中考数学考点大串讲（北师大版）：专题03 概率的进一步认识（考点清单）（解析版）

专题03概率的进一步认识(考点清单)考点一用树状图或表格求概率【考试题型1】几何概率都相同，那么它停在△AOB上的概率是()·投掷飞镖1次(假设每次飞镖均落在游戏板上),击中有颜色的小正方形(阴影部分)的概率为【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值.【详解】解：设小正方形的边长为1,则总面积为9,其中阴影部分面积为5,域表示所求事件(A);然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率.形形成的图案.ABCDE备用图(1)一粒米随机落在图中所示的某个方格中(每个方格除颜色外完全一样),求米粒落在阴影部分的概率；【分析】(1)直接利用概率公式计算得出答案；(2)直接利用轴对称图形的性质结合概率公式得出答案.【详解】(1)图中共有9个方格，其中4个方格是阴影，(2)把空白中的C或B涂黑，新图案是轴对称图形.【点睛】此题考查了利用轴对称设计图案以及几何概率，正确应用概率公式是解题关键.【考试题型2】列举法求概率【典例2】有四根细木棒，长度分别为3cm,5cm,7cm,9cm,则随机抽出三根木棒，能够组成三角形的概率是【点睛】本题主要考查了列举法求概率、三角形的三边关系的应用等知识点，通过的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率是解【专训2-1】(2023·全国·九年级假期作业)从1,2,4这三个数中任取两个数组成没有重复数字的两位数，那么组成的两位数是奇数的概率为.【分析】利用列举法进行求解即可.【详解】解：从1,2,4这三个数中任取两个数组成没有重复数字的两位数共有：12,14,21,24,41,42,6种等可能的结果，其中组成的两位数是奇数的有41,21,2种等可能的结果；·【点睛】本题考查列举法求概率.准确的列举出所有等可能的结果，是解题的关键.则小丽获胜(指针指到线上则重转).求：(2)这个游戏公平吗?请你说明理由【分析】(1)列举出所有可能出现的结果，进而求出指针指向数字为3的概率；(2)分别求出妈妈获胜和小丽获胜的概率，通过比较得出结论.【详解】(1)解：将转盘随机转一次，指针指向的数字所有可能的结果有2,4,6,8,10,12,共六种，(2)这个游戏公平，理由如下：能够被4整除的结果数有3种，所有等可能的结果数有6种，【点睛】本题考查随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是解决问题的前提.【考试题型3】列表法或树状图法求概率【典例3】现有一枚质地均匀的硬币，甲抛掷2次、乙抛掷3次，则乙掷出正面向上的次数大于甲掷出正面向上的次数的概率为()【详解】甲抛掷2次，正面朝上的可能次数为0次，1次，2次，乙抛掷3次，正面朝上的可能次数为0次，1次，2次，3次，=>>><=>><<=>总的情况有12种，其中乙掷出正面向上的次数大于甲掷出正面向上的次数的情况有6种，总的情况有12种，其中乙掷出正面向上的次数大于甲掷出正面向上的次数的情况有6种，键.∵共有16种等可能的结果，两次抽出的卡片所标数字不同的有12种情况，【答案】(1)40,30,36(2)根据(1)中求出的C等级的人数求出总人数；【详解】(1)解：8÷20%=40(人),C等级的人数为：40-4-8-16=12(人),故答案为：40,30,36;获奖情况条形统计图获奖情况条形统计图(3)画出树状图如下：获奖情况扇形统计图第1人共有12种等可能的结果，其中选择一男一女，共有6种等可能的结果，【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率.从统计图中有效的获取信息，是解题的【考试题型4】游戏公平性【典例4】小颖、小明两人做游戏，掷一枚硬币，双方约定：正面朝上小颖胜，反面朝上小明胜，则这个游A.公平B.对小颖有利C.对小明有利D.无法确定【分析】先利用概率公式计算出小颖胜的概率,【详解】解：掷一枚硬币，共有2种等可能的结果，其中正面朝上的结果数为1,反面朝上的结果数为1,,,【点睛】本题考查了游戏公平性和概率公式，判断游戏公平性需要先计算每个事件【分析】分别求出小红和小军获胜的概率，然后进行比较即可.:·,故答案为：不公平.【点睛】本题主要考查了概率的计算，解题的关键是分别求出小红和小军获胜的概率.上，甲组扑克牌是红桃2,红桃3和黑桃4;乙组扑克牌是黑桃5、黑桃6、红桃7,作为十位数字，组成的两位数是偶数的概率是_;花色相同，则黄震胜；若花色不同，则程祥获胜，这个游戏规则是否对双方公平?请用列表法或树状图法【分析】(1)先用列表法求得所有结果数以及两位数是偶数的结果数，然后运用概率公式求解即可；(2)先用列表法求得所有结果数以及花色相同、花色不同的结果数，然后运用概率公式分别求出概率，然234567由表可得共有9种结果数，两位数是偶数的结果数有6个，故组成的两位数是偶数的概率是故答案红红黑黑黑红黑红黑黑黑黑红黑红黑黑红红红红红红黑由表可得共有9种结果数，花色相同的结果数有4个，花色不同的结果数有5个，故黄震胜的概率是【点睛】本题主要考查了运用列表法求概率，根据题意正确列表是解答本题的关键.【考试题型5】利用概率计算随机事件发生的平均次数【典例5】在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量.他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为()粒.A.125B.1250C.250D.25【分析】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可.【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对【专训5-1】(2023秋·全国·九年级专题练习)一批电子够多时，平均来说，购买个这样的电子产品，可能会出现1个次品.【答案】4【详解】解：∵产品的抽样合格率为75%,∴当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购4个这样的电子产品，就可能会出现1个次品体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成A,B两组，每组100只，其中A组白鼠给服甲离子溶液，B组白鼠给服乙离子溶液.每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比.离子残留百分比18给服乙离子白鼠(只数)5ab(注：表中A~A₂表示实验数据x的范围为A≤x<A₂)(2)实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比(3)甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位效、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全?请说明理由.离子残留百分比中位数方差【答案】(1)10;35;(2)6.00;(3))由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00,甲中位数5.9<6.3,甲好，甲离子众数6.0<6.3,甲好，从方差看甲离子方差1.38<1.8,甲好.【分析】(1)根据题意可求a+b=45,由P(A)的估计值为0.70,则(2)根据样例给定的方法求即可；(3)由甲离子中位数5.9<6.3,甲离子众数6.0<6.3,从甲离子方差看甲离子方差1.38<1.8做决策即可.因为P(A)的估计值为0.70,解得b=35,a=45-b=45-35=1故答案为：10;35;(3))由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00,甲中位数5.9<6.3,甲好，甲离子众数6.0<6.3,甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用小于乙离子，甲好，从方差看甲离子方差1.38<1.8说明甲【点睛】本题考查用概率估计样本的数据，平均数，中位数，众数，方差，掌握概【考试题型6】概率在转盘抽奖中的应用【典例6】如图的四个转盘中，转盘3,4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为()A.①②④③B.③②④①C.③④②①D.④③②①【详解】解：图1阴影部分为270°,图2阴影部分为240°,图3每份为45°,阴影部分共4份为180°,图4每份为45°阴影部分共5份为225°,所以①>②>④>③,,,①全部情况的总数②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.依此即可求解.【详解】解：∵A区域扇形的圆心角为90°【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现·m种结果，那么事件A的概率·方案一：是直接获得20元的礼金卷；方案二：是得到一次播奖的机会.规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B,这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域(指针落在分割线上时重新转动转盘),根据指针指向的区域颜色(如表)决定送礼金券的多少，指针指向一红一蓝9蓝色红色红色B款和一蓝区的概率.(2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠.【分析】(1)根据题意列出表格，然后根据概率公式求出结果即可；(2)先分别算出指针指在两个红色区域，两个蓝色区域的概率，算出按方案二获得礼金券的平均值，最后进行比较即可得出答案.【详解】(1)解：列表格如下：蓝蓝红蓝(蓝，蓝)(蓝，蓝)(蓝，红)红(红，蓝)(红，蓝)(红，红)红(红，蓝)(红，蓝)(红，红)∵由表格可知，共有9种等可能结果，其中转盘指针分别指向一红区和一蓝区的情况数有5种，【点睛】本题主要考查了列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意【考试题型7】概率在比赛中的应用能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会(使用可去掉一个错误选项),为提高通关概率，他的求助使用策略为()A.两次求助都用在第1题B.两次求助都用在第2题C.在第1第2题各用一次求助D.两次求助都用在第1题或都用在第2题【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可【详解】解：①若两次求助都用在第1题，假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况：..第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1,②若在第1第2题各用一次求助，假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况：.,第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为③两次求助都用在第2题，l5l5和为9的情况数有4种，所以概率共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大，【专训7-1】(2018秋·九年级单元测试)抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1,第二枚骰子的点数为5,则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作(1,5),如果一个游故答案为不公平.到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之【分析】(1)画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出小新都选对的结果数，然后根据概率公式计算；开始开始开始开始错此时小新顺利通过第一关的概率事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.【考试题型8】概率的其他应用【典例8】一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数.若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于则密码的位数至少需要设()解答即可.【详解】解：∵取一位数时一次就拨对密码的概率∴密码的位数至少需要四位，故选项B正确..【专训8-1】(2023秋·湖北黄石·七年级统考阶段练习)一个不透明的袋子里装有除颜色外其他完全相同的红、白、黄三种颜色的球各10个，至少要摸()个才能保证摸出两个不同颜色的球，至少摸()个才能保证摸出两个黄色的球.【分析】(1)由题意可知，袋中共有红、白、黄三种颜色的球，最坏的情况是，取出三个球后，每种颜色的球各有一个，此时只要再任意拿出一个球，就能保证取到的球中有两个颜色相同的球.即至少要取3+1=4个.(2)考虑最坏情况：摸出10个球都是红种颜色，再摸出10个球都是白种颜色，再摸出2个都是黄色，即【详解】解：(1)3+1=4(个),(2)10+10+2=22(个),答；至少要摸出4个才能保证有两个球的颜色相同，至少要摸22个才能保证摸出两个黄色的球.故答案为：4,22【点睛】本题考查抽屉原理，熟练掌握抽屉原理中的最坏情况进行分析是完成本题的关键.【专训8-2】(2023春·辽宁丹东·七年级统考期末)在四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与.(2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为 ;抽中二等奖的概率为;中奖的概率为_;(3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸于摸到黑球的概率.(2)利用概率公式直接进行计算.(3)设计摸球游戏中的球总数为15,红球和白球个数相同，且多于黑球的个数即可.(2)解：∵袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，且从袋子中摸出1个球，红色、黄色球2个，其他的球都是黄色球.【点睛】本题考查随机事件，概率公式，游戏设计，掌握概率的意义是解题的关键.球2个，其他的球都是黄色球.【点睛】本题考查随机事件，概率公式，游戏设计，掌握概率的意义是解题的关键.考点二用频率估计概率【考试题型1】求某事件的频率【典例1】期中调研日期为“2023年04月20日”,其中出现的频率相同的数字是()【详解】解：在“2023年04月20日”中，共有0、2、3、4四个数字，其中0出现了3次，2出现了3次，3出现了1次，4出现了1次，则数字0和2的频率相同，均数字3和4的频率相同，均为【点睛】本题考查了频率，掌握频数与总次数的比值(或者百分比)称为这类数据频数的频率是解题关键.【点睛】本题主要考查频数与频率，频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比),即频率【专训1-2】(2023秋·贵州贵阳·九年级校考阶段练习)在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均不断重复.如表是活动进行中的一组统计数据：bmmlna(3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球(2)根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6;(3)根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6,然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数.故答案为：0.58,118;(2)由表格的数据可得，(3)15÷0.6-15=10(个),答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球.【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计值就是这个事件的概率.【考试题型2】由频率估计概率【典例2】如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，下面有四个推断，其中最合理的()0500100015002000250030003500400045005000投掷次数【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题.【详解】解：A、当投掷次数是1000时，计算机记录“凸面向上”的频率是0.443,所以“凸面向上”的频率是0.443,概率不一定是0.443,故A选项不符合题意；B、若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率不一定是面向上”的概率是0.440,故C选项符合题意；【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答.的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为.∴a的值约为15.故答案为：15.【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.关键是根据红球的概率计算公式列出方程.不断重复.如表是活动进行中的一组统计数据：wwlna(3)如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的小球?【分析】(1)根据表中的数据，计算得出摸到白球的频率；(3)根据摸到白球的频率即可求出摸到白球概率.根据口袋中白球的数量和概率即可求出口袋中球的总数，(2)解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6,(3)解：12÷0.6-12=8个，答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球.【点睛】本题考查如何利用频率估计概率，解题关键是要注意频率和概率之间的关系.【典例3】一个不透明的袋子中有若干个白球，为估计