南京东山外国语学校必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义：能够将圆（为坐标原点）的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”.则下列函数中一定是“优美函数”的为（）A． B．C． D．2．已知，，，则的大小关系是（）A． B． C． D．3．已知，，，则使得的实数对有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．定义在上的函数满足，当时，都有，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．5．若奇函数在区间上是增函数，且在区间上的最大值为7，最小值为-1，则的值为（）A．5 B．-5 C．13 D．-136．下列函数中，是奇函数且在上单调递增的是（）A． B． C． D．7．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4等于（）A．－6 B．6C．－8 D．88．已知函数f(x)＝|x|＋ln|x|，若f（3a-1）＞f（1），则实数a的取值范围是（）A．a＜0 B． C． D．a＜0或9．已知是R上的奇函数，且对，有，当时，，则（）A．40 B． C． D．10．已知函数，则关于的不等式的解集为（）A． B． C． D．11．已知，当时，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．12．已知，则不等式的解集为（）A． B． C． D．13．已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（）A．50 B．0 C．2 D．-201814．已知是定义在上的偶函数，且满足下列两个条件：①对任意的，，且，都有；②，都有.若，，，则a，b，c的大小关系正确的是（）A． B． C． D．15．现有下列四个结论中，其中正确结论的个数是（）①幂函数的图象与函数的图象至少有两个交点；②函数（k为常数）的图象可由函数的图象经过平移得到；③函数是偶函数；④函数无最大值，也无最小值；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题16．已知，函数在区间上的最大值10，则a的取值范围是__________．17．函数的严格增区间是_____________.18．对于正整数,设函数，其中表示不超过的最大整数，设，则的值域为_________.19．设，若，且，则取值的集合是___________.20．若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数.如果实数满足时，那么的取值范围是__________．21．设函数则满足的x的取值范围是____________.22．已知，则不等式的解集是________．23．如果函数f

(x)＝满足对任意，都有>0成立，那么实数a的取值范围是________．24．设函数的最大值为M，最小值为m，其中e为自然对数的底数，则的值为________.25．已知是奇函数，且当时，，若当，时，恒成立，则的最小值为___.26．设函数，给出四个命题：①是偶函数；②是实数集上的增函数；③，函数的图像关于原点对称；④函数有两个零点．上述命题中，正确命题的序号是__________．（把所有正确命题的序号都填上）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据题意可知优美函数的图象过坐标原点，图象关于坐标原点对称，是奇函数，再分别检验四个选项的正误即可得正确选项.【详解】根据优美函数的定义可得优美函数的图象过坐标原点，图象关于坐标原点对称，是奇函数，对于选项A：的定义域为，所以不过坐标原点，不能将周长和面积同时平分，故选项A不正确；对于选项B：的定义域为，所以不过坐标原点，不能将周长和面积同时平分，故选项B不正确；对于选项C：定义域为，，是偶函数，图象关于轴对称，故选项C不正确；对于选项D：定义域为，，所以，所以图象过坐标原点，图象关于坐标原点对称，是奇函数，符合优美函数的定义，选项D正确，故选：D【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由题意得出优美函数具有的性质：图象过坐标原点，是奇函数图象关于原点对称.2．B解析：B【分析】由指数函数的性质可得，由对数函数的性质可得，由幂函数的性质可得，从而可得结果.【详解】∵，∴，，,∴故选：B【点睛】方法点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.3．D解析：D【分析】先判断函数是奇函数，且在上单调递增；根据题中条件，得到，求解，即可得出结果.【详解】因为的定义域为，显然定义域关于原点对称，又，所以是奇函数，当时，显然单调递增；所以当时，也单调递增；又，所以函数是连续函数；因此在上单调递增；当时，，因为，所以为使，必有，即，解得或或，即使得的实数对有，，，共对.故选：D.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于先根据函数解析式，判断函数是奇函数，且在上单调递增，得出时，的值域，列出方程，即可求解.4．A解析：A【分析】采用赋值法，令求得，同理可求，；化为，再结合单调性解不等式得结果.【详解】令，得即，令，则得，令，，所以由得；又因为函数的定义域为，且时，都有，所以即所以，即不等式的解集为.故选：A【点睛】思路点晴：抽象函数往往通过赋值法来解决问题.5．D解析：D【分析】先利用条件找到，，再利用是奇函数求出，代入即可．【详解】由题意在区间上是增函数，在区间上的最大值为7，最小值为，得，，是奇函数，．故答案为：．【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求最值，关键点是利用函数的奇偶性先求函数值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．D解析：D【分析】对四个选项一一一判断：A、B不是奇函数，C是奇函数，但在上不单调.【详解】对于A：在上单调递增,但是非奇非偶，故A错误；对于B：为偶函数，故B错误；对于C：在（0,1）单减，在（1，+∞）单增，故C错误；对于D：既是奇函数也在上单调递增，符合题意.故选：D【点睛】四个选项互不相关的选择题，需要对各个选项一一验证.7．C解析：C【分析】由奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)可推出周期为8，对称轴为，画出函数大致图象，由图象分析f(x)＝m的根的分布情况即可【详解】f(x)在R上是奇函数，所以f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，令得，故周期为8，即，即，函数对称轴为，画出大致图象，如图：由图可知，两个根关于对称，两个根关于对称，设，则，故，故选：C【点睛】结论点睛：本题考查由函数的奇偶性，周期性，对称性求根的分布问题，常用以下结论：（1），则的周期为；（2），则函数的对称轴为.8．D解析：D【分析】根据函数为偶函数可转化为，利用单调性求解即可.【详解】的定义域为，关于原点对称，又，所以为偶函数，当时，为增函数，又可化为，所以，所以或，解得或，故选：D【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的单调性，绝对值不等式的解法，属于中档题.9．C解析：C【分析】由已知得，由对数函数性质估计出，然后利用已知条件把自变量变小为，再由奇函数定义可求得函数值．【详解】，，故.∵，故.故选：C．【点睛】本题考查求函数值，方法是由已知条件得出函数的周期性，利用周期性和已知等式把函数自变量变小到上，然后由奇函数定义变到上，从而由已知解析式求得函数值．10．A解析：A【分析】可知在R上是单调递增函数，且，则不等式等价于，解出即可.【详解】，在R上是单调递增函数，，，则，，，，解得，故不等式的解集为.故选：A.【点睛】本题考查抽象函数不等式的求解，解题的关键是判断出函数的单调性，得出，将不等式化为求解.11．B解析：B【分析】讨论、、确定的函数值符号，根据二次函数的性质求a的取值范围即可.【详解】当时，，∵时，，即需成立；时，，恒成立；时，，即需成立；∴对于函数，在上，在上，∴解得，故选：B【点睛】思路点睛：令，即.上讨论：由，根据符号确定函数值的符号.由对应区间的函数值符号，结合二次函数性质求参数范围.12．C解析：C【分析】先解，再由的范围求的范围．【详解】时，满足题意，时，，，∴综上满足的的范围是，下面解不等式，时，，解得，∴，时，，，恒成立，∴，综上．故选：C【点睛】思路点睛：本题考查解函数不等式，由于是分段函数，因此需要分类讨论，而原不等式是复合函数形式，因此解题时可把里层作为一个未知数（相当于换元），求得的解，再由的范围求出中的范围．分类讨论必须牢记，否则易出错．13．B解析：B【分析】由奇函数和得出函数为周期函数，周期为4，然后计算出后可得结论．【详解】由函数是定义域为的奇函数，所以，且，又由，即，进而可得，所以函数是以4为周期的周期函数，又由，可得，,,则，所以.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的周期性求函数值，解决本题的关键是由函数是奇函数以及得出函数是周期为4的周期函数，进而可求出结果.14．D解析：D【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论.【详解】解：由①对任意的，，且，都有可得在上单调递增，根据偶函数的对称性可知，在上单调递减，且函数周期为8，，，，故.故选：D.【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性周期性的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15．A解析：A【分析】①举反例说明命题为假；②应该是伸缩变换，可以判断出命题为假；③由奇偶函数的定义判断处函数为偶函数，可得命题为真；④将函数变形，由均值不等式的性质可得最小值，可得命题为假．【详解】解：①取幂函数，显然与仅有一个交点，所以①不正确；②函数（k为常数）的图象可由函数的图象经过伸缩得到，所以②不正确；③设，由，定义域关于原点对称，则，是偶函数，故③正确；④函数，而在定义域上单调递增，所以函数有最小值无最大值，所以④不正确．故选：A．【点睛】本题考查指对幂函数的性质，属于基础题.二、填空题16．【分析】求出的范围后根据绝对值的性质根据最大值得不等关系可得的范围【详解】时当且仅当时等号成立又或时所以而的最大值为10所以的最大值为所以解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查函数的最值掌握绝对解析：【分析】求出的范围后根据绝对值的性质根据最大值得不等关系，可得的范围．【详解】时，，，当且仅当时等号成立，又或时，，所以，而的最大值为10，所以的最大值为，所以，解得．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的最值．掌握绝对值的性质是解题关键．当时，，当时，，当时，，则，时，．17．【分析】根据的解析式可得为奇函数当时不妨令x>0设根据对勾函数的性质可求得的单调减区间可得的单调增区间综合分析即可得答案【详解】因为定义域为R所以即在R上为奇函数根据奇函数的性质可得在y轴两侧单调性解析：【分析】根据的解析式，可得为奇函数，当时，，不妨令x>0，设，根据对勾函数的性质，可求得的单调减区间，可得的单调增区间，综合分析，即可得答案.【详解】因为，定义域为R，所以，即在R上为奇函数，根据奇函数的性质可得，在y轴两侧单调性相同，当x=0时，，当时，，不妨令x>0，设，根据对勾函数的性质可得，当上单调递减，证明如下：在上任取，且，则=，因为，所以，所以，即，所以在上为减函数，所以在上为增函数，当时，，，，又，所以在为增函数根据奇函数的性质，可得在也为增函数，所以在上为严格增函数，故答案为：【点睛】解题的关键是熟练掌握函数的奇偶性、单调性，并灵活应用，结合对勾函数的性质求解，考查分析理解，计算证明的能力，属中档题.18．【分析】先由题中条件得到讨论四种情况再判断的周期性即可得出结果【详解】由题意当时此时；当时此时；当时此时；当时此时；又所以是以为周期的函数因此的值域为故答案为：【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于解析：【分析】先由题中条件，得到，讨论，，，四种情况，再判断的周期性，即可得出结果.【详解】由题意，，当时，，，此时；当时，，，此时；当时，，，此时；当时，，，此时；又，所以是以为周期的函数，因此的值域为.故答案为：【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据一个单位区间内，的不同取值，确定，，的不同取值情况，结合函数的周期性，即可求解.19．【分析】根据不能是奇函数排除和再利用幂函数的性质排除2即可得出【详解】若且则幂函数的图象一定在的上方故不可能为奇函数即不能取和当取时是偶函数故只需满足即可此时即则即则可取故取值的集合是故答案为：【点解析：【分析】根据不能是奇函数排除和，再利用幂函数的性质排除2即可得出.【详解】若，且，则幂函数的图象一定在的上方，故不可能为奇函数，即不能取和，当取时，是偶函数，故只需满足即可，此时，即，则，即，则可取，故取值的集合是.故答案为：.【点睛】本题考查幂函数的性质，解题的关键是正确理解幂函数的性质的特点，以及不同幂函数的图象特点.20．【解析】试题分析：因为函数是定义在上的偶函数所以由考点：奇偶性与单调性的综合应用解析：【解析】试题分析：因为函数是定义在上的偶函数，所以由考点：奇偶性与单调性的综合应用21．【解析】由题意得：当时恒成立即；当时恒成立即；当时即综上x的取值范围是【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么然后代入该段的解析式求值解决此类问题时要注解析：【解析】由题意得：当时，恒成立，即；当时，恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.22．【分析】先构造函数得到关于对称且单调递增再结合对称性与单调性将不等式转化为即可求解【详解】构造函数那么是单调递增函数且向左移动一个单位得到的定义域为且所以为奇函数图象关于原点对称所以图象关于对称不等解析：【分析】先构造函数，得到关于对称，且单调递增，再结合对称性与单调性将不等式转化为即可求解．【详解】构造函数，那么是单调递增函数，且向左移动一个单位得到，的定义域为，且，所以为奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称．不等式等价于，等价于结合单调递增可知，所以不等式的解集是，．故答案为：，．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查函数的对称性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.23．【分析】先由条件判断出在R上是增函数所以需要满足和单调递增并且在处对应的值大于等于对应的值解出不等式组即可【详解】对任意都有>0所以在R上是增函数所以解得故实数a的取值范围是故答案为：【点睛】本题考解析：【分析】先由条件判断出在R上是增函数，所以需要满足和单调递增，并且在处对应的值大于等于对应的值，解出不等式组即可.【详解】对任意，都有>0，所以在R上是增函数，所以，解得