陕西省西安市工业大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

陕西省西安市工业大学附属中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题：（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）计算的值是（）A．72 B．102 C．507 D．5102．（5分）已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9＝4a52，a2＝1，则a1＝（）A．4 B．2 C．1 D．3．（5分）某校迎新晚会上有A，B，C，D，E，F共6个节目，为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目A，B不相邻，节目D，F必须连在一起，则不同的节目编排方案种数为（）A．60 B．72 C．120 D．1444．（5分）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则其导函数y＝f′（x）的图象可能是（）A． B． C． D．5．（5分）设随机变量X服从两点分布，若P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.4，则D（X）＝（）A．0.21 B．0.3 C．0.4 D．0.76．（5分）的展开式中，第四项和第五项的二项式系数相等，则该展开式中有理项的项数是（）A．5 B．4 C．3 D．27．（5分）将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）A．420 B．180 C．64 D．258．（5分）已知实数a，b，c成公差非零的等差数列，集合A＝{（x，y）|ax+by+c＝0}，P（﹣3，2），N（2，3），M∈A，若∥（a，b），则|MN|的最大值是（）A．4 B．5 C． D．二、多选题：（本大题共3小题，每个小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.）（多选）9．（6分）若P（A）＝，P（B）＝，P（B|A）＝，则下列说法正确的是（）A． B．事件A与B相互独立 C． D．（多选）10．（6分）在平面直角坐标系xOy中，过抛物线C：y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，则（）A．|AB|的最小值为2 B．以线段AF为直径的圆与y轴相切 C． D．（多选）11．（6分）若，则下列等式正确的有（）A．a0＝1 B．a3＝160 C．a0+a2+a4+a6＝365 D．a1+2a2+3a3+⋯+6a6＝12三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分把答案填在答题卡中的横线上.）12．（5分）的展开式中x2y6的系数为（用数字作答）．13．（5分）设F1，F2为椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，若，则|PF1|•|PF2|＝．14．（5分）设函数（a，b∈R）在区间[1，3]上总存在零点，则a2+b2的最小值为．四、解答题：（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）15．（13分）中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”，乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3个三鲜馅的“饺子”和4个青菜馅的“饺子”．问：（1）从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？（2）若依次从甲箱中取出两盒“饺了”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；（3）若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率．16．（15分）已知函数．（1）求f（x）的最值；（2）求曲线y＝f（x）过点（0，2）的切线方程．17．（15分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的20件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]．由此得到样本的频率分布直方图（如图）．（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；（2）在上述抽取的20件产品中任取3件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；（3）从该流水线上任取5件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的数学期望和方差．18．（17分）已知双曲线C：经过点，右焦点为F（c，0），且c2，a2，b2成等差数列．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：x＝2上的射影为N，O为坐标原点，设△POQ的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为k1，k2，证明：是定值．19．（17分）已知函数y＝f（x）的定义域为区间D，若对于给定的非零实数m，存在x0，使得f（x0）＝f（x0+m），则称函数y＝f（x）在区间D上具有性质P（m）．（1）判断函数f（x）＝x2在区间[﹣1，1]上是否具有性质P（），并说明理由；（2）若函数f（x）＝sinx在区间（0，n）（n＞0）上具有性质P（），求n的取值范围；（3）已知函数y＝f（x）的图像是连续不断的曲线，且f（0）＝f（2），求证：函数y＝f（x）在区间[0，2]上具有性质P（）．参考答案与试题解析一、单选题：（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）计算的值是（）A．72 B．102 C．507 D．510【解答】解：2+3＝2+3＝2×21+3×20＝102．故选：B．2．（5分）已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9＝4a52，a2＝1，则a1＝（）A．4 B．2 C．1 D．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），由a3•a9＝4a，得a1q2•a1q8＝4（a1q4）2，则q2＝4，解得q＝2，又a2＝1，所以a1＝＝．故选：D．3．（5分）某校迎新晚会上有A，B，C，D，E，F共6个节目，为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目A，B不相邻，节目D，F必须连在一起，则不同的节目编排方案种数为（）A．60 B．72 C．120 D．144【解答】解：先将两个节目D，F捆绑成一个元素，与节目C，E进行全排列，再将节相A，B插入四个空档中，所以共有＝144种不同的结果．故选：D．4．（5分）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则其导函数y＝f′（x）的图象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：观察函数y＝f（x）的图象知，f（x）在（0，+∞）上是减函数，故y＝f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，故排除B，D，f（x）在（﹣∞，0）从左到右，先增再减最后增，故y＝f′（x）在（﹣∞，0）从左到右，先“+”再“﹣”最后“+”恒成立，故排除C，故选：A．5．（5分）设随机变量X服从两点分布，若P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.4，则D（X）＝（）A．0.21 B．0.3 C．0.4 D．0.7【解答】解：因为随机变量X服从两点分布，所以P（X＝1）+P（X＝0）＝1，又P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.4，所以解得P（X＝1）＝0.7，P（X＝0）＝0.3，所以E（X）＝1×0.7+0×0.3＝0.7，D（X）＝（0﹣0.7）2×0.3+（1﹣0.7）2×0.7＝0.21．故选：A．6．（5分）的展开式中，第四项和第五项的二项式系数相等，则该展开式中有理项的项数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：由于的展开式中，第四项和第五项的二项式系数相等，故，故n＝7．所以＝，当r＝0，2，4，6时，展开式为有理项，故有理项的项数为4．故选：B．7．（5分）将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）A．420 B．180 C．64 D．25【解答】解：方法一：由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，A，D不同色，D有3种，C有2种涂法，有5×4×3×2＝120种，A，D同色，D有4种涂法，C有3种涂法，有5×4×3＝60种，∴共有180种不同的涂色方案．方法二：分步，比如先排BCD，两两不同色，有5×4×3＝60种，再排A，只要与BC不同，有3种，故共180种故选：B．8．（5分）已知实数a，b，c成公差非零的等差数列，集合A＝{（x，y）|ax+by+c＝0}，P（﹣3，2），N（2，3），M∈A，若∥（a，b），则|MN|的最大值是（）A．4 B．5 C． D．【解答】解：a、b、c成公差非零的等差数列，则2b＝a+c，动直线l：ax+by+c＝0变形为a（2x+y）+c（y+2）＝0，令，解得，动直线l过定点Q（1，﹣2），直线l：ax+by+c＝0的一个法向量为＝（a，b），若∥（a，b），则MP⊥直线l，M点在以PQ为直径的圆上，圆心为PQ中点C（﹣1，0），半径r＝|PC|＝＝2，|NC|＝＝3，则|MN|的最大值为32＝5．故选：D．二、多选题：（本大题共3小题，每个小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.）（多选）9．（6分）若P（A）＝，P（B）＝，P（B|A）＝，则下列说法正确的是（）A． B．事件A与B相互独立 C． D．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，P（B|A）＝，变形可得P（AB）＝P（A）P（B|A）＝×＝，A正确；对于B，P（AB）≠P（A）P（B），则事件A、B不相互独立，B错误；对于C，P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝+﹣＝，C正确；对于D，P（B）＝，P（AB）＝P（A）P（B|A）＝×＝，∴P（A|B）＝＝＝，D正确．故选：ACD．（多选）10．（6分）在平面直角坐标系xOy中，过抛物线C：y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，则（）A．|AB|的最小值为2 B．以线段AF为直径的圆与y轴相切 C． D．【解答】解：由题意可知：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），准线为x＝﹣1，且直线l的斜率可以不存在，但不为0，设直线l：x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去x可得y2﹣4my﹣4＝0，则Δ＝16m2+16＞0，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，可得，，对于选项A：因为|AB|＝4（m2+1）≥4，当且仅当m＝0时，等号成立，所以|AB|的最小值为4，故A错误；对于选项B：因为线段AF的中点为，则M到y轴的距离，以线段AF为直径的圆的半径为，即圆心到y轴的距离等于该圆半径，故y轴与该圆相切，故B正确；对于选项C：因为＝，所以，故C正确；对于选项D：因为＝x1x2+y1y2＝（my1+1）（my2+1）+y1y2＝（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1＝﹣4（m2+1）+4m2+1＝﹣3≠0，故D错误．故选：BC．（多选）11．（6分）若，则下列等式正确的有（）A．a0＝1 B．a3＝160 C．a0+a2+a4+a6＝365 D．a1+2a2+3a3+⋯+6a6＝12【解答】解：对于A，令x＝﹣1，则，故A正确，对于B，，因此，故B错误，对于C，令x＝0，则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝1，令x＝﹣2，则，两式相加可得，故C正确，对于D，对两边求导得，令x＝0得a1+2a2+3a3+⋯+6a6＝12，故D正确．故选：ACD．三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分把答案填在答题卡中的横线上.）12．（5分）的展开式中x2y6的系数为﹣28（用数字作答）．【解答】解：由已知可得，所以由二项式定理可得多项式的展开式中含x2y6的项为，的展开式中x2y6的系数为﹣28．故答案为：﹣28．13．（5分）设F1，F2为椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，若，则|PF1|•|PF2|＝2．【解答】解：已知点P在椭圆C上，且，可得，又由椭圆，得c2＝5﹣1＝4，|PF1|+|PF2|＝2a＝2，∴，而，可得|PF1|•|PF2|＝2．故答案为：2．14．（5分）设函数（a，b∈R）在区间[1，3]上总存在零点，则a2+b2的最小值为．【解答】解：设t为函数f（x）在区间[1，3]上的零点，∵函数（a，b∈R）在区间[1，3]上总存在零点，∴+a（t﹣1）+b＝0，即（t﹣1）a+b+＝0，∴点P（a，b）是直线（t﹣1）x+y+＝0上的点，∴≥，化为：a2+b2≥，令g（t）＝，t∈[1，3]，则g′（x）＝＝，∵1≤t＜2时，g′（x）＜0；2＜t≤3时，g′（x）＞0．∴函数g（t）在[1，2）上单调递减．在（2，3]上单调递增．∴t＝2时，函数g（t）取得极小值即最小值，g（2）＝，∴a2+b2≥，．则a2+b2的最小值为．故答案为：．四、解答题：（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）15．（13分）中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”，乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3个三鲜馅的“饺子”和4个青菜馅的“饺子”．问：（1）从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？（2）若依次从甲箱中取出两盒“饺了”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；（3）若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率．【解答】解：（1）设事件A＝“取出饺子是肉馅”，，（2）设事件B＝“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”，事件C＝“取出第二个盒饺子是三鲜馅”，（3）设事件D＝“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”．设事件A1，A2，A3分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”，P（D）＝P（A1）P（D|A1）+P（A2）P（D|A2）+P（A3）P（D|A3）＝16．（15分）已知函数．（1）求f（x）的最值；（2）求曲线y＝f（x）过点（0，2）的切线方程．【解答】解：（1）由已知可得，f（x）的定义域为（0，+∞），且．当0＜x＜2时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，2）上单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，则f（x）在（2，+∞）上单调递增．所以f（x）在x＝2处取得唯一极小值，也是最小值．所以f（x）的最小值为，无最大值．（2）设切点为A（x0，y0），则根据导数的几何意义可知，曲线y＝f（x）在A（x0，y0）处的斜率，则＝，所以，整理可得，．设g（x）＝x2+4lnx﹣1，则在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增．又g（1）＝1+0﹣1＝0，所以g（x）存在唯一解x＝1．所以的解为x0＝1，切点A（1，0），此时斜率为k＝f′（1）＝﹣2，切线方程为y＝﹣2（x﹣1），整理可得切线方程为2x+y﹣2＝0．17．（15分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的20件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]．由此得到样本的频率分布直方图（如图）．（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；（2）在上述抽取的20件产品中任取3件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；（3）从该流水线上任取5件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的数学期望和方差．【解答】解：（1）质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为20×0.3＝6（件）；（2）重量超过505的产品数量为6件，则重量未超过505克的产品数量为14件，X的取值可能为0，1，2，3，X服从超几何分布，，，故X的分布列为：X0123P（3）由质量超过505克的产品的频率为0.3，故可估计从该流水线上任取1件产品质量超过505克的产品的概率为0.3，从流水线上任取5件产品互不影响，该问题可看成5次独立重复试验，即Y～B（5，0.3），则E（Y）＝5×0.3＝1.5，D（Y）＝5×0.3×（1﹣0.3）＝1.05．18．（17分）已知双曲线C：经过点，右焦点为F（c，0），且c2，a2，b2成等差数列．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：x＝2上的射影为N，O为坐标原点，设△POQ的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为k1，k2，证明：是定值．【解答】解：（1）因为c2，a2，b2成等差数列，所以2a2＝c2+b2，又c2＝a2+b2，所以a2＝2b2．将点的坐标代入C的方程得，解得b2＝3，所以a2＝6，所以C的方程为．（2）证明：依题意可设PQ：x＝my+3，由，得（m2﹣2）y2+6my+3＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），y1＞y2，则．，，则＝，而，所以＝，所以是定值．19．（17分）已知函数y＝f（x）的定义域为区间D，若对于给定的非零实数m，存在x0，使得f（x0）＝f（x0+m），则称函数y＝f（x）在区间D上具有性质P（m）．（1）判断函数f（x）＝x2在区间[﹣1，1]上是否具有性质P（），并说明理由；（2）若函数f（x）＝sinx在区间（0，n）（n＞0）上具有性质P