第04讲椭圆方程及其性质（学生版）

第04讲椭圆方程及其性质（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新I卷，第5题,5分求椭圆的离心率或离心率的取值范围由椭圆的离心率求参数的取值范围无2023年新Ⅱ卷，第5题,5分根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围求椭圆中的参数及范围圆中三角形(四边形)的面积2022年新I卷，第16题,5分求椭圆的标准方程椭圆中焦点三角形的周长问题2022年新Ⅱ卷，第16题,5分根据弦长求参数由中点弦求弦方程2021年新I卷，第5题,5分椭圆定义及辨析基本不等式求积的最大值2021年新Ⅱ卷，第20题,12分根据离心率求椭圆的标准方程求椭圆中的弦长椭圆中的直线过定点问题根据弦长求参数2020年新I卷，第9题,5分判断方程是否表示椭圆二元二次方程表示的曲线与圆的关系判断方程是否表示双曲线2020年新I卷，第22题,12分根据椭圆过的点求标准方程椭圆中存在定点满足某条件问题椭圆中的定值问题2020年新Ⅱ卷，第10题,5分判断方程是否表示椭圆二元二次方程表示的曲线与圆的关系判断方程是否表示双曲线2020年新Ⅱ卷，第21题,12分根据椭圆过的点求标准方程求椭圆的切线方程椭圆中三角形(四边形)的面积求椭圆中的最值问题2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为512分【备考策略】1.熟练掌握椭圆的定义及其标准方程，会基本量的求解2.熟练掌握椭圆的几何性质，并会相关计算3.能熟练计算椭圆的离心率求椭圆的标准方程，会椭圆方程简单的实际应用【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及离心率的求解，需重点强化训练知识讲解椭圆的定义数学表达式椭圆的标准方程焦点在轴上的标准方程椭圆标准方程为：焦点在轴上的标准方程椭圆标准方程为：椭圆中，，的基本关系椭圆的几何性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围顶点坐标，，，，长轴长轴长，长半轴长短轴短轴长，短半轴长焦点，，焦距焦距，半焦距对称性对称轴为坐标轴，对称中心为离心率离心率对椭圆的影响越大，椭圆越扁越小，椭圆越圆，圆通径（过椭圆焦点与坐标轴垂直的直线截得的弦长）通径长：，半通径长：椭圆中的两个周长问题考点一、椭圆的定义及其应用1．（2023·全国·高三专题练习）已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（

）A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆2．（2023·全国·高三专题练习）方程的化简结果是（）A． B．C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）的两个顶点为,周长为16，则顶点C的轨迹方程为（

）.A． B．C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．1．（2023·全国·高三专题练习）若，，点P到，的距离之和为10，则点P的轨迹方程是2．（2023·全国·高三专题练习）已知的两个顶点分别为的周长为18，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知两圆C1：（x4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（

）A． B．C． D．考点二、椭圆的标准方程1．（2023·四川宜宾·统考三模）已知p：，q：表示椭圆，则p是q的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别是，是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的长轴长是（

）A． B．4 C． D．83．（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（

）A． B．C． D．4．（2020·海南·高考真题）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.5．（2021·北京·统考高考真题）已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．（1）求椭圆E的方程；（2）过点P(0，3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．6．（2022·北京·统考高考真题）已知椭圆的一个顶点为，焦距为．(1)求椭圆E的方程；(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．7．（2023·天津·统考高考真题）设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．1．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）“”是“方程表示椭圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知椭圆E：的焦距为4，平行四边形ABCD内接于椭圆E，且直线AB与AD的斜率之积为，则椭圆E的方程为（

）A． B． C． D．3．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）已知为坐标原点，椭圆：，平行四边形的三个顶点A，，在椭圆上，若直线和的斜率乘积为，四边形的面积为，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．4．（2023·北京·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．(1)求的方程；(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．5．（2020·山东·统考高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点．（1）求的方程：（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．6．（2021·天津·统考高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．7．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．考点三、椭圆的几何性质1．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知，是椭圆的上、下顶点，为的一个焦点，若的面积为，则的长轴长为（

）A．3 B．6 C．9 D．182．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知以为焦点的椭圆与直线有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为（

）A． B． C． D．3．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）比利时数学家丹德林(GerminalDandelin)发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球使得它们与圆锥的侧面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截线是椭圆．这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为20，底面半径为4的圆柱体内放两个球，球与圆柱底面及侧面均相切．若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱侧面所得的截线为一个椭圆，则该椭圆的短轴长为（

）A． B． C． D．4．（2023·江西九江·统考一模）已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交于两点，直线交轴于点，若，则椭圆的焦距为（

）A． B． C． D．5．（2023·四川内江·统考三模）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上顶点．直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（

）A．3 B．6 C． D．1．（2023·陕西榆林·统考三模）若椭圆的焦距大于，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考三模）已知椭圆：，为椭圆的左焦点，为椭圆的右顶点，为椭圆上一点．若，则．3．（2023·广西玉林·统考三模）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面，地球的半径为，则该椭圆的短轴长为（

）A． B．C． D．4．（2023·河北·统考模拟预测）已知，分别为椭圆：的两个焦点，右顶点为，为的中点，且，直线与交于，两点，且的周长为28，则椭圆的短轴长为.5．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知曲线为焦点在x轴上的椭圆，则（

）A． B．的离心率为C．m的值越小，C的焦距越大 D．的短轴长的取值范围是考点四、椭圆的离心率1．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，过的直线交椭圆于两点，若（为坐标原点），，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2021·浙江·统考高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是.4．（2023·重庆巴南·统考一模）椭圆的左右焦点为，，点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N满足，，若四边形的周长等于，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．5．（2023·重庆·统考模拟预测）如图，椭圆的左焦点为，右顶点为A，点Q在y轴上，点P在椭圆上，且满足轴，四边形是等腰梯形，直线与y轴交于点，则椭圆的离心率为（

）．A． B． C． D．6．（2021·全国·统考高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为.1．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知右焦点为的椭圆：上的三点，，满足直线过坐标原点，若于点，且，则的离心率是（

）A． B． C． D．2．（2023·湖南永州·统考一模）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·统考高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．4．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知椭圆，，分别是的左顶点和上顶点，是的左焦点，若，则的离心率为（

）A． B．C． D．5．（2023·广东广州·统考三模）若双曲线的两条渐近线与椭圆：的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．6．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2023·江苏南通·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（

）A． B． C． D．考点五、椭圆中的最值问题1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（

）A．7 B．8 C．9 D．113．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）点为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，，，，若，则点到轴的距离为（

）A． B． C． D．4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知为椭圆上一点，若的右焦点的坐标为，点满足，，若的最小值为，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．5．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，则的最小值为．6．（2023·江苏扬州·校考二模）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点，直线与椭圆交于、两点，则（

）A．的最大值为B．的内切圆半径C．的最小值为D．若为的中点，则直线的方程为7．（2023·河北衡水·校联考二模）（多选）设为椭圆上的动点，分别为椭圆的左，右焦点，焦距为，点到三边的距离相等，椭圆的离心率为，短轴长为，则（

）A．点到椭圆的焦点的最大距离为4B．若，则C．的面积的最大值为8D．直线和直线的斜率之积是定值1．（2023·陕西西安·统考三模）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，若椭圆上一点Р到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2023·湖南·校联考二模）已知分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为（

）A．64 B．16 C．8 D．43．（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（）A．14 B．16 C．18 D．204．（2023·江苏·统考三模）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则PQ＋PF的最大值为（

）A．3 B．6C． D．5．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知椭圆C：的离心率为，F为椭圆C的一个焦点，P为椭圆C上一点，则的最大值为.6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆C上，且，则的最大值为.7．（2023·山西吕梁·统考二模）（多选）已知椭圆：（），，分别为其左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，点在椭圆内部，则以下说法正确的是（

）A．离心率的取值范围为B．不存在点，使得C．当时，的最大值为D．的最小值为1考点六、椭圆的简单应用1．（2023·河北·校联考一模）中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为（，，且a，b，c不全相等）.若该建筑的室内地面是面积为的圆，给出下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·云南曲靖·校考三模）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）某单位使用的圆台形纸杯如图所示，其内部上口直径､下口直径､母线的长度依次等于，将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出，当水面恰好到达杯底（到达底面圆“最高处”）的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于.1．（2023·广东韶关·统考模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2023·广东广州·统考三模）我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面的面积都相等，由此得到新几何体与半球的体积相等，即．现将椭圆绕轴旋转一周后得到如图3所示的椭球，类比上述方法，运用祖暅原理可求得该椭球的体积为（

）A． B． C． D．3．（2023·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆C与双曲线构成，一光线从左焦点发出，依次经过与C的反射，又回到点.，历时m秒；若将装置中的去掉，则该光线从点发出，经过C两次反射后又回到点历时n秒，若的离心率为C的离心率的4倍，则.【基础过关】一、单选题1．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线．这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义．若平面内一动点到定点和到定直线的距离之比是，则点的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线2．（2023·四川·校联考模拟预测）设椭圆，的离心率分别为，，若，则（

）A．1 B．2 C． D．3．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点和椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线截椭圆的弦长为3，则椭圆的标准方程为（

）A． B．C． D．4．（2023·河南开封·统考三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（

）A．6 B．12 C． D．5．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知，是椭圆的左、右焦点，是的上顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（

）A． B． C． D．6．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知离心率为的椭圆的方程为，则（

）A．2 B． C． D．37．（2023·广东梅州·统考三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆的一个交点为，若，则的面积为（

）A． B． C．4 D．二、多选题8．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则下列结论正确的是（

）A．椭圆的短轴长为 B．的坐标为C．椭圆的离心率为 D．存在点P，使得三、填空题9．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，过点作的角平分线交椭圆的长轴于点，则点的坐标为.10．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）设椭圆的左右焦点分别为和，离心率为，过左焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，且线段，则的内切圆半径等于.11．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是椭圆：的右焦点，过作直线的垂线，垂足为，，则该椭圆的离心率为.【能力提升】一、单选题1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知、是椭圆的左右焦点，点为上一动点，且，若为的内心，则面积的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）P为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为A，B，C，D，若，则P到x轴的距离为（

）A． B． C． D．5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（

）A．的周长为6 B．的面积为C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为6．（2023·四川宜宾·统考二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，记，的面积分别为，且满足，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．7．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（

）A． B． C． D．8．（2023·江西吉安·江西省泰和中学校考一模）已知椭圆，为的左、右焦点，为上一点，且的内心为，若的面积为，则的值为（

）A． B．3 C． D．69．（2023·陕西宝鸡·校考一模）已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（

）A． B． C． D．10．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）已知椭圆和双曲线有相同的焦点、，它们的离心率分别为、，点为它们的一个交点，且，则的范围是（

）A． B．C． D．二、多选题11．（2023·广东·校联考模拟预测）已知椭圆的焦点在轴上，且分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（

）A．B．的离心率为C．存在，使得D．面积的最大值为12．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与交于两点，若的周长是26，则（

）A． B．C．直线的斜率为 D．13．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（

）A． B． C． D．14．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，直线与椭圆交于，两点，的角平分线与轴相交于点，与轴相交于点，则（

）A．四边形的周长为16 B．直线，的斜率之积为C．的最小值为 D．当时，点的纵坐标为15．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知是圆上不同的两点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，直线分别是圆的两条切线，为椭圆的离心率.下列选项正确的有（

）A．直线与椭圆相交B．直线与圆相交C．若椭圆的焦距为两直线的斜率之积为，则D．若两直线的斜率之积为，则【真题感知】一、单选题1．（山东·统考高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（

）A．3 B．6 C．8 D．122．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·统考高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A