第04讲 利用几何法解决空间角和距离19种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假课（人教A版2019选择性必修第一册）解析版

第04讲利用几何法解决空间角和距离19种常见考法归类

学习目标¥

学会利用几何法求空间角及空间距离.

1］旨基础知识

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHIIIII1IIII----------------------

1、异面直线所成的角

(1)定义：已知。，6是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a'〃a,b'//b,把d与加所成的角叫

做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)范围：(()，2..

注：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直

线所成的角，也可能等于其补角.

2、直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线

垂直于平面，则它们所成的角是90。；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°.

匹-

(2)范围：\_0,2..

3、二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①OW/；②OAua,OBu§；③OA_L/,OBLI,则二面角a-/一夕的平面角是/AO2.

(3)二面角的平面角a的范围：0。3区180。.

4、点到平面的距离

已知点P是平面a外的任意一点，过点P作垂足为A，则PA唯一，则PA是点尸到平面a

的距离。即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离(转化为点到点的距离)

结论：连结平面a外一点p与a内一点所得的线段中，垂线段P4最短.

:由解题策略

---------------------IlllllllllllllllllllllllllillUllilllllll''

1、求异面直线所成的角的方法和步骤

(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平

移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.

(2)求异面直线所成角一般步骤：一作、二证、三求

①平移：经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，平移异

面直线中的一条或两条成为相交直线，作出异面直线所成的角.

②证明：证明所作的角是异面直线所成的角.

③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.

④取舍：因为异面直线所成角。的取值范围是(o,,所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异

面直线所成的角.

2、求直线与平面所成的角的方法和步骤

(1)垂线法求线面角：

①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A,过点A向平面a做垂线，确

定垂足O;

②连结斜足与垂足为斜线AB在面a上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；

③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形).

(2)平移法求线面角

是指利用图形平移变换的性质，构造满足求解的条件，进而得出结论的方法.在运用平移法求解线面角

问题时，我们可以利用图象平移的性质：图形移动位置后其大小、形状、面积等都不改变，将分散的条件

关联起来，以便将立体几何问题转化为平面几何问题来求解.

(3)等体积法求线面角

通过换底求体积求出斜线上一点到平面的距离，再求直线与平面所成角的正弦值，如图，已知平面a与

PO

斜线AP,PO，a,则P0线面角为/PAO,sinNPAO=——，要求线面角，关键是求垂线段PO的长度，而垂

AP

线段P0的长度可看作点P到平面a的距离，在平面a内找一个三角形（点A是其中一个顶点）与点P构成三

棱锥，在三棱锥中借助等体积法就可以求P0的长度，从而达到简便求解线面角的目的.

3、求二面角的平面角的方法和步骤

（1）求二面角大小的步骤是：

①作：找出这个平面角；

②证：证明这个角是二面角的平面角；

③求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小.

（2）确定二面角的平面角的方法

①定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律

在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.

如：“三线合一型”、“全等型”

②三垂线法（面上一点双垂线法）一一最常用

自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足

和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角

③等体积法

利用三棱锥等体积法求出点A到平面PBC的距离d,如图，点A到二面角A-PB-C的棱PB的距离为

h（即△PAB中PB边上的高），则二面角A-PB-C的正弦值为sin6=4.

③垂面法（空间一点垂面法）

过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

④射影面积法

已知平面a内的平面图形r的面积为5,它在平面•内的射影厂的面积为设平面a与平面6所成二面角

的平面角为6,则当8e|o塔时，cos8=*；当8e仔同时，cos”J

4、求解点面距的方法和步骤

（1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；

（2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离：

（3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离.

G考点剖析

考点一：直接平移法求异面直线所成的角

1.（2023春・广东广州•高一广州市第六十五中学校考期中）在正方体A8CZ）-A8Ca中,E,F分

别为A8,AO的中点，则异面直线耳C与族所成角的大小为（）

A.30B.45C.60D.90

【答案】C

［分析］由题易得EF//BR，连接8,即可得出为等边三角形，从而得出所求角的大小为60°.

【详解】如下图所示，连接BQBQrRC

EF//DB,DBHD、B\EFHD、B、

则异面直线8c与E厂所成角为WC

。国=BC=AC,即Bg为等边三角形

ZD,B.C=60°.

故选:C.

变式1.（2023春•山东滨州•高一山东省北镇中学校联考阶段练习）如图，在长方体ABCO-ABCa中，

AB=AD=\,AAt=2,且E为。。的中点，则直线8。与AE所成角的大小为（）

【答案】C

【分析】取CG的中点/，可得直线BR与AE所成角即为直线3〃与所所成的NRBF,在.。出尸中由余

弦定理可得答案.

【详解】取CC,的中点F,连接2尸、BF,所以AE〃8F,

直线B1与AE所成角即为直线BD,与AF所成的ND、BF,

所以£>i尸°=QC：+FC：=2,BF'=BC2+CF2=2,

22222

D.B=DICI+D,A1+DID=l+l+2=6,

在，QB尸中由余弦定理可得cos4D、BF=QB~+BF--。尸一6+2-2

-

2D}BxBF2x>/2x>/62

71TT

因为NRBbc0,-,所以/。5尸=一.

6

故选：C.

变式2.（2023春・江苏南京•高一南京市第九中学校考阶段练习）如图，圆柱的底面直径A3与母线相等,

E是弧A8的中点，则AE与8。所成的角为（）

c兀

A-?D.-

-7-72

【答案】C

【分析】作出辅助线，找到异面直线形成的夹角，求出各边长，利用余弦定理求出夹角.

【详解】取QC的中点F，连接EF,BF,DF,则EF//AD,且防=4）

故四边形4）/芯为平行四边形，所以。/

所以NEDB或其补角为AE与50所成角,

设/出=1,则40=1,由勾股定理得，

,LCCDF-+BD2-FB-

由余弦定理得cos-DB=FF而-2x也x02

2

JT

t^ZFDB=~,

所以AE与BD所成角为小

故选：c

考点二：中位线平移法求异面直线所成的角

|X］例2.（2023春•全国•高一专题练习）在四棱锥S-43CD中，SA_L平面ABC。，AB=AS=2,底面

ABC3是菱形，NABC=60。，E,F,G分别是SA，SB,8c的中点，则异面直线。E与FG所成角的余弦

值为（）

A.旦B.亚

33

C.旦D.叵

55

【答案】D

【分析】连接AC、BD交于点、0,连接OE,说明异面直线柘与DE所成的角为NOED或其补角，计算出

OE、DE,即可求得cosNOE。，即可得出结论.

【详解】连接AC、BD交于点。，连接OE,

因为四边形ABC。为菱形，ACBD=O,则。为AC的中点，且AC1BD,

因为E为SA的中点，则。E//SC,

又凡G分别是S3.8c的中点，所以FG〃SC,故尸G〃OE

所以，异面直线。E与尸G所成的角为NOED或其补角，

SAJ■平面ABC。，血匚平面4台。，../?/），贽,

BD1AC,SAr\AC=A,SA,ACu平面SAC,,8DJ_平面SAC,

:OEu平面SAC,OE±BD,

因为AB=BC,ZABC=60,则.ABC为等边一角形，

同理可知aACD也为等边三角形，又必=43=2,

/.OD=^ADr-AOr=43-

同理可得OE=JAEFO?，DE=y)AD2+AE2=75-

巾.」、］-_OE_VlO

所以，cos//OriEcDn=-----―产—----.

DE455

因此，异面直线尸G与OE所成的角的余弦值为巫.

5

故选：D.

变式1.（2023春•广东深圳•高一深圳市罗湖高级中学校考期中）如图，在三棱锥O-A8C中，AC=gBD,

且AC上B£）,E,F分别是棱OC,A8的中点，则瓦1和AC所成的角等于.

【答案】30。/T£T

6

【分析】取8C的中点G,连接FG、EG,则/EFG为EF与4C所成的角.解&EFG.

【详解】如图所示，取8c的中点G,连接FG,EG.

E,F分别是CD,A3的中点,

FGAC,EG//BD,iLFG=-AC,EG=-BD.

22

.♦.NEFG为Er与AC所成的角（或其补角）.

乂QAC=6BD,FG=>/3EG.

乂-A—BD,:.FG工EG,ZFGE=90°,

.♦.△EFG为直角三角形，，tanNEFG=£9=^,又/EFG为锐角，

FG3

:.ZEFG=30。，即EF与AC所成的角为30。.

故答案为：30°.

变式2.（2023春•陕西西安・高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）在四棱锥中，所有侧棱

长都为4夜，底面是边长为2指的正方形，。是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线

OP与BM所成角为

【答案】60

【分析】取OC的中点为N,连接MM8N,利用中位线性质得OP〃MN,则异面直线夹角转化为求ZBMV,

再利用勾股定理求出相关线段长，最后求出tanNBMN即可得到答案.

【详解】由题意可知底面A8CQ是边长为2面的正方形，所有侧棱长都为40

则四棱锥P-ABCD为正四棱锥,。为正方形的中心，

取OC的中点为N,连接MMBN,又因为M是PC的中点，则。P//MN,

则ZBMN即为所求，因为。PJL平面ABCD,

所以W平面AB8,则BN==屈,

MN=Lpo=LyjpB2-BO-=右，贝hanNBMN=处=埠=+,

22MN亚

因为0<ZBMN<90,所以4BA/N=60.

故答案为：60.

变式3.（2023春・广东广州•高一广州市天河中学校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=6正方形ADEF

的边长为1,且平面A3CO工平面ADEF,则异面直线BD与FC所成角的余弦值为（）

c75D.f

5

【答案】C

【分析】取A尸的中点G,连接AC交于。点,异面直线BD与FC所成角即直线8。与OG所成角.在△O8G

中，分别求得08,0G,BG,利用余弦定理即可求得cosNBOG,从而求得异面直线夹角的余弦值.

【详解】取AF的中点G,连接AC交8。于。点，如图所示,

异面直线BD与FC所成角即直线BD与OG所成角,

由平面ABC。1平面ADE尸，AFLAD,平面ABCDc平面尸=4）,

在尸匚平面4/^尸知，4E_L平面ABCD，又AC,A8u平面A3CD.

所以A/7J_AC,AFJ.AB,由题易知AC=BD=2，

所以B=#7F=&，则OG=2CF=@,OB=^BD=1,

222

BG=出尸+（百了=半,则在△OBG中，由余弦定理知，

OB-OG-BG?

cos/BOG=

WBOG

由两宜线夹角取值范围为［0,余，则直线8。4OG所成角即异面直线8。与FC所成角的余弦值为竽.

故选：C

【点睛】方法点睛：将异面直线平移到同一个平面内，利用余弦定理解三角形，求得异面直线的夹角.

变式4.（2023春•上海宝山•高一上海市行知中学校考阶段练习）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正

方形，底面ABC。，AP=A8=A£>=2,E是侧棱尸8的中点.

⑴证明A£_L平面P8C.

（2）求异面直线4E与所成的角；

【答案】（1）证明见解析

（2）60°

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证：

（2）先利用中位线定理证得£O〃P£>,从而得到NAEO或其补角即为异面直线AE与PD所成的角，再确

定△AEO为正三角形，从而得解.

【详解】（1）因为PAL底面ABC。，8Cu平面ABC。，所以以

又A3_L8C,A3cPA=A,A3u平面尸AB,PAu平面BAB,

所以8c工平面上4B,又AEu平面所以A£_L8C,

因为AP=A8,E是侧棱PB的中点，所以隹，心，

乂BCcPB=B,BCu平面PBC,P8u平面PBC,

所以A£_L平面尸8c.

（2）连AC,8。，两直线交丁点。，连EO,

因为底面ABCO是正方形，所以。是。8的中点，

乂E分别是心的中点，所以EO〃PD,

所以NAEO或其补角就是异面直线AE与阳所成的角,

因为ABC。为正方形，且===

所以P8=JPAi+AB?=20，PD=y/PA2+AD2=242>AC=yjAB2+BC2=272-

故AE=LpB=e,EO=LpD=叵AO=LAC=五,即△AEO是正三角边，

222

所以NAEO=60。.

所以异面直线AE与P。所成的角为60'.

变式5.（2023春•甘肃定西•高一甘肃省临洲中学校考期中）如图，四棱锥尸-他CD中，PAL平面A8CD,

底面ABCD是边长为1的正方形，PA=AD,E为El的中点，F为PO的中点.

⑴求证：人尸，平面尸£心；

（2）求异面直线BE与尸。所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵巫

10

【分析】（1）证明出CD_L平面R4D,可得出M_LCD,利用等腰三角形三线合一的性质可得出AF_LP£>,

再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立：

（2）取A。的中点G,连接EG、BG,分析可知异面直线BE与尸。所成角为/BEG或其补角，计算出BEG

三边边长，即可求得N8EG的余弦值，即为所求.

【详解】（1）证明：因为四边形4BC。为正方形，则C0J.A。，

因为PAL平面ABC。，CDu平面ABC。，所以，CDLPA,

因为24cA£>=A,PA,AOu平面PAO,所以，CD_L平面PAD，

因为AFu平面上A£）,所以，AF_LC£>,

因为R4=A£>，尸为P£>的中点，所以，AFLPD-

因为COPD=D,CD、PDu平面尸CD,所以，AFJ•平面PCD.

（2）解：取AD的中点G,连接EG、BG,

因为E、G分别为始、AD的中点，所以，EGMPDREG=；PD,

所以，异面直线5E与所成角为/8EG或其补角，

因为R4=M>=1,四边形ABC£>是边长为1的正方形，且PA1"平面ABCD，

且AOu平面A3C£>,所以，PAA.AD,则PD=JPA?+AD?=夜，故EG=；PD=^

因为BG=>W+AG2+=与,同理可得BE=乎，

取EG的中点H,连接8”,则故/BEG=里=之=立3=叵，

BEBG4石10

因此，异面直线BE与PO所成角的余弦值为®.

10

考点三：平行四边形平移法求异面直线所成的角

（2023春•上海奉贤•高一上海市奉贤中学校考阶段练习）如图，在长方体中,

AB=AD^4,C£=5,M、N分别是G。、AC的中点，则异面直线DN和CM所成角的余弦值为（）

3场

29

【答案】D

【分析】取的中点为P，将MC平移到NP即可知异面直线DN和CM所成的角的平面角即为ZDNP,

再利用余弦定理即可解得cosNLWP=沙.

29

【详解】取AR的中点为P，连接MP,DP,NP,如下图所示:

M是GR的中点，的中点为P,所以MP//4G，且MP=；AG；

由N分别是AC的中点，所以NC=〈AC,由正方体性质可得4C〃AG，AC=AG，

所以可得MP〃NC,MP=NC,即四边形MPNC是平行四边形，

则异面直线DN和C例所成的角的平面角即为NDNP,

易知。N=2五,PN=P。=炳，

29+8-29

所以cosNDNP=

2x272x729V2929

故选：D

变式1.（2023春♦江西南昌♦高一南昌十中校考阶段练习）如图，在正三棱柱ABC-A4G中，2881=3AB,。

是棱8c的中点，E在棱CG上，且CG=3CE,则异面直线AQ与用芯所成角的余弦值是（）

C.-亚

4D-T

【答案】B

【分析】取棱靠近点B的三等分点F,取棱8c的中点”，取8尸的中点G,连接A",OH，AF，。工

证明力尸//8田，得幺。尸是异面直线AQ与BE所成的角（或补角）.设钻=4,用余弦定理计算出余弦值.

【详解】取棱8用靠近点8的三等分点尸，取棱86的中点H,取的中点G,连接A"，DH，AF,DF.

由己知CE=gcG=：8与=B£,又CE〃BQ,所以CEBQ是平行四边形，BtE//CG,同时可得尸是8G中

点，而。是BC中点，所以DF/7CG.

所以。尸〃用E,则4Q尸是异面直线与所成的角（或补角）.

乂。”//CC|,CG，平面4月£,则D〃_L平面A&G，A”U平面A4G，则/汨，4”，

设A8=4,贝1]84=6,从而AH=26,DH=6,BD=2,BF=2,B,F=AB]=4，

故4尸=4夜,4。=4后,£>F=20.在，AQF中，

由余弦定理可得cos/ADF==V'

所以异面直线与旦E所成的角的余弦值为四.

4

故选:B.

变式2.（2023春・浙江•高一路桥中学校联考期中）在直三棱柱4BC-48£中，AC=AAt=2,BC=],

NACB=12O。，E是B片的中点，则异面直线CE与AQ所成的角的余弦值是（）

【答案】B

【分析】根据异面百.线所成角的定义，取CG中点M,AC中点N,连接MN,MB\,NB\,NB,可得NNM瓦为

异面直线CE与AG所成的角或其补角，结合余弦定理求解即可得答案.

【详解】如图，取CG中点M,AC中点N,连搂MN,MB、,NB\,NB

在直三棱柱4BC-Aga中,AC=AAi=2,BC=\,所以明，平面AAG，有AGu平面AB|G，所以

M1AC,则AC,=JAV+AC：=25/2

因为M,N分别为CG，4c中点，所以MN//AC,,MN=；AC[=尬

又可得MCUB\E,MC=BtE,则四边形为平行四边形

所以CE//加瓦，则NNMB、为异面直线CE与AG所成的角或其补角

由cel.平面AAG，。|耳匚平面4耳弓，可得CG1.C4，所以知4=Jq"+c&；=6,

在岫田中，ZACB=120°,NC=l,BC=T,由余弦定理得

NB=VNC2+BC2-2NCBC-cos120°=11+1-2x[-g)=6,

所以NB]=ylNB2+BBf=y/3+4=y/7,

.,.,..../-i......7XTAAnMN~+MB：—N母2+2—73

所以在."N耳中，由余弦定理得cos/NMB]=；；3---=---7=__/=-=--

2MN,MB、2xV2x5/24

所以异面直线CE与AC；所成的角的余弦值1.

4

故选：B.

考点四：补形法求异面直线所成的角

（2023・全国•高一专题练习）在长方体ABC。-AqCQ中，AD=DC^2,A4,=2后，则异

面直线8G与所成角的正弦值为（）

1B,正D,巫

A.-L.-----

5552

【答案】B

【分析】作图，构造三角形，将8G与。的夹角转变为三角形内角，运用余弦定理求解.

依题意作上图，延长至4，入，6，。2，

使得AA2=BB2=CC2=DD2=AiA,连接BD2,C(D2,

耳3=。。2,g，・•・四边形3/2。是平行四边形，

BtD//BD2,异面直线用。与8G的夹角就是与BD?的夹角,

12

BD2=^BC+CD+BB^=,2?+2?+(2石丫=2石，

BC、=JBC'+CC：=4,

〈2=Jcz)2+(2CCj=2加,

由余弦定理得cosZC,BD2=g,

2BC[,BD、5

.QvgBD?〈兀,sinNCR2="1-cos?NC\班=詈；

故选：B.

变式1.（2023春•浙江宁波♦高一效实中学校考期中）如图，在正三棱台ABC-A4G中，底面ABC是边长

为4的正三角形，且AA=AG=2.

⑴证明：M1BC；

（2）求异面直线4田、8（所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）1

【分析1（1）将正三棱台ABC-A冉G补成正三棱锥O-ABC,取5c的中点E,连接AE、DE,证明出

BC/平面ADE,可得出5CJ_AO,即可得出结论；

（2）

【详解】（1）证明：将正三棱台ABC-AB£补成正三棱锥。-ABC,取BC的中点E,连接A£、DE,

因为43c为等边三角形，E为5c的中点，则5CLAE,

在正三棱锥D-ABC中，BD=CD,E为8c的中点，则

因为AEDE=E,AE、DEu平面A£>E,所以，BC1平面ADE,

因为A£>u平面ADE,所以，AD1BC,即AA_LBC.

（2）解：取4。的中点〃，连接Bm、48、B。、CM,如下图所示：

C

因为在三棱台ABC-4冉&中，AA=B©=2,且3C=4,则4G=；BC,

又因为4G〃BC,所以，用、q分别为8。、c0的中点，同理，A为的中点，

所以，45=8=4=AC,故正三棱锥O-ABC的每个面都是边长为4的等边三角形,

因为A为A。的中点，则AB=ABsin60=4x#=26,同理4c=28，

因为用、M分别为80、A。的中点，所以，B、M"AB,且=

所以，异面直线48、8。所成角为NCg用或其补角，

在VCDM中，8=4,DMZCDM=60,

由余弦定理可得CM=-JCD2+DM2-2CD-DMcos6016+l-2x4xlx1=V13,

B,C2+BM--CM212+3-131

由余弦定理可得cos=y

2B.CB.M2x2+x丛一飞

因此，异面直线AB、8c所成角的余弦值为!.

6

变式2.（2023•全国•高一专题练习）在正方体ABCO-AMGA中，E为4。的中点，平面A&B与平面CEC；

的交线为1,则1与A8所成角的余弦值为（）

3D-T

【答案】D

【分析】延长84，CE交直线于点M,延长GE,4A交于点N,连接则直线即为交线

I,从而可得NMGR即为/与A8所成的角，解即可得解.

【详解】解：延长BA-CE交直线于点M,延长交于点N,连接

则直线MG即为交线/,

乂A8〃CQ,

则NMCR即为/与A8所成的角，设正方体棱长为1,

因为E为A2的中点，\E//BiCX//BC,

所以A为MB的中点，A为NB1的中点，点£为的中点，E为NG的中点,

则EM=EC,EN=EC,,

又乙MEN=NCEC\,

所以EMN=ECG，

所以MN=CG=1,^MNE=ZCC]E=90°,

则CQ=1,C、M=娓,MD\=6,

CM+CM-MD；R

所以cosNMCQ=

2C}DtC}M

即/与A8所成角的余弦值为四.

3

故选：D.

考点五：通过证线面垂直证异面直线所成的角为90°

|、］例5.（2023春•广东广州•高一广州四十七中校考期中）如图，在正四面体ABC。中,

M是的中

点，P是线段A用上的动点，则直线。尸和BC所成角的大小（）

A.一定为90°B.一定为60°C.一定为45。D.与P的位置有关

【答案】A

【分析】连接DM,可以证到,BCYPM,从而证到8C1平面。MP,所以8C_LDP,即可得

解.

【详解】解：连接。W,

：四面体A8CD是正四面体，M是8c的中点，

:.ADBC、.A3C是等边三角形，

.\BC1DM.BCVPM.

DWu平面OWP,PMu平面DA/P,DM[PM=M,

8CJ■平面,又。Pu平面DMP,

:.BCLDP,

直线DP与BC所成角为90二

故选：A.

变式1.（2023秋・河南鹤壁•高一鹤壁高中校考阶段练习）三棱锥S-ABC中，NS8A=NSC4=90。，AABC

是斜边相=。的等腰直角三角形，则以下结论中：

s

①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线S3，平面ABC；

③平面SBC，平面MC；④点C到平面S48的距离是:a.

其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】由题意证明AC，平面S8C,可判断①;通过ABLSB结合①即可证明②;根据②可证明③；取AB的

中点E,连接CE.根据线面垂直的性质可判断④.

【详解】由题意,NSCA=90°则ACLSC

由AABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，可得AC23c

且SCcBC=C

所以AC，平面S8C,即AC1SB,故①正确；

由①得AC_LS3.

根据ZSBA=90°,即AB±SB

且ACc/W=A

所以S3，平面ABC,故②正确

因为SBu平面SBC

所以平面SBC，平面SAC,故③正确；

取A3的中点E,连接CE

可证得CEL平面SAB,

故CE的长度即为C到平面SAB的距离，所以④正确.

2

综上可知，正确的为①②③④

故选:D

【点睛】本题考查了线面垂直与面面垂直判定，直线与平面垂直性质的应用,属于基础题.

变式2.（2023・高一课时练习）如图，正方体A8CO-A8C"中，AB的中点为。。的中点为N,则

异面直线B.M与CN所成角的大小为

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】D

【分析】取CO中点E,连GE,ME,可证转化为求GE,CN所成的角，利用平面几何关系，证

明C£_LCN即可.

【详解】取以>中点£，连GE，ME,在正方体ABCQ-AMGA中，

M为A8中点，，MEHBCHBG,ME=BC=B£,

四边形用GEM为平行四边形，.,

••・异面直线BM与CN所成角为直线C\E,CN所成的角，

在正方形CCQ]£>中，/?/AC,C£=Rt/\CDN,

NCC[E=ZDCN,NCGE+ZC,£C=NDCN+ZCtEC=90°,

.■.C,£lCN,.•.直线与CN所成角的大小为90。.

故选：D.

【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明异面直线垂直，考查直观想象、逻辑推理能力，属于基础题.

变式3.（2023春•重庆九龙坡•高一重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，三棱柱ABC-ABg中，底

面三角形A4C是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（）

4

A.直线CG与直线8区相交

B.CG与AE共面

C.AE与SC是异面直线但不垂直

D.平面垂直于平面CBBC

【答案】A

【分析】在三棱柱ABC-中，根据线线，线面关系对选项一一判断即可.

【详解】在三棱柱ABC-A与£中，CE//BC，RCE=；B£,所以四边形CEBG为梯形，直线C&与直

线BE相交，故A正确；

由几何图形易知CG与AE为异面直线，故B错误；

4E与8c是异面直线，且三角形ABC是正三角形，AE1BC,

乂8C//8G，则AEL8G，故C错误；

在三棱柱中未给出侧面C84G与上下底面的关系，不能判断AE是否与平面。581G垂直，故无法判断平面

A8£与平面C8gG的关系，故D错误；

故选：A

考点六：由异面直线所成的角求其他量

（2023春♦湖北武汉•高一武汉市第六中学校考阶段练习）在长方体A3。-ABC。中，BQ与

CG和G2所成的角均为60。，则下面说法正确的是（）

A.AB=y[2AAyB.AD=AB

C.AC=—BCD.AC.=­BD

3,3

【答案】D

【分析】根据长方体的结构特征，可得B山与CC,和CA所成的角即为四。与8月和A4所成的角,从而设

=2,由此可求得长方体的棱长，即可一一判断各选项，即得答案.

【详解】在长方体A8CQ-ABCA中，CC\〃BB\,C\D、/IA、B\、

则8Q与CC,和CQ所成的角即为用。与BB、和A4所成的角，

即N£>818=NA81O=60。，

连接。仇AQ,

易得_L面ABC。，■面且跳）u面/WC£>，4Ou面AORA，

则，830,8/3为直角三角形，

故48=44,=1,故A错误：

由，耳BD为直角三角形，可得BD=y/BQ2-B出2=sf^i=6,

则AD=dBD1-AB[=&，故B错误；

由以上解答可知4c=B4=6,BC=4力=&,

故AC=X^8C，C错误；

2

在长方体ABCO-ABC。中，AG=Q4=2,BD=6

故4€；=子8。，D正确，

故选:D

变式1.（2023・高一单元测试）在空间四边形ABC。中，E,F,G,"分别是48,BC,CD,的

中点.若AC=BD=2,且AC与3。所成的角为60°,则EG的长为（）

A.1B.72C.1或6D.&或百

【答案】C

【分析】连接“E,4G,可得N£HG=6O。或120。，求解三角形即可求出.

【详解】如图，连接HE,HG,在中，因为”,E为中点，所以HE//BD,HE=1,

在，AC£＞中，因为”,G为中点，所以“G//AC,HG=\,

因为AC与3。所成的角为60°,所以NEHG=60。或120。，

当乙EHG=60°时，EHG为等边三角形，所以EG=1,

当NE”G=120。，由余弦定理可得£G2=1+1-2X1X1X（-；）=3,即EG=X/5，

所以EG的长为I或

故选：C.

变式2.（2023春•贵州毕节•高一统考期末）在空间四边形48co中，AB=CD,E,F分别为BC,AD的

中点，若AB与C£＞所成的角为40。，则EF与A3所成角的大小为（）

A.20°B.70°

C.20°或70°D.40°或140°

【答案】C

【分析】根据异面直线所成角的定义转化为相交直线所成角，利用几何图形求E尸与A8所成角的大小.

【详解】取AC的中点〃，8。的中点N,连接ME,EN,NF,FM,EF,

.KE,N,F分别是AC,3C,B£＞,A£＞的中点，.•.ME〃AB,NF//AB,

ME//NF,同理EN//MF,

，四边形MENF是平行四边形,

乂•,AB=CD,

:.ME=EN,四边形MEN/是菱形，

48与CD所成的角为40,;.NMEN=40或140,

E尸与A8所成角是NMEF=g/MEN=20或70.

故选：C

变式3.（2023•高一课时练习）如图，在三棱锥。一ABC中，ADAC=ZBCA=ZBCD=90°,DC=晒,AB=3,

且直线AB与DC所成角的余弦值为胆，则该三棱锥的外接球的体积为（）

【答案】C

【分析】由题意，将三棱锥放入对应的长方体中，根据已知条件建立关于长方体的长、宽、高的边

长a,b,c,的方程组，求解得/+从+°2=25,进而可得外接球的直径即为长方体的体对角线长，从而根据

球的体积公式即可求解.

【详解】解：由题意知4C13C,DCVBC,则BC上平面AQC,所以8C，A£>,

又ADLAC,ACBC=C,所以ADJ.平面ABC,将三棱锥O-ABC放入对应的长方体中，如图:

易知EB//DC,所以/ABE为直线AB与DC所成的角，

所以=6+BE2-2AB-BEcosZABE，解得4E=夜.

设长方体的长、宽、高分别为“，b,c,则〃+/=22

9，〃+°2=22，Z>+C=19,

三式相加得/+从+。2=25,所以长方体的外接球的半径为'+'2=5,

22

所以该三棱锥的外接球的体积为V==也.

3⑵6

故选：C.

考点七：垂线法求直线与平面所成的角

,'例7.（2023春・海南•高一海南华侨中学校考期末）如图所示，四棱锥S-438的底面为正方形，

平面ABCD,则下列结论中不正确的是（）

B.AB//平面SCO

C.直线SA与平面S3。所成的角等于30

D.直线SA与平面SBD所成的角等于直线SC与平面SBD所成的角.

【答案】C

【分析】根据线面垂直的判定定理、性质定理可推出A正确；根据线面平行的判定定理可推出B正确；根

据直线与平面所成角的定义，可推出C不正确；D正确.

【详解】对于A,因为S£>_L平面ABC。，ACu平面A8C7）,所以SD_LAC,

因为ABCD为正方形，所以80_LAC,

又S£）,8Ou平面SB。，SDBD=D,所以AC_L平面S8D,

因为SBu平面SBD,所以ACLS3,故A正确；

对于B,因为A8//CD,A6O平面SQD,CDu平面SCD，

所以AB〃平面SCD,故B正确；

对于C,设AC,8。交于。，连S。，由A知，A。，平面580,则NASO是直线SA与平面S3。所成的角，

1SAB=x,PD=y,则SA=[x2+y?,OA=^~x,只有当SA=204,即Jx?+y?=0x，即*=»时，才

有NASO=30，故C不正确；

对于D,由C知，NASO是直线SA与平面S3。所成的角，NCSO是直线SC与平面S3。所成的角，因为

OA=OC,SO=SO,SA=SC,

所以△ASO与！CSO全等，所以NASO=NCSO,故D正确.

变式1.（2023春・山西•高一统考阶段练习）如图，在圆柱0P中，底面圆的半径为2,高为4,AB为底面

圆0的直径，C为AB上更靠近A的三等分点，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（）

A而口底「后V10

A.--------Jt>.--------V.--------