第3章圆的基本性质【单元提升卷】（解析版）

第3章圆的基本性质【单元提升卷】（浙教版）（满分120分，完卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共28题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、单选题1．若扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长是（

）A．π B．2π C．4π D．8π【答案】B【详解】试题分析：扇形的弧长=，把相应数值代入即可求解．扇形的弧长=，故选B．考点:圆锥的计算．2．如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上异于B，C的一点，则∠A的度数为（）A．60° B．70° C．80° D．90°【答案】D【详解】试题分析：∵BC是⊙O的直径，∴∠A=90°．故选D．考点：圆周角定理．3．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于()A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】C【详解】试题分析：如图，连接BD，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°.∵点D是AC的中点，∴∠ABD=∠CBD．∵∠ABC=50°，∴∠ABD=25°.∴∠DAB=90°－25°=65°,故选C.4．已知圆O的半径是3，A，B，C三点在圆O上，∠ACB=60°，则弧AB的长是（）A．2π B．π C．π D．π【答案】A【详解】分析：先根据同弧所对的圆心角是其所对圆周角的2倍求出∠AOB的度数，再根据扇形的弧长公式计算.详解：如图，∵∠AOB与∠ACB对的弧相同，∠ACB=60°，∴∠AOB=2∠ACB=120°，∴．故选A．点睛：本题考查了圆周角定理和弧长的计算公式，熟记弧长计算公式是解答本题的关键，如果扇形的圆心角是nº，扇形的半径是R，则扇形的弧长l的计算公式为：.5．如图，一把折扇展开后是一个扇形，其中圆心角为120°，OB=2，AB=3，则折扇纸面部分的面积为（

）A．1 B．π C．7 D．7π【答案】D【详解】因为OB=2，AB=3，所以OA=AB+OB=5，因为贴纸部分的面积等于扇形OAD减去小扇形的面积，所以两面贴纸部分的面积S=﹣=7π（cm2），故选D．6．如图，在圆中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接.如果，则(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据∠ACD等于所对的圆周角减去所对的圆周角可得出∠DAC的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．【详解】如图，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=90°-∠BAC=90°-20°=70°．根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠B=∠CDB=70°，故选B．7．如图(十六)，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为何？A．40 B．50 C．60 D．80【答案】A【详解】设圆心为O,择O为AE（直径）连接OD则OD为RT△ADE的中线∴△ODE的面积=5而正八边形ABCDEFGH由8个△ODE组成，∴正八边形ABCDEFGH的面积=8×5=40故选A8．如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为【

】A．1 B． C． D．【答案】C【详解】连接AE，OD，OE．∵AB是直径，∴∠AEB=90°．又∵∠BED=120°，∴∠AED=30°．∴∠AOD=2∠AED=60°．∵OA=OD．∴△AOD是等边三角形．∴∠A=60°．又∵点E为BC的中点，∠AED=90°，∴AB=AC．∴△ABC是等边三角形，∴△EDC是等边三角形，且边长是△ABC边长的一半2，高是．∴∠BOE=∠EOD=60°，∴和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积．∴阴影部分的面积=．故选C．9．已知的半径为，点是内一点，且，过作互相垂直的两条弦、，则四边形面积的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【详解】如图：连接OA、OD，作OE⊥AC，OF⊥BD，垂足分别为E.

F，∵AC⊥BD，∴四边形OEPF为矩形，已知设OE为x,则∴如设OF为y，同理可得：∴由此可知AC与BD两线段的平方和为定值，又∵任意对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的当AC=BD时,即∴四边形ABCD的面积等于5.故选B.10．如图△ABC与△CDE都是等边三角形,且∠EBD=65°,则∠AEB的度数是(

)A．115° B．120° C．125° D．130°【答案】C【详解】∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BC,CE=CD,∠BAC=60°,∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB−∠ECB=∠ECD−∠ECB，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴∠CAE=∠CBD，∵∠EBD=65°，∴65∘−∠EBC=60°−∠BAE，∴65°−(60°−∠ABE)=60°−∠BAE，∴∠ABE+∠BAE=55°，∴∠AEB=180°−(∠ABE+∠BAE)=125°.故选C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质，根据等边三角形性质得出AC=BC，CE=CD，∠BAC=60°，∠ACB=∠ECD=60°，求出∠ACE=∠BCD，证△ACE≌△BCD，根据全等三角形的性质得出∠CAE=∠CBD，求出∠ABE+∠BAE=55°，根据三角形内角和定理求出即可．二、填空题11．如图，⊙O的半径为2，点A，B在⊙O上，∠AOB=90°，则阴影部分的面积为_____．【答案】π﹣2【分析】根据∠AOB=90°，OA=OB可知△OAB是等腰直角三角形，根据S阴影=S扇形OAB-S△OAB即可得出结论．【详解】解：∵∠AOB=90°，OA=OB，∴△OAB是等腰直角三角形．∵OA=2，∴S阴影=S扇形OAB﹣S△OAB==π﹣2．故答案为：π﹣2．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．12．如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=70°，那么圆周角∠C=_____．【答案】35°．【详解】试题分析：根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,可得∠C=∠AOB=×70°=35°．考点：圆周角定理.13．已知⊙O的半径为5，若P到圆心O的距离是4，则点P与⊙O的位置关系是________．【答案】点P在⊙O内【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：∵⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4，∴点P到圆心O的距离小于圆的半径，∴点P在⊙O内．故答案为点P在⊙O内.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．14．已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝60°，则∠DCE＝________.【答案】60°【详解】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠A．∴∠A=60°，∴∠DCE=60°．故答案为60°．点睛：此题考查圆的内接四边形的性质，先根据圆内接四边形的对角互补及邻补角互补得出∠A+∠BCD=180°，∠BCD+∠DCE=180°，然后根据同角的补角相等得出∠DCE=∠A=60°．15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=65°，则∠A=________°．【答案】115º．【详解】试题分析：因为圆内接四边形对角互补，∠C=65°，所以∠A=180°-65°=115°，故答案为115º．考点：圆内接四边形性质．16．广告设计人员进行图案设计，经常将一个基本图案进行轴对称、平移和________等．【答案】旋转【详解】试题分析：熟练掌握几种几何变换的类型即可作出回答．试题解析：几何变换包括：平移、轴对称、旋转．故答案为旋转．考点:利用旋转设计图案．17．已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为________．【答案】2或3【详解】试题解析：当点P在圆内时，则直径=5+1=6，因而半径是3；当点P在圆外时，直径=5-1=4，因而半径是2．所以⊙O的半径为2或3．18．一条弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的3倍，则这条弦所对的圆周角为________．【答案】45°或135°【分析】先根据题意求出∠AOB=90°，再由一条弦对两个圆周角，再由圆周角定理求解即可．【详解】解：如图，∵弧ACB=3弧AB，∴∠AOB=90°，∴∠C=45°，∴∠D=135°，故答案为45°或135°．【点睛】此题主要考查了圆周角定理和等弧对等弦，是基础知识要熟练掌握．19．如图，△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O，则点A1坐标为________．【答案】（﹣1，）或（﹣2，0）【分析】需要分类讨论：在把△ABO绕点O顺时针旋转150°和逆时针旋转150°后得到△A1B1O时点A1的坐标．【详解】解：∵△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，∴tan∠AOB=＝，∴∠AOB=30°．如图1，当△ABO绕点O顺时针旋转150°后得到△A1B1O，则∠A1OC=150°-∠AOB-∠BOC=150°-30°-90°=30°，则易求A1（-1，−）；如图2，当△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则∠A1OC=150°-∠AOB-∠BOC=150°-30°-90°=30°，则易求A1（-2，0）；综上所述，点A1的坐标为（-1，−）或（-2，0）；故答案为（-1，−）或（-2，0）．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转．解题时，注意分类讨论，以防错解．20．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，连接OD，则OD长的最大值为________．【答案】##【详解】解：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，连接OP，则CO＝2CE，∵AB=4，BC=2，∠COE=90°-60°=30°，∴OC=4，∴CE=2，OE＝2，∵∠DCP=60°=∠ECO，∴∠OCP＝∠ECD，∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°，∴CP＝2CD，∴，∴△COP∽△CED，∴，即ED＝OP＝1（定长），∵点E是定点，DE是定长，∴点D在半径为1的⊙E上，∵OD≤OE＋DE，∴OD≤，∴OD的最大值为，故答案为：.三、解答题21．如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上．①以原点为对称中心，画出与关于原点对称的．②将绕点沿逆时针方向旋转得到，画出，并求出的长．【答案】①见解析；②【详解】试题分析：（1）根据对称点平分对应点连线可找到各点的对应点，从而顺次连接即可得出△A1B1C1；（2）根据图形旋转的性质画出△A2B2C2，并求得的长.试题解析：①②∴即为所求设点为点，∵，，∴，．∵，∴．∵旋转，∴，．∵，，∴，．∵，∴．22．已知：如图，⊙O中弦．求证：AD=BC．【答案】见解析【分析】先根据等弦所对的劣弧相等得到，从而得到，再由等弧所对的弦相等即可得到．【详解】证明：∵AB=CD，∴，∴，．【点睛】本题主要考查了弧与弦之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握等弦所对的劣弧相等，等弧所对的弦相等．23．如图，在⊙O中，AD是直径，弧AB=弧AC，求证：AO平分∠BAC．【答案】见解析【分析】由等弧所对的圆周角相等得∠AOB=∠AOC，由边角边证得△AOB≌△AOC，再由全等三角形的对应角相等得证.【详解】解：∵弧AB=弧AC，∴∠AOB=∠AOC，在△AOB与△AOC中，∵OA=OA，∠AOB=∠AOC，OB=OC，∴△AOB≌△AOC（SAS）.

∴∠OAB=∠OAC.∴AO平分∠BAC.24．如图,P是⊙O的直径AB延长线上一点,点C在⊙O上,AC=PC，∠ACP=120°．（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）若AB=4cm，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积=2﹣．【详解】试题分析：（1）根据等腰三角形中等边对等角即可求得∠OCP的度数，即可证得；（2）利用扇形的面积公式，以及阴影部分的面积=S△OCP﹣S扇形OCB即可求解．试题解析：（1）连接OC．∵∠ACP=120°，AC=PC，∴∠A=∠P==30°，∴∠COP=2∠A=60°，在△OCP中，∠OCP=180°﹣60°﹣30°=90°．∴OC⊥CP，∴CP是⊙O的切线；（2）AB=4cm，则OC=AB=2cm，∵直角△OCP中，∠P=30°，∴OP=2OC=4，∴CP=2，∴S△OCP=OC•CP=×2×2=2（cm2），S扇形OCB=（cm2），则阴影部分的面积=2﹣（cm2）．考点：切线的判定．25．在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=110°，若点E在上，求∠E的度数．【答案】125°【分析】连接BD，先根据圆内接四边形的性质计算出∠BAD=180°-∠C=70°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ABD=55°，然后再根据圆内接四边形的性质可得∠E的度数．【详解】解：连接BD，∵∠C+∠BAD=180°，∴∠BAD=180°﹣110°=70°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABD=（180°﹣70°）=55°，∵四边形ABDE为圆的内接四边形，∴∠E+∠ABD=180°，∴∠E=180°﹣55°=125°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．26．已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是弧AB的中点．过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．(1)判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若CF＝6，∠ACB＝60°，求阴影部分的面积．【答案】(1)直线EF与⊙O相切，理由见解析(2)8-【分析】(1)首先根据直径所对的圆周角为直角得出∠ABC=∠F=90°，从而得出ABEF，根据弧的中点得出OD⊥AB，从而根据平行线得出OD⊥EF，从而得出切线；(2)首先根据勾股定理求出CE、EF和CF的长度，然后根据题意得出△ODE和△CEF相似求出DE的长度，最后根据阴影部分的面积等于△ODE的面积减去扇形OAD的面积求出答案.（1）解：直线EF与⊙O相切，理由为：连接OD，交AB于点M，如图所示：

∵AC为⊙O的直径，∴∠CBA=90°，

又∵∠F=90°，∴∠CBA=∠F=90°，

∴ABEF，

∴∠AMO=∠EDO，

又∵D是弧AB的中点．∴，

∴OD⊥AB，

∴∠AMO=90°，

∴∠EDO=90°，

∵OD是⊙O的半径，∴EF为圆O的切线；（2）解：在Rt△CEF中，∠ACB=60°，∴∠E=30°，又∵CF=6，

∴CE=2CF=12，根据勾股定理得：EF==6，在Rt△ODE中，∠E=30°，

∴OD=OE，∵OE＝OA＋AE＝OD＋AE＝2OD，∴OD＝OA＝OC＝AE＝4，OE=8，又∵∠ODE=∠F=90°，∠E=∠E，

∴△ODE∽△CFE，

∴，即，解得：DE=4，

又∵Rt△ODE中，∠E=30°，

∴∠DOE=60°，则S阴影=S△ODE-S扇形OAD=×4×4-=8-.【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、圆周角定理、含30°角直角三角形的性质、垂径定理的的推论、勾股定理、相似三角形的判定和性质、扇形的面积计算，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC的延长线与AD的延长线相交于点E，且DC=DE．求证：∠A=∠AEB．【答案】见解析【分析】根据圆内接四边形的对角互补可得∠A+∠BCD=180°，再由邻补角互补可得∠BCD+∠