经典大学高数试题下集锦

1．（3分）若,则.3.（3分）微分方程的通解为.1.（4分）级数为().(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性不确定3.（4分）二重积分在极坐标系下的面积元素为（）.(A)(B)(C)(D)4.（4分）若可微函数在点处取得极小值，,则下列结论中正确的是().一、1.3.二、1C;3B;4B.三、计算题（共12分）（6分）设求（6分）设由方程所确定，求四1.（6分）计算二重积分其中是由直线及所围成的闭区域.3.（6分）在斜边边长为定数的直角三角形中,求有最大周长的直角三角形.六2.（6分）判别级数的敛散性.3.（6分）求幂级数的收敛半径和收敛区间.七、计算题（共12分）（6分）求微分方程在初始条件下的特解.三、1解2分4分解方程两边求微分得3分3分四、1解画图1分原式2分2分1分1分3解设周长和两个直角边分别为则1分作辅助函数为1分由拉格朗日乘数法，2分解之得唯一可能的极值点由问题本身的性质可知最大值一定存在，并在该点处取得，既当两个直角边分别为，斜边为时，周长最大.2分六、2解由比较判别法的极限形式1分2分而级数收敛,所以原级数收敛.3分3解2分1分又当时原级数收敛,当时原级数发散,2分所以原级数的收敛区间为1分七、1解特征方程为特征值是1分所以齐此方程的通解为1分因为是特征方程的单根，故可设特解为1分利用待定系数法可得1分于是原方程的通解为1分将初始条件代入上式得所求特解为1分填空题（共15分）1.(5分)微分方程的通解为.3.(5分)设其中可微,则.选择题（共15分）1.(5分)若在处收敛，则此级数在处().(A)条件收敛;(B)绝对收敛;(C)发散;(D)收敛性不确定.2.(5分)是级数收敛的(). (A)充分条件;(B)必要条件;(C)充分必要条件;(D)既不充分也不必要的条件.三、解答题（共56分）1.（7分）已知曲线上P点处的切线平行于平面求P点的坐标.2.（7分）设f具有二阶连续的偏导数,求5.（7分）判别级数的敛散性.6.（7分）求幂级数的收敛域.8.（7分）试写出微分方程的特解形式.一、(每小题4分);.二、(每小题4分)解答题1．(7分)解曲线在任一点的切向量为┄┄┄┄2分 已知平面的法向量为┄┄┄┄3分令得,┄┄┄┄5分于是所求点为┄┄┄┄7分2．(7分)解┄┄┄┄3分┄┄┄┄7分5．(7分)解(或当时,┄┄┄┄2分而发散,发散.┄┄┄┄4分令则当时且┄┄┄┄6分由莱布尼兹判别法可知原级数条件收敛.┄┄┄┄7分6．(7分)解┄┄┄┄3分又当即时,级数收敛;┄┄┄┄5分当即时,级数发散┄┄┄┄6分故原级数的收敛域为┄┄┄┄7分8.(7分)解特征方程为┄┄┄┄1分特征根为┄┄┄┄2分┄┄┄┄3分 是特征根,的一个特解形式为┄┄┄┄4分又不是特征根,的一个特解形式为┄┄┄┄5分故原方程的一个特解形式为┄┄┄┄6分填空题(每题4分,共16分)1.(4分)级数收敛的必要条件是.2.(4分)交换二次积分的次序=.3.(4分)微分方程的一个特解形式可以设为.选择题(每题4分,共16分)2.(4分)级数为（）.A.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定.4.(4分)幂级数的收敛半径为().A.B.C.D.解答题(每题7分,共63分)(7分)设求.(7分)求,其中是平面被圆柱面截出的有限部分.(7分)求幂级数的收敛域.(7分)求微分方程在初始条件下的特解.(7分)求微分方程在初始条件下的特解.评分标准1.2.3.;4.1.C;2.A;3.D.4.D.1.解3分3分7分3.解1分2分4分6分7分4.解2分当时收敛4分当时发散6分收敛域为.7分7.解3分4分5分将代入上式得6分所求特解为7分一、

单项选择题（6×3分）1、设直线，平面，那么与之间的夹角为(

)A.0

B.

C.

D.2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（

）A.充分条件

B.充分必要条件C.必要条件

D.既非充分又非必要条件3、设函数，则等于（

）A.

B.C．

D.4、二次积分交换次序后为（

）A.

B.C.

D.5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（

）A.绝对收敛

B.条件收敛C.发散

C.不能确定其敛散性6、设是方程的一个解，若，则在处（

）

A.某邻域内单调减少

B.取极小值

C.某邻域内单调增加

D.取极大值二、

填空题（7×3分）1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝

2、设，，那么

3、D为，时，

5、函数展开为的幂级数为

6、＝

7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为

三、计算题(4×7分)1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。3、计算二重积分，其中5、求级数的和。五、证明题(6分)设收敛，证明级数绝对收敛。一、

单项选择题（6×3分）1、

A

2、

C

3、

C

4、

B

5、

A

6、

D

二、

填空题（7×3分）1、2

2、3、

4、5、

6、0

7、

三、计算题(5×9分)1、解：令则，

故3、解：＝＝＝5、解：令则

，即

令，则有＝

五、证明题(6分)证明：

即

而与都收敛，由比较法及其性质知：收敛故绝对收敛。一，单项选择题（6×4分）1、直线一定(

)A.过原点且垂直于x轴

B.过原点且平行于x轴C.不过原点，但垂直于x轴

D.不过原点，但平行于x轴2、二元函数在点处①连续

②两个偏导数连续

③可微

④两个偏导数都存在那么下面关系正确的是（

）A②③①

B.③②①C.③④①

D.③①④3、设，则等于（

）A.0

B.C.

D.4、设，改变其积分次序，则I＝（

）A.

B.C.

D.5、若与都收敛，则（

）A.条件收敛

B.绝对收敛C.发散

C.不能确定其敛散性6、二元函数的极大值点为（

）

A.(1,0)

B.(1,2)

C.(-3,0)

D.(-3,2)二、

填空题（8×4分）1、过点（1，3，－2）且与直线垂直的平面方程为2、设，则＝

3、设D：，，则

4、设为球面，则＝

5、幂级数的和函数为

6、以为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为

7、若收敛，则＝

8、平面上的曲线绕轴旋转所得到的旋转面的方程为

三、计算题(4×7分)1、设可微，由确定，求及。2、计算二重积分，其中。3、求幂级数的收敛半径与收敛域。4、求曲线积分，其中是由所围成区域边界取顺时针方向。四、综合题(10分)

曲线上点的横坐标的平方是过点的切线与轴交点的纵坐标，求此曲线方程。五、证明题(6分)设正项级数收敛，证明级数也收敛。一、

单项选择题（6×4分）1、

A

2、

A

3、

C

4、

B

5、

B

6、

D

二、

填空题（8×4分）1、

2、

3、4

4、

5、

6、

7、1

8、

三、计算题(4×7分)1、解：令

2、解：＝＝

===3、解：令对于，当时＝发散

当时，＝也发散

所以在时收敛，在该区间以外发散，即解得故所求幂级数的收敛半径为2，收敛域为（0，4）4、解：令，则，由格林公式得到＝＝

＝＝4四、综合题(10分)

解：过的切线方程为：令X＝0，得

依题意有：即…………..(1)对应的齐次方程解为令所求解为将代入（1）得：故（1）的解为：五、证明题(6分)证明：由于收敛，所以也收敛，而由比较法及收敛的性质得：收敛。一、填空题（每小题3分，共计15分）1．设由方程确定，则。2．函数在点沿方向(4,0,-12)的方向导数最大。二、解答下列各题（每小题7分，共35分）设连续，交换二次积分的积分顺序。解：计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域。解：求微分方程的通解。解：的通解为。设原方程的一个特解，代入原方程，得。其通解为五、(10分)求在下的极值。解：令，得。，为极小值点。故在下的极小值点为，极小值为。六、(10分)求有抛物面与平面所围立体的表面积。解：的面积为平面部分的面积为。故立体的表面积为。七、(10分)求幂级数的收敛区间与和函数。解：收敛区间为。设，。故。选择题（共5小题，每题3分，共计15分）1.直线与平面的位置关系是（）（A）垂直（B）平行（C）直线在平面上（D）不确定2．下列说法正确的是（）（A）若、存在，则函数在点可微分.（B）若、存在，则函数在点连续.（C）若函数在点可微，则函数在点连续.（D）若、，则点是函数的极值点.3．交换二次积分的积分次序为（）（A）（B）（C）（D）4．幂级数的收敛区间是（）（A）（B）（C）（D）5．级数（）（A）绝对收敛（B）发散（C）条件收敛（D）不确定二、填空题（共5小题，每题3分，共计15分）1．向量与向量共线，且，则.2．3．函数，则.5．级数（填收敛或发散）.三、（本题8分）求与两平面和的交线平行且过点的直线的方程.四、（共2小题，每题7分，共计14分）计算下列偏导数.1．求函数的一阶偏导数（其中具有一阶连续偏导数）.2．设，求及.五、（共2小题，每题7分，共计14分）计算下列重积分.1．计算，其中是由抛物线及直线所围成的闭区域.2．，其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.六、（本题12分）求函数的极值，并判断是极小值还是