河北省2021年中考数学一轮复习训练：第四章-第四节-全等三角形

第四节全等三角形基础分点练（建议用时：30分钟）考点1全等三角形的判定1.[2020湖南永州]如图,已知AB=DC,∠ABC=∠DCB,能直接判断△ABC≌△DCB的方法是 ()A.SAS B.AAS C.SSS D.ASA2.[2020黑龙江齐齐哈尔]如图,已知在△ABD和△ABC中,∠DAB=∠CAB,点A,B,E在同一条直线上,若使△ABD≌△ABC,则还需添加的一个条件是.(只填一个即可)

考点2全等三角形的判定与性质的综合3.[2020石家庄藁城区二模]老师布置了下面的证明题:如图(1),在△ABC中AB=AC,D,E是BC上两点,且BD=CE.求证:AD=AE.关于小明与小丽的证明方法,下面说法正确的是 ()A.小明与小丽的证明方法都正确B.小明与小丽的证明方法都不正确C.小丽的证明方法正确,小明的证明方法不正确D.小明的证明方法正确,小丽的证明方法不正确4.[2020湖北黄石]如图,△ABC是等边三角形,点D,E分别是AC,AB边上的点,CD=AE,BD与CE交于点P,则∠BPC等于()A.135° B.150° C.120° D.130°5.[2020江西]如图,CA平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若∠EAC=49°,则∠BAE的度数为.

6.[2020江苏无锡]如图,已知AB∥CD,AB=CD,BE=CF.求证:(1)△ABF≌△DCE;(2)AF∥DE.7.[2020湖南衡阳]如图,在△ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F.(1)求证:DE=DF;(2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度数.8.[2019唐山路北区三模改编]如图,已知△ABC,按如下步骤作图:①以点A为圆心、AB的长为半径画弧;②以点C为圆心、CB的长为半径画弧,两弧相交于点D;③连接BD,交AC于点E,连接AD,CD.(1)求证:△ABC≌△ADC;(2)若∠DAC=30°,∠BCA=45°,BC=2,求AC的长.9.[2020石家庄模拟]在证明定理“三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半”时,小明给出如下部分证明过程.已知:在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点.求证:.

证明:如图,延长DE到点F,使EF=DE,连接CF,……(1)补全求证;(2)请根据添加的辅助线,写出完整的证明过程;(3)若CE=3,DF=8,求AB的取值范围.综合提升练（建议用时：35分钟）1.[2019唐山路南区三模]如图,有一张三角形纸片ABC,已知∠B=∠C=x°,按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开,可能得不到两个全等三角形纸片的是 ()ABCD2.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为 ()A.15 B.12.5C.14.5 D.173.[2020湖北鄂州]如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=36°.连接AC,BD交于点M,连接OM.下列结论:①∠AMB=36°;②AC=BD;③OM平分∠AOD;④MO平分∠AMD.其中正确结论的个数为 ()A.4 B.3 C.2 D.14.[2020江苏南通]如图,在△ABC中,AB=2,∠ABC=60°,∠ACB=45°,点D是BC的中点,直线l经过点D,分别过点A,B作AE⊥l,BF⊥l,垂足分别为E,F,则AE+BF的最大值为 ()A.6B.22C.23D.325.[2020广西河池](1)如图(1),已知CE与AB交于点E,AC=BC,∠1=∠2.求证:△ACE≌△BCE.(2)如图(2),已知CD的延长线与AB交于点E,AD=BC,∠3=∠4.探究AE与BE的数量关系,并说明理由.图(1)图(2)6.[2020江苏苏州]问题1:如图(1),在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,P是BC上一点,PA=PD,∠APD=90°.求证:AB+CD=BC.问题2:如图(2),在四边形ABCD中,∠B=∠C=45°,P是BC上一点,PA=PD,∠APD=90°.求AB+CDBC的值图(1)图(2)答案第四节全等三角形基础分点练（建议用时：30分钟）考点1全等三角形的判定1.[2020湖南永州]如图,已知AB=DC,∠ABC=∠DCB,能直接判断△ABC≌△DCB的方法是 (A)A.SAS B.AAS C.SSS D.ASA2.[2020黑龙江齐齐哈尔]如图,已知在△ABD和△ABC中,∠DAB=∠CAB,点A,B,E在同一条直线上,若使△ABD≌△ABC,则还需添加的一个条件是AD=AC(答案不唯一,正确即可).(只填一个即可)

考点2全等三角形的判定与性质的综合3.[2020石家庄藁城区二模]老师布置了下面的证明题:如图(1),在△ABC中AB=AC,D,E是BC上两点,且BD=CE.求证:AD=AE.关于小明与小丽的证明方法,下面说法正确的是 (A)A.小明与小丽的证明方法都正确B.小明与小丽的证明方法都不正确C.小丽的证明方法正确,小明的证明方法不正确D.小明的证明方法正确,小丽的证明方法不正确4.[2020湖北黄石]如图,△ABC是等边三角形,点D,E分别是AC,AB边上的点,CD=AE,BD与CE交于点P,则∠BPC等于(C)A.135° B.150° C.120° D.130°5.[2020江西]如图,CA平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若∠EAC=49°,则∠BAE的度数为82°.

6.[2020江苏无锡]如图,已知AB∥CD,AB=CD,BE=CF.求证:(1)△ABF≌△DCE;(2)AF∥DE.(1)证明:∵AB∥CD,∴∠B=∠C.∵BE=CF,∴BE-EF=CF-EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中,AB=CD,∠B=∠C,∴△ABF≌△DCE.(2)证明:∵△ABF≌△DCE,∴∠AFB=∠DEC,∴∠AFE=∠DEF,∴AF∥DE.7.[2020湖南衡阳]如图,在△ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F.(1)求证:DE=DF;(2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度数.(1)证明:∵点D为BC的中点,∴BD=CD.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°.在△BDE和△CDF中,∠DEB=∠DFC,∴△BDE≌△CDF,∴DE=DF.(2)∵∠BDE=40°,∴∠B=90°-∠BDE=50°,∴∠C=50°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-50°=80°.8.[2019唐山路北区三模改编]如图,已知△ABC,按如下步骤作图:①以点A为圆心、AB的长为半径画弧;②以点C为圆心、CB的长为半径画弧,两弧相交于点D;③连接BD,交AC于点E,连接AD,CD.(1)求证:△ABC≌△ADC;(2)若∠DAC=30°,∠BCA=45°,BC=2,求AC的长.(1)证明:由题意可得AB=AD,BC=CD,又AC=AC,∴△ABC≌△ADC.(2)∵AB=AD,BC=CD,∴直线AC垂直平分线段BD,∴∠BEC=∠BEA=90°.∵∠BCA=45°,BC=2,∴BE=CE=2.∵△ABC≌△ADC,∴∠BAC=∠DAC=30°,∴AE=3BE=6,∴AC=AE+CE=6+2.9.[2020石家庄模拟]在证明定理“三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半”时,小明给出如下部分证明过程.已知:在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点.求证:DE∥BC,且DE=12BC证明:如图,延长DE到点F,使EF=DE,连接CF,……(1)补全求证;(2)请根据添加的辅助线,写出完整的证明过程;(3)若CE=3,DF=8,求AB的取值范围.(1)DE∥BC,且DE=12(2)∵点E是AC的中点,∴AE=CE,又∵EF=ED,∠AED=∠CEF,∴△ADE≌△CFE(SAS),∴AD=CF,∠A=∠ECF,∴AD∥CF,∴BD∥CF.∵点D是AB的中点,∴AD=BD,∴BD=CF,∴四边形BDFC是平行四边形,∴DE∥BC,DF=BC.又∵DE=FE,∴DE=12(3)解:∵DF=8,∴BC=8.∵CE=3,∴AC=6,∴BC-AC<AB<BC+AC,即2<AB<14.综合提升练（建议用时：35分钟）1.[2019唐山路南区三模]如图,有一张三角形纸片ABC,已知∠B=∠C=x°,按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开,可能得不到两个全等三角形纸片的是 (C)ABCD2.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为 (B)A.15 B.12.5C.14.5 D.173.[2020湖北鄂州]如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=36°.连接AC,BD交于点M,连接OM.下列结论:①∠AMB=36°;②AC=BD;③OM平分∠AOD;④MO平分∠AMD.其中正确结论的个数为 (B)A.4 B.3 C.2 D.14.[2020江苏南通]如图,在△ABC中,AB=2,∠ABC=60°,∠ACB=45°,点D是BC的中点,直线l经过点D,分别过点A,B作AE⊥l,BF⊥l,垂足分别为E,F,则AE+BF的最大值为 (A)A.6B.22C.23D.325.[2020广西河池](1)如图(1),已知CE与AB交于点E,AC=BC,∠1=∠2.求证:△ACE≌△BCE.(2)如图(2),已知CD的延长线与AB交于点E,AD=BC,∠3=∠4.探究AE与BE的数量关系,并说明理由.图(1)图(2)(1)证明:在△ACE和△BCE中,∵AC=BC,∠1=∠2,CE=CE,∴△ACE≌△BCE.(2)AE=BE.理由:如图,在CE上截取CF=DE.∵在△ADE和△BCF中,AD=CB,∠3=∠4,DE=CF,∴△ADE≌△BCF,∴AE=BF,∠AED=∠CFB.∵∠AED+∠BEF=180°,∠CFB+∠EFB=180°,∴∠BEF=∠EFB,∴BE=BF,∴AE=BE.6.[2020江苏苏州]问题1:如图(1),在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,P是BC上一点,PA=PD,∠APD=90°.求证:AB+CD=BC.问题2:如图(2),在四边形ABCD中,∠B=∠C=45°,P是BC上一点,PA=PD,∠APD=90°.求AB+CDBC的值图(1)图(2)问题1:证法一:∵∠B=90°,∴∠APB+∠BAP=90°.∵∠APD=90°,∴∠APB+∠CPD=90°,∴∠BAP=∠CPD.在△ABP和△PCD中,∠B=∠C,∴△ABP≌△PCD(AAS),∴AB=PC,BP=CD,∴AB+CD=PC+BP=BC.证法二:由证法一,可设∠BAP=∠CPD=α.在Rt△ABP中,BP=PA·sinα,AB=PA·cosα.在Rt△PCD中,CD=PD·sinα,PC=PD·cosα.又∵PA=PD,∴AB=PC,BP=CD,∴AB+CD=BP+PC=BC.问题2:如图,分别过点A,D作BC的垂线,垂足分别为E,F.由“问题1”可知AE+DF=EF,在Rt△ABE和Rt△DFC中,∠B=∠C=45°,∴AE=BE,DF=CF,AB=AEsin45°=2AE,CD=DFsin45°∴BC=BE+EF+CF=2(AE+DF),AB+CD=2(AE+DF),∴AB+CDBC=2(AE+DF)7.[2020唐山二模改编]已知在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,点D为BC的中点.(1)如图(1),若点E,F分别为AB,AC上的点,且DE⊥DF.①试探究BE和AF的数量关系.②四边形AEDF的面积是定值吗?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.(2)如果点E,F分别是AB,CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗?请利用图(2)说明理由.图(1)图(2)解:(1)①如图(1),连接AD.图(1)∵∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC的中点,∴∠EBD=∠FAD=45°,AD=12BC=BD,AD⊥BC∴∠BDE+∠EDA=90°.又∠EDA+∠ADF=90°,∴∠BDE