4n1 3n2再积分 x3得223 xx1212x3x4n1 4n设f(x,y)为a,bc,上的连续非负函数，I(x)cf(x,y)dy在a,b上连续，证明：cf(x,y)dy在a,b上一致收敛。【考查重点】考查狄尼定理：设un(x)在a,b上连续且同号，级数un(x)在a,b上收敛于连续函数I(x)，则un(x)在a,b上一致收敛于I(x)。【答案解析】有已知有任取一个趋于的递增数列An(其中A1c)。对于级数AAnn1f(x,y)dyun(x)，由于f(x,y)在a,bc,上非负连续，则un(x)0，且为a,b连续函数，且在a,b上收敛于连续函数I(x)，则由狄尼定理知 n1un(x)在a,b上一致收敛，则cf(x,y)dy在a,b上一致收敛。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》44/102考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。判断下列命题是否正确，并简要说明理由。1．牛顿－莱布尼兹公式可叙述为：若f(x)在区间a,b上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在区间a,b上可积，且abf(x)dxF(b)F(a)。现将条件减弱为：f(x)在区间a,b上连续，但F(x)仅在(a,b)内为f(x)的原函数，则原结论仍然成立。【考查重点】考查牛顿莱布尼茨公式形式变换。【答案解析】正确。2.设af(x)dx收敛，且f(x)在a,连续恒正，则xlf(x)0。【考查重点】第十一章反常积分中的一些反例。【答案解析】错误。令x则有原级数可化为0dt，此级数收敛，但是xlimsin(x2)x1.讨论极限laaacos(bx)dx的存在性；【考查重点】考查极限的存在性问题。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》45/1022cos(ba2cos(ba)cos(ba)cosb(a0)antant【答案解析】原式 acos(ba)acos(ba)lima0a2limcos(ba)cos(ba)cosb(a0)2所以当bk时，极限不存在；当bk时，极限存在且为0。【考查重点】考查用泰勒公式求极限。【答案解析】可用泰勒公式法，令x，则原式lx，而ex1xo(x3)，故etanx1tanxo(tan3x)1xo(x3)，3.设F(x)abf(y)xydy，其中ab，f(x)连续，求F''(x)。【考查重点】考查分段函数分导数，变上限，下限函数。【答案解析】F(x)axf(y)(xy)dyxbf(y)(yx)dyF'(x)axf(y)dyxbf(y)dyF''(x)f(x)(f(x))2f(x)《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》46/102rrx为无理数时，上述等式也成立。【考查重点】考查指数幂的性质，确界定理。【答案解析】设x为无理数，定义axsup{arr为有理数};a1fx{arr为有理数};0a1不妨设a1，0，设r,s为两个有理数，r;s由ax的定义可以知道aas又因为ax单调递增，则有rs又有rsrs由0的任意性，可以推出为了证明相反的不等式，设p为有理数，且p，使得aap再取有理数r,s，使得r,s以及prs，则有aparsarasaa；故得到由0的任意性，可以推出综上所述有aaa《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》47/102【考查重点】考查求极限的方法—洛必达法则。【答案解析】e2xcos2xx2xea设fn(x)是定义在实数集E上的函数列，f(x)在E上有定义。1.请写出fn(x)在E上不一致收敛于f(x)的正面定义；2.若fn(x)在E上一致收敛于f(x)，x0是E的聚点，且lxfn(x)An(n1,2,)则An收敛，且lxlnfn(x)lnlxfn(x)。【考查重点】函数列不一致收敛的叙述；一致收敛函数列的性质。【答案解析】（1）存在某正数0，对任意正数N，都有E上某一点x'与正整数n'N，使得fn'(x)fn(x')0（2）先证An是收敛数列，对任意的0，由于fn(x)在E上一致收敛，故有N，当nN时，对一切的x0E，有fn(x)fnp(x)从而有由柯西准则可知An是收敛数列，设lnAnA再证由于fn(x)在E上一致收敛于f(x)，以及lnAnA，因此对任意的0，存在N，《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》48/102当nN时，对一切的x0E，有fn(x)f(x)AA同时成立，特别取nN1，有fN1(x)f(x)AN1A又因为，故存在0，当0xx0时，fN1(x)AN1这样，当x满足0xx0时f(x)AfN1(x)f(x)fN1(x)AN1AN1A即则有设f(x)在区间a,b上有连续的导函数，f(a)0。证明：abf(x)f'(x)dxabf'(x)2dx。【考查重点】考查施瓦茨不等式abf(x)g(x)dx2abf(x)2dxabg(x)2dx的特殊形式【答案解析】令g(x)axf'(t)dt(axb)，则g'(x)f'(x)由f(a)0知，f(x)f(x)f(a)axf'(t)dtaxf'(t)dtg(x)，《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》49/1022222x2y2EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up11(3),2)，x2y2EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up11(3),2)abf(x)f'(x)dxabg(x)g'(x)dxabg(x)dg(x)g(x)2baabf'(t)dt2ab1f'(t)dt2ab12dxabf'(t)2dtabf'(t)2dtxy设f(x,y),0当x,y0,0时当x,y0,0时问：1.f(x,y)在点0,0是否连续？2.f(x,y)在点0,0是否可微？请证明你的结论。【考查重点】考查二元函数可微性与连续性的关系。【答案解析】 1.0时，f(x,y)f(0,0)20， f(x,y)在点0,0处也连续。2.fEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(),)(x,y)y3fEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(),)(x,y)x3EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(),)同理fEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(),)(0,0)0，但有点(x,y)沿直线yx趋于0,0时，有ffx'(0,0)xfy'(0,0)yxyx21x2ffx'(0,0)xfy'(0,0)yxyx21f(x,y)在点0,0处不可微。计算：yzdydz(x2z2)ydzdxxydxdySy0的部分并取正侧。，其中S为曲面4yx2z2上《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》50/102【考查重点】考查第二十二章用高斯公式和柱坐标变换求曲面积分。【答案解析】利用高斯公式，令Iyzdydz(x2z2)ydzdxxydxdy，ISSD(x2z2)dxdydz，用柱面坐标系变换，得：SVxrcosyrsin yy0y4则(x2z2)dxdydz32，yzdydz(x2z2)ydzdxxydxdy0VDD:x2y24I32。SD设un(x)是a,b上的正值递减（即对固定的xa,b，un1(x)un(x)，n1,2,）且收敛于零的函数列，而对每个固定的n,un(x)均是a,b上的递增函数。证明级数 (1(x)在a,b上一致收敛。n1【考查重点】考查用狄利克雷判别法证明函数项级数一致收敛。【答案解析】用狄利克雷判别法（2）对每一个xa,b，un(x)是单调递减；（3）在a,b上un(x)0(n)（适用题目中的条件，对每个固定的n，un(x)均是a,b上的递增函数，而un(x)对于x递增收敛于0的）(1(x)在a,b上一致收敛。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》51/10200考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。一、计算题（15分）1【考查重点】考查求极限的方法—洛必达法则。【答案解析】(1x2)eln(1x2)，考虑ln(1x2)，当x0时，属于型的，（2）x0a,x1b,xn，n2,3.证明xn收敛并求极限。（15分）【考查重点】考查利用级数收敛，然后根据收敛的级数的通项收敛于零，求极限。【答案解析】 xnn21x313从而级数xn收敛，则lnxn0，即xn收敛并极限为0。n2（1）设f(x)，g(x)是有限开区间(a,b)上的一致连续函数，求证f(x)g(x)在(a,b)上一致连续。（2）试举例说明1）中开区间若无“有限”条件，则结论不成立。【考查重点】考查开区间上复合函数的一致连续性。【答案解析】（1）f(x)在限开区间(a,b)一致连续，从而f(x)在(a,b)上有界，即《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》52/102M10,x(a,b),使f(x)M1，同理M20,x(a,b),使g(x)M2。而f(x)，g(x)在(a,b)上一致连续，即0,0,x1,x2(a,b)。当x1x2时，f(x1)f(x2)，g(x1)g(x2)，从而f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)f(x1)g(x1)f(x1)g(x2)f(x1)g(x2)f(x2)g(x2)f(x1)g(x1)g(x2)f(x1)f(x2)g(x2)M1M2故f(x)g(x)在(a,b)上一致连续。f(x)x，g(x)sinx在R上一致连续，但f(x)g(x)xsinx在R上非一致连续。【考查重点】考查第十九章含参量积分。本部分内容是考试中的重难点，考生需要多加练习。【答案解析】exy在0,1,e上连续，而exydx一致收敛。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》53/102试用有限覆盖定理证明根的存在性定理。【考查重点】考查第七章实数的完备性。利用有限覆盖定理证明根的存在性定理。【答案解析】反证法，假设x(a,b)，f(x)0，不妨设f(x)0。已知函数f(x)在a,b上连续，a,b,0.x1,x2,a,b有f(x1)f(x2)0，a,ba,b,，根据有限覆盖定理，存在有限个开区间kk,kk，k1,2,,n也覆盖了且xk),xk)kk,kkf(xk)),f(xk))0，即函数f(x)在iik,iikjjk,jjka,b上同号。f(a)f(b)0矛盾，即至少存在一点ca,b，使f(c)0。设函数f(x)在闭区间a,A上连续，证明：EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(),h)axf(th)f(t)dtf(x)f(a)(axA)。【考查重点】考查第十九章含参量积分，对于给定闭区间上连续函数，不一定可导，但是通过此函数构造出来的正常积分或者含参量积分在闭区间上可微。【答案解析】因f(x)在闭区间a,A上连续，可令I(x)axf(t)dt(axA)《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》54/102naxf(th)dtythf(y)dyaxhf(y)dyaahf(y)dyI(xh)aahf(t)dt即EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2147483645(),h)axf(th)f(t)dtEQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2147483645(),h)，而EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2147483647(),h)I'(x)f(x)，EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2147483642(),h)f(a)，即EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(),h)axf(th)f(t)dtf(x)f(a)(axA)。计算二重积分xydxdy，其中D是曲线x2y2xy所围成的区域。D【考查重点】考查用坐标变换求二重积分。【答案解析】D(x,y)x2y2xy，作积分变换22则积分区域变为D(r,)则积分区域变为D(r,)(r,)02,0r1J(r,)r，【考查重点】考查幂级数可微性证明等式的成立性。《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》55/102【答案解析】nn ，y0x （1）设f(x)在0,上可微，且0f'(x)f(x)，f(0)0。试证明：在0,上f(x)0。（2）证明：不存在0,上的正值函数f(x)，使得f'(x)0。【考查重点】考查构造函数利用夹逼法证明恒等式；【答案解析】（1）因f(x)0,，0f'(x)f(x)，f(0)0，则f(x)在a,上是增函数，x0,，f(x)f(0)0《南京师范大学数学分析历年考研真题及答案解析》56/102又令F(x)exf(x)，则f(x)0,，且F(0)0，而F'(x)exf(x)exf'(x)exf'(x)f(x)0，即F(x)在0,上是减函数，x0,，F(x)F(0)0。又ex在0,恒正，从而x0,