D7-2一阶微分方程

机动目录上页下页返回结束一可别离变量方程三一阶线性微分方程二齐次方程7.2一阶微分方程一阶微分方程的一般形式是一阶微分方程的显式形式是或一阶微分方程的对称形式是机动目录上页下页返回结束一可别离变量方程或通过恒等变形可变为假设一阶微分方程有如下形式那么称其为可分变量的微分方程机动目录上页下页返回结束〔一〕可别离变量方程的形式〔二〕别离变量方程的解法设y＝

(x)

是方程①的解,两边积分,得①那么有②那么有机动目录上页下页返回结束即②称②为方程①的隐式通解,或通积分.机动目录上页下页返回结束反之假设有当与均可微且那么由隐函数理论知方程②可确定以x为自变量隐函数设为y＝

(x)，微分②两边得即②确定的隐函数是微分方程的解。类似地当与均可微且时，方程②确定以y为自变量隐函数设为是微分方程的解。例1求微分方程的通解.别离变量得两边积分得即(C

为任意常数)或(此式含别离变量时丧失的解y=0)机动目录上页下页返回结束解:

例2解初值问题别离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C

为任意常数)故所求特解为机动目录上页下页返回结束解:练习:解法1别离变量机动目录上页下页返回结束方程的通解即(C<0)解法2那么故有积分所求通解:(C

为任意常数)例3子的含量

M

成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t

的变化规律.根据题意,有(初始条件)对方程别离变量,然后积分:t=0时铀的含量为放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原机动目录上页下页返回结束解:即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为例4成正比,求根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程别离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.t

足够大时机动目录上页下页返回结束解:例5求下述微分方程的通解:令机动目录上页下页返回结束解:那么故有即解得(C为任意常数)所求通解:思考与练习求以下方程的通解:提示:(1)别离变量(2)

方程变形为机动目录上页下页返回结束形如的方程叫做齐次方程

.令解法二齐次方程机动目录上页下页返回结束〔一〕齐次方程那么故代入原方程得别离变量:两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.例6解微分方程解:代入原方程得别离变量两边积分得故原方程的通解为机动目录上页下页返回结束(

当C=0时,y=0也是方程的解)(C

为任意常数)例7解微分方程解:机动目录上页下页返回结束方程变形为令那么有别离变量即积分得即(C

为任意常数)代回原变量得通解注:

显然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在求解过程中丧失了.例8解微分方程解:那么有别离变量积分得即积分得即当时当时那么有别离变量〔二〕可化为齐次方程的方程作变换机动目录上页下页返回结束1当时，(h,k

为待定常数),

那么原方程化为令解出h,k

原方程化为作变换机动目录上页下页返回结束1当时，选择适当h,k

原方程化为进一步化为是齐次方程，求出其解后将代入。原方程可化为机动目录上页下页返回结束2当时，令那么原方程可化为(可别离变量方程)注:

上述方法可适用于下述更一般的方程例9求解解:令机动目录上页下页返回结束那么原方程化为令得故令方程变为即令即Y＝X

u,得机动目录上页下页返回结束令方程变为，令别离变量得积分后得故再由得C=1,方程解为例10:求解解第四节目录上页下页返回结束令那么那么原方程化为别离变量得即积分得整理后其中故原方程有通解一阶线性微分方程标准形式:假设Q(x)0,若Q(x)

0,称为非齐次方程

.称为齐次方程

;机动目录上页下页返回结束三一阶线性微分方程〔一〕解齐次方程别离变量两边积分得故通解为机动目录上页下页返回结束〔二〕解非齐次方程常数变易法:机动目录上页下页返回结束注意到非齐次方程对应齐次方程通解为自然也是齐次方程的解。设是非齐次方程的解，计算，这当然是个函数设为即即非齐次方程有解形如接下来任务是求那么即设机动目录上页下页返回结束是的解，两端积分得故原方程的通解齐次方程通解非齐次方程特解即例11解方程解:即积分得即用常数变易法求特解.令那么代入非齐次方程得解得故原方程通解为机动目录上页下页返回结束练习:利用公式计算先解例12有一电路如下图,电阻

R

和电感∼解:经过电阻R的电压降为Ri经过L的电压降为因此有即初始条件:其中电源求电流L

都是常量,机动目录上页下页返回结束电动势为由闭合回路中,所有支路上的电压降为0，且∼利用一阶线性方程解的公式可得机动目录上页下页返回结束由初始条件:得暂态电流稳态电流∼因此所求电流函数为解的意义:机动目录上页下页返回结束例13求方程的通解.分析方程对y

言是非线性的,但对x而言却是线性的。方程可变为机动目录上页下页返回结束解那么例14求方程的通解.注意x,y

同号,机动目录上页下页返回结束解:当时，有故方程也为变形为即这是以y为自变量，为函数的一阶线性方程,其中例14求方程的通解.机动目录上页下页返回结束当时，方程为这是以y为自变量，为函数的一阶线性方程,其中故即当时，方程通解为类似可解情形。例15求一连续可导函数使其满足以下方程:解:机动目录上页下页返回结束令得求导得即利用公式可求出注此类方程称为积分方程,可以通过求导转化为微分方程;需注意的是这类问题是一个定解问题〔三〕伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的标准形式:除方程两边,得解法:伯努利目录上页下页返回结束以即令(线性方程)求出此方程通解后,换回原变量即得伯努利方程的通解.例16

求方程的通解.方程两边除以其通解为机动目录上页下页返回结束解:得：即即令那么方程变为原方程通解:一阶微分方程求解1※可分离变量方程解法(1)分离变量(2)积分

齐次方程某些一阶方程换元常系数变易齐次2※全微分方程注:当方程视y为函数时不是线性的,可考察视x为函数时是否线性思考题.设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解:1)先解定解问题利用通解公式,得利用得故有机动目录上页下页返回结束2)再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得因此有3)原问题的解为机动目录上页下页返回结束速度大小为2v,方向指向A,提示:设t时刻B位于(x,y),如下图,那么有去分母后两边对

x

求导,得又由于设物体

A

从点(0,1)出发,以大小为常数v备用题的速度沿y轴正向运动,物体B

从(–1,0)出发,试建立物体B

的运动轨迹应满足的微分方程及初始条件.①机动目录上页下页返回结束代入①式得所求微分方程:其初始条件为机动目录上页下页返回结束(雅各布第一·伯努利)