重难培优07截面问题

重难培优07立体几何的截面问题作截面的三种常用方法：作截面的三种常用方法：1.直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。2.延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。3.平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。题型一 判断截面形状1．如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形为截面，则四边形的形状为（

）

A．梯形 B．平行四边形C．矩形 D．上述三种图形以外的平面图形【答案】B【详解】由长方体任意相对的两个平面都平行，用一个平面截取长方体时，相对的两个平面所得的线段必平行，即截面必为平行四边形；若截面与任意侧面都不垂直时，所得截面不可能出现直角，故不一定为矩形；所以四边形的形状为平行四边形.故选：B2．已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】C【详解】如图连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点，过点作交于点，连接，则五边形即为平面截该长方体所得的截面多边形.其中因为，，，所以，则，所以，又，所以，所以，则，显然，则，所以.故选：C3．在正方体中，M，N分别为AD，的中点，过M，N，三点的平面截正方体所得的截面形状为（

）A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形【答案】B【详解】在上取点，且，取中点为，连接.在上取点，且，连结.因为，，所以，所以.又，所以，所以，所以，.因为分别为的中点，所以，且.根据正方体的性质，可知，且，所以，，且，所以，四边形是平行四边形，所以，，所以.同理可得，.所以，五边形即为所求正方体的截面.故选：B.4．在正方体中，棱长为4，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】C【详解】因为，故为的中点.又为正方体，故可延长，分别交与的延长线于，设直线分别交于，易得过点、、的面即平面.因为为中点，且，故，，，所以，故，即.又，故.又为的中点，同理可得，故，所以，，故在线段内.连接交于，综上可知点、、截正方体的截面为五边形.故选：C5．在长方体中，、，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为（

）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】C【详解】如图所示，延长、，使，连接、，∵、、，∴、，∵、分别为棱、的中点，∴，∴，∵，又、、三点共线，∴、、三点共线，∴在截面上，延长、，使，连接，使，∴在截面上，连接、，∵，且∴，∴且=，又为中点，、、三点共线，∴、、三点共线，∴截面为五边形，故选：C．6．（多选）用一个平面去截正方体，截面形状不可能是下列哪个图形（

）A．五边形 B．直角三角形 C．直角梯形 D．钝角三角形【答案】BCD【详解】如图所示，截面，设，，，∴，，，，同理，，，即为锐角，∴为锐角三角形，B，D都不可能，BD都要选；如图截面可以是五边形EFGHI，A可能，A不选如图截面可以是梯形，但不可以是直角梯形，C要选．故选：BCD题型二 作出截面形状7．四棱锥中，，，，过P，Q，R三点作出此棱锥的截面（图）.【答案】答案见解析【详解】以点V为投影中心，以所在平面为投影面.（i）作P，Q，R三点的中心投影点A，B，C，则RQ的投影是AC；（ii）连接交于O，连接，设交于，即的中心投影为点O；（iii）连接与交于点T，顺次连接四点，则四边形就是过P，Q，R三点的截面.8．四棱锥的棱VB，VC，VD上各有一点P，Q，R，过P，Q，R三点作四棱锥的截面（图）.【答案】答案见解析【详解】（i），，连接ST（为截面与底面的交线，称为轴线）；（ii）；（iii），则四边形RQPK即是过P，Q，R三点的棱锥的截面.9．作出过三点的截面，其中为所在棱上中点（三条边都在正方体内部）．(1)

(2)

【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析【详解】（1）作法：分别在上取中点，顺次连接，六边形所在平面即为过三点的截面；

简要说明（六点共面）：分别延长相交于，由平面的公理易得五点共面，连接，通过证明为平行四边形，说明点在平面内，同理再证明点在平面内，六点共面可证得.（2）作法：分别在上取中点，顺次连接，六边形所在平面即为过三点的截面；

简要说明（六点共面）：分别延长相交于，由平面的公理易得五点共面，连接，通过证明为平行四边形，说明点在平面内，同理再证明点在平面内，六点共面可证得.10．单位正方体中，和上各有一点E，F，且，过A，E，F作正方体的截面，是否可能是正三角形？正方形？【答案】答案见解析【详解】如图，设截面和或其延长线交于G．

当时，∵，，∴，此时截面为菱形，但它不会是正方形．事实上，作，与交于M（或其延长线），连接AG，EF，BD，AC，由知，，而，，由此可见菱形AEGF的对角线不相等，∴此菱形不可能是正方形．当，时，此时截面为五边形，但不可能是正五边形（见前例）（如图）．

当时，截面是正．11．如图，正方体的棱长为6，是的中点，点在棱上，且.作出过点，，的平面截正方体所得的截面，写出作法；【答案】答案见解析【详解】如图所示，五边形即为所求截面.作法如下：连接并延长交的延长线于点，连接交于点，交的延长线于点，连接交于点，连接，，所以五边形即为所求截面.12．如图，在正方体中，N为底面ABCD的中心，P为线段上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点．判断下列结论是否成立，并说明理由．(1)CM与PN是异面直线；(2)；(3)过P、A、C三点的正方体的截面一定是等腰梯形．【答案】(1)不正确，理由见解析(2)正确，理由见解析(3)正确，理由见解析【详解】（1）共面，与不是异面直线，而是相交直线.（2）记，则，，由，则，即．（3）如图所示，过P、A、C三点的正方体的截面与相交于点，可得，且，，，，因此过P、A、C三点的正方体的截面一定是等腰梯形.题型三 截面的周长面积13．如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图所示，过点作于点，因为，所以，则四棱台的高为，则四棱台的体积为，解得，所以侧棱长为.如图所示：过于点，于点，连接，由对称性可知，所以，而，所以，所以，同理，分别在棱上取点，使得，易得，所以截面多边形的周长为.故选：D.14．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（

）

A． B．9 C． D．【答案】A【详解】

如图，取AB的中点G，连接GE，，．因为E为BC的中点，所以，，又，，所以四边形为平行四边形，所以，，所以，，所以用过点，E，的平面截正方体，所得截面为梯形，其周长为．故选：A．15．如图，已知正方体的棱长为1，分别是线段上靠近的三等分点．过点作该正方体的截面，试求截面图形的周长和面积．【答案】周长，面积.【详解】在棱长为1的正方体中，延长交直线于，延长交延长线于，连接交于，交于，连接，则五边形是过点的该正方体的截面，平面平面，平面平面，平面平面，则，，同理，，因此，，，，所以截面周长为；等腰底边上的高为，则的面积，显然∽，，同理，所以截面面积.16．正三棱台中，下底面的边长为a，侧棱与底面成角60°，过AB作截面垂直于，求截面面积.【答案】答案见解析【详解】如图，将棱台补成棱锥，则S与两底面中心，O三点共线.设，AB的中点为D，连接CD，CD过点O，则，∴.设截面，过E作于H，，则易得，，此棱台的高对截面的形状起着决定性作用，故有以下讨论.（i）当时，，此时截面为等腰三角形，其面积为.（ii）当时，，此时截面ABE与上底面有交线MN，ED交MN于F，故截面为等腰梯形，作于K，平面ABC，由，，，得，（iii）特别地，当截面经过时，，此时截面面积为.17．四棱锥的底面为矩形，，，高，O为底面对角线的交点，过底面对角线BD作截面使它平行于SA，并求出此截面的面积.【答案】作图见解析，.【详解】如图，设E是SC的中点，连DE，BD，

因为为平行四边形，所以是的中点，故，因为平面，平面，所以平面，的面积即为所求.易知，所以，由，知，又为正三角形，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以.题型四 截面切割几何体的体积18．在正四棱锥中，底面的边长为为正三角形，点分别在上，且，若过点的截面交于点，则四棱锥的体积是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图：连接，交于点，连接，，相交于点，因为，，所以，所以，故为的重心，所以为中点.又因为为正三角形，所以.因为四棱锥是正四棱锥，所以，，，平面，且，所以平面.平面，所以，又，所以.，平面，，所以平面.因为，所以，，，,所以.故选：D19．已知正三棱柱，过底边的平面与上底面交于线段，若截面将三棱柱分成了体积相等的两部分，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】平面，平面平面，平面，；设的面积为，的面积为，三棱柱的高为，三棱台的体积，又三棱柱的体积，，解得：（舍）或，∽，，即.故选：A.20．（多选）如图，已知棱长为2的正方体，点是棱的中点，过点作正方体的截面，关于下列判断正确的是（

）A．截面的形状可能是正三角形B．截面的形状可能是直角梯形C．此截面可以将正方体体积分成1：3D．若截面的形状是六边形，则其周长为定值【答案】AC【详解】假设正方体的棱长为2.对于选项A：如图，M，N分别为所在棱中点，

可知，即截面的形状是正三角形，故A正确；对于选项B：由面面平行的性质可知：∥，

如果为直角梯形，例如，由正方体的性质可知：，可知平面，又因为平面，则∥或重合，由图可知不成立，即截面的形状不可能是直角梯形，故B错误；对于选项C：Q为所在棱中点，如图，

则正方体的体积为8，三棱柱的体积为，所以截面将正方体分成，故C正确；对于选项D：如图所示，假设为的中点，，则，，可得，则六边形的周长为，显然周长与有关，即六边形的周长不是定值，故D错误；故选：AC.【点睛】关键点点睛：对于选项D：取特殊位置，假设为的中点，，结合几何形状求周长，进而分析判断.21．正三棱台的上底面边长为a，下底面边长为2a，且，过B，，E三点作一个截面将棱台分成两部分，求这两部分的体积之比．【答案】2：5【详解】如图，将台体补成三棱锥，

则，，又，于是，∴，又，∴，由此可得，∴这两部分的体积比为2：5．22．如图，在正方体中，分别为棱的中点.

(1)请在正方体的表面完整作出过点的截面.（只需写出作图过程，不用证明）(2)请求出截面分正方体上下两部分的体积之比.【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）连接并延长交于，连接并延长交于，于，连接交于，

则截面即为所求；（2）连接，如图，

则截面下部的体积.设正方体的棱长为1，则，于是，因此截面上下两部分的体积之比为.23．在如图所示的几何体中，，平面，，，，.(1)证明：平面；(2)过点作一平行于平面的截面，画出该截面（不用说明理由），并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积.【答案】(1)证明见解析(2)截面为平面，体积为【详解】（1）在中，，，，，由余弦定理得：，，，又平面，平面，，，平面，平面.（2）取的中点，的中点，连接，则平面即为所求.理由如下：，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，同理可得：平面，，平面，平面平面；由（1）可知：平面，且平面，，，夹在该截面与平面之间的几何体的体积.题型五 截面的最值问题24．已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图所示，最大面积的截面四边形为等腰梯形，其中，高为，故面积为.故选:D．25．在棱长为2的正方体中，平面，则以平面截正方体所得的截面面积最大时的截面为底面，以为顶点的锥体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图，由正方体的对称性，可知当截面为正六边形时，截面面积最大，此时正六边形的边长为，设交截面于，则为的中点，所以，设正六棱锥外接球的球心为，外接球半径为，当球心在棱锥内部时，有，解得，外接球面积为；若球心在棱锥外部时，有，解得（舍去）．∴以为顶点的锥体的外接球的表面积为．故选：B．【点睛】方法点睛：求解几何体外接球半径的思路是依据球的截面的性质：利用球的半径､截面圆的半径及球心到截面的距离三者的关系求解，其中确定球心的位置是关键.26．如图，在直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则过三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为．

【答案】/【详解】由题意可知过三点的平面截该三棱柱所得截面的周长即的周长，因为直三棱柱，所以各侧面均为矩形，所以，直三棱柱的侧面部分展开图如图所示，

则在矩形中，所以过三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为，故答案为：27．在三棱锥中，面，且，过作截面交于，则截面的最小面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图所示，面，，又，，，，，，当时，取得最小值，且，的最小值为.故选：C.28．三棱锥中，，，，作出与、都平行的截面，分别交棱、、、于点、、、，则截面的最大面积为【答案】【详解】如图：因为，平面，所以，因为，平面，所以，所以，因为，平面，所以，因为，平面，所以，所以，所以四边形为平行四边形，又，所以，所以四边形为矩形，设，，则，又，所以，，又，所以，所以矩形的面积为，所以当时，面积取最大值.故答案为：.29．如图，在棱长都等于1的三棱锥中，是上的一点，过作平行于棱和棱的截面，分别交，，于，，．(1)证明截面是矩形；(2)在的什么位置时，截面面积最大，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)是的中点时，截面面积最大【详解】（1）平面，平面平面，平面，，同理，，同理，四边形是平行四边形，取中点，连接，，，是中点，，同理，又，平面，平面，平面，，又，，，即四边形是矩形.（2）设，，由（1）知，又，，则，当时，最大，即是的中点时，截面面积最大.1．已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】C【详解】如图，设，分别延长交于点，此时，连接交于，连接，设平面与平面的交线为，则，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，设，则，此时，故，连接，所以五边形为所求截面图形，故选：C．

2．已知一正方体木块的棱长为4，点在校上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，在上取一点，使得，连接，因为且，所以四边形为平行四边形，所以与相交于且为的中点，又在上，所以与相交于，且O平分，，所以四点四点共面且四边形为平行四边形，所以过三点的截面是平行四边形，，，，故截面面积为.故选：A.3．如图，正方体的棱长为2，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则截面的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】延长，与直线相交于，连接与分别交于点，连接，则五边形即为截面，正方体的棱长为2，点分别是的中点，由≌≌得，，，故，因为⊥平面，平面，所以⊥，⊥，由勾股定理得，取的中点，连接，则⊥，且，由勾股定理，其中，由相似关系可知，，故.故选：D4．沿棱长为1的正方体的交于一点的三条棱的中点作一个截面，截得一个三棱锥，那么截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之比是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】正方体的体积为，截得的三棱锥的体积为，所以剩下部分的体积为，所以截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之比是.故选：D.5．如图，在正方体中，的中点为Q，过A，Q，三点的截面是（

）

A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形【答案】D【详解】如图所示，取的中点P，连接PQ、、、和，，分别是，的中点，故，且，，故，，故四点共面，故四边形是过A，Q，三点的截面，且四边形是梯形．故选：D．

6．四面体ABCD的四个顶点都在球的球面上，，，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，现有如下结论：①过点E，F，G作四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2；②四面体ABCD的体积为；③过作球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4.则上述说法正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】选项①中，如图（1）所示，找的中点，过点E，F，G做四面体ABCD的截面即为面，则,，所以四边形为平行四边形，找的中点,连接，因为，所以平面，所以平面，平面，所以，所以，所以四边形为矩形，，，所以截面的面积，故①正确；选项②中，中，由勾股定理得：，同理，过点作,则，所以由勾股定理得：，所以，由选项①可得：平面,所以，，故②错误；选项③中，可以将四面体放入如图（2）所示的长方体中，由题可求得，，所以外接球的半径，截面面积的最大值为；平面截得的面积为最小面积，截面圆的半径，截面积最小为，所以截面面积的最大值与最小值的比为5：4，故③正确.

图（1）

图（2）【点睛】关键点睛：利用长方体模型、结合球的几何性质是解题的关键.7．（多选）在正方体中，用垂直于的平面截此正方体，则所得截面可能是（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】AD【详解】解：如图所示：

在正方体中，又，平面，平面，则平面，又平面，则，同理，又，平面，平面，所以平面，同理平面，由直线与平面垂直的性质得；与平面和平面平行的平面，都与垂直，由图象知：在平面和平面之间的平面，与正方体所得截面的形状为六边形；在平面和平面之外的平面，与正方体所得截面的形状为三角边形，故选：AD8．如图，在正方中，分别是的中点，存在过点的平面与平面平行，平面截该正方体得到的截面面积为

【答案】【详解】分别取的中点，连接，可证平面平面，则存在过点的平面与平面平行，正六边形是平面截该正方体得到的截面，截面的面积是，故选：C.

9．如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱A1B1的中点，则截面的面积为．【答案】【详解】如图，取B1C1的中点M，连接KM，MC，易证四边形KMCA为等腰梯形，上底KM＝，下底AC＝，腰长AK＝MC＝，则其高为KH＝，所以计算可得其面积为.【考查意图】判断截面图形的形状，截面的面积．10．如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，则由点确定的平面截正方体所得的截面多边形的周长等于